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2Bto - 01 - Matrices - 11 - Matriz inversa - Contenido educativo

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Subido el 26 de septiembre de 2020 por Beatriz N.

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Hola, en este vídeo vamos a definir el concepto de matriz inversa. 00:00:03
Vamos a ver, en matemáticas llamamos matriz inversa a una matriz cuadrada de orden n 00:00:09
que en el caso de que exista, porque ya veremos que no siempre existe, 00:00:15
tiene que cumplir que el producto de una matriz original por su matriz inversa 00:00:21
o viceversa, el producto de la matriz inversa por una matriz, 00:00:26
tiene que ser igual a la identidad, ¿de acuerdo? Es el elemento inverso, ¿vale? De la multiplicación, ¿vale? 00:00:30
Esta matriz no siempre existe, ¿vale? Ya veremos más adelante cuándo, qué se tiene que dar para que esta matriz no exista, 00:00:40
pero en el caso de que exista se dice que una matriz cuadrada que tiene inversa, de la que se puede sacar la inversa, 00:00:47
se dice que es invertible o regular, ¿vale? Además, esta matriz inversa que nosotros hallemos con los varios procedimientos que vamos a ver a partir de ahora 00:00:53
es única, esto quiere decir que no hay dos matrices que cumplan, que al multiplicarla por la matriz original yo obtengo la matriz identidad, ¿vale? 00:01:04
Hay una única matriz que va a cumplir esta propiedad, ¿vale? De existir, ya os digo, puede ser que no exista. 00:01:13
Bueno, vamos a ver que existen varios métodos para calcular la matriz inversa de otra dada, ¿vale? 00:01:21
El método más usado es hacerlo por determinantes. Esto lo vamos a ver en el próximo tema y ya os digo que va a ser el método por excelencia, ¿de acuerdo? 00:01:30
Solo que, bueno, estamos explicando aquí el concepto y vamos a ver otras dos formas de resolverlo, ¿vale? De hallar la matriz inversa de una matriz cuadrada. 00:01:39
El primero que vamos a ver, que se va a ver en este vídeo, es que yo puedo hallarlo planteando sistemas de ecuaciones. 00:01:48
Daos cuenta de una cosa, yo busco, si aplico la definición de matriz inversa, busco, dada una matriz A, busco una matriz tal que al multiplicarla por A yo obtenga la identidad. 00:01:58
¿De acuerdo? Esta matriz que yo busco la puedo llamar como matriz X, ¿vale? Y en lugar de X, pues plantear una matriz que tenga la misma dimensión que la matriz A, donde sus elementos sean incógnitas, ¿de acuerdo? 00:02:14
Bueno, y esta multiplicación tiene que ser igual a la identidad. Vamos a ver con un ejemplo cómo podemos hallar la matriz inversa de una matriz, en este caso de orden 2, 00:02:29
Matriz cuadrada de orden 2 planteando un sistema de ecuaciones. Venga, partimos de la base, de lo que acabamos de explicar, que la matriz por su inversa tiene que darme como resultado la matriz identidad, ¿vale? 00:02:44
Por tanto, para mí la matriz inversa es una incógnita, ¿vale? Es una matriz X que tengo que descubrir quién es. 00:02:57
entonces por tanto lo que busco es la multiplicación 00:03:05
que la multiplicación de la matriz original que a mi me dan 00:03:09
por otra matriz me de como resultado la matriz 00:03:14
identidad ¿vale? esto o sea es clave que tengáis en cuenta porque lo preguntan 00:03:18
muchas veces la definición de matriz identidad 00:03:22
la propiedad, la definición esta sale en muchos 00:03:24
exámenes ¿vale? lo que voy a hacer es simplemente aquí poner 00:03:30
nombrar cuatro incógnitas distintas, ¿vale? Con las letras x, y, z, t, ¿de acuerdo? 00:03:34
Y voy a ir resolviendo la ecuación, más que la ecuación, la multiplicación. 00:03:40
Entonces, lo primero que voy a hacer es plantear aquí, vamos a ver, ir haciendo las multiplicaciones de los elementos. 00:03:45
Como primer elemento tendríamos el elemento 2x más 5z, ¿de acuerdo? 00:03:53
El segundo sería 2i más 5t, tenemos que dejarlo indicado. El tercer elemento, perdón, el elemento de la fila 2 columna 1 sería menos 1 menos 3z y aquí tendríamos el menos i menos 3t. 00:03:59
Esta matriz producto que acabo de obtener tiene que ser la misma que la matriz identidad, ¿de acuerdo? 00:04:15
Y aquí está la amiga, la chicha, la esencia del ejercicio, ¿vale? 00:04:22
Lo que vamos a hacer es darnos cuenta de que aquí, bueno, tenemos cuatro elementos con expresiones algebraicas, 00:04:29
pero esas expresiones algebraicas tienen las mismas incógnitas 2 a 2. 00:04:36
Gracias a eso vamos a poder plantear sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 00:04:40
En primer lugar vamos a plantear un sistema en el que igualemos los elementos de las posiciones 1,1 y 2,1 00:04:46
Con los elementos de las posiciones 1,1 y 2,1 de la matriz identidad 00:04:54
Y después haremos lo mismo con los elementos 2,1 y 2,2 00:04:59
Así de sencillo, con estas cosas que he subrayado en los mismos colores 00:05:04
voy a plantear sistemas de ecuaciones. El primero de los sistemas va a estar formado por la expresión 2x más 5z 00:05:08
que igualaré a 1 a lo que me tiene que dar el elemento de la matriz inversa cuando haga la multiplicación 00:05:16
y después coloco la ecuación que se plantea al igualar el elemento 2,1 con el elemento 2,1 de la matriz identidad. 00:05:22
Creo que he dicho inversa, quería decir identidad. 00:05:34
El caso es que aquí tengo un sistema de ecuaciones con dos incógnitas muy fácil de resolver, ¿vale? 00:05:36
Ya sabéis que se puede resolver por cualquiera de los tres métodos. 00:05:42
Yo elijo reducción. 00:05:46
Voy a comenzar multiplicando la ecuación de abajo por dos para después poder sumarlas, ¿vale? 00:05:48
Y entonces voy a obtener aquí que las expresiones con x se van y me queda que menos z va a ser igual a 1, de donde deduzco que z es el valor menos 1, ¿vale? 00:05:58
Ya tengo el primero de los valores y una vez que conozco z, pues bueno, voy a despejar x, por ejemplo, de la segunda ecuación también, ¿vale? 00:06:15
Simplemente sustituyo, me queda por aquí que menos x más 3 es igual a 0, es decir, x es igual a 3, ¿vale? 00:06:23
Una vez que tenemos esto, vamos a hacer aquí una pequeña separación, ¿vale? 00:06:39
Donde vamos a calcular, pues vamos a plantear el otro sistema de ecuaciones, ¿vale? 00:06:43
El que nos va a permitir igualar los elementos de las posiciones de la fila 2 columna 1 y la fila 2 columna 2, ¿vale? 00:06:47
El planteamiento es exactamente el mismo, solo que ahora, pues bueno, cambian los, pues tanto las incógnitas como los valores del segundo miembro de las ecuaciones, ¿vale? 00:06:55
La estrategia yo voy a seguir la misma, método de reducción, multiplico la segunda ecuación por 2 para poder sumar después. 00:07:10
Tendría por aquí 2i más 5t es igual a 0 y aquí debajo tendré menos 2i menos 6t es igual a 2. 00:07:17
Si sumo ambas ecuaciones esto se nos anula y me queda que menos t es igual a 2 de donde deduzco que t es menos 2. 00:07:27
una vez que he descubierto quién es t 00:07:38
pues me vuelvo a cualquiera de las dos ecuaciones 00:07:40
y despejo 00:07:42
la última de las incógnitas 00:07:44
que sería i, ¿vale? 00:07:46
tengo por aquí que menos i más 6 00:07:48
es igual a 1 00:07:51
es decir 00:07:52
que i es igual 00:07:54
a 5 00:07:57
¿vale? 00:07:59
venga 00:08:01
ya estaría terminado el ejercicio 00:08:01
solo que bueno, para asegurarnos 00:08:04
de que lo hemos hecho bien, lo que vamos a hacer es volver a sustituir los valores que 00:08:06
acabo de obtener en el producto original de matrices, ¿vale? Bueno, porque lo que yo 00:08:10
acabo de obtener es que la matriz inversa es aquella que está formada por 3, que era 00:08:16
donde había puesto x, el valor de x es 3, pues ese era su primer elemento, 5, que es 00:08:25
donde estaba ahí, menos 1 que es donde estaba z y menos 2, ¿vale? Esta es la matriz identidad 00:08:31
y como iba diciendo, para comprobar que hemos hecho bien el ejercicio, lo que vamos a hacer, 00:08:39
vosotros lo pondréis debajo en el cuaderno, es, pues bueno, comprobar, ¿vale? A ver si 00:08:45
efectivamente, si yo tomo la matriz original y la multiplico por esta matriz que acabo 00:08:52
obtener, obtengo la matriz identidad como resultado, ¿vale? Venga, entonces, como primer 00:08:59
elemento tendremos 2 por 3, que es 6, más 5 por menos 1, que es menos 5. 6 menos 5 da 00:09:06
1. El elemento, perdón, 1, 2 será 2 por 5, 10, más 5 por menos 2, que sería menos 00:09:12
10, 10 menos 10, 0. Siguiente, menos 1 por 3 es menos 3, más menos 3 por menos 1 que es 3 positivo, menos 3 más 3 es 0 y el último elemento será menos 1 por 5, menos 5, más menos 3 por menos 2 que es 6, menos 5 más 6 es 1. 00:09:21
Como hemos obtenido la matriz identidad es que la matriz que hemos obtenido planteando estos sistemas de ecuaciones es efectivamente la matriz identidad. 00:09:43
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Beatriz N.
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26 de septiembre de 2020 - 16:02
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