4.- Vectores paralelos, vectores unitarios, bases no ortonormales

Bueno, os voy a comentar una serie de cosas que pueden ser útiles para los ejercicios 00:00:02

que están en relación con lo que os he explicado en los vídeos anteriores. 00:00:07

Hemos estado hablando de coordenadas de vectores o de vectores perpendiculares a otros 00:00:12

y de cómo hallar las coordenadas de un vector perpendicular a otro. 00:00:18

Bueno, por retomar, ¿vale? De vectores paralelos y perpendiculares. 00:00:22

Los vectores paralelos ya sabéis que tienen la misma dirección, son proporcionales. 00:00:35

Por ejemplo, si a mí me dan el vector u de coordenadas 2, 3, cualquier vector proporcional a él, ¿vale? 00:00:41

De la forma k, u, donde k es un número cualquiera distinto de 0, va a ser paralelo, ¿vale? 00:00:47

Si, por ejemplo, a ver, k por u con k distinto de 0 es paralelo, ¿vale? 00:00:55

cualquier vector proporcional. Si me dan, por ejemplo, si yo considero que k es igual a 3, pues el vector 3u, que sería de coordenadas 6, 9, pues es paralelo al lado. 00:01:05

Si yo lo quiero perpendicular, ya hemos dicho que para obtener un vector perpendicular, que lo voy a señalar así con un ortogonal, pues hay que cambiar las coordenadas, 00:01:22

Permutar las coordenadas y cambiar una de signo. 00:01:33

Valdría este y cualquiera proporcional a este, claro, 00:01:35

porque todos los que son paralelos a U ortogonal son a su vez ortogonales a U. 00:01:39

Todos los paralelos a este son ortogonales al otro, lógicamente. 00:01:45

Entonces, este es perpendicular y todos sus proporcionales también lo son. 00:01:49

Esto por si acaso no habéis caído o por puntualizarlo. 00:01:58

En algunos ejercicios os pedirán vectores unitarios. Cuando se habla de vectores unitarios se refiere a vectores de módulo 1. 00:02:02

Si por ejemplo me dan el vector u de coordenadas 3, 5 y me piden que calcule el correspondiente unitario, 00:02:14

lo que tengo que hacer es calcular el módulo de u, que sería la raíz cuadrada de la suma de las coordenadas al cuadrado, 00:02:21

esto es la raíz de 34 00:02:28

y dividir cada una de las coordenadas de u 00:02:31

entre ese módulo que acabo de calcular 00:02:39

entonces mi vector u' que sería el unitario 00:02:43

tendría por coordenadas 3 partido de raíz de 34 00:02:48

5 partido de raíz de 34 00:02:50

este vector efectivamente tiene módulo 1 00:02:53

si yo calculo el módulo de u' 00:02:55

prima, esta sería la raíz cuadrada de la primera coordenada al cuadrado, vamos a ver, 00:02:57

pues sería 9 y la raíz de 34 al cuadrado es 34 más la segunda coordenada al cuadrado, 00:03:05

luego efectivamente esto es 34 entre 34, la raíz de 1 es 1, luego vector unitario, este 00:03:11

sería el vector unitario. Más cosas, bueno pues si me piden calcular coordenadas de vectores 00:03:17

para que sean perpendiculares, pues nada, hay que utilizar la fórmula que hemos visto 00:03:26

en los vídeos anteriores, me explico, si me dicen 00:03:30

calcula M para que el vector M5 00:03:34

sea perpendicular al vector 3,5, bueno, pues como están referenciados 00:03:38

y no nos dicen nada respecto de una base ortonormal, 3 00:03:43

si yo a este le llamo U y a este le llamo V, pues 00:03:46

vamos a ver, si yo a este le llamo, vamos a llamarle A por variar 00:03:51

y a este le llamo B y me están diciendo que tienen que ser perpendiculares 00:03:55

y si no me dicen nada es que están referenciados 00:03:58

con respecto a una base ortonormal 00:04:00

pues el producto escalar tiene que ser 0 00:04:02

luego además 00:04:04

sé que al ser base ortonormal 00:04:06

puedo poner directamente 00:04:08

el producto escalar como m por 3 00:04:10

más 5 por 5 00:04:13

luego como esto tiene que ser 0 00:04:14

3m más 25 tiene que ser 0 00:04:16

luego efectivamente 00:04:19

m tiene que valer 00:04:20

menos 25 tercios 00:04:22

esta sería otra opción 00:04:23

cuidadito porque 00:04:26

esto solo vale, esto, acordaos 00:04:28

esto, solo vale 00:04:30

escribir el producto escalar así directamente 00:04:32

cuando la base es ortonormal 00:04:34

bueno 00:04:36

cuando me hablan de vectores sobre otras bases 00:04:38

y me piden que calcule 00:04:40

el producto escalar 00:04:42

pues desde luego 00:04:44

tendría que conocer el 00:04:46

módulo de cada vector conforme 00:04:48

a esa base no ortonormal 00:04:50

y el coseno del ángulo que forman 00:04:52

el producto escalar de los dos vectores 00:04:54

Si me están diciendo que tengo dos vectores de la forma o de coordenadas, estoy hablando ahora de bases no ortonormales. 00:04:56

¿Vale? Bases no ortonormales. Si me dicen que tengo una base no ortonormal de la forma u y v, donde u efectivamente no tiene módulo 1, ni v tampoco, y me dan el dato de que el producto escalar de estos dos vectores que conforman la base es 3, 00:05:07

cuando me den dos vectores x, 1, menos 1, e y, 2, 1 00:05:30

y me digan que están referenciados respecto a esa base no ortonormal 00:05:38

cuando yo calcule su producto escalar 00:05:43

ya no puedo decir que es 1 por 2 más menos 1 por 1 00:05:46

esto ya no es, ¿vale? 00:05:51

ya no puedo decir eso porque la base ya no es ortonormal 00:05:52

Ahora tengo que escribirlos como 1 por u menos 1 por v, puesto que las coordenadas son 1 menos 1 en la base, producto escalar de 2u más v. 00:05:55

Y luego ya ir haciendo la propiedad distributiva, teniendo en cuenta que sucede esto, ¿vale? 00:06:18

Que cuando me encuentre el producto escalar de u por v voy a tener que poner 3 y cuando tenga que poner los módulos al cuadrado, pues tendré que elevar el 2 y el 3 al cuadrado. 00:06:26

¿Vale? Bueno, espero que estos truquillos os sirvan para algún ejercicio que os voy a mandar ahora. 00:06:35

Os voy a grabar otro vídeo con una cosa más. 00:06:40