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Ecuación trigonométrica - Contenido educativo

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Subido el 4 de febrero de 2022 por Roberto A.

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Buenas, como he comentado en clase, os voy a desarrollar esta ecuación trigonométrica 00:00:00
donde me dicen que seno de 2 alfa más 60 más seno de alfa más 30 es igual a cero. 00:00:06
Para ello, si nos sabemos esta fórmula de aquí donde nos relaciona la suma de senos, 00:00:15
nos dice que el seno de a más seno de b es igual a dos veces el seno de a más b medio por el coseno de a menos b medio. 00:00:21
En nuestro caso, ¿a cuánto vale? Pues a vale 2 alfa más 60. 00:00:30
¿Y b cuánto vale? Pues alfa más 30. 00:00:36
Antes de desarrollarlo, lo que voy a calcular es a más b medio, a más b medio es 2 alfa más 60 más alfa más 30, todo ello partido de 2, que es igual a 3 alfa más 90 partido de 2. 00:00:39
Por otro lado, a menos b medios es 2 alfa más 60 menos, abro paréntesis, alfa más 30, este menos afecta todo el paréntesis, entre 2, esto es igual al final a alfa más 30 partido de 2. 00:00:58
Una vez que yo ya los tengo calculados, pues entonces lo que hago es sustituir. Voy a venir aquí. 00:01:21
seno, esto es igual a 2 00:01:29
por el seno de a más b medios partido de 2 00:01:35
que hemos visto que es 3 alfa más 90 medios 00:01:40
por el coseno de a menos b medios 00:01:44
que hemos dicho que es alfa más 30 medios 00:01:49
y esto es igual a 0 00:01:53
aquí si nos fijamos hemos pasado de tener 2 sumas 00:01:55
o dos sumandos, a tener un único sumando formado por tres factores. Uno de ellos es 2 y 2 nunca puede ser cero. 00:01:59
Recordemos que si nosotros tenemos a por b igual a cero, o bien a o bien b es igual a cero. ¿De acuerdo? 00:02:10
Entonces, aprovechando esta propiedad, el 2 pasa dividiendo el 2 y no altera la igualdad. 00:02:19
Y por otro lado, entonces lo que tenemos es seno de 3 alfa más 90 medios igual a cero y coseno de alfa más 30 medios igual a cero. 00:02:37
Aquí lo suyo es hacer la gráfica, me refiero, si yo tengo aquí siempre mi eje de coordenada y yo hago mi circunferencia, por ejemplo la circunferencia goniométrica, ¿qué ángulos tienen el seno 0? 00:02:50
Pero recordemos que la Y es el seno. Entonces es este punto de aquí y este punto de aquí, es decir, el ángulo 0 y el ángulo 180 son aquellos cuyo seno vale 0. 00:03:07
Como el seno de 0 es igual a 0 y el seno de 180 es igual a 0, entonces tenemos que 3 alfa más 90 medios es igual a 0, más 360k, que esto luego lo ponemos, y 3 alfa más 90 medios es igual a 180. 00:03:22
¿De acuerdo? De aquí, ¿qué vamos a obtener? Pues si nosotros desarrollamos y demás, ¿vale? Esto lo voy a poner luego para no liaros, ¿vale? De 3 alfa más 90 igual a 0, lo voy a poner en colorado ahora o en verde, en verde del betis, ¿vale? 00:03:45
Tenemos que 3 alfa más 90 es igual a 0, el 2 pasa aquí multiplicando, 2 por 0 es 0, de donde alfa es igual a menos 30, ¿vale? Esto es, si queréis que lo haga paso a paso, ya sería 3 alfa igual a menos 90 y alfa es igual a menos 90 tercios, ¿vale? Que es menos 30, ¿de acuerdo? Esto de aquí. 00:04:04
Y de aquí, pues resulta que nosotros hacemos 3 alfa más 90 es igual a 2 por 180, pero 2 por 180 ¿cuánto es? Pues precisamente 360, y 360 ¿cuánto es? Pues 0, con lo cual volvemos a tener que 3 alfa más 90 es igual a 0, es decir, 3 alfa es igual a menos 90 y alfa es igual a menos 30. 00:04:28
Pero, ¿qué ocurre? ¿Cuál es el ángulo menos 30? Pues, como no existen los números, los ángulos, digamos, negativos por convención, ¿vale? Este sería el menos 30, pues el menos 30 que es 360, menos 30 es 330 grados, ¿vale? 00:04:55
Con lo cual aquí mi alfa es 330 grados, más, evidentemente, 360 grados, ¿vale? Más k veces 360 grados. Voy a hacer en colorado, o venga, morado, este de aquí abajo, ¿vale? 00:05:17
Bien, gráficamente, ¿qué vemos? Que el coseno de un ángulo es igual a 0. ¿Y cuáles son los ángulos cuyo coseno es 0? Pues 90 y 270. El coseno de 90 es 0, el coseno de 270 también es 0. 00:05:37
Por lo tanto, tenemos que alfa más 30 medios es igual a 90, por un lado, de donde alfa más 30 es igual a 180, alfa es igual a 150, y por el otro, tenemos alfa más 30 medios es igual a 270, de donde alfa más 30 es igual a 540. 00:05:58
¿Y qué ocurre? Que 540, si nos damos cuenta, es mayor que 360. Entonces, 540 menos 360 es precisamente 180 grados. ¿Qué ocurre? Pues que alfa más 30 es igual a 180 grados, alfa es igual a 150 grados. 00:06:26
¿Vale? ¿Cuáles son las dos soluciones que tenemos? Vámonos a, me he metido la pata creo, a ver, sí, bueno, da igual, lo tengo aquí, ¿vale? 00:06:48
A ver, tenemos por un lado que alfa es igual a 330, me daba que alfa es igual a 330 grados, y por otro que era 150, ¿vale? Esto es más k a 360 grados, y alfa es igual a 150 grados más k a 360 grados. 00:07:03
Estas son las soluciones de mi ecuación original. Ahora nos toca comprobar y vamos a ver que evidentemente es así. ¿Vale? 2 alfa más 60, si estamos en 150, ¿vale? Si estamos en 150 grados, 2 alfa más 60 son 360 grados. 00:07:27
360 grados es lo mismo que cero. ¿Y cuánto valdría alfa más 30? Pues alfa más 30 son 180 grados. 00:07:50
Por lo tanto, seno de 360, que es lo mismo que cero, más seno de 180 grados es igual a cero. 00:08:03
Nos preguntan, pues sí, seno de 360 es 0, más 180, seno de 180 es 0, es igual a 0. 00:08:14
0 es igual a 0, está perfecto. 00:08:23
Vamos a ver con, ay, perdón, perdón, más otra vez, los problemas del derecho. 00:08:26
Vámonos. 00:08:31
Con 330, ¿vale? Vámonos con, lo voy a hacer si queréis en otro color, ya utilizamos todo, que está en la oferta, 330 grados. 00:08:33
¿Cuánto es 2 alfa más 60 con 360 grados? Pues tenemos 660 más 60, esto es igual a 720. Pero 720, precisamente, ¿qué es? 2 por 360, o sea, que esto es lo mismo que 0. 00:08:42
¿Y cuánto vale alfa más 30 para 330? Aquí ponemos una raya, ¿vale? Pues 330 más 30 es igual a 360, que es igual que 0 grados, ¿vale? 00:09:02
Con lo cual, el seno de 2 alfa más 60, que es el seno de 720, más el seno de 360 grados, ¿eso es igual a 0? 00:09:20
Nos preguntamos, pues como esto es igual al seno de 0 más el seno de 0, porque 720 son dos vueltas y 360 es una vuelta, nos volvemos al 0, 0 más 0 efectivamente es igual a 0. 00:09:32
Con lo cual las soluciones son estas que están aquí, ¿vale? De alfa igual a 330 y alfa igual a 150, ¿de acuerdo? 00:09:48
¿Esto de aquí cómo se puede hacer también gráficamente? 00:09:58
Bueno, hemos resuelto anteriormente esta ecuación de forma analítica y nos ha dado estos resultados, que alfa era 150 más 360 grados K o 330 más 360 grados K. 00:10:04
Entonces vamos a hacer una operación previa para resolverlo gráficamente y lo que hacemos es, este sumando de aquí lo pasamos al segundo miembro, con lo cual nos queda que seno de 2 alfa más 60 es igual a menos seno de alfa más 30. 00:10:22
Y esto que ocurre, que si nosotros por ejemplo nombramos a este ángulo A y este ángulo B, gráficamente si nosotros tenemos nuestro ángulo A, aquí esto vale A, si tiene un seno que es la Y, hay dos ángulos que tienen el mismo módulo del seno pero de signo diferente, esto es menos Y. 00:10:43
¿Y cuáles son? Pues son, lo voy a hacer de otro color para los que veáis, ¿vale? Está este ángulo de aquí, donde de aquí a aquí hay 180 grados y luego está este otro ángulo de aquí que es precisamente menos A. 00:11:07
Con lo cual, para cumplir que el seno de un ángulo sea igual al menos seno de otro, se pueden verificar dos condiciones. 00:11:27
La primera, que B sea igual a 180 grados más A. Aquí vemos que entre este y este hay 180 grados, por lo tanto, si este es A, todo este de aquí es 180 más A. 00:11:37
Y la segunda condición es que B, el ángulo B, sea igual a menos A. Lo vemos aquí. ¿De acuerdo? Pues entonces, si nosotros vamos con la primera condición, decimos que alfa más 30 es igual a 180 más A, que es 2 alfa más 60. 00:11:54
Aquí si quitamos paréntesis resulta que 180 más 60 son 240 más 2 alfa 00:12:16
Nos llevamos alfa al otro miembro con lo cual tenemos alfa menos 2 alfa igual a 240 menos 30 00:12:25
Este 30 lo pasamos aquí restando 00:12:33
Alfa menos 2 alfa es menos alfa y 240 menos 30 es 210 00:12:36
Por lo tanto alfa es igual a menos 210 00:12:41
Pero, ¿qué ocurre? Que por convenio los ángulos negativos lo que se hace es convertirlo en positivo sumándole 360 grados. Con lo cual, alfa es igual a 360 menos 210, es decir, los 150 grados que precisamente habíamos obtenido de la forma analítica en la primera parte del vídeo. 00:12:45
¿De acuerdo? Si nosotros hacemos ahora la segunda parte donde b es igual a menos a, pues tenemos que b que es alfa más 30 es igual a menos 2 alfa más 60, que esto el menos afecta a los dos miembros, es menos 2 alfa menos 60. 00:13:11
Agrupamos alfa en el primer miembro, alfa más 2 alfa es igual a menos 60 menos 30 que esto es igual a menos 90 00:13:32
2 alfa más alfa es 3 alfa, 3 alfa es igual a menos 90 de donde alfa es igual a menos 90 tercio que es igual a menos 30 00:13:42
De igual modo, los ángulos negativos no existen, le sumamos 360 grados y alfa es 360 menos 30, es decir, alfa es los 330 grados que habíamos obtenido también analíticamente. 00:13:53
Es otra forma de resolver este tipo de ecuaciones que es gráficamente. Podéis elegir conmigo por lo menos la que queráis. 00:14:11
CC por Antarctica Films Argentina 00:14:24
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
85
Fecha:
4 de febrero de 2022 - 20:32
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
14′ 25″
Relación de aspecto:
1.70:1
Resolución:
1224x720 píxeles
Tamaño:
73.75 MBytes

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