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Continuidad de una función - Contenido educativo

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Subido el 4 de octubre de 2026 por Roberto A.

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Buenas, vamos a realizar este ejercicio que es bastante sencillo. 00:00:01
Tenemos que ver, dada una función real de variable real, 00:00:06
que está definida a trozo, tenemos que estudiar la continuidad. 00:00:10
Si os fijáis, aquí no me dice que estudie la continuidad en un punto concreto. 00:00:12
Entonces nosotros tenemos que fijar en las funciones a trozo. 00:00:17
Esto es una función polinómica, esto es una parábola. 00:00:21
Toda función polinómica es siempre continua y esto es súper importante. 00:00:23
Una función polinómica siempre es continua, y eso es muy importante, siempre es continua. 00:00:27
Si fuera racional, tendríamos que ver en el denominador dónde se hace 0 y tenemos que ver si nos afecta en su dominio de definición. 00:00:42
Este intervalo sabemos que es desde menos infinito a menos 1 abierto. 00:00:52
Este de aquí, que es la función identidad, la función f de x igual a x, 00:00:58
esto está definido entre menos 1 cerrado y 1 abierto. 00:01:04
Y esto, que es otra parábola, esta es una parábola hacia abajo, 00:01:08
porque el término en a es negativo, es desde 1 incluido hasta más infinito. 00:01:11
Por lo tanto, como las tres funciones a trozos son polinómicas, 00:01:19
Estas tres funciones son polinómicas porque, efectivamente, al ser polinómicas son continuas, 00:01:24
nosotros donde tenemos que ver la continuidad es en x igual a menos 1 y en x igual a menos 1. 00:01:30
Entonces, siempre, siempre que empecemos un ejercicio de continuidad, tenemos que poner la definición. 00:01:35
Una función f de x es continua en x igual a, si y solo si, el límite de f de x cuando x tiende a es igual a f de a. 00:01:43
Y esto es súper importante y no es complicado. 00:02:06
Entonces, ¿dónde vamos a estudiar la continuidad? Lo vamos a estudiar en x igual a. 00:02:10
Tenemos que hacer los límites laterales, puesto que el menos 1 a la izquierda está definido aquí y menos 1 a la derecha está definido en este trozo, pues nosotros tenemos que hacer los límites laterales. 00:02:14
Entonces hacemos el límite de f de x cuando x tiende a menos 1 a la izquierda y si nos fijamos tenemos que coger esta de la derecha porque está el menos 1 hacia la derecha que está incluido aquí en el x cuadrado. 00:02:28
Menos 2x. Este ejercicio es muy sencillo, pero es básico para saber hacer los ejercicios de continuación. 00:02:44
Sustituimos y tenemos menos 1 al cuadrado menos 2 por menos 1. 00:02:51
Esto ya vale, es 1 más 2, que es igual. 00:02:57
Vamos a hacer el límite ahora de f de x cuando x tiende a menos 1 hacia la derecha. 00:03:02
Y esto aquí es igual al límite de x, uno a la derecha, justo está definido aquí en x, cuando x tiende a menos uno. 00:03:09
¿Y esto qué es menos uno? 00:03:20
Fijaros que menos uno es distinto de tres, como los límites laterales. 00:03:22
Como el límite de f de x cuando x tiende a menos 1 a la izquierda es igual a 3 00:03:27
Que es distinto de menos 1 que es igual al límite de f de x cuando x tiende a menos 1 hacia la derecha 00:03:38
Como los límites laterales son distintos directamente no existe el límite de f de x 00:03:48
cuando x tiende a menos 1, ¿de acuerdo? No existe. 00:03:56
Pero ¿qué ocurre? Que el salto, ¿cuánto vale? 00:04:00
El salto vale el valor absoluto de 3 menos menos 1, 00:04:03
es decir, el salto vale 4. 00:04:09
Este salto es finito, por supuesto. 00:04:12
Entonces, ¿qué tenemos que decir? 00:04:15
Pues que f de x presenta en x igual a menos 1, 00:04:16
una discontinuidad 00:04:26
una discontinuidad 00:04:29
de salto finito 00:04:33
de salto finito 00:04:37
¿de acuerdo? 00:04:41
entonces siempre es lo mismo 00:04:44
y en este caso es súper sencillo 00:04:45
tenemos tres funciones a trozos 00:04:47
una función pero una definida a trozos 00:04:49
donde cada trozo es una función polinómica 00:04:51
por ser una función polinómica 00:04:53
siempre es continua 00:04:55
entonces donde tenemos que ver 00:04:56
las discontinuidades es 00:04:58
en cada una de las separaciones de la frontera, en este caso en menos 1 y en el 1. 00:05:01
Hacemos el límite lateral de la izquierda de menos 1, que me sale 3, 00:05:06
hago eso y no hago otra cosa, y luego por la derecha me sale distinto. 00:05:12
Los dos son, por lo tanto, no existe, al ser distinto no existe el límite, 00:05:18
pero lo que sí tenemos claro es que al ser los dos límites laterales finitos, 00:05:22
la discontinuidad es de salto finito. 00:05:26
Vamos a hacer ahora el estudio para x igual a 1. 00:05:29
Entonces, ahora en x igual a 1, hacemos igual. 00:05:38
Hacemos el límite de f de x cuando x tiende a 1 por la izquierda. 00:05:42
Y es igual al límite, fijaros, el límite de 1 por la izquierda es esta función de aquí. 00:05:50
Es decir, el límite de x cuando x tiende a 1 por la izquierda. 00:05:56
Sustituimos y es 1. 00:06:01
Cosas importantes. Fijaros, aquí aparece la x, ¿verdad? 00:06:03
Si aparece aquí la x, yo tengo que poner la palabra. 00:06:07
Y ya no me aparece la x, entonces aquí ya no tiene sentido ninguno poner la palabra. 00:06:11
Bueno, vamos a seguir al hacer el límite de f de x cuando x tiende a 1 por la derecha. 00:06:18
Hacemos el límite cuando x tiende a 1 por la derecha y recordamos, esto es desde menos 1 a 1, está abierto. 00:06:26
El 1 por la izquierda está aquí, sin embargo, este de aquí abajo es el 1 incluido más infinito y el 1 por la derecha, pues entonces tenemos que sustituir. 00:06:37
sustituimos, y como ya sustituimos tened mucho cuidado 00:06:50
aquí pasa una cosa, aquí el cuadrado 00:06:54
no afecta al signo 00:06:58
el cuadrado no afecta al signo 00:07:01
no afecta al signo, y esto es un error 00:07:06
muy común, es decir, menos x cuadrado es distinto 00:07:11
de menos x al cuadrado, ¿vale? 00:07:15
Entonces, esto que es un menos, aquí, 1, 1 al cuadrado. 00:07:18
Si os fijáis, siempre que yo sustituyo, pongo el signo entre paréntesis. 00:07:21
Es una recomendación que yo hago. 00:07:26
1 al cuadrado, ¿cuánto es? 00:07:30
es 1, pues resulta que es 1. Fijaros que aquí los límites sí que coinciden, entonces, como el límite de f de x cuando x tiende a 1 por la izquierda es igual a 1, 00:07:31
que es igual a 1, que es igual al límite de f de x cuando x tiende a 1 por la derecha, 00:07:51
pues entonces yo sí que tengo la potestad de decir que existe el límite de f de x cuando x tiende a 1 y es igual a 1. 00:07:59
Como existe un límite y en fin es finito, pues ¿qué ocurre? 00:08:11
Es decir, que yo aquí tengo dos posibilidades. 00:08:15
Yo aquí, la función puede ser continua o puede ser una discontinuidad evitada 00:08:18
por el simple hecho de existir el límite y de ser finita. 00:08:25
Volvemos a la definición. 00:08:33
Cuando una función es continua en x igual a a, 00:08:34
cuando el límite de f de x cuando x tiende a es igual a f. 00:08:37
¿Qué es lo que tenemos que ver? 00:08:42
Pues, ¿existe f de 1? Pues vamos a ver, porque aquí es lo que nos va a discernir entre una continuidad y una discontinuidad. 00:08:44
Entonces, fijaros, f de 1, ¿cuál es el donde existe el 1? 00:08:56
¿De acuerdo? Entonces, f de 1, voy a enseñar en azul, f de 1, que es menos 1 al cuadrado más 2 por 1, que es esto que ya lo habíamos resuelto aquí, dado. 00:09:01
Por lo tanto, ¿qué ocurre? Que el límite f de x cuando x tiende a 1 es igual a 1 que es igual a f de 1. 00:09:19
Y yo ahora, ¿qué ocurre? 00:09:30
Como existe f de 1 y además es igual al límite, ya no es una discontinuidad habitable, 00:09:32
sino que f de x es continua en x igual a 1, ¿vale? 00:09:37
Espero que haya servido, si tenéis cualquier duda, pues me lo preguntáis. 00:09:48
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
6
Fecha:
4 de octubre de 2026 - 10:12
Visibilidad:
Público
Centro:
IES PROFESOR ANGEL YSERN
Duración:
09′ 54″
Relación de aspecto:
1.94:1
Resolución:
1024x528 píxeles
Tamaño:
23.17 MBytes

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