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Problema 2 Gravitación - Contenido educativo

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Subido el 6 de abril de 2026 por Mario T.

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Pues vamos con el problema número 2, de este primer tema de gravitación. 00:00:00
Y el anunciado nos dice lo siguiente, que uno de los proyectos más ambiciosos de Elon Musk es Starlink, 00:00:05
una red de satélites diseñada para proporcionar acceso a internet de alta velocidad en todo el mundo. 00:00:11
Vale, pues hasta aquí de momento nada que ver con gravitación. 00:00:17
Vamos a seguir con ello. 00:00:21
Nos dice que cada uno de estos satélites tiene una masa de 250 kilos, aquí ya nos empiezan a dar datos que podemos usar. 00:00:22
y orbita a una altura de 1.200 kilómetros sobre la superficie de la Tierra. 00:00:28
Esto de aquí, 1.200 kilómetros sobre la superficie de la Tierra, no es la distancia al centro, ¿vale? 00:00:34
Por lo que vamos a tener que sumar este radio que nos dan del planeta. 00:00:40
Luego lo vemos cuando hagamos el dibujo. 00:00:43
Si suponemos que las órbitas son circulares, pues mejor, porque no son elipses, 00:00:45
toda la distancia va a ser siempre constante la misma. 00:00:50
Estupendo. 00:00:52
Calcule y el apartado A nos dice la fuerza que actúa sobre cada uno de los satélites 00:00:53
y la distancia que recorre cada día. 00:00:58
Pues vamos con ello. 00:01:01
Tenemos aquí los datos que siempre tenemos que tener apuntados en el sistema internacional. 00:01:03
Estos kilómetros los pasamos a metros y luego las constantes y datos que nos dan. 00:01:08
Aquí, la H es esta altura, son estos 1200 kilómetros. 00:01:14
Y el radio de la Tierra es esta distancia que nos dan. 00:01:18
Entonces el radio total de la órbita va a ser la suma de todo, el radio de la Tierra más la altura, que lo vamos a poner aquí porque luego lo vamos a tener que ir utilizando en las operaciones que hagamos. 00:01:21
Entonces, r, que va a ser h más rt, va a ser igual a 1,2 por 10 elevado a 6 más 6,37 por 10 elevado a 6. 00:01:33
Y esto nos sale 1,2 por 10 elevado a 6 más 6,37 por 10 elevado a 6. 00:01:48
Nos sale 7,63 por... 00:01:55
Ah, no, espera, que lo he puesto mal. 00:02:03
7,57. Perdón, no me cuadraba a mí eso, me he metido mal en la calculadora. 00:02:06
7,57. La verdad es que esto se puede hacer sin calculadora, pero soy muy perro. 00:02:11
Vale, este dato es el que vamos a tener que utilizar, ¿vale? 00:02:21
Cuando utilicemos las expresiones en la R que está dividiendo. 00:02:25
Pues vamos con lo primero, la fuerza. 00:02:28
Pues la fuerza va a ser la de la gravitación universal. 00:02:30
Como en el enunciado no nos dice el módulo, ¿vale? 00:02:32
Nos dice la fuerza que actúa, vamos a tener que utilizar vectores. 00:02:35
Pero aquí, la verdad, que el vector va a ser bastante sencillito. 00:02:39
Vamos a ver ahora por qué. 00:02:42
Entonces, usamos ley de gravitación universal. 00:02:44
Pues la escribimos f igual menos g m m partido r y ur. 00:03:01
Aquí, en este problema, el ur no lo vamos a poder sustituir por el i y el j, 00:03:12
como hemos hecho en otros. 00:03:17
¿Vale? Aquí va a tener que quedarse tal cual. ¿Por qué? Porque esta fuerza yo la he dibujado aquí, pero la podría haber dibujado aquí o la podría haber dibujado aquí. ¿Vale? O aquí. 00:03:19
Lo cual iría cambiando los I y los J que fuésemos a usar. Entonces, el UR lo que quiere decir es apuntando hacia el centro, sin más. 00:03:29
Entonces, como nosotros esta fuerza puede estar en cualquiera de estos lugares, pues dejamos el UR que nos sirve de comodín para todos. 00:03:37
¿Vale? Entonces lo único que tenemos que hacer es sustituir los datos y ya está. 00:03:43
Menos 6,67 por 10 elevado a menos 11 por la constante de gravedad universal, que eso ha quedado un poco feo escrito ahora, por la masa de la Tierra, 5,97 por 10 elevado a 24, por 250 kilogramos de los satélites y la R, que es esta de aquí que acabamos de calcular. 00:03:49
¿Vale? 7,57 por 10 a la 6. Y esto es al cuadrado, perdón, porque aquí, ¿vale? Es al cuadrado. 00:04:11
La ley de raíces universales con R al cuadrado, que se me ha ido de la cabeza. 00:04:22
Y el resultado de todo esto, pues 6, vamos a ver, menos 6,67 por 10 elevado a menos 11, 00:04:27
por 5,97 por 10 a la 24, por 250 00:04:33
y por 7,57 por 10 a la 6 00:04:37
y al cuadrado. Y esto nos sale menos 1,74 00:04:41
menos 1,74 00:04:47
por 10 a la 3 00:04:49
UR newtons. Pues ya tenemos lo que nos pedían, la fuerza. 00:04:51
Lo siguiente, la distancia que recorre 24 horas. ¿Qué es lo que vamos a hacer? 00:04:58
Pues vamos a calcular la velocidad que tiene, y luego velocidad es igual a espacio partido por tiempo, 00:05:02
como sabemos que nos dicen el tiempo o la distancia en 24 horas, ¿vale? 00:05:08
Aquí nos dicen cada día, pues cada día tiene 24 horas, así que, eso, pues sustituiremos el tiempo por 24 horas, 00:05:11
que lo pasamos a segundos multiplicando por 3600, y ahí ya obtenemos la distancia recorrida. 00:05:19
¿Cómo obtenemos la velocidad? Pues sabemos que es una órbita circular, 00:05:26
Así que podemos utilizar la velocidad en una órbita circular que la obtenemos igual que vamos con la tercera ley de Kepler, pero nos paramos un paso antes. 00:05:28
Vamos a ver cómo obtenemos la velocidad en órbita circular. 00:05:41
Y para ello empezamos con la ley de gravitación universal, menos g, m, m, partido de r al cuadrado, y puso r, y la segunda ley de Newton, f igual a menos m por aceleración centrípeta. 00:05:52
Lo de siempre, usamos módulo e igualamos y así nos quitamos vectores. Usamos módulos e igualamos. Y nos queda pues gmm partido de r al cuadrado igual a m por aceleración centripeta. 00:06:15
Las m se nos van porque es la masa de los satélites y nos queda así. 00:06:41
La aceleración centrípeta sabemos que es v cuadrado partido r. 00:06:46
Y como queremos la velocidad, pues aquí paramos, ¿vale? 00:06:49
Para poder despejar esta v. 00:06:52
Y ahora sustituimos, ¿vale? 00:06:55
La tercera idea, ¿qué perseguiríamos? 00:06:57
Pondríamos que v es igual a 2 pi r partido t. 00:06:58
Y aquí, cuando queremos la velocidad en órbita circular, pues nos paramos en este punto. 00:07:02
Muy bien, pues igualamos. 00:07:07
2g m partido de r al cuadrado igual v al cuadrado partido de r. 00:07:09
Este r con el cuadrado se nos va y despejamos la velocidad, que queda bien sencillo. 00:07:17
La raíz de g m partido de r. 00:07:23
Y ahora ya sustituimos los datos. 00:07:28
La raíz, 6,67 por 10 elevado a menos 11, por 5,97 por 10 a la 24, y partido de la r total, que es la que hemos calculado aquí arriba del todo, el 7,57. 00:07:30
¿Vale? 7,57 por 10 a la 6. Y esto nos arroja el siguiente valor de la velocidad. 6,67 por 10 menos 11 por 5,97 por 10 elevado a 24 y 7,57 por 10 elevado a 6. 00:07:50
Y esto nos queda 7,25 por 10 elevado a 3 metros partido por segundo. 00:08:12
Pues ya tenemos la velocidad. 00:08:24
Y con esta velocidad, lo que hemos dicho, como es velocidad constante, porque en un MCU la velocidad es constante, 00:08:26
podemos decir como es MCU, v será igual a distancia partido por tiempo. 00:08:33
Pues la distancia sería igual a la velocidad por tiempo. 00:08:42
Esta recorrida será 7,25 por 10 a la 3 por 24 horas por 3.600 segundos. 00:08:47
Y esto nos queda 6,26 por 10 elevado a 8 metros. 00:08:59
Y esta es la distancia recorrida en un día. 00:09:11
Pues esto es el apartado A. No tiene más. 00:09:20
El apartado A es lo que os pedía en esta fuerza y en esta distancia. 00:09:24
Así que, estupendo. 00:09:27
Vamos a por el apartado B. A ver qué nos pide. 00:09:30
Nos dice, calcular la energía que se debe suministrar a uno de estos satélites para que orbite en una órbita circular también, eso está estupendamente, de altura doble a la anterior. 00:09:34
A altura doble. Quiere decir que estos 1200 van a pasar a 2400. Pues vamos a verlo. 00:09:48
Energía que hay que suministrar para h' igual 2h. O sea, de la 2,4 por 10 a las 6 metros. 00:09:59
Pues lo que vamos a hacer es ver la energía mecánica en la primera órbita, la energía mecánica en la segunda órbita, hacer la resta y ya está. 00:10:14
Pues vamos a ver ello. A ver cómo lo hacemos. 00:10:23
Obtenemos m en cada órbita. Esa raya que me ha aparecido ahí, en cada. 00:10:27
Y ahora vamos a ver una cosa muy interesante para órbitas circulares. 00:10:43
Vale, la energía mecánica en la primera órbita, pues va a ser igual a la energía cinética en esa órbita más la energía potencial, ¿vale? 00:10:45
Y esto es 1 medio de mv cuadrado menos gmm partido de r, ¿vale? r1 en la primera órbita y v1 en la primera órbita. 00:10:56
vale, entonces 00:11:12
aquí si nos ponemos 00:11:13
lo tenemos todo porque un medio 00:11:15
es un medio, m es la masa de los satélites 00:11:17
que la conocemos, esta velocidad 00:11:19
en la primera órbita es la que acabamos de calcular 00:11:21
y la distancia en la primera órbita 00:11:23
pues es el 7,57, o sea que 00:11:25
aquí tenemos todo y podemos calcular la energía mecánica 00:11:27
porque además la g y la masa de la Tierra 00:11:29
las conocemos, así que aquí podemos obtener 00:11:31
el valor de energía mecánica, pero 00:11:34
no lo voy a hacer directamente 00:11:35
porque voy a utilizar 00:11:37
una cosilla antes que nos va a simplificar esto un poco 00:11:38
y que además lo podemos utilizar en cualquier otra órbita circular que nos encontremos. 00:11:41
Mirad, aquí tenemos la velocidad al cuadrado y la velocidad es esto de aquí. 00:11:47
Así que si ponemos esto aquí dentro del cuadrado, pues la raíz se nos va a ir 00:11:52
y nos va a quedar que esto será un medio, la masa, 00:11:56
y si esto lo llevamos al cuadrado nos queda gmr1 porque estábamos en la primera órbita 00:12:00
y la energía potencial menos GMmR1. 00:12:07
Si esto lo vamos a reordenar, esto, porque queda, vamos, ya muy sencillo. 00:12:15
Esto es un medio de esto. 00:12:20
Vamos a escribirlo de forma reordenada para que quede igual. 00:12:22
Tenemos GMm partido de 2R1. 00:12:25
Esto es lo mismo, pero escrito en otro orden. 00:12:32
y esto es menos GMM partido de R1. 00:12:35
Entonces, si esto lo operamos, nos va a quedar que la energía mecánica en 1 00:12:43
es menos GMM partido... 00:12:49
Uy, esto ha quedado un poquitín feo, vamos a reescribirlo. 00:12:58
Aquí, GM, M, partido de 2, R1, ¿vale? 00:13:03
Esto, si nos fijamos, es un medio de esto, la energía mecánica en una órbita circular, ¿vale? 00:13:10
Esto os lo dejo, la energía mecánica en una órbita circular es un medio de la energía potencial, ¿vale? 00:13:17
Para que así nos queda más fácil escribir la expresión. 00:13:24
A ver, la operación que hay que hacer es sencillita, porque simplemente sustituir esta velocidad aquí, que queda esto, y la operación es fácil. Entonces, esto, si tenéis tiempo en exámenes y demás, os recomiendo que hagáis este desarrollo. 00:13:27
Que vais muy apurados, pues podéis escribir directamente esto de aquí, ¿vale? 00:13:42
Bueno, mentira. Primero escribís esto y luego esto, ¿vale? 00:13:47
Pero esto solo, solo, solo para órbitas circulares. 00:13:54
No nos sirve para ningún otro tipo de órbita, ¿vale? 00:13:58
Esto solo en circulares. 00:14:02
Bueno, ahora tenemos aquí la energía mecánica de la órbita 1. 00:14:10
Pues la energía mecánica de la órbita 2, como también es circular, pues directamente escribimos, no vamos a hacer esto otra vez, escribimos esto va a ser menos GMM partido de 2R2. 00:14:14
Cuidado que ahora R2 va a ser igual a H' más RT, que lo dejamos aquí escrito, 2,4 por 10 elevado a 6, más 6,37 por 10 elevado a 6. 00:14:28
Y esto es 8,77 por 10 elevado a 6 metros, ¿vale? 00:14:46
pues ya está, con esto ya calculamos 00:14:53
energía mecánica 1, energía mecánica 2 00:14:56
y hacemos la resta, pues vamos al lío 00:14:58
EM1 igual menos 00:15:00
6,67 00:15:04
por 10 a la menos 11 00:15:06
que es la G 00:15:08
por 00:15:09
5,97 00:15:10
por 10 elevado a 24 00:15:13
por 250 00:15:15
partido de 2R1 00:15:17
y de R1 era 00:15:20
esto de aquí, 7,57 por 10 a la 6. 00:15:22
Y aquí lo tenemos, 7,57 por 10 elevado a 6. 00:15:26
Y esto nos sale, lo que nos tenga que salir, 00:15:32
menos 6,67 por 10 a la menos 11, 00:15:34
por 5,97 por 10 a la 24, por 250, 00:15:37
dividido de 2, por 7,57 por 10 a la 6. 00:15:43
Y todo esto nos sale menos 6,58 por 10 elevado a 9 julios. 00:15:47
Uy, que esto me ha quedado un poco feo, se me ha hecho ahí una raya, por 10 elevado a 9 julios. 00:15:59
Y la energía mecánica 2, pues hacemos lo mismo, solo que va a cambiar la R1 por la R2. 00:16:08
6,67 por 10 a la menos 11 00:16:12
arriba 5,97 00:16:17
por 10 a la 24, por 250, esto es todo igual 00:16:22
solo va a cambiar abajo el denominador 00:16:27
8,77, vale, esta R que hemos calculado 00:16:30
R2, por 10 a la 6 00:16:35
y esto nos tiene que ser negativo, menos 6,67 por 10 a la menos 11 00:16:37
por 5,97 por 10 a la 24, por 250, 2 por 8,77 por 10 a la 6. 00:16:42
Y esto nos sale 5,68 por 10 a la 9, julios. 00:16:51
Pues estas son las energías en las distintas órbitas. 00:17:02
Tienen que ser negativas porque las dos son órbitas cerradas. 00:17:05
Tienen que ser energías distintas porque son órbitas distintas. 00:17:07
Y ahora, pues la energía que hemos aplicado, la que han aportado los motores, pues va a ser la variación de la energía mecánica. 00:17:10
Y esto siempre, siempre que se hace variación de energía mecánica o de cualquier cosa, siempre es final menos inicial. 00:17:19
Entonces, la final es m2 menos la inicial, que es la energía mecánica, 1. 00:17:27
Vale, entonces la final, menos 5,68 por 10 a la 9, menos, que con este menos se hace un más, 6,58 por 10 a la 9. 00:17:33
Y esto nos sale, menos 5,68 por 10 a la 9, más 6,58 por 10 a la 9, 9 por 10 elevado a 8, julios. 00:17:50
Pues esta es la energía que hay que aportar y es positiva porque tenemos que ir a una órbita que es más energética en realidad, ¿vale? Porque la energía potencial que tiene va a ser más elevada y demás. 00:18:04
Bueno, pues esto era lo que nos pedía el ejercicio número 2, ¿vale? Bastante, bueno, el principio bastante sencillito, ¿vale? Lady Gray de ser universal de forma directa. 00:18:14
Y aquí, pues, un poquitín más, hay que elaborar un poquito más, pero tampoco es como la tercera ley de Kepler, pero nos quedamos a mitad, ¿vale? Siempre que queramos utilizar velocidades en órbitas circulares, pues, tendremos que hacer esto, que es muy, muy similar, pues, a la tercera ley de Kepler. 00:18:24
y aquí, pues bueno, lo que quiero que os lleveis sobre todo es 00:18:39
esto de la energía mecánica, que intentéis en órbitas circulares 00:18:44
hacer esta sustitución siempre que tengáis tiempo de la velocidad 00:18:48
que va a ser siempre esta formulita 00:18:52
y si no tenéis tiempo, pues bueno, podéis ir directamente a decir que la energía mecánica 00:18:55
es un medio de la energía potencial en una órbita circular 00:19:00
y escribimos esto, pero siempre que se pueda 00:19:03
demostrar mejor que mejor pues vamos a por el tercero 00:19:08
Materias:
Física
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Mario Torralba
Subido por:
Mario T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
6 de abril de 2026 - 16:38
Visibilidad:
Público
Centro:
IES HUMANES
Duración:
19′ 15″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
33.83 MBytes

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