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Tema 2.- Números Racionales- 2ªSesión - Operaciones 22-10-2024 - Contenido educativo

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Subido el 23 de octubre de 2024 por Angel Luis S.

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Buenas tardes, esta es la clase de matemáticas del día 22 de octubre. 00:00:00
Vamos a hacer un repaso de lo que vimos el último día de las simplificaciones de fracciones 00:00:06
antes de comenzar el tema. 00:00:12
Estuvimos diciendo que para simplificar una fracción 00:00:17
tenemos que buscar divisores comunes del numerador y el denominador. 00:00:20
Y esos divisores, con las propiedades de las potencias, 00:00:27
simplificarlos pero os voy a contar hoy otra forma que creo que os puede ser muy útil de 00:00:32
hacer esto y es directamente con las actualizaciones de los números hacer como una 00:00:38
doble factorización en las que busquemos directamente esos divisores comunes entonces 00:00:45
esto vale para dos números tres o todo lo que queramos y vale para cuando queramos hacer el 00:00:50
máximo con divisor o el mismo común múltiplo de acuerdo entonces lo que vamos a hacer siempre es 00:00:54
ponerlos en orden de mayor a menor, de izquierda a derecha, que siempre el más pequeño se quede al lado de la raya. 00:01:01
Y lo que voy buscando es qué divisores tiene ese número, que es el que me va a dar la referencia, 00:01:10
y probando sobre los demás cómo quedaría al hacer la división entre ellos. 00:01:15
Aquí veo que el 36 es un número par, pues el primer divisor es un 2. 00:01:21
Entonces lo que voy a hacer es decir, ¿qué me queda después de hacer esa división entre 2 del 230? 00:01:25
Pues me quedará 115. ¿Qué me queda del 36? Me quedará 18. 00:01:31
Sigo otra vez mirando el más pequeño, que está al lado de la rayita, y vuelvo a pensar en otro divisor de él, que sería otra vez el 2. 00:01:41
Pero me doy cuenta que ese 2 ya no dividirá el 115. 00:01:52
entonces no puedo tomarle como divisor común 00:01:56
luego este no me valdría como factor común de los dos números 00:02:01
como en el máximo común divisor yo quería solo los factores comunes 00:02:06
y con el menor expediente que apareciesen 00:02:11
pues este le tengo que eliminar como hemos hecho 00:02:14
pienso en otro factor que sea divisor del 18 00:02:16
pues tendríamos por ejemplo el 3 00:02:21
ya que 8 más 1 es 9 que es múltiplo de 3 00:02:24
Intento dividir el 115 entre ese 3 00:02:27
Y veo que 5 más 1 es 6 y más 1 es 7 00:02:31
No es un múltiplo de 3 00:02:34
Luego no cumple ese criterio de divisibilidad del 3 00:02:35
No voy a poder utilizar tampoco el 3 00:02:38
Pues me deshago de él 00:02:42
Este factor no va a ser común 00:02:44
No le puedo utilizar 00:02:46
El 18 ya no tiene ningún divisor más común 00:02:48
O digo, ningún divisor más que esos 2 y 3 que he estado buscando 00:02:53
Entonces, como ya no puedo sacar ningún factor que sea común a los dos, pues hemos terminado y resulta que veo que el máximo común divisor de este 230 y este 36 va a ser S2 que hemos sacado en esta factorización doble. 00:02:57
¿Qué ocurre? Que si yo quito ese 2, que es factor común a los dos términos, lo que me quedan son el 115 y el 18. 00:03:22
Pues ese 115 y ese 18 son el numerador y denominador de la fracción que estábamos buscando simplificada de la original. 00:03:32
esta fracción en la que ya no puedo encontrar 00:03:47
ningún factor más común del denominador y denominador 00:03:51
pues va a ser una fracción irreducible 00:03:56
entonces hemos llegado a la simplificación que pretendíamos 00:03:58
¿de acuerdo? 00:04:04
Verónica, ¿cómo se ha visto esto? 00:04:10
bien, bien 00:04:13
esto lo podemos usar también para el mínimo como múltiplo 00:04:14
y la diferencia es 00:04:18
os lo pongo aquí para que lo podáis usar 00:04:22
es que voy a seguir factorizando 00:04:24
hasta el final estos números 00:04:28
habíamos factorizado 00:04:31
entre, uy, perdón 00:04:33
teníamos el 230 00:04:35
y el 36 00:04:38
y vuelvo a hacer lo mismo de antes 00:04:41
y hago mi factorización 00:04:50
y tengo ese primer factor 00:04:53
que es el 2 00:04:59
cuando hacíamos esa primera factorización 00:05:01
nos quedaba el 115 y el 18 00:05:11
pues la diferencia cuando quiero hacer este mínimo como múltiplo 00:05:15
es que yo voy a seguir factorizando, sigo siempre por el más pequeño 00:05:19
el 18 lo puedo volver a dividir entre 2 y me quedaría 9 00:05:23
como el 115 no se puede dividir entre 2 00:05:27
le dejo como está 00:05:30
o sea, las divisiones que no puedo hacer 00:05:31
las vuelvo a marcar como estaban 00:05:33
los números que estaba tratando 00:05:36
ahora digo, el 9 00:05:37
se puede dividir entre 3 00:05:39
y me da un 3 00:05:41
como el 115 no se puede dividir entre 3 00:05:42
le dejo como está 00:05:45
otro factor del 3 es el 3 00:05:46
y su cociente sería 1 00:05:50
entonces, aquí al llegar al 1 00:05:52
hemos terminado 00:05:54
pero el 115 no se podía dividir entre 3 00:05:55
entonces le sigo poniendo igual que estaba 00:05:59
y ahora ya que he terminado con el 36 00:06:02
solo me fijo en el 115 que me queda 00:06:05
digo, le puedo dividir entre 5 00:06:08
puesto que acaba en 5 00:06:09
y me quedaría 23 00:06:11
el 23 como es un número primo 00:06:13
su único factor es el mismo 00:06:16
es el divisor propio 00:06:19
y cuando haga división me quedan un 3 00:06:21
yo voy factorizando 00:06:23
hasta que llego a estos unos finales 00:06:25
en todos los términos que tuviese 00:06:28
dentro del máximo común divisor 00:06:29
lo que he hecho al hacer esto es sacar 00:06:31
todos los factores comunes 00:06:33
y no comunes con los exponentes 00:06:35
más grandes sin darme cuenta 00:06:38
entonces me queda que 00:06:39
el mínimo común múltiplo va a ser 00:06:41
el 2 al cuadrado 00:06:43
por estos dos 2 00:06:44
por un 3 al cuadrado 00:06:46
por los dos 3 00:06:49
por el 5 00:06:51
y por el 23 00:06:54
y de un tirón 00:06:56
he hecho ese mínimo común múltiplo 00:07:00
y fijaos que con el mismo 00:07:02
criterio, pero solo quedándome 00:07:04
con aquellos divisores que eran comunes 00:07:06
a los números que me daban 00:07:08
hacía el máximo común divisor 00:07:10
o sea que es una forma rápida 00:07:12
de poder calcular 00:07:14
mínimo común múltiplo y máximo común divisor 00:07:15
haciendo estas dobles 00:07:19
o triples o cuadros de factorización 00:07:20
o sea, factorizando todos los números a la vez 00:07:22
Lo único que tengo que tener en cuenta para no volverme loco es que ordenen los números de mayor a menor para que los menores sean los que vayan marcando las operaciones que voy haciendo y me vayan dando una mejor guía de ello. ¿Se entiende, Verónica? 00:07:24
Sí, yo entenderlo lo entiendo, pero entiendo que también como la primera forma que lo hicimos… 00:07:42
La primera es que al factorizar yo quiero quedarme con factores comunes, como era en este caso, o en este caso comunes y ya está. 00:07:48
O sea, solo es forma de escribirlo y de organizarse. Al tener las cuentas en el fondo son las mismas, porque lo que yo voy haciendo a hacer estas factorizaciones hasta el final es asegurarme de que cojo todos los factores de los dos números. 00:08:03
Los que estaban repetidos solo se ponen una vez, por eso, y los no repetidos aparecen ellos solitos en el número correspondiente. O sea, que solo es una forma de escribir. ¿Vale? 00:08:17
¿De acuerdo? Normalmente este método 00:08:32
pues no nos lo suelen contar 00:08:35
hace mucho tiempo que se 00:08:36
se dejó ahí un poco en el olvido 00:08:38
para que la gente no lo mecanizase 00:08:41
sin saber lo que estaba haciendo, pero ahora que ya 00:08:43
sí sabemos lo que estamos haciendo 00:08:44
y si sabemos lo que es el máximo común divisor 00:08:46
y si sabemos lo que es el mínimo común múltiplo 00:08:48
pues sí que lo puedo utilizar 00:08:50
¿Vale? 00:08:52
Como el que dice pues cuando no sé 00:08:53
cocinar pues tengo que ir mirando ingrediente 00:08:56
a ingrediente, cuando ya sé hacer 00:08:58
los platos bien, pues a lo mejor hasta puedo ir haciendo 00:09:00
los platos a la vez, que es lo que estamos haciendo 00:09:03
en el fondo un poco aquí, porque ya sé muy bien 00:09:05
dónde quiero llegar 00:09:07
y qué operaciones estoy haciendo 00:09:09
¿vale? nada más 00:09:11
bueno, pues 00:09:13
esto lo podríamos aplicar 00:09:14
en estos ejercicios de simplificaciones 00:09:16
de fracciones que ya os dije 00:09:19
el otro día que podíais ir haciendo 00:09:21
y así hacerlos pues un poco más rápido 00:09:22
¿vale? hoy vamos a ver 00:09:25
cómo se opera con fracciones 00:09:27
Vamos a ver las operaciones que puedo hacer con las fracciones. 00:09:29
Al igual que en números enteros, vamos a ver sumar, restar, multiplicaciones, divisiones, potencias... 00:09:32
Empezamos con las sumas y las restas, pero para poder sumar y restar me dicen que las fracciones tienen que tener un mismo denominador. 00:09:42
Yo no puedo sumar porciones de pizza que no sean del mismo tamaño. 00:09:52
me tengo que asegurar primero que los trocitos sean igual del mismo tamaño para poder juntarlos 00:09:56
pues ese es el mismo problema que tenemos aquí 00:10:02
entonces recordamos primeramente cómo se hacía ese denominador común 00:10:04
y lo vamos a hacer siguiendo dos pasos 00:10:10
el primero que es que calculemos el mínimo como múltiplo de todos los denominadores que tengamos 00:10:13
y en el segundo que si yo he cambiado el denominador 00:10:20
para que las fracciones resultantes sean equivalentes a las originales, tendré que ajustar el numerador. 00:10:24
¿Cómo haré ese ajuste? Pues dividiendo ese denominador que me ha salido nuevo entre el que tenía antes 00:10:31
y el resultado multiplicándole por el numerador que tenía antes. 00:10:38
Aquí lo pone de una manera, yo lo voy a escribir de otra manera, luego lo hacéis como lo entendáis mejor. 00:10:43
O sea, que nos vamos a quedar, por ejemplo, con las dos primeras fracciones, el 3 quintos y el 4 quinceavos. 00:10:48
Tenemos 3 quintos y 4 quinceavos. 00:11:09
Y me dice que tengo que buscar fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador. 00:11:16
y me dice que para encontrar ese denominador común 00:11:23
tengo que hacer el mínimo común múltiplo de los denominadores, 00:11:27
que en este caso es el mínimo común múltiplo de 5 y 5. 00:11:32
La factorización del 5, como es un módulo primo, es el mismo. 00:11:35
Y la de 15 es 3 por 5. 00:11:40
Como me tengo que quedar con los factores comunes y no comunes, 00:11:46
con los exponentes más grandes, 00:11:49
pues al final me tengo que dar con el 3 y el 5 00:11:51
y me sale el denominador común 00:11:54
el 15, el mismo común múltiplo de los dos 00:11:57
que lo estábamos viendo desde el principio 00:12:00
en estos números lo veíamos ahora 00:12:02
entonces yo digo, los denominadores que quiero nuevos 00:12:03
son 15 en las dos fracciones 00:12:07
y ahora la idea es 00:12:10
si yo quiero pasar de esta fracción 00:12:11
a una que valga lo mismo que ella 00:12:15
pero que ahora tiene el denominador 00:12:17
tres veces más grande que lo que tenía, ¿cuánto tendré que hacer 00:12:21
crecer el numerador? Pues le tendré que hacer crecer en la misma proporción. 00:12:26
Entonces, lo que decíamos es que multiplico el numerador 00:12:31
que tenía por el resultado de dividir 00:12:34
el denominador nuevo entre el antiguo. Esta división 00:12:38
es la que me dice por cuánto multipliqué abajo, que sería 00:12:42
claramente que era por 5. Pues lo que estoy diciendo en el fondo es que el mismo aumento 00:12:46
que he hecho abajo multiplicando, perdón, por 3, por 5, por 3, el mismo aumento que 00:12:52
he hecho abajo le tengo que hacer arriba. O sea, si abajo multiplique por 3, arriba 00:13:02
también con 3. Y llegaré a que mi fracción equivalente es 9 quinceavos. Si voy a la 00:13:06
otra, digo, en esta el denominador no ha cambiado. Luego, no he hecho ningún cambio. Si no he 00:13:15
hecho ningún cambio en el denominador, el numerador que le corresponda será el mismo. 00:13:22
Pero, eso es lo mismo que si hubiésemos dicho denominador nuevo entre antiguo, como hemos 00:13:26
dicho antes, que en este caso va a ser un 1. Esta fracción no varía. Por tanto, se 00:13:33
queda como la tenía. Entonces, ya tengo mis dos fracciones equivalentes a las originales 00:13:42
y que tienen la particularidad de que tienen el mismo denominador, que es lo que me interviene. 00:13:49
Pues esto lo vamos a usar en las sumas y las restas. Cuando yo quiera hacer sumas y restas 00:13:55
de fracciones, lo primero que tendré que hacer es buscar las fracciones equivalentes 00:13:59
correspondientes a cada una de ellas que tengan el mismo denominador. ¿Vale? Vamos a ello 00:14:05
Lo vemos en los ejemplos que os tengo puestos en la teoría. 00:14:11
Para sumar y restar, tengo que hacer primero que las fracciones tengan el mismo denominador. 00:14:22
Tengo ese 3 quintos, menos 2 quintos y 4 quintos. 00:14:28
Como ya todas las fracciones tenían el mismo denominador, no tengo que hacer nada. 00:14:31
Dejo ese denominador común y sumo o resto los numeradores. 00:14:36
Ya está. 00:14:39
Ahora, en el ejemplo siguiente, tengo un 4 y un 18 de denominadores. 00:14:40
Tendría que hacer su mínimo común múltiplo. 00:14:45
Vamos a llevárnosla. 00:14:48
3 cuartos menos un 18 avos. 00:14:50
Ahí. 00:14:54
Dejadme borrar. 00:14:55
3 cuartos, le quiero restar un 18 avos. 00:15:03
Pues hago ese mínimo común múltiplo de 4 y 18. 00:15:08
Le voy a hacer ahora con el otro método, con la doble factorización. 00:15:16
Para que así vayamos viéndolo. 00:15:21
Las distintas formas de hacerlo y cada uno contaba con más que le guste. 00:15:23
Acordaos que empezamos con los divisores del más pequeño. 00:15:28
Ese 4 se puede dividir entre 2. 00:15:31
¿Puedo dividir 18 entre 2? Sí. 00:15:33
Y me da 9. 00:15:35
Y el 4 entre 2 me daría 2. 00:15:37
¿Puedo seguir dividiendo entre 2 al más pequeño? Sí. 00:15:39
Y me quedaría ya el 1 de su divisor propio. 00:15:42
Como el 9 no se podía dividir entre 2, lo dejábamos como estaba. 00:15:47
en este he terminado, pero con el 9 no 00:15:51
tengo que seguir factorizando el 9 y su siguiente factor es el 3 00:15:55
que me daría un 3, que le puedo dividir entre 3 otra vez 00:15:59
y me quedaría un 1, y hemos dicho que al hacer esta factorización 00:16:04
al final de todos los términos, lo que me quedaba era 00:16:08
directamente el mínimo común múltiplo de los dos números 00:16:10
2 al cuadrado, pues ha repetido lo que es el 2 00:16:15
3 al cuadrado porque se repitió 00:16:18
2 veces el 3 00:16:21
no pongo el 3 del 18 00:16:22
porque estaba incluido 00:16:25
el 2 del 18 porque estaba incluido 00:16:26
dentro de los 2s 00:16:29
del 4 00:16:30
como tenía que coger el que tenía 00:16:32
mayor exponente, pues el 2 al cuadrado 00:16:35
del 4 absorbe 00:16:37
al 2 del 18 00:16:39
o sea que es lo que estábamos viendo 00:16:40
en teoría pero simplificado 00:16:43
al hacer este piquito de la doble cartónica 00:16:45
bueno 00:16:47
lo que nos queda aquí como mínimo como múltiplo 00:16:48
es 4 por 9 que es 00:16:52
4 por 9 00:16:58
que es 36 00:17:04
el numerador que yo quiero nuevo es 36 00:17:07
y 36 en las dos fracciones 00:17:11
y volvíamos a la de siempre, al numerador antiguo le tengo que multiplicar 00:17:15
por el resultado de dividir el denominador nuevo 00:17:20
entre el que tenía antes. 00:17:24
Al numerador antiguo le tengo que multiplicar 00:17:27
por el resultado de dividir el denominador nuevo 00:17:30
entre el que tenía antes. 00:17:34
Siempre es el mismo proceso. 00:17:35
Cuando ya vamos viendo los números, 00:17:38
pues no hace falta que haga tantos pasos. 00:17:39
36 entre 4 es 9, 00:17:42
y por este otro lado 36 entre 18 es 2. 00:17:44
Pues las fracciones resultantes que tiene ese denominador común son 3 por 9, 27 treinta y seisavos y el 2 treinta y seisavos. 00:17:51
Cuando ya tengo el mismo denominador, lo que hago es dejarle como común y sumar o restar los numeradores. 00:18:09
Resultado final, pues 25 treinta y seisavos. 00:18:19
acordaos que siempre tengo que mirar 00:18:23
si la fracción final se puede simplificar 00:18:26
porque aunque no me lo digan 00:18:28
siempre que me van a notar contracciones 00:18:30
el resultado final tiene que ser 00:18:32
siempre una fracción irreducible 00:18:34
aquí como el divisor del 25 00:18:36
solo es el 5 y del 36 00:18:38
son 12 y 13 00:18:40
pues no va a haber ningún factor común 00:18:42
no voy a poder simplificar 00:18:44
pues ya sé que ese es el resultado final 00:18:45
de 25, 36 00:18:47
¿de acuerdo? 00:18:48
bueno, pues 00:18:52
Eso es lo que teníamos en este ejemplo. Si tengo más fracciones, pues no pasa nada. Yo hago la misma historia con cuidadito, pasito a pasito, no dejar ningún número atrás, no olvidarme de hacer la equivalencia de ninguno hasta que llegue. 00:18:53
Fijaos que en este caso sí que se podía simplificar la fracción que me sale resultante de la suma y resta, pues lo hago, puesto que tiene al 3 como divisor común del 18 y el 1. 00:19:11
Pues lo hago y termino con un resultado que sea una fracción irreducible. 00:19:23
Vuelvo a repetiros, aunque no me lo digan el ejercicio, que normalmente sí me lo dicen, opera y simplifica, 00:19:28
aunque no me lo digan será, por supuesto, que siempre hay que simplificar y el resultado siempre tiene que ser una fracción irreducible. 00:19:36
Si no, el ejercicio no estará mal, pero no estará terminado. 00:19:45
Y ya, pues eso me empieza a descontar nota. 00:19:49
Que encima, si con ese resultado tengo que hacer más operaciones, pues me interesa que los números sean lo más pequeños posibles para que esas siguientes operaciones no me den problemas. ¿Vale? Suma y resta controladas, ¿no? ¿Verónica? 00:19:51
Bien, bien. Bueno, multiplicación y división. La multiplicación y la división son más fáciles que la suma y la resta. Cuando quiero multiplicar dos fracciones, lo único que tengo que acordarme es que hago una multiplicación en línea. Numeradores por numeradores, denominadores por denominadores. Y los resultados tengo que intentar simplificarlos. 00:20:08
Consejo aquí, y es que cuando aplicáis la regla de la multiplicación en línea 00:20:29
No hagáis la operación de la multiplicación, sino que la dejéis indicada como aquí os he puesto 00:20:36
¿Por qué? Porque así me permite echar un ojito antes de hacer la multiplicación 00:20:41
Y ver si algún número de los del numerador se puede simplificar con alguno de los del denominador 00:20:47
Y aquí veo que, por ejemplo, el 2 y el 4 se podrían simplificar dividiendo los dos entre 2. Si hago esa simplificación antes de operar, pues voy a saltar el aire reducible del tirón. ¿Que no me doy cuenta? Pues bueno, en los resultados pienso luego si se pueden simplificar o no. 00:20:52
O sea, esto es cuestión, como siempre en matemáticas, de práctica. Cuando voy teniendo práctica me voy saltando pasos y voy viendo cosas a lo lejos. Cuando no tengo práctica me atropellan las cosas y no las veo. 00:21:13
¿vale? entonces, como queráis 00:21:26
yo tengo la costumbre de simplificar siempre 00:21:30
antes de hacer las multiplicaciones 00:21:33
porque va a ser siempre más fácil 00:21:36
ver esos números divisibles 00:21:38
cuando son chiquititos que cuando ya son grandes 00:21:41
aquí tengo un número de dos cifras, encima pares se ven muy bien 00:21:44
pero nos irán saliendo números más largos y más grandes 00:21:47
con tres y cuatro cifras y ya no se ven tan bien 00:21:50
encima, pues, me costará más 00:21:53
hacer luego las divisiones 00:21:56
y me habrá costado antes más 00:21:58
el hacer la multiplicación para pensarlo así 00:22:00
si divido antes de multiplicar 00:22:01
las cosas van a ser 00:22:05
más sencillas 00:22:07
solo es una cuestión de coger ese hábito 00:22:07
cociente de dos fracciones 00:22:10
pues aquí en el cociente de las fracciones 00:22:13
en la división de fracciones 00:22:16
lo que vamos a hacer es multiplicar en co 00:22:17
el numerador de la primera 00:22:20
se multiplicará por el numerador de la segunda 00:22:22
y eso irá al numerador 00:22:24
el denominador de la primera se multiplicará por el numerador de la segunda 00:22:27
e irá al denominador 00:22:31
si os fijáis, aquí lo que estoy haciendo en realidad 00:22:33
es que la primera fracción no se mueve 00:22:36
y a la segunda le doy la vuelta 00:22:40
o sea, la división era la operación 00:22:42
inversa de la multiplicación 00:22:45
pues si yo dejo el primer término de esa división fijo 00:22:47
O sea, que se quede el numerador en su sitio y el denominador en su sitio. Y al segundo término de la división le doy la vuelta, calculo su inversa, recordando que la inversa de una fracción es cambiar de posición los números. 00:22:52
lo que estaba en el numerador baja al denominador 00:23:07
lo que estaba en el denominador sube al numerador 00:23:10
entonces he transformado esa división en una multiplicación 00:23:13
y vuelvo a hacer lo mismo de antes 00:23:19
en línea, ¿vale? 00:23:22
como queráis recordarlo, en caso que no os liéis 00:23:24
y otro truco que digo para que no os confundáis 00:23:26
de cuando multiplico en línea y cuando multiplico en cruz 00:23:30
es que en línea es cuando va a pasar una raíz por encima 00:23:33
y otro por debajo del puntito de la multiplicación 00:23:36
y en cruz porque 00:23:38
voy a pasar las líneas 00:23:40
por entre medias de los dos puntos 00:23:42
entonces se van a cruzar 00:23:43
como queráis recortar 00:23:45
multiplicaciones y divisiones 00:23:48
supongo que las recordaríais 00:23:52
y que 00:23:55
se habrá entendido de sobra 00:23:56
¿verónica? 00:23:58
bien, bien, si es que está activo en altavoz 00:24:00
me tardo 00:24:02
No, no, si es que lo tengo apagado. 00:24:03
Lo que no quiero es asombrarte, ¿vale? 00:24:09
Vale, va bien. Yo por mí bien, está yo linda. 00:24:11
Para que nos queden bien estas operaciones, que luego... 00:24:13
Bueno, vamos a ver las potencias. 00:24:18
Y en las potencias vamos a seguir las mismas reglas que hicimos en los números enteros. 00:24:23
Van a ser las mismas propiedades que teníamos en los números enteros. 00:24:29
Nada más que la base va a ser una fracción y yo, si pienso en la definición de potencia, pues a partido b elevado a n es que multiplique n veces esa fracción de a partido de b. 00:24:33
O sea, exactamente igual que lo que hacíamos en números enteros. 00:24:45
Nada más que ahora operaciones. 00:24:50
¿Qué va a aparecer aquí nuevo que antes no teníamos? 00:24:53
Pues que voy a poder tener exponentes negativos. 00:24:57
Antes, cuando vimos las propiedades de las potencias en el tema anterior, decíamos potencias de números negativos con exponente natural. 00:25:00
O sea, siempre era un número positivo el exponente. 00:25:09
Ahora me pueden aparecer exponentes negativos. 00:25:12
Pero no hay ningún problema. 00:25:14
Esto es como si quisiésemos añadir una novena propiedad a aquella tabla que nos hicimos. 00:25:16
Y lo que me dice este exponente negativo es que la fracción está al revés de como debería. 00:25:20
¿Qué quiero decir con esto? 00:25:27
Que yo puedo pasar de potencia con exponente negativo a una potencia con exponente positivo simplemente dando la vuelta a los términos de la base. 00:25:30
Lo que estaba en el numerador va al denominador, lo que estaba en el denominador va al numerador. 00:25:40
Y a partir de ahí tiro con las mismas operaciones que hacía en las potencias de números enteros. 00:25:43
que era que una potencia de un cociente 00:25:50
que es lo que es una fracción en realidad 00:25:54
era potencia del numerador y potencia del denominador por separado 00:25:56
se acabó, nada más que allí vimos la propiedad al revés 00:26:00
decíamos, si tenemos las mismas exponentes 00:26:04
y distintas bases y quiero hacer una división 00:26:07
lo que se hace es dejar el exponente en común 00:26:09
y dividir las bases 00:26:13
eso es lo que hacíamos, ahora estamos viendo la propiedad al revés 00:26:15
Pero es la misma. Entonces, solo me quedo con esta nueva propiedad del exponente negativo. No vamos a ver radicales, lo de las raíces que comentabas antes, Verónica, pero si lo viésemos sería añadir una propiedad a estas, que es ver qué pasa cuando el exponente es una fracción. 00:26:18
cuando el exponente sea una fracción lo que me va a generar es una raíz 00:26:37
que tendrá de índice lo que me diga el denominador 00:26:41
y de exponente del radicando lo que me diga el denominador 00:26:46
como afortunadamente nos lo han quitado 00:26:49
pues no voy a volver locos ni les voy a poner esa propiedad 00:26:52
porque esa pues parece un poco más rara 00:26:56
trabajar con radicales no suponía ningún problema 00:27:00
porque a la gente que no le gustaba la rotación de esa exponente fraccionada 00:27:05
pues podía posarlo a anotación de potencias y utilizar la propiedad de las potencias 00:27:08
y se podían hacer las cuentas igual. 00:27:14
Entonces, en el fondo, solo era cuestión de anotación lo que se hacía en ese tema, 00:27:16
todo lo demás se podía trabajar igual, pero resultaba muy complicado precisamente por ese cambio de anotación. 00:27:21
¿Lo han quitado? Pues bienvenido sea, porque no lo usábamos luego en ninguna operación ni en ningún problema, 00:27:27
que es lo que nosotros pretendemos 00:27:33
coger herramientas para luego poder resolver problemas 00:27:35
que nos puedan aparecer en el día a día 00:27:38
entonces pues fuera 00:27:40
algo menos de lo que preocuparnos 00:27:43
el resto de propiedades 00:27:45
pues exactamente las mismas que teníamos 00:27:47
pues las he vuelto a repetir aquí ahora 00:27:49
pero no las vamos a ver 00:27:51
solo las comentamos y ya está 00:27:54
cuando el exponente es un 0 00:27:55
cualquier número le doy al 0 00:27:58
me da 1 00:28:01
cuando el exponente es un 1 00:28:01
Cualquier número elevado a 1 se queda como estaba. 00:28:03
La regla de los signos es exactamente igual. 00:28:06
Si la base, en este caso la fracción, es una fracción negativa y el exponente es par, pues el signo desaparece. 00:28:10
Ahora, si el exponente es impar, el signo se queda. 00:28:17
Lo que pasa es que le saco fuera del paréntesis. 00:28:21
O sea, lo mismo que hacíamos en el tema de números enteros. 00:28:23
El resto de propiedades, las mismas. 00:28:27
producto de potencia de la misma base, dejamos la misma base y sumamos los exponentes 00:28:29
nada más que esas bases ahora son fracciones 00:28:34
división de potencia de la misma base, dejo la misma base y resto los exponentes 00:28:36
pero esas bases son fracciones 00:28:41
todo lo mismo, producto de potencia que tienen distinta base 00:28:44
pero igual exponente, pues dejo el exponente ese común y multiplico las bases 00:28:49
nada más que ahora las multiplico con las reglas de las fracciones 00:28:54
para la división lo mismo 00:28:57
división de potencia que tiene en el mismo exponente 00:28:58
pero distinta base 00:29:01
pues divido las bases y dejo el exponente común 00:29:02
ahora la división 00:29:05
pues la hago como un producto en cruz 00:29:07
aquí la multiplicación como un producto en línea 00:29:08
pero lo mismo 00:29:11
potencia una potencia pues dejo la base 00:29:12
y multiplico los exponentes, lo mismo 00:29:15
¿vale? o sea que es todo 00:29:17
exactamente igual 00:29:19
que lo que teníamos antes 00:29:21
¿vale? 00:29:23
Vale. Vale. 00:29:23
Por ejemplo, despacito, aparte de los que tenéis en los deberes, os los enseño cuáles serían. Y ahora nos inventamos otro, para no repetir. Pues sería, este reducido como un denominador, tenemos, suma, resta, multiplicaciones, divisiones, lo tenemos. 00:29:53
potencias 00:30:12
aplicar la definición 00:30:14
lo tenemos, donde veis que os he metido muchas veces 00:30:17
ese exponente negativo 00:30:19
que es la propiedad nueva que me ha aparecido 00:30:20
las demás van a ser las mismas 00:30:22
propiedades de esas potencias 00:30:24
pues lo mismo, para que recordéis un poco 00:30:26
cómo va esto 00:30:28
y ahora lo que quiero ver es qué pasa en estos casos 00:30:30
cuando tengo exponente negativo 00:30:33
base negativa 00:30:34
es lo que digo que os guía un poco 00:30:35
¿vale? y luego ya tendríamos 00:30:38
los de operaciones combinadas 00:30:40
que ya aquí meto todo tipo de números 00:30:41
decimales, potencias, fracciones 00:30:43
¿vale? pero vamos a ver 00:30:46
estos primero 00:30:47
entonces 00:30:48
me prefiero un poquito de tiempo 00:30:51
prefiero borrarlo así porque no funciona bien 00:31:03
el lienzo y luego empiezo a hacer cosas raras 00:31:06
y me empiezo a poner nervioso 00:31:08
cuando me deja escribir 00:31:10
hazme estos segundos ¿vale? 00:31:11
hasta que coja bien el dominio de la tableta 00:31:13
a ver, por ejemplo 00:31:15
tengo dos tercios 00:31:17
elevado a 0 00:31:19
¿qué pasaría? 00:31:22
Verónica, que me vas a ir contestando tú ahora 00:31:24
déjate el micrófono 00:31:26
que tú misma me vas a ir diciendo este repaso de propiedades 00:31:26
me has pillado ahora con la cabeza llena 00:31:30
creo que era 1 00:31:34
a mí me da igual que el número sea negativo 00:31:34
que sea positivo, que sea fracción, que sea lo que sea 00:31:38
la propiedad me decía que 00:31:40
cuanto tenga disponente un 0 00:31:41
anula todo, se queda en 1 00:31:43
ahora tengo 00:31:45
ese mismo 2 tercios 00:31:47
pero lo tengo elevado a menos 3 00:31:49
que es la propiedad 00:31:51
que hemos introducido nueva 00:31:54
¿qué me dice ese menos 3? 00:31:55
que el número 00:31:59
que va a salir si era impar 00:32:00
era siempre negativo 00:32:01
cuidado, cuidado 00:32:03
no, positivo 00:32:05
esta es la propiedad nueva 00:32:05
que lo estoy haciendo 00:32:09
y no pasa nada 00:32:12
quiero que veáis 00:32:13
que esto es lo que os vais a confundir 00:32:15
estamos tan obsesionados 00:32:17
con los negativos 00:32:19
que ahora confundo lo que significa 00:32:20
cuando yo tengo un negativo 00:32:23
en un exponente 00:32:25
lo único que me dice es que estoy 00:32:26
mal colocado 00:32:29
que lo que estaba abajo tiene que estar arriba 00:32:30
y lo que estaba arriba tiene que estar abajo 00:32:33
¿vale? eso cuando tengo el exponente 00:32:35
negativo 00:32:37
¿de acuerdo? 00:32:39
¿por qué? 00:32:41
si es la propiedad nueva que hemos visto hoy 00:32:42
vale, vale, si es la nueva de hoy 00:32:44
elevado a menos n 00:32:46
es lo mismo que 00:32:48
b partido de a 00:32:50
elevado a n 00:32:53
vale, vale, sí 00:32:55
el negativo en un exponente 00:32:56
lo que hace es invertirme la fracción 00:32:58
¿vale? eso es lo que tenemos 00:33:01
que aprender nuevo, que no sabíamos 00:33:03
hasta ahora, porque no nos había parecido 00:33:05
ahora vamos a lo que tú decías 00:33:07
para ver la diferencia 00:33:09
y luego vamos a mezclar las dos cosas 00:33:10
para que veáis 00:33:12
como os aconsejo yo que lo hagáis 00:33:14
para que no os liéis, ¿vale? 00:33:16
Tengo S menos 2 tercios, ahora el menos está en la base, elevado a 3. 00:33:18
Ah, claro, cuando la base era negativa. 00:33:25
Cuando la base es negativa, teníamos que ver si el exponente era par o era impar. 00:33:27
Como en este caso el exponente es impar, ¿qué me hace ese exponente al signo? 00:33:32
Dejarle como está. 00:33:38
Como estaba, sí. 00:33:40
Porque voy a multiplicar un negativo un número impar de veces, 00:33:41
entonces el último negativo se va a quedar sin pareja 00:33:44
y me lo vuelve todo negativo 00:33:47
lo único que pasa aquí es que ese negativo 00:33:49
sale del paréntesis 00:33:51
es lo que te iba a decir, que sale del paréntesis 00:33:53
¿por qué? 00:33:56
porque acordaos que yo os insistía mucho en que primero 00:33:56
controlo el signo 00:33:59
y luego ya hago la operación 00:34:01
numérica, aquí al controlar 00:34:03
el signo estoy diciendo 00:34:05
potencia par de negativo 00:34:06
resultado negativo 00:34:09
¿cuánto vale ese resultado? por lo que me salga de hacer 00:34:10
2 tercios al cubo, que no sé cuánto es 00:34:13
o sea, si hiciese la cuenta 00:34:16
si sigo aplicando propiedades 00:34:18
digo, una potencia 00:34:20
de una fracción es 00:34:22
potencia del numerador, potencia del denominador 00:34:24
pero el menos le voy arrastrando 00:34:27
todo el rato, porque el menos ya le fije 00:34:28
desde el principio que no se iba a ir 00:34:30
a ningún sitio 00:34:32
y me quedaría al final, pues 8 00:34:34
27 agos, ese sería 00:34:36
mi resultado, pero 00:34:38
desde el principio 00:34:39
controlando que el negativo se queda 00:34:41
¿vale? 00:34:45
vamos a ver ahora este otro caso 00:34:46
menos 3 00:34:49
ahí, déjame escribir 00:34:50
¿qué te pasa ahora? 00:34:56
a ver, que se ha quedado ya la tableta 00:35:02
pero bueno 00:35:04
no me dejas escribir 00:35:07
ahora, vale 00:35:10
menos 3 00:35:12
menos 3 quintos 00:35:14
y lo quiero elevar a la cuarta, Verónica, ¿qué hago? 00:35:21
Pues ahí sería positivo. 00:35:27
Positivo, o sea, primero controlo el signo, 00:35:28
potencia parte del número negativo por resultado positivo, 00:35:30
o sea, que el signo desaparece 00:35:33
y dejo solo la potencia de la fracción en positivo. 00:35:36
Si hiciésemos ahora la potencia de esa fracción, 00:35:42
pues tengo 3 a la cuarta entre 5 a la cuarta, 00:35:44
tendríamos un 91 00:35:48
3 por 3 es 9, por 3 es 27 00:35:52
y por 3 es 91 00:35:55
y 5 a la cuarta sería 00:35:56
5 por 5 es 25, por 5 es 125 00:35:58
y por otro 5 es 620 00:36:01
¿vale? 00:36:04
pero sé que el resultado es positivo 00:36:06
desde el principio 00:36:08
es lo que tengo que controlar siempre 00:36:09
lo primero ¿vale? 00:36:11
siempre lo primero 00:36:13
controlar 00:36:15
el resultado 00:36:16
el signo del resultado 00:36:18
vale 00:36:27
me gustaría verlo en una operación 00:36:30
cuando está elevado 00:36:34
en impar, ¿sabes? 00:36:35
lo vamos a ver luego en operaciones 00:36:37
ahora lo que quiero es que lo veáis por separado 00:36:38
para ver todos los casos 00:36:42
que nos pueden dar 00:36:43
primer caso 00:36:44
que el exponente fuese negativo 00:36:46
lo único que me hacía es que me daba la vuelta 00:36:49
a la operación pero no cambiaba los signos 00:36:51
en ningún sitio, solo en el exponente 00:36:53
y se da la vuelta de la palabra. Segundo caso. Las bases son las que son negativas 00:36:56
y tengo exponente par, exponente impar. Uno me dejo al signo, 00:36:59
el otro me le quita. Y ahora voy a ver el caso en el que tengo las dos 00:37:03
cosas, que es el que nos vuelve locos. 00:37:08
Menos dos tercios 00:37:14
elevado a menos 00:37:15
cinco. Y ahora, ¿qué pasa? 00:37:19
que hay negativos en los dos sitios 00:37:23
pues que a nadie se le ocurra 00:37:26
decir que este negativo 00:37:28
por este negativo es un positivo 00:37:30
porque estaría metiendo la pata hasta arriba 00:37:32
entonces tengo que ir 00:37:34
en orden 00:37:36
y el orden que yo os aconsejo es que controléis primero 00:37:37
el signo del exponente 00:37:40
el signo del exponente me decía que 00:37:41
la fracción 00:37:44
se da la vuelta 00:37:46
pero sigue siendo negativa 00:37:47
ahora el exponente 00:37:51
se ha vuelto positivo 00:37:53
porque he invertido la fracción 00:37:55
y ahora me queda por último 00:37:58
controlar mediante la regla de los signos 00:38:01
qué pasa con el signo de abajo 00:38:04
como el exponente es impar, el menos se queda 00:38:06
y la potencia 00:38:10
solo pasa a afectar 00:38:14
a la fracción en positivo, pero el menos sé que se ha quedado 00:38:16
yo calculo esto y me queda 00:38:20
pues menos 3 a la quinta 00:38:22
entre 2 a la quinta 00:38:24
¿Vale? Entonces yo sé que el resultado es negativo 00:38:29
y 3 a la quinta, pues si os acordáis, 3 a la cuarta era 91 00:38:39
pues ese 91 lo multiplico por otro 3, me queda 00:38:43
273 en el numerador y 2 a la quinta 00:38:46
es 32. Entonces 2 por 2 es 4, por 2 es 8, por 2 es 16 00:38:51
y por 2 es 32. Pero mi fracción se ha quedado negativa 00:38:55
que lo podría haber visto desde el principio 00:38:59
puesto que desde el principio yo veía que estaba haciendo una potencia 00:39:02
impar de un número negativo 00:39:06
y la potencia impar de un número negativo 00:39:09
aunque ese impar venga del negativo también, eso me da lo mismo 00:39:12
me hace que el menos se vaya arrastrando 00:39:15
todo el tiempo, ¿vale? o sea que 00:39:18
quien se le ocurra hacer la regla de los signos de menos por menos más 00:39:21
la ha cagado pero vamos, con todo el equipo 00:39:25
¿vale? porque se va a comer 00:39:27
el signo del resultado 00:39:29
y encima se va a comer el dar la vuelta 00:39:31
a la fracción 00:39:33
¿se ve, Verónica? 00:39:34
Sí, lo veo, lo veo, o sea, lo primero es 00:39:37
darle la vuelta a la fracción 00:39:39
primero eso, para que no os liéis 00:39:40
se podría hacer en cualquier orden, porque fijaos 00:39:43
que os he dicho ahora el orden contrario 00:39:45
el sacar primero el signo bajo, pero 00:39:47
yo os aconsejo que primero 00:39:49
quitéis los signos de los exponentes y luego ya 00:39:50
lo trato como si fuese una potencia normal 00:39:53
De exponente natural, ¿vale? Porque si no, os liáis. Vamos a ver este caso ahora. Dos quintos menos dos quintos a la menos dos. Verónica, ¿qué harías? 00:39:55
pues ahora lo primero que haría 00:40:10
según has dicho tú es darle la vuelta 00:40:15
que sería 00:40:18
5 partido de 2 00:40:20
pero el menos se queda 00:40:21
el menos se quedaría 00:40:22
y esto va a estar elevado a 00:40:24
2 positivo 00:40:26
eso te iba a decir, que al ser positivo, claro 00:40:29
no, no, es porque 00:40:31
has dado la vuelta a la frase 00:40:33
el menos de abajo todavía está 00:40:34
fíjate, esto es lo que quiero que veáis 00:40:37
que es donde lo veáis 00:40:40
y ahora ya voy a por el menos de abajo 00:40:41
Ahora ya sí hago lo que tú querías hacer 00:40:42
Que es como el exponente es par 00:40:44
El menos de abajo va a desaparecer 00:40:48
Se va a volver positivo el resultado 00:40:50
O sea, la primera operación es para el exponente de arriba, ¿vale? 00:40:54
La primera operación siempre es que al exponente le vuelvas positivo 00:40:57
No quieres tener ningún exponente negativo nunca 00:41:01
Lo primero que haces es deshacerse de lo negativo del exponente 00:41:04
Y luego ya harás lo que tengas que hacer con lo de la base 00:41:08
que muchas veces luego cuando veamos los ejercicios hasta se terminan yendo ellos solos 00:41:11
porque hay alguna propiedad de las potencias que hace que desaparezcan o tal, ¿vale? 00:41:15
Pero el que a mí me estorba el primero es este que me ha salido ahora de nuevas hoy, que es ese exponente negativo. 00:41:19
Cuando ya tengo controlado ese, pues ya sabíamos por las propiedades de las potencias en los números enteros 00:41:26
que las potencias pares de números negativos se olvidan positivo y por último, 00:41:32
esa última propiedad que hemos ido aplicando 00:41:36
todo el rato, que la potencia 00:41:39
de una fracción o de un 00:41:41
cociente es hacer la potencia 00:41:43
del numerador y del denominador por 00:41:45
separado 00:41:47
por 25 cuartos 00:41:47
¿vale? 00:41:50
Sí, practicar y practicar 00:41:52
Yo podría haber dicho que es positivo 00:41:53
desde el principio viendo que este 2 es par 00:41:56
pero no lo hagáis así 00:41:58
parece una tontería 00:42:00
pero os lleva a que os equivoquéis 00:42:02
mucho más 00:42:05
muy importante, como os he repetido 00:42:05
más de una vez, en matemáticas 00:42:08
seguir un orden 00:42:10
y aquí os equivocáis 00:42:12
bastante menos si el orden es 00:42:14
quitar primero los negativos del exponente 00:42:16
y luego ya ver qué pasa con los de la base 00:42:18
que cuando queréis quitar primero 00:42:20
los de la base y los del exponente 00:42:22
se quedan por ahí dando vueltas que luego no sé 00:42:24
qué hacer con ellos 00:42:26
y lo malo del todo es eso 00:42:27
que intenté quitar unos con otros porque estoy pensando 00:42:30
que es un producto de números 00:42:32
negativos, no, no es un producto, es una potencia 00:42:34
yo no multiplico 00:42:37
menos dos tercios por menos cinco 00:42:38
voy a multiplicar menos dos 00:42:40
tercios cinco veces por sí mismo 00:42:42
y en realidad 00:42:44
no es el menos dos tercios lo que multiplico 00:42:46
es menos tres medios 00:42:48
porque el menos de cinco hacía que la fracción 00:42:50
se induciese, ¿vale? 00:42:52
esto es un poco a lo mejor trabalenguas 00:42:55
visto así de cuneras 00:42:57
pero os he querido poner pues todos los 00:42:58
posibles casos que me pueden aparecer 00:43:00
para que veáis muy bien que tenemos que controlar, como siempre os digo, 00:43:02
primero los signos y luego ya las cuentas, 00:43:09
porque los signos son los que nos van a dar los problemas. 00:43:12
Y en este caso, pues mi consejo es que controléis primero los signos de los exponentes 00:43:14
y luego ya os peguéis con los de las bases, ¿vale? 00:43:19
Porque eso, como ya hemos hecho ejercicios en números enteros, 00:43:22
pues tenemos un poco más de soltura con ellos. 00:43:26
Como bien ha dicho Verónica, y yo vuelvo a repetir, esto hay que practicar. 00:43:29
Claro. Si me quedo solo con un ejercicio o le veo hecho solo una vez sin hacerle yo, pues hecho es muy bonito, todo muy razonable, pero cuando lo tengo que hacer se me empiezan a mezclar las ideas. ¿Vale? 00:43:32
Vale. 00:43:45
Bueno, pues las operaciones combinadas no hay nada nuevo en ellas. Es lo mismo que hacíamos siempre, que voy a hacer primero los paréntesis, tal y cual. 00:43:46
Lo que me aparece nuevo aquí es que, como os he puesto aquí, ojo, porque si me han mezclado números decimales con números enteros y con fracciones, esos números decimales no soy capaz de operarlos. 00:43:59
¿Qué hemos aprendido a hacer con ellos? Pues a buscar su fracción generatriz y tratar todo como fracciones 00:44:12
Entonces si me aparece un número decimal, como ocurre aquí con este 0.75, lo primero que hago es buscar su fracción generatriz 00:44:20
Y la fracción generatriz del 0,75, si os acordáis, era 75 dividido entre 100, o sea, número entero sin la coma, dividido por un 1, con tantos ceros como decimales, tenía el número. 00:44:28
cuando yo obtenga ese 75% partido de 100 voy a darme cuenta de que lo puedo dividir a los dos entre 25 00:44:44
y a qué llegaré, a que ese 75 partido de 100 en realidad es lo mismo que 3 cuartos 00:44:54
pues luego hago las operaciones con ese 3 cuartos 00:45:01
lo vamos a dejar aquí porque quiero que probéis vosotros con esos ejercicios que tenemos puestos 00:45:05
a ver qué os pasa. Y el próximo día 00:45:13
si hace falta, pues hacemos 00:45:15
vamos a hacer algunos de operaciones 00:45:17
combinadas. Os he puesto estos 00:45:19
dos ejemplos. En este segundo 00:45:21
tengo un número periódico 00:45:23
puro. Le tendré que pasar a fracción 00:45:25
acordándome que era un número entero 00:45:28
sin la coma, sin la parte entera 00:45:29
y dividido por tantos nueves como cifras 00:45:31
se repetían. O sea que me va a quedar 00:45:33
un tres novenos. 00:45:35
Ese tres novenos cuando lo simplifique 00:45:37
me queda un tercio que pone aquí. 00:45:39
¿De acuerdo? 00:45:41
¿No? Sí. Ese paso intermedio, por eso os lo he querido poner aquí. Sustituir los números decimales por su fracción genera tri y a partir de ahí exactamente igual que hacíamos en números naturales y en números enteros. Lo primero paréntesis, lo segundo potencias, lo tercero multiplicaciones y divisiones, lo último sumas y restas. Exactamente igual. 00:45:43
Entonces, con estos dos ejemplos de aquí, a pelearos un poquito de aquí al martes con esta potencia de exponente negativo y con estas operaciones combinadas, si queréis. 00:46:06
Pero las que nos mandaste dices, ¿no?, que tenemos en los ejercicios. 00:46:19
Pues este os lo mandé entero 00:46:22
El 6 00:46:26
Sí, pero si no habíamos llegado 00:46:26
Vale, que es lo que hemos visto 00:46:28
Había cosas que sabíamos, pero otras no 00:46:30
Este sí se puede hacer entero, pero luego ya del 7 00:46:32
Que tenía tantísimos, pues no os mandé todos 00:46:34
Os mandé más o menos la mitad 00:46:37
¿Vale? 00:46:39
No sé si los fui poniendo alternos 00:46:40
O seguidos, no me acuerdo 00:46:42
A ver 00:46:44
Yo creo que me lo apunté 00:46:46
Creo que hasta bajé 00:46:47
De la hasta el G, me parece 00:46:49
hasta la G y luego os puse 00:46:51
alguno más de luz aquí atrás 00:46:54
un poco más largo de estos de corchetes 00:46:55
pero bueno, da igual, que esto es 00:46:57
ir pasito a pasito 00:47:00
no corro hasta que no sepa andar 00:47:01
y no ando hasta que no sepa atear 00:47:04
poco a poco, ¿vale? 00:47:06
porque ahora se me muestran aquí muchas cosas 00:47:08
con un despiste que tenga mínimo 00:47:10
me he cargado toda la operación 00:47:12
¿vale? 00:47:14
pero no hay nada que no sepáis hacer 00:47:16
de verdad, solo es ir 00:47:18
despacito, para ir cogiendo 00:47:19
confianza y ya tendremos 00:47:22
tiempo de correr, ¿de acuerdo? 00:47:24
Muy bien. Bueno, pues 00:47:26
aquí lo dejamos hoy 00:47:28
cualquier duda que tengáis, pues me decís 00:47:29
y eso 00:47:32
que el tema de 00:47:34
ayer de ciencias, pues 00:47:36
como lo voy a volver a regrabar entero 00:47:38
pues intentaré que esté antes del viernes 00:47:39
para que lo podáis mirar 00:47:42
pero ya no sé, ¿vale? 00:47:43
Perfecto. Y esperemos que 00:47:47
este ahora no me lo corte cuando lo de grabar 00:47:48
Venga, pues muchas gracias 00:47:50
Gracias. Buena tarde. Venga 00:47:52
hasta la semana que viene 00:47:54
Autor/es:
Ángel Luis Sánchez Sánchez
Subido por:
Angel Luis S.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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Fecha:
23 de octubre de 2024 - 13:35
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB ORCASITAS
Duración:
47′ 57″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
665.36 MBytes

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