El poder de la semejanza: Matemáticas | Mediateca de EducaMadrid

Hay ideas en matemáticas que son, bueno, son mucho más que simples fórmulas. Son 00:00:00

conceptos que, de verdad, nos cambian la forma de ver el mundo, y hoy vamos a explorar uno 00:00:04

de los más potentes y, la verdad, más elegantes, la semejanza. 00:00:08

Para empezar, vamos a plantear un reto. ¿Qué pasaría si el destino de toda una ciudad 00:00:13

dependiera de resolver un acertijo, uno matemático? Pues, aunque suene a película, eso es exactamente 00:00:17

lo que les pasó a los atenienses hace más de 2.000 años. Se encontraron con un problema 00:00:24

de vida o muerte, que en realidad era un rompecabezas de geometría. Venga, vamos a ver bien cuál era el 00:00:28

problema, porque para entender la solución primero hay que entender la escala del desafío que tenían 00:00:33

entre manos. Estamos en el año 429 a.C. La situación en Atenas era terrible. Una plaga 00:00:37

estaba arrasando con todo. Desesperados consultan al oráculo de Apolo, que les da una única salida, 00:00:44

una condición muy clara. Construidme un nuevo altar. Pero ojo, no valía cualquiera. Tenía que 00:00:50

ser un cubo, igual que el que ya tenían, pero con el doble de volumen, ni más ni menos. ¿Parece 00:00:55

fácil, a que sí? Pues no lo era para nada. Los mejores ingenieros y matemáticos de Atenas se 00:01:01

pusieron manos a la obra y fracasaron, uno tras otro. La plaga al final se fue, sí, pero el 00:01:05

acertijo se quedó ahí, sin solución durante siglos. Hacía falta pensar de otra manera. Y esa 00:01:11

otra manera de pensar, esa clave, la encontramos en un concepto que es pura elegancia matemática, 00:01:18

las figuras semejantes. A ver, ¿qué es esto de figuras semejantes? Pues es una idea súper 00:01:25

intuitiva. Es como hacer zoom en una foto. La forma es exactamente la misma, ¿verdad? Los ángulos no 00:01:31

cambian, lo único que cambia es el tamaño. Pues eso son dos figuras semejantes. Una es una ampliación 00:01:38

o una reducción perfecta de la otra. Lo vemos todo el tiempo. Mirad estos dos patos. Es evidente, 00:01:44

¿no? Es el mismo pato, pero uno más grande y otro más pequeño. La forma es idéntica. Son, 00:01:51

por tanto, semejantes. Y a ese factor de zoom, por así decirlo, en matemáticas le damos un nombre, 00:01:56

la razón de semejanza, o, para abreviar, la letra K. Y hay que quedarse con esta K, 00:02:02

porque este numerito tan simple es el verdadero protagonista de toda esta historia. Es la clave. 00:02:09

Y aquí es donde la cosa se pone de verdad interesante. Porque esta K, esta escala, 00:02:15

no funciona igual si estamos hablando de una línea, de una superficie o de un volumen. Ojo con 00:02:19

esto que es crucial. Mirad un ejemplo de hoy en día que seguro que hemos visto. Un televisor. ¿Por 00:02:24

qué uno de 40 pulgadas cuesta muchísimo más, a veces hasta cuatro veces más, que uno de 20? Si 00:02:30

el doble de 20 es 40, ¿por qué no cuesta el doble? ¿Qué está pasando ahí? Bueno, pues la clave está 00:02:36

en el área, en la superficie de la pantalla. Y esta es la regla de oro, el concepto fundamental. 00:02:40

Si una longitud se multiplica por k, el área de esa figura no se multiplica por k, se multiplica por k al cuadrado, y el volumen es todavía más bestia, se multiplica por k al cubo. Es un crecimiento que se dispara. 00:02:47

Y aquí está el error de los pobres atenienses. ¿Qué les dijo la intuición? Queremos el doble de volumen, pues duplicamos el lado. Parece lógico, ¿no? Pero claro, al duplicar el lado, su K era igual a 2. Y el volumen, el volumen no se multiplicó por 2, se multiplicó por K al cubo, o sea, 2 al cubo, que es 8. Construyeron sin querer un altar 8 veces más grande. Menudo fallo de cálculo. 00:03:00

Toda esta magia de las proporciones, todo esto que hemos visto, fue formalizado por uno de los 00:03:22

grandes, un genio griego. Vamos a ver cómo lo explicó con su famoso teorema de Tales. 00:03:27

Este dibujo seguro que lo hemos visto mil veces en clase de mates. Puede que intimide un poco, 00:03:33

pero la idea que hay detrás es de una simpleza y una potencia brutales. 00:03:39

Lo que Tales demostró, en esencia, es que un conjunto de líneas paralelas funciona como 00:03:44

una fotocopiadora con zoom. Si se trazan un par de rectas que las corten, los trocitos que se forman 00:03:49

en una recta son proporcionales a los trocitos de la otra. Siempre. Esto lo que hace es crear 00:03:55

un montón de triángulos pequeños, que son versiones a escala del triángulo grande. O sea, 00:04:01

triángulos semejantes. Y lo bueno es que esto no es un juego matemático abstracto. Para nada. Este 00:04:06

teorema nos dio por primera vez una herramienta para medir cosas que parecían imposibles de 00:04:13

medir. Hay una leyenda fantástica, una de las mejores de la historia de la ciencia. Cuentan que 00:04:18

el propio Tales se plantó delante de la gran pirámide de Keops. Nadie sabía exactamente cuánto 00:04:23

medía. Y él dijo, la voy a medir. ¿Y cómo? Usando sólo dos cosas, su bastón y el sol. El razonamiento 00:04:28

es pura genialidad. Pensó, el sol está tan lejos, tan tan lejos, que sus rayos nos llegan a la tierra 00:04:35

prácticamente paralelos. Entonces, en el mismo instante, el rayo de sol que roza la punta de la 00:04:41

pirámide y el que roza la punta de su bastón son paralelos. ¿Y qué se forma? Pues dos triángulos 00:04:46

rectángulos semejantes. Uno pequeñito, el que forman su bastón y la sombra del bastón, y otro 00:04:51

gigantesco, el que forman la pirámide y la sombra de la pirámide. Y si son semejantes, la relación 00:04:56

entre la altura y la sombra es la misma en los dos. Una simple regla de tres. Y con eso midió lo 00:05:01

inmedible. Y esta idea que nació de un bastón y una pirámide es la misma que usamos hoy para medir 00:05:07

la distancia de las estrellas con la paralaje o para calcular el tamaño de un cráter en 00:05:12

Marte viendo una foto. 00:05:16

Todo, absolutamente todo, se basa en ese mismo principio de semejanza. 00:05:17

Así que, partiendo del problema de Atenas, la pregunta final es inevitable. 00:05:21

¿Qué será lo siguiente que podremos medir usando tan solo una sombra y el increíble 00:05:25

poder de la proporción? 00:05:30

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