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T5 - ej 74-75 - Contenido educativo

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Subido el 7 de diciembre de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Hola, vamos a ver el ejercicio 74 y 75. 00:00:00
A ver, no son funciones racionales, no son integrales inmediatas 00:00:04
y tampoco puedo aplicar, bueno, podríamos aplicar la integración por partes 00:00:08
pero sería como un poco complicado, ¿vale? 00:00:13
Esas integrales lo que se hace es lo que se llama el cambio de variable. 00:00:16
¿Vale? Entonces, lo que vamos a hacer siempre como cambios de variables 00:00:21
cuando tenemos un logaritmo, vamos a llamar t al logaritmo neperiano 00:00:25
de lo que tenga en este caso, el logaritmo neperiano de x. 00:00:31
¿Qué vamos a necesitar ahora? Pues despejar la x, 00:00:35
porque lo que yo tengo está en función de x y no de t. 00:00:38
¿Cómo se quita un logaritmo? Metiendo una exponencial. 00:00:41
Por lo tanto, lo que me queda es que la x va a ser igual a e elevado a t. 00:00:44
Esto siempre va a ser igual. 00:00:50
Y de la misma manera, si me fijo, necesito cuánto es el diferencial de x, que va a ser e elevado a t, diferencial de t. 00:00:51
Cuando hacemos este cambio que tengamos logaritmos, pues vamos a hacer siempre, y esto siempre va a ser igual. 00:01:01
Pues sustituimos, sustituimos todo. 00:01:09
Diferencial de x, hemos dicho que esto es e elevado a t, por diferencial de t. 00:01:14
Abajo tenemos una x que es e elevado a t por un logaritmo neperiano que le hemos llevado t al cuadrado. 00:01:20
Lo bueno es que el elevado a t con el elevado a t se me va y me queda simplemente la integral de diferencial de t partido por t cuadrado. 00:01:29
Que esta es una de las que yo os dije que nos deberíamos saber la derivada porque esto es directamente menos 1 partido por t diferencial. 00:01:39
Uy, diferencial, más k, ¿vale? 00:01:48
Si no, lo pongo como una potencia, sería t elevado a menos 2 y directamente nos sale. 00:01:54
Y ahora, ¿qué es lo que tenemos que hacer? 00:01:59
Pues igual que siempre hacemos un cambio, tenemos que deshacer el cambio. 00:02:01
En lugar de t, ¿qué vamos a poner? 00:02:05
Pues hemos dicho que t era logaritmo neperiano de x, 00:02:07
luego esto es menos 1 partido por el logaritmo neperiano de x más k. 00:02:10
Y ya estaría el ejercicio. 00:02:18
El 75, pues, es también, lo vemos así, es como, Dios mío, qué cosa más fea, cuántos logaritmos, cuántas cosas, pero bueno. 00:02:22
La forma de integrarlos, igual que hemos hecho el 74, con el mismo cambio de variable al logaritmo le vamos a llamar t, 00:02:31
a la x, por lo tanto, es elevado a t, el diferencial de x es igual a elevado a t por diferencial de t. 00:02:38
¿Vale? No lo vuelvo a escribir, ya que lo tengo arriba. 00:02:44
Y simplemente lo que tengo que hacer es sustituir. 00:02:46
A ver, teníamos una fracción, hay que ir sustituyendo poco a poco. 00:02:49
Logaritmo neperiano de x, este lo hemos llamado t. 00:02:53
Abajo tengo una x que es e elevado a t, por el logaritmo neperiano de x, que le hemos llamado t al cuadrado, menos 1. 00:02:58
Y tengo que multiplicar por el diferencial de x. 00:03:11
Diferencial de x es e elevado a t, diferencial de t. 00:03:13
¿Qué ocurre? Pues que se nos va L elevado a t, elevado a t en los dos, 00:03:19
y lo único que me queda es la integral de t, diferencial de t, partido por t cuadrado menos 1. 00:03:23
¿Y qué ocurre? Que lo que tengo justamente, que va a ser lo que tengo arriba, 00:03:32
es la derivada de lo de abajo, salvo un 2. 00:03:40
Luego esto es el logaritmo neperiano 00:03:43
Valor absoluto siempre de t cuadrado menos 1 00:03:48
Todo partido por 2 más k 00:03:52
¿De acuerdo? 00:03:57
Pero ¿qué tenemos que hacer ahora? 00:04:00
Deshacer el cambio 00:04:02
Y ya sé que va a quedar una cosa muy extraña 00:04:03
Pero no pasa nada 00:04:05
El partido por 2 lo voy a poner como un medio 00:04:06
Esto sería un medio 00:04:09
¿De quién? 00:04:10
Del logaritmo neperiano 00:04:12
¿De quién? En lugar de t, que era logaritmo neperiano de x, todo al cuadrado, menos 1, más k. 00:04:13
Y ya estaría. Tenemos un logaritmo dentro de un logaritmo, pero no pasa nada. 00:04:25
Así sería el ejercicio. 00:04:29
¿Veis que también es muy rápido? 00:04:31
Hay veces que con los cambios de variables sale todo muy rápido y no se tarda nada en hacer. 00:04:32
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
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    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
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Fecha:
7 de diciembre de 2025 - 10:41
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
04′ 38″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
10.52 MBytes

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