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3º ESO - División de polinomios - Contenido educativo
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Hola chicos, en este vídeo vamos a realizar una división de polinomios a través del método clásico con el que dividimos dos polinomios
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y que tradicionalmente se llama como la división euclídea y que muchos de nosotros conocemos como la división larga
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y que nos sirve para dividir dos polinomios.
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Bueno, pues en este método, lo primero que nos tenemos que fijar es en los polinomios dividendo y divisor.
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Recuerdo que en una división de polinomios, llamamos polinomio dividendo a este polinomio de aquí y polinomio divisor a este polinomio de aquí.
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Bueno, lo primero que nos tenemos que dar cuenta es si en el polinomio dividendo nos falta algún término.
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Si en el polinomio dividendo falta algún término, ya tenemos que tenerlo en cuenta, porque cuando escribamos nuestra división, nuestra cajita, etc., tendremos que dejar un 0 en el hueco que falte en el polinomio dividendo.
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¿Qué significa eso? Imaginaos que nuestro polinomio dividendo en vez de ser 3x al cuadrado menos 2x más 5, pues fuese 4x al cubo menos 3x menos 8. ¿Qué términos nos faltan en el polinomio dividendo este que yo he dibujado ahora? 4x al cubo menos 3x menos 8.
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Vemos que tiene término de grado 3, no tiene término de grado 2, sí tiene término de grado 1 y sí tiene término de grado 0, ¿vale?
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Como nos falta el término de grado 2, pues deberíamos de poner un 0 en el polinomio dividendo cuando escribamos la división, ¿vale?
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Bueno, como en nuestra división ya hemos dicho que nuestro polinomio dividendo 3x al cuadrado menos 2x más 5 no nos falta ningún término, pues escribimos los términos del polinomio.
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3x, 3x al cuadrado menos 2x más 5. Escribimos nuestra gajita y aquí ponemos el polinomio divisor x más 2.
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A continuación, ¿qué hacemos? Bueno, pues yo siempre les digo a mis alumnos en clase, chicos, reservamos a la derecha del todo un hueco para escribir operaciones en sucio, las operaciones que yo os diga.
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Y a continuación señalamos el primer término del polinomio dividendo y el primer término del polinomio divisor.
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Y ahora vamos a buscar un número multiplicado por x y elevado a algo a la x, tal que al multiplicarse por este término de aquí, nos dé este término de aquí.
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Vamos a ver qué es. Vamos a buscar qué tenemos que escribir. Pues a ver, lo primero, si el término x es signo más y el término 3x al cuadrado es signo más,
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Entonces, luego lo que estamos buscando va a llevar signo más. Como está al principio, no ponemos el signo. ¿Qué número va a llevar? Pues va a llevar necesariamente un 3 porque 3 por 1 es 3. ¿Y la x qué exponente va a llevar? Pues necesitamos exponente 3x por x, 3x al cuadrado. Luego no necesitamos que la x vaya a llevar elevado a nada más, va elevado a 1, sencillamente.
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Bueno, pues ahora lo que hacemos es multiplicamos el término que hemos encontrado en nuestro cociente, el polinomio que vayamos obteniendo aquí lo llamaremos cociente, ¿vale?
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Bueno, pues el primer término que hemos encontrado de nuestro cociente lo vamos a multiplicar por cada uno de los términos del divisor, es decir, 3x por x, 3x al cuadrado, y lo escribimos en sucio.
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3x por 2, 6x, y lo escribimos en sucio, ¿vale? Tal cual.
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Ahora hacemos una línea de separación y vamos a hacer lo siguiente, lo que tenemos en sucio, con esas dos multiplicaciones que os he dicho, las vamos a llevar a nuestra división a limpio, a limpio es a este espacio donde estamos haciendo nuestra división, pero nuestro peaje para poder llevar lo de sucio a limpio es cambiarle el signo a lo de sucio,
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Es decir, el 3x al cuadrado, como tiene signo más, va a pasar con signo menos, y el 6x, como tiene signo más, va a pasar a limpio como menos 6x.
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Bueno, pues lo escribimos. 3x al cuadrado. Le cambiamos el signo y nos queda menos 3x al cuadrado.
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¿Lo he escrito en cualquier sitio? No, en la columna de las x al cuadrado.
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6x, lo paso a limpio
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le cambio el signo que es nuestro peaje
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y lo escribimos como
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menos 6x y en la columna
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de las x
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¿de acuerdo?
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no lo escribimos en cualquier sitio
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lo escribimos en la columna de las x
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no me sé de chapuzas que en muchos exámenes
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y en muchos ejercicios que corrijo
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me encuentro el 3x al cuadrado debajo de un número
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el 6x debajo del x al cubo
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hay que
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fijarse en esto y escribir en la columna
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que corresponda. Bueno, una vez que hemos hecho esto, hacemos una línea de separación
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y vamos a sumar término a término este polinomio y este polinomio. 3x al cuadrado menos 3x
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al cuadrado, 0. Menos 2x menos 6x, menos 8x. 5 más hueco, pues 1 más 5. Y a continuación
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vamos a hacer lo siguiente. Al polinomio que yo tengo aquí, después de sumar término
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a término, yo lo llamo posible resto. ¿Por qué le llamo posible resto? Porque ahí cuando
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yo acabe mi división voy a obtener mi resto, que va a ser un polinomio también, pero de
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momento es posible resto. ¿Cuándo sé yo que habré llegado al resto? Pues habré llegado
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al resto, cuando este polinomio de aquí, mi posible resto, ¿qué grado tiene ahora
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mismo? Pues tiene grado 1. ¿Por qué? Porque el término de mayor grado de menos 8x más
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5 es menos 8x, que tiene grado 1, porque la x está elevado a 1 del menos 8x. ¿Qué grado
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tiene el polinomio divisor? El polinomio divisor tiene grado 1 también. ¿Por qué? Porque
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el término de mayor grado del polinomio divisor tiene grado 1 la x bueno como son los dos grado
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1 todavía no he acabado cuando habré acabado habré acabado cuando el grado de lo que yo llamo
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posible resto sea estrictamente menor que el grado del divisor de acuerdo y como ahora son iguales
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pues todavía no he acabado bueno pues como no he acabado lo que hago a continuación es me señalo
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el primer término de lo que yo he llamado posible resto, menos 8x.
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Y ahora voy a buscar aquí un número por x elevado a otro número,
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tal que al multiplicarlo por esto que tengo señalado aquí,
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me dé esto que he señalado aquí, ¿vale?
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Pues vamos a ver qué va a ser eso.
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Lo primero, ¿qué signo va a llevar?
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Pues a ver, algo por x para que me dé menos 8x, pues necesariamente aquí voy a necesitar un signo menos.
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¿Qué número va a llevar? Pues un 8. ¿Por qué? Porque 8 por 1 es 8.
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Menos 8 por 1, menos 8 en este caso.
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¿Y voy a necesitar x? Pues fijaos que no, porque menos 8 por x ya es menos 8x.
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No necesito ya ni siquiera x.
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Bueno, pues ¿qué hago ahora?
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He encontrado el menos 8, pues ahora voy a multiplicar menos 8 por cada uno de los términos del polinomio divisor, es decir, por x y por 2, como en el caso anterior, ¿vale?
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Bueno, pues multiplico. Menos 8 por x, menos 8x. Y me lo llevo a sucio. Menos 8 por 2, menos 16. Es decir, he multiplicado, repito, el menos 8, esto de aquí, por x y por 2.
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Y lo he puesto en sucio. Menos 8x y menos 16.
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¿A continuación qué hacemos? Pues a continuación lo que hacemos es, lo que he obtenido ahora en sucio, voy a escribirlo a limpio,
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pero ya hemos dicho que el peaje para llevar algo de sucio a limpio es cambiarle el signo.
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Cambia el signo.
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Bueno, pues le cambio el signo, menos 8x.
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Si yo a menos 8x le cambio el signo, ¿qué obtengo?
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Pues 8x.
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Lo voy a escribir debajo de la columna de las x.
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Menos 16.
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Si le cambio el signo, obtengo más 16.
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Y lo coloco debajo de la columna de los números, lo que no lleva x.
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¿Qué hago ahora?
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Ahora, línea de separación, y sumo los polinomios este y este, término a término, menos 8x más 8x, 0. 5 más 16, más 21. 21. 21 lo vuelvo a llamar posible resto.
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¿Es ya nuestro resto, el 21? Pues vamos a ver. ¿Qué grado tiene el polinomio posible resto? Pues tiene grado 0. ¿Por qué? Porque no tiene ningún término con x y por lo tanto tiene grado 0.
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¿Es el grado del posible resto estrictamente menor que el grado del divisor?
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Sí, porque el grado del divisor recuerdo que era 1.
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¿Qué significa eso? Pues que ya hemos acabado.
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Y que lo que he obtenido aquí efectivamente es el resto de la división.
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Bueno, pues lo que hago yo ahora es lo siguiente.
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Escribo dos líneas de aquí de separación y debajo de estas dos líneas yo añado el resto que he obtenido.
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Y ahora voy a hacer lo que veréis. Voy a sumar todos estos términos, esta columna de términos, lo voy a sumar. A ver qué obtengo. Pues fijaos, qué curioso. 3x al cuadrado. ¿Tengo más con 3x al cuadrado? No, no, pues 3x al cuadrado que coincide con esto de aquí.
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A ver qué términos tenemos con x. 6x menos 8x, esto es, menos 2x. Fijaos qué justo es esto. Menos 16 más 21, ¿cuánto es? 5. ¿Qué he obtenido al sumar término a término esta columna? El polinomio dividendo.
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¿Qué significa eso? Que mi división es correcta. ¿Vale? ¿Esta es la prueba de la división? No, esta es una prueba que yo utilizo y que yo llamo prueba corta o prueba atajo o una prueba en sucio para saber si mi división es correcta sin perder mucho tiempo.
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Si me pidiesen un ejercicio, imaginaos en un examen, apartado A haz la división y apartado B haz la prueba de la división.
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¿Cómo haríamos la prueba de la división? Pues os la recuerdo también, la prueba de verdad, la que os he explicado yo de sumar todo esto, es una prueba, pues eso, una prueba a tajo o una prueba corta.
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Pero vamos a hacer ahora la prueba clásica de la división de polinomios.
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Bueno, pues para hacer la prueba hacemos lo siguiente.
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Vamos a multiplicar el polinomio divisor, que es x más 2, por el polinomio cociente.
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¿Qué es el polinomio cociente? El polinomio que me ha dado aquí. Este es el cociente.
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Voy a multiplicar el polinomio divisor por el polinomio cociente, por 3x menos 8,
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y a lo que me dé esa multiplicación le voy a sumar el resto de la división.
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Vamos a operar. ¿A qué es igual esto?
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Pues x, multiplicamos término a término los dos polinomios y me sale 3x al cuadrado menos 8x más 6x y menos 16 y le añadimos el 21.
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Seguimos operando y obtenemos 3x al cuadrado menos 8x más 6x menos 2x y menos 16 más 21 más 5.
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¿Qué he obtenido, chicos? Pues si os fijáis, he obtenido el dividendo.
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¿Y qué significa eso? Pues que como he obtenido el dividendo al hacer divisor por cociente más resto, que la división es correcta.
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Pues muchas gracias, chicos. Espero que os haya ayudado este vídeo y subiré más vídeos sobre álgebra y sobre polinomios.
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Venga, gracias.
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- Autor/es:
- Jesús Gómez Terrel
- Subido por:
- Jesús G.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 116
- Fecha:
- 21 de noviembre de 2022 - 7:22
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES LUIS DE GONGORA
- Duración:
- 14′ 26″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
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