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Ficha Guardia Ej 2 extra - Contenido educativo

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Subido el 15 de noviembre de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Aunque no venía en la ficha, vamos a hacer un apartado extra, 00:00:00
que es calcular la curvatura y los puntos de inflexión, 00:00:04
que es lo único que nos falta de todo lo que hemos visto en este tema. 00:00:07
Entonces, para calcular la curvatura, 00:00:12
la curvatura es ver cuándo una función es cóncavo o convexa, 00:00:14
y los puntos de inflexión es dónde cambia de cóncavo a convexo. 00:00:17
Entonces, aquí a la derecha, 00:00:22
sigo teniendo lo mismo que hemos escrito antes, 00:00:23
para saber el dominio, que es continua, 00:00:26
la sincronización vertical y la derivada primera. 00:00:29
Para calcular la curvatura y los puntos de inflexión, 00:00:31
recordad que os dije que se hace lo mismo que hemos hecho con la derivada primera, 00:00:35
pero con la derivada segunda. 00:00:39
Luego lo que necesito calcular en primer lugar es la derivada segunda. 00:00:41
Derivada segunda de x es una función racional. 00:00:45
En el numerador, la derivada del numerador, que es menos 2, 00:00:49
por el denominador sin derivar, 00:00:52
menos el numerador sin derivar, es decir, más 2x, 00:00:55
por la derivada del denominador, que es 3x menos 1 al cuadrado, 00:00:59
por la derivada de lo de adentro, que es 1. 00:01:05
Y todo ello partido por el cuadrado del denominador, como está el cubo, es a la sexta. 00:01:07
Fijaos, aquí podemos quitar 2, porque tenemos un x menos 1 al cuadrado, 00:01:14
aquí tenemos 3, luego puedo quitar 2, y aquí tenemos 6 y nos quedan 4. 00:01:20
¿Vale? Siempre recordad que os dije que en la derivada segunda siempre se puede, en una función racional siempre se puede quitar algo. 00:01:24
Como en este caso en la función inicial tiene un cuadrado, pues por eso hemos podido quitar el cuadrado. 00:01:31
Vale, pues vamos a operar un poquito. 00:01:37
A ver, esto será igual a menos 2x más 2. 00:01:40
y aquí me queda 2 por 3 es 6 más 6x partido por x menos 1 a la cuarta. 00:01:46
Bien, esto es igual a menos 2x más 6x, 4x más 2 entre x menos 1 a la cuarta. 00:01:57
¿Vale? Pues me lo voy a poner aquí a la derecha, lo que acabo de calcular, 00:02:09
f segunda de x es 4x más 2 partido de x menos 1 a la cuarta. 00:02:14
Y voy a borrar esa parte para que tengamos más espacio. 00:02:25
Vale, pues ahora, como ya tenemos la derivada segunda a la derecha, 00:02:29
hacemos lo mismo, derivada segunda de x igual a 0. 00:02:32
Luego me queda que 4x más 2 partido de x menos 1 a la cuarta igual a 0 00:02:38
Resolvemos y me queda que 4x más 2 es 0 00:02:49
Con lo que es lo mismo que x es igual a menos 2 cuartos 00:02:54
Siempre simplificamos menos 1 medio 00:02:59
Luego este es mi candidato a punto de inflexión 00:03:01
si quisiéramos saberlo directamente sin mirar la curvatura 00:03:04
pues tendríamos que calcular la derivada tercera 00:03:09
en el vídeo anterior, el de los apartados C y D 00:03:11
si no hubiéramos tenido que calcular la monotonía 00:03:16
con la derivada segunda 00:03:19
podríamos haber visto si eran máximos o mínimos 00:03:20
pero bueno, como nos pide también la curvatura 00:03:23
y en el caso anterior la monotonía 00:03:25
pues directamente lo hacemos con la tablita 00:03:27
a ver, aquí 00:03:29
aquí tenemos el menos infinito 00:03:31
Bueno, he hecho una tabla un poco loquito grande, no pasa nada 00:03:34
El más infinito 00:03:37
Tenemos que poner aquí el menos un medio 00:03:39
¿Vale? 00:03:41
Y igual que hemos hecho con el apartado anterior de monotonía 00:03:44
Tenemos que poner también donde tenemos la asíntota vertical 00:03:46
O sea, el punto que no está definida la función en el 1 00:03:50
Y a ver, aquí tendríamos que poner directamente la derivada 00:03:53
¿Vale? 00:03:57
Sabéis que yo siempre voy poniendo el numerador, el denominador 00:03:58
Pero fijaos 00:04:01
La derivada segunda, el denominador es una potencia cuarta 00:04:02
Luego el denominador siempre va a ser positivo 00:04:07
Por lo tanto me basta con sustituir en el numerador 00:04:09
Yo puedo poner directamente aquí f segunda de x 00:04:13
Pero para mirar el signo solo sustituyo en el numerador 00:04:16
El denominador siempre va a ser positivo 00:04:22
Entonces no me molesto en ponerlo 00:04:26
Y aquí vemos, dependiendo de cómo nos quede, vemos cómo va a ser la f de x. 00:04:29
Es un poco complicado dibujar con esto. 00:04:37
Vale, cogemos otra vez otro color. 00:04:47
Aquí, por ejemplo, cojo el menos 1, aquí cojo el 0 y aquí cojo, por ejemplo, el 2. 00:04:50
Sustituimos en el numerador y esto sería menos 4 más 2 menos 2, negativo. 00:04:56
En el 0 sería más 2, positivo. 00:05:00
Y en el 2 sería también 4 por 2, 8 más 2, 10. 00:05:03
positivo. Entonces, recordad lo que siempre digo, que sale negativa la segunda derivada, 00:05:06
pues está triste. Que sale positiva, está contenta. Y para mí, ya sabéis lo que os 00:05:12
digo, vosotros llamadlo como queráis, para mí cuando está triste le llamo convexo y 00:05:20
cuando está contento para mí es cóncavo. Y luego lo mismo que os he dicho que hiciéramos 00:05:27
antes que no lo he hecho. El menos un medio pertenece al dominio, luego punto cerradito 00:05:36
y el uno es mi asíntota, luego punto abierto. ¿Y por qué hago esto? Porque fijaos, aquí 00:05:42
en el punto menos un medio la función cambia de convexo a cóncavo. Por lo tanto, esto 00:05:48
va a ser un punto de inflexión. En el otro caso, aunque no hubiera puesto el agujerito 00:05:55
y no nos hubiéramos dado cuenta 00:06:02
como todo sale cóncavo 00:06:04
no hubiéramos dicho que es un punto de inflexión 00:06:05
pero podríamos coger y decir 00:06:08
bueno, pues si es cóncavo en los dos 00:06:09
pongo el intervalo 00:06:11
no pongo dos intervalos 00:06:12
sino simplemente uno 00:06:14
pero sí tenemos que poner como dos intervalos 00:06:15
porque en el uno no está definido 00:06:18
por lo tanto resolvemos 00:06:20
o contestamos 00:06:22
y tenemos que los intervalos 00:06:23
el intervalo de concavidad 00:06:25
importante 00:06:28
pongo el dibujito de lo que para mí es cóncavo, sería desde menos un medio, uno, unión, uno, infinito, ¿vale? 00:06:30
Y mi intervalo de convexidad, me falta una de aquí, convexidad, para mí triste, sería de menos infinito a menos un medio, ¿vale? 00:06:41
igual que he dicho antes 00:06:59
esto es 00:07:01
la curvatura 00:07:04
y ahora puntos de inflexión 00:07:05
solo tenemos uno 00:07:11
ay que mal se escribe 00:07:15
puntos de inflexión 00:07:20
solo tenemos uno que es el x igual a menos un medio 00:07:21
tendríamos que calcular 00:07:24
para poner el punto completo 00:07:26
con las dos coordenadas 00:07:28
pues calculamos 00:07:29
f de menos un medio 00:07:31
en mi función 00:07:34
y esto sería, menos un medio al cuadrado es un cuarto, 00:07:36
en el denominador, menos un medio menos uno es menos tres medios, 00:07:41
menos tres medios al cuadrado es nueve cuartos. 00:07:45
Luego esto es extremos entre medios, 00:07:50
estos se nos van a ir porque van a estar cada uno, 00:07:52
y lo que me queda exactamente es un noveno. 00:07:55
Tiráis de calculadora y lo calculáis, ¿vale? 00:07:57
Bueno, pues este sería el otro apartado que también nos podrían pedir, 00:08:00
que también es muy sencillito. 00:08:04
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
8
Fecha:
15 de noviembre de 2025 - 14:24
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
08′ 06″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
20.32 MBytes

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