Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Continuidad de funciones a trozos - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 4 de octubre de 2026 por Roberto A.

3 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Bueno, vamos a hacer otro ejercicio, de nuevo una función real de variable real, que son todas las que vamos a ver en este curso, y es una función definida a trozos. 00:00:00
Aquí tenemos una función polinómica, que es x al cubo, y aquí tenemos una función exponencial. 00:00:09
Tanto la función polinómica como la función exponencial son continuas, por lo tanto la suma de dos funciones continuas es otra función continua. 00:00:15
Lo que tenemos que ver aquí es que esa suma de funciones continuas como es x al cubo más 2 por e elevado a x, su dominio de definición son precisamente los números positivos, es decir, va desde menos infinito a cero pero abierto, cero con paréntesis porque el cero no está incluido. 00:00:25
Sin embargo, la segunda función, que es 2 partido de 3 más x, esta es una función racional y su dominio de definición es el 0, 00:00:44
cerrado porque está aquí al norte, hasta más infinito. 00:00:55
¿Qué es lo que ocurre? Que nosotros lo primero que tenemos que hacer es hablar del dominio, el dominio de f de x. 00:01:01
Vemos que era el primer trozo, que es x al cubo más 2 elevado a a elevado a x, 00:01:07
como hemos dicho, es la suma de una función polinómica y una función exponencial, 00:01:15
por lo tanto, es una función continua en todo su dominio, 00:01:19
y esta función racional del único sitio donde vamos a tener problemas 00:01:22
serían aquellos valores que anulan el denominador, 00:01:26
por 0, y resulta que es x igual a menos. 00:01:32
¿Pero qué ocurre? Que precisamente el menos 3 no pertenece, 00:01:37
es decir, el menos 3 no pertenece, 00:01:41
se pone así, una vez como el euro y se tacha, 00:01:45
al intervalo 0 más infinito. Y esto es una buena noticia. ¿Por qué? 00:01:48
Porque esto lo que hace es que mi dominio sea todo el dominio. 00:01:52
Esto efectivamente me afecta también a la 00:01:57
continuidad, porque si yo aquí, lo voy a poner en colorado y ahora lo borro, si esto 00:02:00
de dominio de definición, en vez de ser x menor que 0, fuese x menor que menos 4, y 00:02:05
aquí fuese x mayor o igual que menos 4, yo la continuidad, el dominio ya sería todos 00:02:12
los reales menos 1. Por lo tanto, yo la continuidad en este caso de aquí, en este caso hipotético 00:02:18
de que un x fuese menos 4 y menos 4, pues yo tendría que estudiar la continuidad tanto en el menos 4 como en el x, ¿de acuerdo? 00:02:25
Aquí, pues como el dominio son todos los reales, únicamente voy a estudiar la continuidad en el x igual a x, ¿de acuerdo? 00:02:35
Entonces, siempre que empezamos este tipo de ejercicio y nos pregunta por la continuidad, pues hacemos la definición. 00:02:43
Una función f de x es continua en un punto x igual a, si y solo si, el límite de f de x cuando la x tiende a a, ¿de acuerdo? 00:02:51
Tiene que ser igual a f de x, ¿de acuerdo? 00:03:12
Entonces, ¿dónde lo vamos a estudiar? Pues únicamente en x igual a 0. 00:03:16
Y en x igual a 0 tenemos que tener claro por qué es donde se separan las fronteras entre los dos trozos en los cuales está definida la función. 00:03:19
Pues nada, hablemos de los límites laterales. 00:03:29
Hacemos los límites laterales. 00:03:32
¿Cuál es el límite de f de x? 00:03:41
El límite de f de x cuando x tiende a 0 a la izquierda. 00:03:44
Pues fijarse que el 0 a la izquierda está definido aquí. 00:03:49
Por lo tanto, es el límite de x al cubo más 2 por e elevado a, cuando x tiende a 0. 00:03:52
¿Qué tengo que hacer? Sustituir 0 al cubo más 2 por e elevado a 0. 00:04:03
Es decir, donde haya una x, sustituyo el 0. 00:04:10
0 al cubo, esto es un 0, y e elevado a 0 es 1. 00:04:13
¿De acuerdo? Entonces esto es 0 más 2 por 1, que esto es 1. 00:04:19
Cualquier potencia elevada a 0 es 1. 00:04:26
Si tenéis duda, pues lo ponéis en la cálcula. 00:04:30
Y el límite de f de x cuando x tiende a 0 por la derecha es igual al límite. 00:04:34
A mí aquí siempre me gusta poner para el principio. 00:04:40
x tiende a 0 por la derecha es igual a 2 partido de 3 más x. 00:04:42
Si yo esto lo sustituyo, ¿qué me sale? 2 tercios. 00:04:50
¿Qué es lo que observamos? 00:04:54
Que el límite por la izquierda es 2 y por la derecha es 2 tercios. 00:04:55
Entonces, como límite de f de x cuando x tiende a 0 por la izquierda es igual a 2, 00:05:01
que es distinto de 2 tercios, que es igual al límite de f de x cuando x tiende a cero por la derecha, 00:05:10
yo tengo la potencia de decir que no existe el límite de f de x cuando x tiende a cero. 00:05:20
Al ser los límites laterales no es distinto, pues no existe el límite. 00:05:30
¿Puedo calcular el salto? Pues sí. 00:05:35
el salto, que sería 00:05:37
2 menos 2 tercios, todo ello en valor absoluto. 00:05:41
¿Y esto qué es? 4 tercios. ¿Es un valor 00:05:45
finito de 4 tercios? Pues sí. Entonces, ¿qué ocurre? Pues que yo tengo 00:05:49
aquí la potencia ya de decir que f de x 00:05:53
presenta en x igual a 0 00:05:57
una discontinuidad de salto 00:06:02
finita, de acuerdo 00:06:12
ya que estamos 00:06:20
voy a aprovechar y voy a hacer 00:06:22
este mismo ejercicio 00:06:24
de acuerdo, pero aquí 00:06:26
vale, aquí lo que voy a 00:06:29
poner es un 00:06:32
menos 4 00:06:33
no se si me va a dejar algo 00:06:34
a ver si me deja aquí, cachar esto 00:06:37
no me da 00:06:41
que coraje 00:06:42
problema del directo, vamos a ver 00:06:44
no me da, bueno 00:06:47
Pues sería realmente f de x es igual a x al cubo, f de x es igual a x al cubo más 2 por e elevado al cubo. 00:06:49
Si x es menor que menos 4 y 2 partido de 3 más x, si x es mayor o igual que 4. 00:07:13
el cepillo, esto, y todo hecho de aquí, 2, esta sería otra función, ¿vale? De hecho lo voy a llamar gd, gd, es igual, lo único, el adeante, lo único que ahora es menos 4, ¿cuál sería aquí el dominio? 00:07:24
voy a utilizar el azul para la 00:08:01
pues aquí que ocurre 00:08:03
es que ahora sí 00:08:06
aquí 3 más x que lo vimos antes 00:08:06
resulta que x es igual a menos 3 00:08:09
y el menos 3 00:08:11
sí que pertenece a este 00:08:13
el valor 00:08:15
que es en su dominio de definición 00:08:16
entonces que ocurre 00:08:19
es que ahora sí 00:08:21
el dominio de f de x 00:08:21
de g de x 00:08:25
perdón 00:08:27
el dominio de f de x que son 00:08:27
Todos los reales menos el menos 3. 00:08:31
¿Por qué? Porque me afecta a este intervalo. 00:08:35
Entonces, ¿dónde vamos a estudiar la continuidad? 00:08:41
De nuevo, no tenemos que saber de memoria. 00:08:44
Una función f de x es continua. 00:08:49
Es continua. 00:08:54
Es igual a, si solo si, el límite. 00:08:55
f de x cuando x tiende a a es igual a f de a. 00:09:03
¿Dónde vamos a estudiar la continuidad? 00:09:07
Pues primero lo vamos a estudiar en x igual a menos 2. 00:09:10
Límite de f de x. 00:09:17
Hacemos los límites de la punta. 00:09:19
Todo lo que expliqué es bienvenido, señor. 00:09:24
Límite de f de x, cuando x tiende a menos 4 por la izquierda, 00:09:31
tenemos que coger la de la punta. 00:09:35
Y x al cubo más 2 por el lado a x. 00:09:38
Cuando x tiende a menos 4, a la izquierda. 00:09:42
¿Y esto qué es? 00:09:48
Esto es menos 4 al cubo más 2 por e elevado. 00:09:49
Esto es menos 64 más 2 partido de a la 4. 00:09:59
Un valor que lo queréis. 00:10:05
¿De acuerdo? 00:10:07
Porque ocurre ahora que el límite de f de x cuando x tiende a 4 por la derecha 00:10:08
es precisamente el límite de dos partidos de 3 más x, cuando x tiende a menos 4 por la izquierda. 00:10:15
¿Y esto qué es? Esto es dos partidos de menos 1, que es 1. 00:10:25
Y esto ni por asomo es igual. 00:10:32
¿De acuerdo? Entonces, ¿cómo? 00:10:34
como el límite de f de x cuando x tiende a menos 4 por la izquierda 00:10:36
es igual a menos 64 más 2 partido de e a la cuarta. 00:10:48
Y ya os digo yo que es distinto de menos 2 si no lo hacéis en la calculadora. 00:10:54
Es igual al límite de f de x cuando x tiende a menos 4 por la derecha. 00:10:58
Entonces, no existe el límite de f de x cuando x tiende. 00:11:05
Y no existe el límite que ocurre, que puede ser una discontinuidad de sarto finito o de sarto infinito. 00:11:14
Esto de aquí es un valor finito y esto de aquí es otro valor finito. 00:11:21
Como ambos son valores finitos, pues entonces yo qué puedo decir. 00:11:30
que f de x es en x igual a menos 4, 00:11:34
y vamos a estudiar ahora la continuidad en x igual a menos 4. 00:11:49
Fijaros que yo en principio hago el límite de f de x 00:12:17
cuando el x tiende al menos 3 00:12:23
el menos 3 está en este intervalo 00:12:26
entonces si yo hago la recta real 00:12:30
aquí el menos 4 y aquí el menos 3 00:12:33
como esto tiende al menos 3 00:12:37
son los valores muy próximos 00:12:40
serían estos de aquí y estos de aquí 00:12:42
por lo tanto yo lo que tengo que coger 00:12:45
únicamente es esta función 00:12:48
de dos partidos 00:12:51
y lo que hago es decir 00:12:55
y aquí que ocurre 00:13:01
voy a tener dos partidos de cero 00:13:03
es una determinación 00:13:05
y como es del tipo 00:13:08
que es igual a cero, hay que hacer los límites 00:13:12
pues nada 00:13:14
hacemos el límite 00:13:29
de x cuando 00:13:31
x cuando x tiende 00:13:38
x tiende 00:13:42
y esto yo ya sé 00:13:47
que va a dar 2 a la izquierda 00:13:53
y lo que ocurre es menos 3 a la izquierda 00:13:55
que es menos 4 00:13:59
y 3 menos 4 es 3 00:14:00
por lo tanto 00:14:03
menos 5 00:14:04
y esto es el límite 00:14:06
cuando se extiende 00:14:09
menos 3 a la derecha 00:14:10
2 partido de 3 a la izquierda 00:14:12
donde yo también sé 00:14:14
que esto va a dar 2 partido de 0 00:14:16
en este caso es más, ¿por qué? 00:14:19
porque 3, el menos 3 a la derecha sería el menos 2 00:14:21
3 menos menos 2 es 1, que es positivo 00:14:24
son valores finitos 00:14:28
no existe el límite 00:14:33
f de x cuando x tiende a 3 00:14:36
no existe el límite 00:14:41
¿y entonces qué puede ser? 00:14:43
una discontinuidad de salto finito 00:14:45
como esto no es 00:14:47
un valor finito 00:14:51
no es un valor finito 00:14:52
ni este ni este 00:14:54
¿de acuerdo? 00:14:57
yo que puedo decir 00:14:58
que f de x 00:15:00
presenta 00:15:01
en x igual a 00:15:04
menos 3 00:15:07
una discontinuidad 00:15:07
de salto 00:15:14
infinito 00:15:20
¿de acuerdo? espero que os haya servido 00:15:24
Valoración:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
Eres el primero. Inicia sesión para valorar el vídeo.
Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
3
Fecha:
4 de octubre de 2026 - 10:40
Visibilidad:
Público
Centro:
IES PROFESOR ANGEL YSERN
Duración:
15′ 33″
Relación de aspecto:
1.94:1
Resolución:
1024x528 píxeles
Tamaño:
35.22 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

Comentarios

Para publicar comentarios debes entrar con tu nombre de usuario de EducaMadrid.

Comentarios

Este vídeo todavía no tiene comentarios. Sé el primero en comentar.


EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid