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T5 - ej 46 al 49.mp4: T5 - ej 46 al 49 - Contenido educativo
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Buen día, vamos a ver cómo sería esta otra integral.
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Es también, como nos pasó con una de las anteriores,
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solo tenemos una función que es el arcoseno de x y que no es su integral,
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por lo tanto no es una integral inmediata.
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Así que lo que vamos a hacer es una integración por partes.
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Vamos a llamar u a la única función que tengo, al arcoseno de x,
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y diferencial de v va a ser directamente el diferencial de x.
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Si u es arcoseno de x, su derivada diferencial de u va a ser, como es de x, es 1 partido por la raíz de 1 menos x cuadrado, diferencial de x, y v será igual a x.
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sustituimos arriba, aplicamos la fórmula y me queda u por v
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es decir, x por el arco seno de x menos la integral de v que es x por la diferencial de u
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que sería, ya lo pongo debajo ya que es una fracción al multiplicarlo
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y me quedaría raíz de 1 menos x cuadrado diferencial de x
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Y ahora, ¿qué ocurre? Que la integral que me queda, tengo en el denominador una raíz, pero resulta que en el numerador tengo la derivada del denominador, salvo unas constantes.
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Por lo tanto, es una integral inmediata, y esto sería x por el arco cuyo seno es x menos, y ahora, ¿de qué función viene?
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Pues viene, voy a dejar aquí el hueco porque, bueno, no dejo hueco, lo voy a poner directamente, la raíz de 1 menos x cuadrado y ¿qué es lo que faltaría?
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Faltaría arriba la derivada, o sea, el 2 porque sería menos, vamos, el menos 2, perdón, ya que sería menos 2x, luego lo tengo que dividir por menos 2 y para que fuera la derivada de la raíz,
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aquí abajo tendríamos que tener, ¿vale? Delante de la raíz deberíamos tener el 2, por lo tanto tendríamos que multiplicar arriba por el 2,
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por eso decía que iba a dejar un hueco, y más la k. ¿Qué ocurre? El menos con el menos se transforma en más y el 2 con el 2 se simplifica
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y me queda simplemente que el resultado es x por el arco seno de x menos la raíz de 1 menos x cuadrado,
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perdón, menos no, porque he dicho menos con el menos hace más, de x cuadrado y me falta sumarle la k.
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Vale, otra integral que tenemos una exponencial por una x cuadrado, ¿vale?
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Como la exponencial la sabemos integrar y la potencia, el x cuadrado, al hacer la integración por partes y la llamamos u, cada vez va a bajar el exponente, ¿vale?
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Entonces vamos a llamar u a la x cuadrado y mi diferencial de u será 2x diferencial de x y mi diferencial de v es elevado a menos x diferencial de x.
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no sé si en alguna, en las anteriores
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al escribir el diferencial de v
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se me olvida poner el de x, vale
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tenerlo en cuenta que puede ser que se me haya pasado
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y si lo integro
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la v
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sería menos
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porque la derivada del exponente es menos 1
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menos e elevado a menos x
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vale, esta es la típica
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que vamos a tener que hacer más de una vez
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para conseguir que me quede solamente la exponencial
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u por v
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bueno, pues pongo primero el menos de la exponencial
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voy a poner menos e cuadrado
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por e elevado a menos x y ahora sería menos la integral de v que es menos e elevado a menos x
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por diferencial de u que es 2x diferencial de x, ¿vale?
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Bueno, pues ahora hacemos lo mismo, bueno, lo voy a volver a escribir, el menos,
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Bueno, lo podríamos dejar de esta manera directamente
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Porque el menos e elevado a menos x es directamente la derivada
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¿Vale? Entonces, la derivada de e elevado a menos x
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Entonces lo que voy a hacer ahora es llamar, por ejemplo, u
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La constante, o sea, el constante del 2 lo podía dejar fuera
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Pero bueno, u va a ser 2x
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Y entonces diferencial de u va a ser un 2 diferencial de x
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Y mi diferencial de v va a ser menos e elevado a menos x y por lo tanto la v no es otra cosa que la e elevado.
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Lo que os decía, aquí me he comido el de x elevado a menos x, ¿vale?
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Si veis que en alguno de los otros vídeos o en uno de los otros apartados no lo he puesto, ha sido un despiste.
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Bien, o sea, siempre cuando terminéis un ejercicio, sobre todo en el examen, repasar que tenéis puesto todas las cosas.
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Vale, pues ponemos menos x cuadrado por e elevado a menos x, que es lo que teníamos, y ahora sería menos, pongo el paréntesis, u por v, pues 2x por e elevado a menos x, menos la integral de v, que es e elevado a menos x por diferencial de u, es decir, pongo 2 por e elevado a menos x, diferencial de x, ¿vale?
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Y esto, ahora ya sí que lo que me queda, voy a seguir aquí abajo, es una integral inmediata porque es la integral de elevado a menos x y operamos y esto va a ser igual a menos x cuadrado por elevado a menos x, el menos delante de un paréntesis, os recuerdo que cambia todo de signo, luego me queda menos 2x por elevado a menos x y aquí me queda más la integral, el 2 lo que os decía que lo puedo dejar fuera, de elevado a menos x.
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x, diferencial de x, ¿vale? Podía haber calculado ya la integral en este paso, pero bueno, lo
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voy haciendo poquito a poco. Y aquí me quedaría menos x cuadrado por elevado a menos x, menos
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2x por elevado a menos x, más 2, ¿por quién es la integral? Pues menos elevado a menos
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x, ¿vale? Lo hemos hecho ya varias veces, y esto más k. Y si queréis, podemos incluso
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sacar factor común al elevado a menos x y me quedaría menos x. Bueno, puedo sacarle
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a, como todos son menos, ¿vale? Puedo sacar el menos también fuera y me quedaría aquí
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más x cuadrado más 2x más 2 más k, ¿vale? Una integración por partes que hemos tenido
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que hacer dos veces para poder resolverla.
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Vale, vamos con la 48.
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Tenemos otra vez un producto, un x cubo por un logaritmo neperiano.
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A ver, he dicho en los casos anteriores que llamábamos u a la potencia
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porque al calcular la derivada iba bajando el grado,
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pero ¿qué ocurre? Que yo no sé integrar un logaritmo neperiano de x.
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Luego, en este caso, está claro que mi u tiene que ser logaritmo neperiano de x.
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Y entonces mi diferencial de u va a ser la derivada del logaritmo,
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que es 1 partido por x, diferencial de x. Y mi diferencial de v va a ser x cubo diferencial de x,
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por lo tanto la v va a ser x cuarta partido de 4. ¿Vale? Venga, pues aplicamos la fórmula,
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u por v, es decir, x cuarta logaritmo neperiano de x, todo partido por 4, menos la integral de v, que es x cuarta partido de 4, por du, que es 1 partido por x,
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luego aquí se pone la x en el denominador, diferencial de x.
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¿Y qué me ocurre? Que esta x con el exponente se me va y me queda solamente un 3.
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Luego ya es inmediata, es una potencia
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Luego esto es x cuarta
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Logaritmo neperiano de x
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Partido de 4
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Menos
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La x3 viene de una x4
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Partido del 4 que tenía
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Y del 4 del exponente
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¿Vale?
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Por lo tanto
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Ah, bueno
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Que se me ha olvidado
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O no me lo ponía en ningún sitio, ¿no?
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No, vale
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Está bien, ¿no? Que estaba pensando que el logaritmo lo habíamos, recordad que siempre es el valor absoluto del logaritmo, pero como inicialmente es lo que estoy poniendo es el valor de la función que me han dado y viene así, pues lo podemos dejar así, o si queréis también lo podemos poner como que es el valor absoluto del logaritmo neperiano, ¿vale?
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Lo podríamos poner también así entre valores absolutos.
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Bien, y esto más la k, que lo podemos poner un poquito, podemos sacar incluso a la x cuarta factor común,
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o no, o simplemente dejarlo como x cuarta logaritmo neperiano de valor absoluto de x partido de 4 menos x cuarta partido de 16 más k, ¿vale?
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A veces que lo podemos sacar si queréis factor común o si no así, lo podemos dejar.
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Venga, vamos con el 49, la integral de x cuadrado menos 1 por el seno de x.
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¿Vale? Pues vamos a hacerlo también integración por partes.
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En este caso, como el seno de x sí lo sabemos integrar, voy a llamar u al x cuadrado.
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A ver, que ya empieza el lápiz a ignorarme.
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x cuadrado menos 1 y por lo tanto su derivada será 2x diferencial de x, ¿vale?
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Y mi diferencial de v será el seno de x diferencial de x y v será el menos coseno de x, ¿vale?
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Esto ya nos lo tenemos casi que saber de memoria de todas las veces que lo estamos utilizando.
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Vale, pues aplicamos la fórmula u por v
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Pongo primero el menos
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Luego pongo el x cuadrado menos 1 de la u
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Y el coseno de x
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Y ahora sería menos la integral
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De v que es menos coseno de x
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Por el diferencial de u que es 2x diferencial de x
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¿Vale?
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¿Qué ocurre? Que volvemos a tener un producto
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Bueno, pues volvemos a aplicar la integración por partes
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Entonces, el menos con el menos lo vamos a transformar en más, ¿vale?
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Y entonces, ¿qué hacemos? Llamamos u a 2x y por lo tanto diferencial de u será 2 diferencial de x
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y llamamos diferencial de v al coseno de x, ¿vale?
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Y fijaos que lo que os decía del signo, los dos signos, este con este, se van a transformar en más cuando luego lo vuelva a escribir.
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Este diferencial de v es coseno de x diferencial de x y, por lo tanto, v va a ser el seno de x.
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¿Vale? Voy a seguir abajo.
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Esa integral va a ser menos x cuadrado menos 1 por el coseno de x, que es lo que tenía.
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Y ahora lo que os he dicho, en lugar del menos pongo más.
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y ahora que sería, ahora como es un más no me hace falta poner un paréntesis
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aunque escriba toda la fórmula, el paréntesis lo pongo cuando es un menos
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vale, luego sería más u por v, 2x
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seno de x, menos
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la integral de v por diferencial de u, es decir
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dos veces seno de x
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diferencial de x, y esta integral ya es inmediata
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y entonces esto va a ser menos x cuadrado menos 1 por el coseno de x más 2x seno de x
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y lo que voy a hacer es utilizar como si el menos, ¿vale?
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Yo puedo coger este menos, meterlo dentro de la integral y poner aquí un más
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y así lo que tengo es el menos seno de x que es la derivada del coseno
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Es decir, aquí tengo un más 2 coseno de x más k, ¿vale?
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A este más no ha quedado muy bien, ¿vale?
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Si no me doy cuenta de hacer lo que os he dicho de los signos,
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de dejar el signo menos fuera, sería menos el coseno de x.
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Pero para el caso sería lo mismo.
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Voy a cerrar el resto de las que me quedan en otro vídeo para que no se alargue demasiado.
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- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Ejercicios resueltos
- Niveles educativos:
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- Bachillerato
- Primer Curso
- Segundo Curso
- Subido por:
- Francisca Beatriz P.
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- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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- Fecha:
- 7 de diciembre de 2025 - 10:34
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES IGNACIO ALDECOA
- Duración:
- 13′ 01″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
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