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Ec Matricial- Caso 1 - Contenido educativo

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Subido el 26 de enero de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Vamos a ver la parte de ecuaciones con matrices y determinantes. 00:00:00
Esta parte son tres casos distintos y nos vamos a centrar en este vídeo en el caso 1, 00:00:04
que es cuando podemos despejar la incógnita. 00:00:09
Para poder despejar la incógnita nos vamos a ver en el concepto de matriz inversa, 00:00:12
que lo vamos a recordar un poquillo. 00:00:16
¿Qué significaba que la matriz A tuviera matriz inversa? 00:00:19
¿O que A-1 sea la inversa de A? 00:00:24
pues esto lo que quiere decir es que si yo multiplico a por la inversa, por a menos 1, lo que obtengo es la matriz identidad, ¿vale? 00:00:26
Como si fuera el 1 en matrices, o bien si yo multiplico a la inversa por a, obtengo también la matriz identidad, ¿vale? 00:00:34
Fijaos, dependiendo de por donde multiplique, porque ya sabemos que el producto de matrices no es conmutativo, ¿no? 00:00:44
aquí a la A la he multiplicado por la derecha por la inversa 00:00:49
y aquí en el segundo caso a la A la he multiplicado por la inversa por la izquierda 00:00:53
tenemos que tener mucho cuidado por donde multiplicamos a la matriz 00:00:58
ya que el producto de matrices no es conmutativa 00:01:02
en ambos casos si A-1 es la matriz inversa 00:01:04
me da igual multiplicarla por la izquierda que por la derecha 00:01:09
que el resultado siempre va a ser la matriz identidad 00:01:11
como si fuera la matriz unidad 00:01:14
¿Qué ocurre con los números? Por ejemplo, si yo tengo el número 3, ¿quién es su inverso? Su inverso es un tercio. ¿Qué ocurre numéricamente? Que multiplique 3 por un tercio o un tercio por 3. 00:01:16
nos da lo mismo porque sabemos que el producto de números es conmutativo 00:01:32
y en ambos casos tendríamos tres tercios, que es uno, la identidad. 00:01:36
Pues con matrices ocurre exactamente igual, 00:01:41
pero tengo que tener cuidado si multiplico por la izquierda o por la derecha, ¿vale? 00:01:43
Porque el producto no es conmutativo. 00:01:48
Esto es lo primero que tenemos que tener en cuenta. 00:01:51
Lo segundo que tenemos que tener en cuenta, que es la forma de despejar. 00:01:54
vamos a encontrarnos por ejemplo con ecuaciones matriciales del estilo 00:01:59
ax más bi, no más bi no perdón, más b igual a c 00:02:03
donde a, b y c van a ser matrices conocidas que me las van a dar 00:02:11
y x es mi matriz incógnita, lo que yo quiero calcular 00:02:17
vale, vamos a ir viendo igual que he hecho arriba 00:02:22
la similitud con las ecuaciones algebraicas 00:02:24
que yo tendría, por ejemplo, lo voy a hacer con números que sé que con letras os cuesta más. 00:02:27
5x menos 3 igual 6, ¿vale? 00:02:33
Es como si fuera de esta manera, me da igual el más que el menos. 00:02:37
¿Qué haríamos con una ecuación algebraica? 00:02:41
Pues lo primero, este menos 3 lo tengo que transponer al otro miembro, ¿verdad? 00:02:43
Para quitarlo tenemos que sumar, por lo tanto nos quedaría 5x igual a 6 más 3. 00:02:48
Eso sería lo primero que tendríamos que hacer. 00:02:54
Bueno, pues con matrices hacemos exactamente lo mismo 00:02:56
Como yo tengo aquí un más b, pues lo que hago es quitarla restándoselo 00:03:00
Y me queda c menos b 00:03:05
Ya estaríamos en el mismo caso 00:03:08
¿Qué ocurre ahora? Que lo que yo quiero es despejar la x 00:03:10
Si estamos en la parte algebraica, ¿qué hacemos para despejar la x? 00:03:12
Bueno, vamos a poner 5x igual 9 00:03:17
¿Vale? Ya que lo estoy haciendo con números 00:03:19
¿Qué haríamos aquí para despejar la x? 00:03:21
Nosotros siempre decimos, ah, como la x está multiplicando, pasa dividiendo. 00:03:24
Pero eso ¿por qué es así? ¿Qué es lo que hemos hecho? 00:03:28
¿Qué fue lo que se os explicó en primero de la ESO? 00:03:31
Que queda ya muy lejos. 00:03:33
Que para quitar este 5, lo que hacemos es multiplicar por su inverso. 00:03:35
Es decir, yo hago un quinto por 5 por x. 00:03:38
Pero para que la ecuación no varíe, si lo he multiplicado en el primer miembro, lo multiplico en el segundo. 00:03:43
Y cuando tenemos números, cuando es una ecuación algebraica me da igual donde pongo el 1 quinto, normalmente tendemos a ponerlo a la derecha, porque dejamos el 9 donde lo teníamos. 00:03:48
¿Y por qué hacemos esto de multiplicar por el inverso? Porque como hemos visto antes, 1 quinto por 5 es 1, y ¿qué me queda aquí? 1 por x igual a 9 quintos. 00:04:00
Y el 1 por x, un 1 por cualquier cosa, es decir, la unidad, siempre por cualquier cosa, siempre es esa cosa. 00:04:11
Por lo tanto, de aquí ya tendríamos despejado que la x es 9 quintos. 00:04:21
¿Vale? Esto es con lo que nosotros hacemos con el álgebra, con las matrices. 00:04:25
Lamentablemente, no puedo coger y decir, como el 5 está multiplicando, pasa dividiendo. 00:04:31
¿Vale? Lo que solemos hacer siempre aquí. 00:04:37
Porque no existe la división 00:04:38
¿Qué es lo que vamos a tener que hacer? 00:04:40
Multiplicar por el inverso 00:04:42
Que es lo que os he puesto aquí arriba 00:04:43
Esta primera parte que os he puesto aquí 00:04:47
¿Vale? 00:04:49
Pero ojo, como os he dicho 00:04:51
Hay que tener mucho cuidado 00:04:52
Por qué lado estamos multiplicando 00:04:53
Si tengo mi a aquí a la izquierda de la x 00:04:56
Yo tengo que multiplicar por la inversa 00:04:59
A izquierdas en los dos miembros 00:05:01
Es decir, tendríamos que poner 00:05:02
A menos 1 por a por x 00:05:04
y aquí en el segundo miembro también tengo que multiplicar en el mismo lado, por la izquierda, a menos 1 por c menos b. 00:05:07
Multiplico los dos por el mismo lado. 00:05:17
Si lo multiplicase por el otro lado, lo pusiera a la derecha, lo estaríamos haciendo mal porque el producto no es conmutativo. 00:05:19
¿Y ahora cuánto es a menos 1 por a? 00:05:25
Pues a menos 1 por a, como hemos puesto arriba, es la identidad. 00:05:29
¿Y qué me queda? Pues que y por x es la inversa por c menos b. 00:05:31
Pero igual que pasa con los números, ¿cuál va a ser el resultado de multiplicar una matriz por su inversa? 00:05:39
Pues siempre, perdón, por su inversa no, por la identidad. 00:05:45
La identidad por cualquier matriz siempre es esa matriz. 00:05:49
Luego aquí me quedaría que la x es a menos 1 por c menos b. 00:05:52
¿Vale? Eso sería la forma de despejarlo. 00:05:57
Yo espero que nos haya quedado claro. 00:06:01
Vamos a borrar también esta parte de aquí. 00:06:03
¿Qué hubiera pasado si la ecuación hubiera estado al revés? 00:06:08
x por a, ahora vamos a hacer un ejemplo como este, ¿vale? 00:06:13
Más b igual c. 00:06:16
Bueno, pues hubiéramos empezado igual. 00:06:19
x por a igual a c menos b. 00:06:21
Y ahora, como la matriz a está a la derecha de la x, 00:06:25
multiplico a derechas por la inversa. 00:06:29
Y aquí multiplico también a derechas por la inversa. 00:06:33
Y ahora ya a por a menos 1 es la identidad y cualquier matriz por la identidad es ella misma, 00:06:37
no lo escribo dos veces, y me quedaría que x es c menos b por a menos 1. 00:06:44
Entonces fijaos la diferencia en si la incógnita está a izquierda o a derecha. 00:06:51
Tenemos que tener mucho cuidado con eso. 00:06:55
Vamos a ver un ejemplo concreto. Voy a borrar todo esto y vemos el ejemplo. 00:06:57
Vale, ya he borrado y he escrito el ejemplo 00:07:01
Queremos resolver esta ecuación 00:07:04
X por A menos 2B igual a C 00:07:06
Donde A, B y C son las matrices que he copiado a la derecha 00:07:09
Vale, pues lo primero que tenemos que hacer que es despejar 00:07:12
Despejamos 00:07:15
Lo primero, el menos 2B lo pasamos al otro miembro, ¿verdad? 00:07:17
Y me queda X por A igual a C más 2B 00:07:21
Todo esto también lo podemos ir haciendo escribiendo todas las matrices 00:07:26
pero bueno, así escribimos menos 00:07:29
y ahora despejamos la x 00:07:32
para despejar la x quiero quitar la a 00:07:34
fijaos que está a la derecha 00:07:36
luego multiplicamos la a por la inversa a la derecha 00:07:38
y por lo tanto en el segundo miembro 00:07:42
también multiplico a la derecha 00:07:44
por a menos 1 00:07:46
a por a menos 1 ya hemos visto que es la identidad 00:07:49
y x por la identidad es ella misma, es x 00:07:52
Luego x es c más 2b por a menos 1, ¿vale? 00:07:55
Pues que me queda solo para poder calcular la matriz x, pues tengo que operar. 00:08:03
Vale, vamos a ir operando aquí a la derecha. 00:08:10
Poco a poco, lo primero que voy a hacer es calcular la inversa, ¿por qué? 00:08:13
Porque fijaos que después de hacer todo esto me doy cuenta que no existe inversa, 00:08:17
que la a no tiene inversa, pues habríamos estado trabajando a lo tonto. 00:08:21
Entonces lo primero que tenemos que hacer, cuando una matriz tiene inversa, cuando su determinante es distinto de 0, pues calculamos el determinante de A. 00:08:25
Determinante de A es el determinante 1, 2, 3, 5, es una matriz 2 por 2, aplicamos Saru, si es diagonal principal, 1 por 5, 5, menos producto de la diagonal secundaria, 2 por 3, 6, 5 menos 6, menos 1. 00:08:34
Esto es distinto de 0, lo que significa que existe la inversa. 00:08:49
Vale, fenomenal. Pues ahora calculamos la inversa. ¿Cuál es la fórmula de la inversa? 00:08:55
A menos 1 es 1 partido por el determinante de A, que es por lo que tiene que ser distinto de 0, por la traspuesta de la matriz adjunta de A. 00:09:00
Lo voy a ir haciendo poquito a poco, ¿vale? Ya sabéis que yo en clase tiendo a hacerlo muchas veces todo de una vez, 00:09:12
pero como estoy viendo que no se está quedando muy claro, lo voy a ir haciendo poco a poco. 00:09:17
Voy a calcular primero la matriz adjunta. ¿Quién es la matriz adjunta de A? 00:09:20
la matriz adjunta de A, la matriz A es 1, 2, 3, 5, ¿vale? 00:09:25
La matriz adjunta es la que está formada por todos los adjuntos. 00:09:35
He dicho algo que es como, vale, ¿y cuáles son cada uno de los adjuntos? 00:09:39
Los adjuntos de cada uno de los elementos. 00:09:42
¿Quién es el adjunto? Os lo recuerdo aquí abajo, ¿quién es el adjunto 1, 1? 00:09:45
pues menos 1 elevado a 1 más 1 00:09:49
los numeritos, o sea la fila y la columna del elemento 00:09:53
por el menor 1, 1 00:09:57
¿vale? 00:10:00
¿y quién es el menor? 00:10:01
pues el determinante que obtenemos 00:10:02
de tachar la fila y la columna en la que esté 00:10:04
que esto lo podría haber puesto en general 00:10:07
como si fuera i, j 00:10:09
y aquí sería i, j 00:10:11
y aquí i, j 00:10:14
y me serviría así para cada uno de los elementos, ¿vale? 00:10:17
La parte del signo, yo os dije, el truquito que yo hago siempre para no equivocarme, 00:10:21
como el primer elemento es el 1, 1, 1 más 1 es 2, menos 1 elevado al número par siempre es positivo, 00:10:26
luego yo sé que el primer elemento siempre es positivo y a partir de él pongo los signos alternos, 00:10:33
porque ya sabemos que 1 más 1 es 2, pero si ahora hacemos el siguiente elemento, 00:10:39
es 1 más 2 es 3, siempre van a ir par, impar, par, impar. 00:10:43
Por lo tanto, aquí sería menos y abajo también alterno, menos, más. 00:10:47
Estos serían los signos. 00:10:52
Por lo tanto, ahora lo único que tendríamos que hacer es ir calculando los menores correspondientes de cada uno de los elementos. 00:10:54
Vamos a ir viendo cómo se calculaban. 00:11:00
¿Cómo se calculaba el menor correspondiente del primer elemento? 00:11:02
Pues tachando, hemos dicho columna 1, fila 1. 00:11:06
He dicho una y he puesto la otra. 00:11:12
Si yo tacho fila 1, columna 1, ¿qué me queda? El número 5 00:11:13
Como esto es una matriz de orden 2, no tengo que hacer determinantes 00:11:18
Si hubiera sido una matriz de orden 3, me hubiera quedado un determinante de orden 2 00:11:22
Y aquí hemos dicho que nos quedaba el 5 00:11:26
Daros cuenta que no estoy transponiendo todavía, estoy haciendo la matriz adjunta solo 00:11:30
¿Quién sería el siguiente? El elemento 1, 2 00:11:35
Pues tachar primera fila, segunda columna 00:11:40
Y lo que obtengo es el número 2 00:11:43
Número 2 00:11:45
El signo era el correspondiente al adjunto 00:11:47
Y ahora estoy calculando simplemente los menores 00:11:51
¿Quién será el menor 2,1? 00:11:52
Pues tachar segunda fila, primera columna 00:11:56
Y lo que me queda es el 3 00:11:59
Por lo tanto, aquí tengo un 3 00:12:01
Y el último que me queda 00:12:04
el menor, 2, 2, segunda fila, segunda columna, y me queda el 1. 00:12:07
Pues esta sería la matriz adjunta. 00:12:14
Pero ahora, ¿yo qué quiero? Yo quiero la traspuesta. 00:12:18
Me vuelvo aquí arriba para calcular la inversa, y esto sería 1 partido por el determinante de a, 00:12:21
que hemos visto que era menos 1, por la traspuesta. 00:12:28
La traspuesta de la adjunta es coger la adjunta, por ejemplo, cojo la primera fila y la pongo en columnas, 5 menos 2. 00:12:32
Cojo la segunda fila y la pongo en columnas, menos 3, 1. 00:12:41
¿Y ahora qué es lo único que tengo que hacer? Multiplicar por el 1 partido por el determinante. 00:12:49
1 partido por menos 1 es menos 1 00:12:54
Luego multiplico a toda la matriz por menos 1 00:12:57
Menos 5, os vais a cambiar de signo a todos los elementos 00:12:59
Más 3, más 2, menos 1 00:13:04
No hace falta poner el más, simplemente lo he puesto un poco para que lo veamos 00:13:09
Pero ya sabéis que no hace falta 00:13:13
Luego ya tenemos calculada la matriz inversa 00:13:15
¿Qué tengo que calcular ahora? 00:13:18
¿Qué me falta? El c más 2b 00:13:19
Vale, pues vamos a bajar un poquito, a hacerlo un poco más pequeño para que pueda. 00:13:22
¿Quién es c más 2b? Esto es la primera parte para calcular la inversa, lo que acabamos de hacer, y ahora aquí para calcular el c más 2b. 00:13:31
C más 2B, pues C es la matriz, menos 1, 3, 0, menos 1 00:13:40
Y ahora tendríamos que multiplicar 2 por la matriz B, que es 0, 1 00:13:49
1, 1 que lo podríamos haber hecho ya directamente 00:13:54
Incluso toda esta suma lo podríamos hacer también de cabeza 00:13:57
Pero bueno, lo escribo, menos 1, 0, 3, menos 1 00:14:00
Más, multiplicamos todos los elementos por 2 00:14:04
0 por 2, 0, 1 por 2, 2, 1 por 2, 2 y 1 por 2, 2 00:14:08
Y ahora sumamos las matrices que sumar el elemento correspondiente 00:14:14
Es decir, el 1, 1 con el 1, 1, el 1, 2 con el 2, 1, 2, etc 00:14:18
Menos 1 más 0, menos 1 00:14:23
0 más 2, 2 00:14:26
3 más 2, 5 00:14:29
Y menos 1 más 2, 1 00:14:32
¿Vale? Ya tenemos las dos matrices 00:14:34
pues voy aquí a mi izquierda y ya lo puedo hacer, la matriz X que yo busco es el producto del C más 2B que lo acabo de calcular, 00:14:37
que es menos 1, 2, 5, 1, por la matriz inversa que la hemos calculado antes, que era menos 5, 3, 2, menos 1. 00:14:45
Voy a borrar la parte de los cálculos para poder seguir haciendo 00:14:58
Voy a borrar toda esta parte, ya se me ha ido 00:15:03
Para poder seguir aquí, ¿vale? 00:15:06
¿Cómo se multiplicaban matrices? 00:15:12
Son las dos de orden 2, luego las podemos multiplicar, son cuadradas 00:15:16
Y la forma de multiplicar, ¿cuál es? 00:15:20
Pues multiplicamos la primera fila por la primera columna 00:15:23
Es decir, primera fila, primera fila, no me está cogiendo, primera columna, no me lo ha cogido, primera fila por primera columna, vale, pues no me lo está cogiendo, bueno, no pasa nada. 00:15:30
A ver, es que se me ha quedado un poco bloqueado, voy a pararlo. 00:15:44
Vale, que se me haya quedado parado el curso. 00:15:47
Primera fila por primera columna, vale, pero ¿cómo multiplicamos esta fila? 00:15:50
Pues primer elemento, menos 1 por menos 5 es 5, por 2 más 2, 2 por 2, 4, 5 más 4, 9. 00:15:54
Que hay veces que digo una cosa y hago otra. 00:16:06
Vale, siguiente elemento es primera fila, segunda columna. 00:16:09
Es decir, vamos multiplicando menos 1 por 3, menos 3, más 2 por menos 1, menos 3, menos 2, menos 5. 00:16:15
Siguiente elemento, segunda fila, primera columna, ¿vale? 00:16:23
Pues multiplicamos 5 por menos 5 es menos 25, más 1 por 2 es 2, menos 25 más 2, menos 23 00:16:33
Y el último elemento que me quedaría, segunda fila, tercera columna, segunda columna, perdón que he visto el 3 y he dicho un 3 00:16:43
luego 5 por 3, 15 00:16:54
más 1 por menos 1 00:16:56
que es menos 1, 15 menos 1 00:16:59
así que si no me he confundido 00:17:02
que ya sabéis que tiendo a hacerlo muy fácilmente 00:17:04
esta sería la matriz 00:17:07
simplemente recordad lo que hemos hecho 00:17:09
hemos ido despejando 00:17:11
y haciendo los cálculos intermedios 00:17:12
este sería el caso 1 00:17:14
en el siguiente vídeo voy a hacer el caso 2 00:17:16
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
26 de enero de 2025 - 15:25
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
17′ 19″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
42.38 MBytes

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