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Optimización. Volumen de un prisma - Contenido educativo
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En este vídeo vamos a resolver este problema de optimización.
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Leemos, se dispone de 6 metros cuadrados de cartón para construir una caja con forma de prisma recto de base cuadrada con tapa.
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¿Qué dimensiones debe tener la caja para que el volumen cerrado sea máximo?
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Bueno, lo primero es dibujar una caja con las especificaciones que nos digan.
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Como nos dicen de base cuadrada, pues dibujaremos un cuadrado, más o menos.
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Y como es un prisma, pues hemos de suponer que será así.
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Bueno, voy a borrar y empezar para que me quede bien.
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¿Vale? Sería un prisma de base cuadrada, más o menos, pues sería un prisma así.
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¿Vale? Mucho mejor ahora.
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Sería así.
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Y como dice de base cuadrada, pues esto lo vamos a llamar x, como es cuadrada x y la altura la llamaremos y.
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Por lo tanto, el volumen de un prisma ya sabéis que es la multiplicación de las tres dimensiones, o el área de la base por la altura.
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En este caso, el volumen va a ser x al cuadrado por y.
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Me aparecen dos letras. No puedo manejar funciones de dos letras, así que tenemos que buscar alguna relación.
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Aquí la relación me la va a dar los 6 metros cuadrados, porque si hago el desarrollo, el papel que voy a gastar sería el cuadrado de abajo, cuya área es x al cuadrado, más el cuadrado de arriba, cuya área es x por x, más 4 laterales.
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Los laterales van a tener dimensiones x por y, luego 4 por x por y.
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Es decir, el área, el cartón que voy a tener, va a ser 2x al cuadrado más 4 por x por y.
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Y esto tiene que ser igual a 6 metros cuadrados de cartón.
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Y es aquí donde voy a poder relacionar la x con la y.
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Si despejo la y, como vemos tenemos 2x cuadrado más 4xy igual a 6, puedo dividir todo entre 3, siempre conviene simplificar para ahorrarme cuentas, sobre todo si no se me dan bien, vale, entonces esto va a quedar más 2xy igual a 3.
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Si despejo, pues tendremos que 2XY es igual a 3 menos X cuadrado y por tanto la Y será igual a 3 menos X al cuadrado partido de 2X.
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Esta relación nos va a permitir, en la función que nos calcula el volumen, poder derivar.
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O sea que el volumen en función de la letra x va a ser igual a x cuadrado por 3 menos x al cuadrado partido de 2 por x.
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Entonces antes de multiplicar a lo loco nos damos cuenta que este x cuadrado se va a ir con esta x y por tanto lo que nos queda va a ser x por 3 menos x al cuadrado partido de 2.
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Y esta es nuestra función que nos da el volumen en función de la base del prisma.
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Si derivamos, bueno, vemos que el 1 medio es una constante, no se os ocurra usar la derivación por cociente, porque no.
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Esto lo puedo poner así como 1 medio, y ahora tengo que hacer la derivada de esto.
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Bueno, podría haber puesto aquí esta expresión que quizás es más fácil y entonces esto va a ser el 1 medio porque es una constante.
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La derivada de 3x es 3 y la derivada de x cubo es 3x cuadrado.
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Vale, bien, recordando ahora la utilidad de la derivada, estamos buscando un punto donde la pendiente sea 0 porque será máximo o mínimo.
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Por lo tanto, ¿qué tengo que hacer ahora? Pues v' de x igual a 0. Esto me va a decir, me dice que un medio por 3 menos 3x al cuadrado es igual a 0.
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Obviamente un medio no es 0, por lo tanto de aquí se deduce que 3 menos 3x al cuadrado tiene que ser 0
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Lo cual implica que 3x al cuadrado es igual a 3, lo cual implica que x al cuadrado es igual a 1
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y por tanto me sale que la x vale 1 y la x vale menos 1.
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Menos 1 no tiene sentido porque no va a haber una distancia negativa, por lo tanto la solución es 1.
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Vamos a comprobar si es un máximo. Para eso vamos a hacer la segunda derivada.
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La segunda derivada, pues el 1 medio vuelve a ser constante
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y ahora la derivada de 3 es 0 y esto es menos 6x, por menos 6x.
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Luego, si sustituyo el valor de 1, pues me va a salir menos 3, que es menor que 0.
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Por tanto, efectivamente, es un máximo.
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En x igual a 1, v de x, que es la función volumen, acordaros, tiene un máximo.
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¿Cuánto vale? Bueno, pues como tenemos que está en x igual a 1, pues si sustituyo aquí la y, la y será igual a 3 menos 1 partido de 2, igual a 1.
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Es decir, que tanto la base como la altura miden 1.
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Y resulta que sale un cubo, que es lo que maximiza el volumen.
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Y ya estaría.
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- Materias:
- Matemáticas
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Bachillerato
- Segundo Curso
- Autor/es:
- José Luis Muñoz Casado
- Subido por:
- Jose Luis M.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 24
- Fecha:
- 26 de noviembre de 2024 - 17:29
- Visibilidad:
- URL
- Centro:
- IES PROFESOR JULIO PÉREZ
- Duración:
- 07′ 51″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 4096x2304 píxeles
- Tamaño:
- 149.27 MBytes