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Explicación Lucía Áreas bajo funciones - Contenido educativo

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Subido el 14 de noviembre de 2026 por Roberto A.

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Buenas Lucía, vamos a ver si con este ejemplo te puedo aclarar un poquito las cosas. 00:00:00
Aquí lo que nos dicen es el área del recinto delimitado por la parábola x cuadrado menos x menos 6 y el eje x en el intervalo 0,4. 00:00:06
Entonces aquí la mayoría de mis alumnos lo que suelen hacer es la integral entre 0 y 4, pues de f de x diferencial de x. 00:00:16
Entonces, claro, ¿qué es lo que ocurre si no tenemos en cuenta el signo? 00:00:25
¿Qué es lo que me refiero para ver lo del valor absoluto o no? 00:00:29
Es que si yo hago la integral de esta función, que es todo esto diferencial de x, 00:00:33
pues al final estas son integrales inmediatas. 00:00:40
Recuerda que la integral de x elevado a n diferencial de x es x elevado a n más 1 partido n más 1 00:00:43
más una constante 00:00:52
como aquí tenemos una integral definida 00:00:55
la constante no la ponemos 00:00:57
entonces, ¿cuál es la integral de x al cuadrado? 00:00:58
pues x al cubo partido de n 00:01:01
¿cuál es la integral de x? 00:01:03
es x al cuadrado partido de n 00:01:05
¿y cuál es la integral de 6? 00:01:08
pues 6 00:01:10
¿qué ocurre? 00:01:11
que yo lo integro entre 0 y 4 00:01:12
¿vale? 00:01:15
si yo hago esto de aquí 00:01:17
¿qué es lo que tengo que hacer? 00:01:19
Yo ahora aplico la regla de Barrow, que significa que yo ahora sustituyo primero por el límite superior donde haya una x, 00:01:21
por lo tanto, abro paréntesis y tengo 4 al cubo partido de 3, menos 4 al cuadrado partido de 2, menos 6 por 4. 00:01:29
La cosa es decir, donde haya una x, aquí ya una vez hecha la integral, lo sustituyo por 4. 00:01:42
Y ahora le tengo que restar lo mismo, pero donde haya una x, pues un 0, ¿vale? 00:01:47
Entonces, lo que yo quiero que tú veas aquí con este resultado, 00:01:53
que ahora te voy a poner la gráfica, ¿vale? 00:01:56
Es que claro, si yo hago esto de aquí, ¿qué ocurre? 00:02:01
Que todo esto de aquí es 0, ¿verdad? 00:02:04
0 al cubo es 0, 0 al cuadrado es 0, 6 por 0 es 0. 00:02:06
Entonces lo que me quedó es esto de aquí. 00:02:11
4 por 4 es 16, 16 por 4 son 64 tercios, ¿vale? 00:02:12
Menos 4 al cuadrado es 16 medios y 6 por 4, 24. 00:02:19
¿Qué ocurre? Que esto me va a salir negativo. 00:02:25
De hecho, si yo aquí multiplico por 2 es 128 menos 3 por 6, 18, me llevo 48, 48 sextos, ¿vale? 00:02:28
Menos 24, ahora hago el 24. 00:02:39
Y esto me sale 80, ¿no? 80 sexto, ¿no? Si no me equivoco, sí. Menos 24 y 80 son 40 tercios. Menos 24. 00:02:41
Y esto que es 40 menos 3 por 4, 12, 3 por 2, 6, 72 tercios, pues esto es menos 32 tercios, ¿vale? Unidades cuadradas. 00:02:54
¿Qué ocurre? Que como es un área, esto no puede ser negativo. 00:03:12
Entonces, ¿qué hago yo siempre? Pues nada, yo me curo en salud, lo voy a poner en rojo, 00:03:16
Y yo aquí lo que hago es, el área es igual, pues nada, yo hago aquí valores absolutos, ¿no? Todo el tiempo pongo valores absolutos. Pongo todo el tiempo aquí valores absolutos. Aquí, antes de cada igualdad, yo tengo valores absolutos, ¿de acuerdo? 00:03:20
Valores absolutos, valores absolutos, y ahora tengo el valor absoluto de menos 32 tercios, y el valor absoluto de 32 tercios, de menos 32 tercios es 32 tercios unidad cuadrada. ¿Vale? Eso es lo que significa el hacer el valor absoluto. 00:03:36
Pero, ¿qué es lo que ocurre? Lucía, que esto es incorrecto, esto está mal. No porque me dé aquí negativo, que es así, sino que yo lo que tengo que ver antes es si me cambia el signo de esta función. 00:03:54
Entonces, el primer paso, o sea, todo esto de aquí está mal 00:04:10
Y esto es lo que me hace mucho de mi malo 00:04:16
¿Por qué? Porque el primer paso es ver el signo de la función 00:04:19
Es ver el signo de la función, ¿vale? 00:04:23
¿Qué es el signo de la función? 00:04:29
Pues el signo de la función es únicamente saber si es positivo o negativo 00:04:31
Es decir, este es el eje de las X, ¿vale? 00:04:36
Este es el eje de las X 00:04:40
Y ves, si mi función, por ejemplo, si mi función es así, pues en este intervalo, entre este y este, la función es positiva, ¿de acuerdo? 00:04:41
Aquí es negativa, aquí es negativa y aquí vuelve a ser positiva, ¿de acuerdo? 00:04:50
Es decir, si yo pongo lo positivo en azul, esto es positivo y esto mi función es positiva. 00:04:57
¿Por qué? Porque está por encima del eje de la sec. 00:05:03
Entonces, ¿qué valor es el que me diferencia lo positivo de lo negativo? Pues el 0. 00:05:05
Pues entonces lo primero que yo tengo que hacer es igualar x al cuadrado menos x menos 6, lo igualo a 0. 00:05:13
Esto es una ecuación de segundo grado, entonces x es igual a menos b más menos b al cuadrado menos 4 por a por c partido de 2. 00:05:22
Esto es igual a 1 más menos 5 medios. Y aquí tengo por un lado el 3 y por aquí por un lado menos. ¿Qué significa eso? Pues que yo mi función, ¿de acuerdo? Mi función va a cambiar de signos a una función polinómica. 00:05:32
Yo aquí tengo el menos infinito, yo aquí tengo el menos 2, yo aquí tengo el 3 y aquí tengo el más infinito, ¿de acuerdo? 00:05:50
Entonces va a cambiar de signo, ¿de acuerdo? 00:05:58
¿Cómo veo yo el signo? Pues por ejemplo yo aquí elijo el 0, ¿vale? 00:06:03
¿Y cuánto vale f de 0? Pues yo aquí, que esto es f de x, ¿verdad? 00:06:07
Si sustituyo la x por 0 me sale menos 6, por lo tanto aquí siempre es negativo, ¿de acuerdo? 00:06:13
Si ahora me voy, por ejemplo, al f de menos 3, f de menos 3, ¿esto qué es? Es menos 3 al cuadrado menos menos 3 menos 6, esto es 9 más 12, me sale 6, esto es positivo. 00:06:20
Igual, si yo me voy aquí, por ejemplo, aquí he puesto el menos 3, ¿no? 00:06:37
Si yo aquí me voy al 4, incluso al 5, ¿vale? ¿Cuánto vale f de 5? 00:06:41
Pues 5 es 5 al cuadrado menos 5 menos 6, esto es 25 menos 11, es 14, es positivo, ¿de acuerdo? 00:06:46
Entonces, ¿qué es lo que yo quiero que tú veas con todo esto? 00:06:55
Que mi función va a hacer una cosa más o menos tal que así. 00:07:00
Ahora a ver si lo... una cosa tal que así, ¿de acuerdo? 00:07:06
Entonces, en todos estos puntos, si yo hago la integral, la integral me va a dar negativa. 00:07:12
La integral me va a dar negativa porque el área que está por debajo de f de x y por debajo del eje de las x, ¿de acuerdo? 00:07:20
Pues me va a salir negativo. 00:07:29
Y sin embargo, ya aquí, si yo hago la integral aquí o hago la integral aquí, me va a salir positiva, ¿vale? 00:07:31
Entonces, ¿qué ocurre con este 32 tercios? 00:07:38
Que si yo hago la integral entre 0 y 4, date cuenta, voy a crear una página. 00:07:41
Aquí, si recordamos, creo que era el 2 y el menos 3, ¿no? 00:07:49
A ver, si lo he hecho, 3 por menos 2 es menos 6 y esto está perfecto. 00:07:54
Y ahora 3 menos 2 es 1, le cambio el signo, bueno, vale, está perfecto, es el menos 2 y el 3, ¿vale? 00:07:58
Yo tengo aquí el menos 2 y aquí el 3, esto era positivo, esto era negativo y esto era positivo, ¿de acuerdo? 00:08:05
Mi función es f de x, entonces el signo, ¿qué ocurre? 00:08:15
Que yo al hacer la integral entre 0 y 4, 0 y 4, pues claro, toda esta parte de aquí de la función, 00:08:19
esto es negativo, y toda esta parte de aquí es positiva, ¿vale? 00:08:27
Entonces, es verdad que a mí me salía un 32 positiva, me salía un 32 tercio, 00:08:35
pero vamos a redondear con números más altos. 00:08:41
Si esto me hubiese salido aquí un menos 3, y aquí me sale, yo que sé, un más 2, 00:08:44
pues al final me sale menos 1, que yo al hacer el valor absoluto de menos 1, 00:08:50
Me sale que el área es 1, pero realmente una unidad cuadrada. 00:08:55
Yo me tiene que salir, Lucía, es estos menos 3 que se convierte en 3, 00:09:00
más estos 2 que se convierte en 5. 00:09:06
¿De acuerdo? 00:09:11
Ahora te lo enseño con gráfico. 00:09:12
Entonces, para mí es muy importante que tú sepas esto. 00:09:14
Mi integral realmente entre 0 y 4 de f de x diferencial de x, 00:09:17
Entonces, como el 0 está aquí, ¿vale, Lucía? Y aquí está el 4, yo sé que de 0 a 3 la función es negativa, ¿verdad? Entonces, esto sería la función entre 0 y 3 de f de x diferencial de x más entre 3 y 4 f de x diferencial de x. 00:09:23
Esto de aquí, que lo vamos a hacer ahora en el vídeo, va a salir negativo. 00:09:46
Y me va a salir negativo porque mi función, Lucía, está de signo negativo, ¿vale? 00:09:52
Signo negativo. 00:09:58
Y esto de aquí, entre 3 y 4, me va a salir positivo. 00:10:00
¿Por qué? Porque la función f de x positiva está por encima del f o x, ¿vale? 00:10:05
De hecho, si yo hago 0,3, me lo voy a llevar a otra página para empezar desde el principio, y yo esto me lo llevo a otra página para que tú lo veas, entonces recordamos que f de x es igual a x al cuadrado menos x menos x. 00:10:12
Si yo hago la integral entre 0 y 3 de x al cubo, x al cuadrado, perdona, menos x menos 6 diferencial de x, 00:10:33
esto que no se te olvide nunca, esto es x al cubo partido de 3 menos x al cuadrado partido de 2 menos 6, ¿vale? 00:10:44
Esto es entre 0 y 3. Aplico la regla de Barrow y esto qué es. 3 al cubo partido de 3 menos 3 al cuadrado partido de 2 menos 6 menos lo mismo pero con el 0. Yo sé que esto vale 0. Pero al cubo, no, esto vale menos 6. 00:10:54
lo voy a hacer bien 00:11:12
es menos 6x 00:11:13
menos 6x 00:11:15
esto es, esperate que me he equivocado 00:11:18
vamos a hacerlo bien 00:11:19
esto es menos 6x 00:11:21
entre 0 y 3 00:11:24
perdona, entonces 00:11:26
esto es 3 al cubo 00:11:28
partido de 3 00:11:30
3 al cuadrado 00:11:31
partido de menos 6 00:11:34
por 3 00:11:36
menos lo mismo pero un 0 00:11:37
¿vale? 0 al cubo es 0 00:11:40
0 al cuadrado es 0, 6 por 0 es 0 00:11:43
para aligerar 00:11:45
esto vale 3 00:11:47
¿esto cuánto da? esto es 3 al cubo entre 3 00:11:48
es 9 00:11:51
menos 9 medios 00:11:52
menos 18 00:11:54
¿y esto cuánto es? 00:11:56
esto es 00:11:59
esto es 18 00:12:00
menos 9 00:12:03
menos 36 medios 00:12:04
que esto es 9 menos 36 00:12:06
¿Lo veis cómo sale negativo? 9 menos 36 es 27, ¿no? 00:12:09
Ven, no, 27 me dio, ¿vale? 00:12:16
Y sale negativo. ¿Por qué me sale negativo? 00:12:19
Porque la función está por debajo, ¿de acuerdo? 00:12:21
Está por debajo del eje de las X. 00:12:26
Es, mira, si yo te muestro esto, ¿vale? 00:12:29
Mi función, aquí Lucía, que no sé si lo ves, espero que sí. 00:12:34
Esta es mi función. Si te das cuenta, entre menos 2 y 3 es donde me cambia el signo. Aquí era positivo, aquí era negativo y aquí era positivo. 00:12:38
Y yo lo que estoy haciendo es entre el 0 y el 4, es decir, entre esta línea roja y esta línea azul. 00:12:56
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:13:08
Que entre 0 y el 3, yo lo que estoy calculando con el área entre 0 y 3 es todo esto. 00:13:09
Todo esto que estoy poniendo en azul. 00:13:16
¿Qué es lo que ocurre? Este es el 0 y este es el 3. 00:13:19
¿Vale? Que claro, este área, por ser la función negativa, me sale negativo, de hecho creo que me salía menos 27, ¿vale? 00:13:21
Y luego, voy a ver si puedo cambiar aquí el color, sí, en verde, luego realmente lo que voy a hacer, que todavía no he calculado, es la integral entre 3 y 4, que esta me va a salir positiva. 00:13:32
Me va a salir positiva, ¿por qué? 00:13:47
Porque está por encima del eje de las x, ¿de acuerdo? 00:13:50
Pero, ¿qué pasa? 00:13:55
Que cuando yo he hecho la integral entre 0 y 4, 00:13:55
pues como esta es negativa y esta es positiva, 00:13:59
y no distingo por partes, 00:14:01
pues entonces, al sumar estas dos cosas, 00:14:04
lo que estoy haciendo es, 00:14:08
esto de aquí se lo estoy quitando a esto, ¿vale? 00:14:10
Y no estoy sumándola, 00:14:13
sino que la estoy restando, ¿de acuerdo? 00:14:15
Entonces, si yo ahora me voy aquí, si yo ahora te hago la integral entre 3 y 4 de f de x diferencial de x, 00:14:19
pues esto es x al cubo partido de 3 menos x al cuadrado partido de 2 menos 6x entre 3 y 4. 00:14:28
Entre 4, esto lo habíamos calculado ya, pero bueno, esto, a ver, entre 4 era 32 tercios, ¿vale? 00:14:38
Si no te lo dejas a ti para que tú lo hagas. 00:14:47
Entre 4 es 32 tercios. 00:14:49
Y ahora entre 3 era el 27, el 27 medio, ¿vale? 00:14:52
Es menos 27, ¿vale? 00:14:58
Vamos a sustituirlo uno por 4 y otro por 3. Te lo dejo a ti para que lo hagas. Y esto que es 32 tercios más 27 medios, date cuenta que aquí me sale 7 medios, menos con menos. 00:15:04
Y esto, ¿qué es? Esto es 94 más 3 por 7, 21, 3 por 2, 6, 7, 81 sextos. 00:15:20
Y esto es 8 y 7, 15, 155 sextos. 00:15:31
¿Cuál sería el área total? 00:15:37
El área total sería estos menos 27 medios, que yo voy a tomar el valor absoluto, 27 medios más los 155 sextos, ¿vale? 00:15:39
Porque como esto me sale negativo, yo todas las áreas le tengo que poner aquí el valor absoluto. 00:15:53
Yo pongo el valor absoluto, todo esto, valor absoluto, valor absoluto, valor absoluto, valor absoluto, valor absoluto, y entonces me sale 27 tercios, ¿de acuerdo? 27 medios, ¿vale? 27 medios positivos, ¿vale? 27 medios positivos. 00:16:00
Y entonces, ¿qué ocurre? 00:16:22
Pues serían los 27 medios, porque es en valor absoluto, 00:16:24
porque no había salido negativa y las áreas no pueden ser negativas, 00:16:27
más esta de aquí. 00:16:31
¿Y aquí cómo me curo en salud? 00:16:32
Pues yo siempre pongo valor absoluto, ¿vale? 00:16:34
Como te decía, yo pongo siempre valor absoluto. 00:16:39
¿Y aquí qué ocurre? 00:16:41
Que me sale 155 sextos. 00:16:43
¿Cuál es el valor absoluto de un número positivo? 00:16:45
Pues el mismo, 155 sextos. 00:16:47
Y ahora lo sumo y entonces ¿qué ocurre? Pues que esto lo tengo que multiplicar por 3. 3 por 7 es 21. 3 por 2 es 6. 7 es 8. Tengo 81 sextos más 155 sextos. ¿Y esto cuánto es? Esto es 6. 8 y 5 es 13. 236 partido de 6. 00:16:50
esto no sé si es divisible 00:17:11
en 3, 6, 7, 8, 9 00:17:15
voy a hacer no es divisible 00:17:17
unidades cuadradas 00:17:18
pero el 00:17:21
el quit de esta 00:17:23
el quit de esta integral 00:17:27
es saber diferencial 00:17:29
cuando mi 00:17:31
mi función 00:17:32
cuando mi función está por debajo 00:17:34
de 0 y cuando 00:17:38
y cuando esté por debajo de 0, que tengo que hacer la integral por partes 00:17:41
para separar los signos, yo lo que tengo que hacer 00:17:45
es hallar siempre el valor absoluto. 00:17:49
¿De acuerdo? Entonces es lo que yo quiero que tú veas. Si te das cuenta 00:17:53
aquí, cuando lo he hecho del tirón, como no he tenido en cuenta 00:17:56
es decir, cuando yo hago la integral entre 0 y 4 de esta función 00:18:01
sin tener en cuenta el signo, me sale 32 tercios 00:18:05
aunque me sale negativo, lo hago al valor absoluto, es 32 tercios, estaría mal. 00:18:08
¿Por qué? Porque me ha cambiado el signo de mi función. 00:18:14
Entonces lo que hago es le igualo a cero, ¿vale? 00:18:17
Le igualo a cero, lo voy hallando, ¿vale? 00:18:20
Y al hallarlo, pues resulta que tengo que hacer las dos. 00:18:24
Esta me va a salir negativo porque mi función está por debajo 00:18:30
y esta me va a salir positiva porque mi función está por arriba del eje x. 00:18:33
¿Cómo lo soluciono? Pues yo pongo aquí siempre valor absoluto, ¿vale? Valor absoluto, ¿de acuerdo? Me da igual que sea positivo o que sea negativo, porque el valor absoluto es el número positivo, es lo que os dije en clase, pon siempre valor absoluto y ya lo tienes solucionado. 00:18:37
¿Ves cómo esto me da más que 32 tercios? 00:18:57
Esto es mucho más que 32 tercios. 00:19:00
¿Por qué? 00:19:02
Porque aquí lo que he sumado son estas dos partes. 00:19:03
Ahora es que se me ha movido la parte en azul y la parte en verde. 00:19:07
Pero la parte en azul y la parte en verde la he sumado las dos en positivo. 00:19:11
Entonces, eso es lo que tenemos que tener en cuenta de aquí. 00:19:18
Lo que yo quiero que veas, a ver si soy capaz de encontrártelo. 00:19:22
todo esto 00:19:27
este ejercicio que la verdad que está 00:19:32
bastante bien, que son los 00:19:34
casos 00:19:36
esto de aquí 00:19:36
está bastante, bastante 00:19:41
bastante bien, entonces 00:19:43
¿qué ocurre? aquí, si te das cuenta 00:19:46
Lucía 00:19:48
en este de aquí, en el básico 00:19:49
aquí lo que me pide 00:19:52
aquí lo que me dice yo hayo el área 00:19:53
de esta función, ¿vale? 00:20:03
el área comprendida entre esta función y el eje o x. 00:20:04
¿Qué ocurre? Que yo hago los puntos de corte, 00:20:08
la igual a cero, veo los puntos de corte y tengo en x igual a cero, 00:20:13
en x igual a menos uno y en x igual a uno. 00:20:17
Claro, si yo hago la integral entre menos uno y uno del tirón, 00:20:21
me va a salir cero. 00:20:26
¿Por qué? Porque esta parte negra y esta parte negra son iguales. 00:20:27
Entonces, si yo hago la integral de esto, 00:20:31
Si yo hago la integral de x al cubo menos x entre menos 1 y 1, esto de aquí me sale 0, ¿vale? 00:20:33
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Pues nada, yo tengo esto de aquí, veo el signo de mi función, ¿de acuerdo? 00:20:43
Yo tengo aquí el menos 1, yo tengo aquí el 0 y tengo aquí el 1. 00:20:50
Y bueno, ¿y aquí por qué la tengo representada? 00:20:54
Pues que como yo la tengo representada yo sé que aquí es negativa, aquí es positiva, aquí es negativa y aquí es positiva. 00:20:56
Por lo tanto, yo hago el área entre menos 1 y 1, porque es la que está acotada realmente, porque esto se va a infinito y esto de aquí se va todo a infinito. 00:21:03
Entonces veo entre menos 1 y 1, pero ¿qué ocurre? 00:21:14
Que como me cambia el signo en el 0 y en el 0 se cambia de positivo a negativo, yo tengo que hacer la integral por partes. 00:21:18
Es decir, primero desde menos 1 a 0 y luego desde 0 a 1. 00:21:27
¿De acuerdo? 00:21:33
¿Qué es lo que ocurre? 00:21:35
Que desde menos 1 a 0, como mi función está aquí por encima del eje de las X, 00:21:36
entre el menos 1 y el 0, me sale positivo. 00:21:44
Pero aquí, en este lado de aquí, entre el 0 y el 1, has dicho, me sale menos 1. 00:21:48
Y un área nunca puede ser negativa. 00:21:54
Me sale negativa porque mi función está por debajo del eje de las X. 00:21:56
Este es el eje de las X. 00:22:01
Entonces yo me curo en salud, pongo valor absoluto y entonces ese más un medio se convierte en un medio. 00:22:03
¿Qué es lo que yo os digo siempre? Que pongáis en todos lados siempre valor absoluto. 00:22:09
Aquí no hace falta, pero si lo pones no pierdes nada. 00:22:14
¿Y aquí qué pasa? ¿Que me saldría valor absoluto de un medio? 00:22:19
¿Cuál es el valor absoluto de un medio? Pues un medio. 00:22:21
Y ahora al sumarlo los dos, pues me da una unidad cuadrada. 00:22:25
Entonces, lo que te digo, para que te cures en salud, siempre el área, ponlo como el valor absoluto de la integral de f de x diferencial de f. 00:22:30
Entonces, ¿qué me sale esto? Negativo, lo convierto en positivo. 00:22:43
¿Qué me sale positivo? Pues nada, el valor absoluto del número positivo es positivo. 00:22:47
Lo que sí tengo que tener en cuenta es ver si esta f de x me cambia el signo, porque si me cambia el signo, tengo que hacer lo que hacemos aquí, de hacerlo por parte. 00:22:51
En vez de hacerlo desde menos 1 a 1, que aquí fíjate como esto es un medio y esto es un medio, me saldría cero. 00:23:09
Es decir, si yo hago la integral entre menos 1 y 1 de x al cubo menos x, que lo dejo para que lo hagas tú, esto te tiene que salir cero. 00:23:18
¿Por qué? Porque esto es realmente menos un medio más un medio me sale cero. 00:23:30
Entonces, si yo tengo en cuenta que me cambia mi f de x el signo, 00:23:35
esto realmente, como se hace bien, es desde menos 1 a 0, 00:23:42
de x al cubo menos x, diferencial de x, más, desde 0 a 1, 00:23:46
de x al cubo menos x, diferencial de x. 00:23:53
Este de aquí, como entre menos 1 y 0 es positivo, me va a salir más 1 medio, 00:23:56
pero este de aquí me va a salir menos 1 00:24:04
¿pero qué es lo que hago? 00:24:07
hago siempre valor absoluto 00:24:10
valor absoluto de cada una 00:24:12
porque si yo hago aquí el valor absoluto 00:24:13
me va a seguir saliendo 0 00:24:17
pero aquí en cada una de las partes 00:24:19
hago valor absoluto 00:24:21
y entonces este menos 1 medio 00:24:22
se convierte en un medio positivo 00:24:25
y ya tengo un medio más un medio 00:24:27
que es igual a 00:24:30
¿de acuerdo? 00:24:31
échale un vistazo 00:24:32
mírate los casos 00:24:34
y si te sigue 00:24:36
resultando tal 00:24:37
me lo vuelves a preguntar 00:24:40
¿vale? 00:24:42
venga, un saludo 00:24:42
ánimo 00:24:43
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
5
Fecha:
14 de noviembre de 2026 - 14:03
Visibilidad:
Público
Centro:
IES PROFESOR ANGEL YSERN
Duración:
24′ 46″
Relación de aspecto:
1.94:1
Resolución:
1024x528 píxeles
Tamaño:
53.58 MBytes

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