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Continuidad y asíntotas de una función - Contenido educativo

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Subido el 4 de octubre de 2026 por Roberto A.

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En este ejercicio vamos a estudiar varias cosas. Primero, el dominio de la función. 00:00:00
¿Cuál sería el dominio de esta función? Vemos que es una función racional, por lo tanto una función racional tenemos una fracción, 00:00:06
es una división y lo que no sabemos dividir es por cero. Por lo tanto, el dominio de f de x, ¿cuál va a ser? 00:00:13
Pues lo que hacemos es x cuadrado más x menos 2 lo igualamos a cero. Aplicamos la ecuación de segundo grado, 00:00:21
que es menos b, en este caso menos 1, más menos b al cuadrado que es 1, menos 4 por a y por c, que al final aquí es 8, partido de 2a, esto que es menos 1, menos 3, partido de 2, esto es 3 menos 1 es 2, 2 entre 2 es 1, y menos 1 menos 3 es menos 4 medios, que es igual a, es decir, en 1 y en menos 2 me hacen 0. 00:00:28
Lo que yo siempre os recomiendo es que lo sustituyan, por si nos hemos equivocado. 00:00:57
1 al cuadrado es 1, más 1 es 2, 2 es 2, 2 es 2, menos 2 al cuadrado, tened cuidado que menos 2 al cuadrado, este cuadrado afecta a la x, por lo tanto es menos, es 4. 00:01:02
Y luego más menos 2 es menos 2, 4 menos 2 es un 2, 2 menos 2 es un 0. 00:01:14
¿Esto qué ocurre? Pues que el dominio de x son todos los reales menos el minuto 2 y el 1. 00:01:20
Siempre se pone el más chico, ¿de acuerdo? 00:01:31
Y nosotros ahora lo que vamos a hacer es la continuidad. 00:01:35
Entonces, al hacer la continuidad, a ver, la continuidad, mejor dicho, nosotros lo tenemos que ver en estos dos puntos, ¿de acuerdo? Siempre empezamos con la definición de continuidad. 00:01:42
La función es continua en un punto x igual a 1, y solo si el límite de f de x, el límite de f de x, cuando x tiende a, es igual a x. 00:01:57
Entonces, vamos a estudiar la continuidad en x igual a 1. 00:02:22
X igual a 1, tengo que hacer los límites laterales, lo que hacemos es, y ahora que ocurre, pues hacemos el límite de todo esto, que es X cuadrado menos 1, partido de X cuadrado más X, y todo ello cuando es X igual a 1, 00:02:27
¿Y qué ocurre? Que si yo sustituyo, ¿qué obtengo aquí? Un cero. 00:02:52
Uno al cuadrado es uno, uno menos uno es cero, y aquí ya lo hemos dicho. 00:02:58
¿Qué es lo que ocurre? Que esto es una indeterminación, y el cero resulta que es, lo diré, que el cero es raíz de los dos por igual. 00:03:02
Si x cuadrado menos 1 es igual a 0, sabemos que x cuadrado es igual a 1, x es igual a más menos la raíz de 1, es decir, x es igual a más menos. 00:03:15
¿Qué ocurre? Pues que yo x cuadrado menos 1, que es una identidad no potable, lo puedo poner como x menos 1 por x menos 1. 00:03:29
Y luego ya sabíamos también que x al cuadrado más x menos 2, esto ha quedado igual a x menos 1 por x menos 2. 00:03:39
Recordad que siempre esto es del tipo x menos a, por lo tanto sería x menos 1, x menos menos 2, x menos 1. 00:03:50
¿Qué es lo que ocurre entonces? 00:03:58
Que el límite de x al cuadrado menos 1 partido de x al cuadrado más x menos 2, 00:04:00
cuando x tiende a 1, esto es igual al límite de x menos 1 por x más 1 partido de x menos 1 por x menos 1. 00:04:11
La palabra límite siempre la arrastra para que esté la x, con lo cual la x vale 1, o sea, aproxima mucho, por lo tanto esto nunca va a ser 0, pero lo que sí tengo claro es que y esto van a ser iguales y lo puedo echar. 00:04:24
Entonces, ¿qué ocurre? Esto es límite cuando x tiende a 1 de x más 1 partido de x más 2. 00:04:39
¿Y esto qué es? Pues fíjate, 1 más 1 es 2, 1 más 2 es 2, es decir. 00:04:47
¿He tenido que hacer los límites laterales? No, los límites laterales únicamente se hacen cuando yo tengo una indeterminación del tipo k partido de 0 o tengo una función de afinidad. 00:04:53
Entonces, ¿qué ocurre? Que existe el límite f de x cuando x tiende a 1 y vale 2 tercios. 00:05:05
¿Y esto qué ocurre? Pues esto, si existe el límite y encima un valor finito, pueden ocurrir dos cosas. 00:05:16
O que sea continua o que sea una discontinuidad. 00:05:24
Primero que esta parte de aquí ya la cumplimos con esta logía. 00:05:29
Es decir, existe el límite f de x cuando x es 1. 00:05:33
¿Pero existe f de a? ¿Existe f de 1? 00:05:36
No, pues no existe, ¿por qué? Porque 1 no pertenece a la unidad. 00:05:43
Por lo tanto, como existe el límite, pero no existe, es decir, existe el límite de f de x cuando x tiende a 1, 00:05:48
que es igual a 2 tercios, que es distinto de f de 1, que no existe, 00:05:59
entonces f de x presenta en x igual a 1 00:06:07
una discontinuidad evitable. 00:06:15
¿Está claro? 00:06:28
¿Por qué? Porque existe el límite. 00:06:29
No he tenido que hacer los límites laterales. 00:06:31
Es una indeterminación del tipo 0 partido de 0 00:06:34
que no se convierte en 2 tercios. 00:06:38
Pero lo que sí tengo muy claro es que no existe f de 1. 00:06:39
¿Por qué? Porque f de 1 me anula el denominador 00:06:44
y no se divide 00:06:47
ahora vamos a hacer 00:06:48
en x igual a 00:06:52
y hacemos en x 00:06:55
igual a 00:07:02
tengo que hacer los límites laterales 00:07:02
no lo sé 00:07:09
vamos a hacer el límite 00:07:10
de f de x cuando x tiende a menos 2 00:07:12
y que es lo que 00:07:16
ocurre que es el límite 00:07:17
de x cuadrado 00:07:19
menos 1 partido 00:07:21
x cuadrado más x 00:07:23
menos 2 00:07:25
x tiende a menos 2 00:07:26
aquí podríamos utilizar 00:07:28
tanto esta 00:07:30
esto de aquí 00:07:31
como esta que está reducida 00:07:35
también la podríamos utilizar 00:07:39
es indistinto 00:07:42
en los dos casos estaría 00:07:44
estaría 00:07:45
vale 00:07:47
entonces esto sería el límite 00:07:48
cuando x tiende a menos 2 00:07:51
perdón, ya voy a sustituir 00:07:53
ya voy a sustituir, no pongo la palabra 00:07:55
menos 2 al cuadrado es 4 00:07:57
4 menos 1 00:08:00
y abajo yo sé que es un sí 00:08:01
¿por qué? porque yo no había 00:08:03
no he forzado que el determinado sea igual a 0 00:08:05
no sabía que era 0 en el 1 y en el 2 00:08:09
entonces esto es una indeterminación 00:08:12
una indeterminación del tipo 00:08:15
partido de 0 00:08:17
entonces hay que hacer 00:08:19
los 10 veces 00:08:22
ahora vamos al tema 00:08:30
Límite de f de x cuando x tiende a menos 2 por la izquierda, igual a un límite, fijaros 00:08:34
que aunque sea engorroso, es copiar, es copiar todo, x tiende a menos 2 por la izquierda, 00:08:45
bien, si quiero, hago por la derecha y si yo fijo, es copiar, y tengo un número por 00:08:52
a la derecha de x cuadrado, un partido de x cuadrado más x menos 2. 00:09:03
Y aquí yo sé que me va a salir un 3 partido de 0. 00:09:09
Y yo aquí también sé que me va a salir un 3 partido de 0. 00:09:12
Pero ¿qué es lo que tengo que saber yo aquí? 00:09:23
Precisamente, el signo de ese signo. 00:09:25
Entonces, si yo me voy a menos 2 por la izquierda, es menos 3. 00:09:28
Menos 3 al cuadrado es 9, y 9 menos 3. 00:09:32
6-2 es 4, por lo tanto este es positivo, más entre más es menos 5. 00:09:36
Y aquí, menos 2 a la derecha sería el menos 1, 1 para 1, 1-1 sería 0, menos 2, esto es negativo, por lo tanto este es menos 5. 00:09:43
¿Qué ocurre? Que no existe el límite de f de x cuando x tiende a menos 2. 00:09:55
Si no existe el límite, ¿qué ocurre? 00:10:04
Puede ser una discontinuidad de salto finito o de salto infinito. 00:10:05
Como uno de los dos, en este caso son los dos, son valores infinitos, no son valores finitos, 00:10:09
entonces f de x es mx igual a menos 2, una discontinuidad de salto infinito. 00:10:15
Si me preguntan por la discontinuidad, pongo esto. 00:10:42
Pero es que el apartado C de este ejercicio es estudiar las asíntotas, estudiar las asíntotas. 00:10:44
Ya que estamos aquí, pues ¿qué ocurre? ¿Qué tengo en el x-2? ¿Esto qué es? ¿Qué tengo en el x-2? 00:10:57
Pues yo las asíntotas, precisamente las voy a mirar en los valores de las asíntotas verticales, 00:11:06
verticales, asíntotas verticales, las estudiamos en los valores que no pertenecen al dominio. 00:11:13
Los valores que no pertenecen al dominio. Es decir, en el 1 y en el menos 2. Pero es que yo ya he 00:11:25
estudiado los límites. Estudiando la continuidad, también puedo yo ya saber si hay asíntotas 00:11:40
vertical o no. ¿En el x igual a 1 hay una asíntota vertical? Pues no, no hay una asíntota 00:11:51
vertical. Existe el límite, que es 2 tercios, pero no existe la función de la discontinuidad 00:11:56
habitable. No hay asíntota. ¿Pero qué ocurre en x menos 2? En x menos 2, precisamente 00:12:02
vemos que uno se va a más infinito y otro a menos infinito. Por tanto, lo que podemos 00:12:08
a hacer aquí es indicar según lo estudiado estudiado 00:12:15
de continuidad de continuidad igual a menos dos hay una asiento de verticales y la uve 00:12:27
así en total 20 está de acuerdo porque el estudio si os fijáis es exactamente el 00:12:48
mismo. ¿Vale? En x menos 1 00:12:54
ya no tenemos que hacerlo, es una discontinuidad 00:12:56
habitable, no hay una asíntota vertical. 00:12:58
En x igual a 1, perdón, y en x 00:13:00
igual a menos 2, ya hemos hecho el estudio 00:13:02
en la continuidad, nos sirve para una asíntota 00:13:04
y hay una asíntota 00:13:06
¿De acuerdo? 00:13:07
Entonces, vamos 00:13:10
a ir ahora a las asíntotas 00:13:12
horizontales. 00:13:14
¿Qué es para? 00:13:18
Asíntotas verticales. 00:13:23
Las asíntotas verticales. 00:13:24
Perdón, las asíntotas 00:13:26
siempre, siempre, siempre 00:13:28
lo que se hace es el límite 00:13:34
y este de x 00:13:37
cuando a más infinito 00:13:39
y el límite 00:13:42
cuando a 00:13:44
y ahora lo vuelvo a hacer los dos a la vez 00:13:48
para que veáis la diferencia 00:13:53
entre el límite y el punto 00:13:56
cuando a más infinito 00:14:01
Y estoy copiando todo lo mismo. 00:14:02
Y pasar de edad es que abajo es cuando x tiende a menos infinito. 00:14:08
¿Qué voy a aplicar aquí, chavales? 00:14:15
Pues que el límite de f de x cuando x tiende a menos infinito es igual al límite cuando x tiende a más infinito que lo de f de menos x. 00:14:17
entonces aquí es el límite 00:14:30
cuando x tiende a más infinito 00:14:34
y ahora donde haya una x con índice impar 00:14:36
le cambio el signo 00:14:40
esta x de índice par lo dejo igual 00:14:42
aquí el menos uno lo ves igual porque no tiene 00:14:45
x al cuadrado lo ves igual 00:14:47
esto es menos x y esto es menos 00:14:50
y aquí pues ya directamente 00:14:52
esto es un infinito partido de infinito 00:14:57
Pero esto también es un infinito partido de infinito. 00:14:59
¿Tienen el mismo grado? 00:15:01
Tienen el mismo grado. 00:15:03
Les fijo en los coeficientes que tiene W. 00:15:04
Entonces, es 1 y aquí también es 1. 00:15:07
Entonces, ¿qué ocurre? 00:15:11
Pues que existe asíntota horizontal, donde, y aquí es muy importante, en i igual a 1. 00:15:12
¿Vale? 00:15:20
Y ahora, ¿qué ocurre? Al existir asíntota horizontal, no existe, no existe, no existe, que es lo mismo, asíntota horizontal. 00:15:20
Este ejercicio es muy completo y lo que quiero que veáis un poco es qué es lo que hemos hecho. 00:15:38
Hemos estudiado el dominio, que sería el estado A. 00:15:44
Hemos estudiado la continuidad del dominio, si es una función racional, si es igual a cero, vemos los dos valores que es. 00:15:47
En este caso, el denominador que nos da el menos 1 y estudiamos la continuidad. 00:15:52
No vamos a estudiar la continuidad, porque siempre tenemos que poner la definición de continuidad en aquellos puntos que no pertenecen al término, al 0. 00:15:57
Entonces, si es igual a 1, observamos que tenemos un determinación del tipo 0 partido de 0, 00:16:05
con lo cual se va más el término y resulta que tenemos un número, un pílito. 00:16:12
Entonces, existe el límite, el límite de f de x cuando x tiene 1 de 2 tercios, 00:16:17
y esto ya nos implica dos cosas, ya descartamos los arcos, ¿vale? 00:16:23
Existe el límite y por lo tanto o es continua o una discontinuidad. 00:16:27
¿Qué ocurre en este de 1? Que no existe. 00:16:31
Entonces existe el límite, pero no existe el valor de la función en 1, 00:16:33
por lo tanto presenta una discontinuidad. 00:16:37
Sin embargo, en x igual a menos 2, al hacer el límite obtenemos una indeterminación, 00:16:40
en este caso prestativo de 0, es decir, el tipo k partido de 0, 00:16:44
por lo cual tenemos que hacerlo al límite lateral. 00:16:47
Hacemos los límites laterales y observamos que 1 es infinito 00:16:49
y otro número infinito. 00:16:53
No siempre va a dar uno más infinito y otro menos infinito. 00:16:54
Puede ocurrir que sean los dos más infinitos 00:17:00
o los dos menos infinitos. 00:17:02
En tal caso no existe el límite, ¿de acuerdo? 00:17:04
Y entonces hay una discontinuidad exacta. 00:17:08
Infinito. 00:17:10
Ahora, al estudiar las asíntotas, pues, 00:17:11
si no tenemos que estudiar este tipo, 00:17:14
fijaros que no tenemos que realizar todo el estudio anterior. 00:17:17
A priori, fíjate, todo lo que hemos hecho en la continuidad, x igual a 1 y x igual a menos 2, 00:17:20
me sirve precisamente en este caso para las asíntotas verticales. 00:17:26
Veremos que existe una asíntota vertical en x igual a 1. 00:17:31
Las horizontales, pues siempre ejerciendo el límite de menos infinito y menos infinito. 00:17:36
Tenemos que al tener una función racional con el mismo grado nos quedamos con los coeficientes 00:17:41
y observamos que existe el asíntota horizontal en mi igualad. 00:17:47
Y al existir asíntota horizontal, pues no existe asíntota. 00:17:51
Este ejercicio es muy completo y echadle un vistazo y como siempre, si tenéis cualquier duda, pues nos escribimos. 00:17:55
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
4 de octubre de 2026 - 11:18
Visibilidad:
Público
Centro:
IES PROFESOR ANGEL YSERN
Duración:
18′ 05″
Relación de aspecto:
1.94:1
Resolución:
1024x528 píxeles
Tamaño:
38.58 MBytes

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