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FACTORIZACIÓN POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS - Contenido educativo

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Subido el 17 de noviembre de 2024 por Manuel B.

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Estos ejercicios tienen que ver con la factorización y las fracciones algebraicas. 00:00:01

El ejercicio 9, ¿os acordáis que decía de factorizar? Y el apartado A ya lo hicimos. 00:00:07

Lo voy a repetir, pero voy a hacerlo en distinto orden para que veáis que el resultado es el mismo. 00:00:13

Primero, no hay término independiente en ese polinomio. Es decir, todos los términos tienen X. 00:00:20

Entonces, ¿qué pasa? Que el término, o la x, perdón, de menor grado se puede factorizar x al cubo, ¿vale? Así que lo que tenemos que hacer en primer lugar es escribir p de x igual a x al cubo por, y ahora de cada exponente de las x resto 3, porque como he sacado 3 ya fuera, pues tengo que restarlas. 00:00:29

x al cubo, menos 9x cuadrado, más 24x, menos 20. Esa sería la primera parte. Y además, hay una raíz que es el número 0, porque si cambiamos la x por 0 en cada una de las x del polinomio, el resultado es 0. 00:00:59

Y eso se ve con claridad. Bien, ahora tenemos un polinomio aquí dentro en el paréntesis que es de grado 3. Hay que seguir factorizándolo, pero ahora, como es de grado 3, tenemos que utilizar Ruffini. 00:01:22

¿Pero qué números uso para Ruffini? Pues Ruffini con los divisores de 20, que es precisamente el término independiente de ese polinomio. 00:01:38

Así que, divisores de 20, no hace falta que yo los ponga, pero serían muchos, 1, 2, y con el signo positivo y negativo cada uno, más menos 1, más menos 2, más menos 4, hay muchos. 00:01:58

Y tenemos que ir probando hasta que por Ruffini nos da cero el resto. 00:02:12

Vale. En clase yo creo que probamos con el número 2. 00:02:17

Pero voy a cambiar ahora y voy a probar con el 5. 00:02:22

Para que veáis que el resultado luego es el mismo. 00:02:29

5 por 1 es 5. 00:02:31

Vamos haciendo Ruffini. 00:02:34

Y vemos que efectivamente el resto da cero. 00:02:36

Cada vez que hago Ruffini, tengo una raíz, que es ese número, y un factor, que es x menos ese número, ¿de acuerdo? 00:02:39

Ahora, tenemos aquí debajo un cociente, que en realidad es una ecuación de segundo grado, un polinomio de grado 2. 00:02:52

x cuadrado menos 4x más 4, igualo a 0, para ver cuáles son las raíces de ese polinomio. 00:03:02

Bueno, pues nada, aplico la fórmula de la ecuación de segundo grado, b más menos raíz cuadrada de b cuadrado, que es 16, menos 4 por 4, dividido entre 2. 00:03:09

Y resulta que la raíz cuadrada da 0, es decir, que esto sería 4 más menos 0 entre 2. 00:03:25

Bien, eso solo tiene un resultado, que es 2. ¿De acuerdo? 00:03:33

Sin embargo, es como que está repetido, porque yo podría haber puesto 4 más 0 entre 2 y 4 menos 0 entre 2, que es lo mismo, ¿verdad? 00:03:38

Es decir, es como que está repetido. Ese número es una raíz y ¿cuál es el factor? Pues x menos ese número. 00:03:51

Y lo mismo pasaría con el otro. Es decir, hay dos factores repetidos. 00:04:01

Así que termino simplificando. ¿Cuál es la factorización del polinomio que tenía al principio, pdx? Pues yo voy recorriendo y veo que primero puse x³. 00:04:08

Luego, me salió por aquí un factor que subrayo, que es x menos 5. Pues tengo que poner x menos 5. Y luego, por último, me han salido dos factores repetidos de x menos 2. 00:04:23

Pues tengo que poner por x menos 2 elevado al cuadrado. Esta sería la factorización. No tengo que hacer esas operaciones porque el resultado me daría en el polinomio que tenía al principio. 00:04:39

Y por último, tengo que decir también cuáles son las raíces. Pues las raíces las he ido encontrando, pues por ejemplo aquí, raíz 0. Pues escribo raíz 0. Luego también tengo aquí raíz 5. Pues 5. 00:04:53

Y por último, las últimas que han salido, 2. El número 2 salía repetida. Podemos decir que es doble. ¿Vale? Y así nos enteramos mucho mejor. ¿Vale? Este sería el típico problema de factorización. 00:05:11

Si, por ejemplo, dado el caso, la ecuación de segundo grado nos da que no tiene solución porque la raíz sale negativa, acordaros que no tenía solución real, entonces lo que ocurre es que el último polinomio de segundo grado S no se puede factorizar y lo dejaríamos tal cual, así completo, ¿vale? 00:05:26

Bueno, vamos a ver uno de mínimo común múltiplo. Imaginad que nos han dado dos polinomios, esto de aquí podría llamarse p de x y esto de aquí podría llamarse q de x, ¿vale? Dos polinomios distintos. 00:05:48

Y nos los han dado factorizados, es decir, todo multiplicaciones de polinomios chiquititos, porque todo esto son multiplicaciones. Cada vez que pongo paréntesis hay una multiplicación ahí en medio. 00:06:04

¿Vale? Entonces, este ejercicio lo hicimos en clase y os dije que tiene una pequeña trampa, porque el primero de los polinomios no está factorizado completo, porque resulta que aquí tengo un 2 y un 2 que se repite y podríamos factorizarlo. 00:06:18

Es decir, ese paréntesis de ahí que pone 2x menos 2 se podría escribir como el número 2 por x menos 1, porque si multiplicamos 2 por x menos 1 nos da lo mismo, ¿verdad? 00:06:38

nos da 2x menos 2. Entonces, ¿qué ocurre? Que en realidad p de x, si lo factorizamos por completo, nos quedaría x menos 3 por 2 por x menos 1 y por x. 00:06:55

Ese número 2 lo puedo poner delante del todo mejor, ¿vale? Para que esté ordenado primero los números y luego todos los polinomios, ¿de acuerdo? 00:07:13

Entonces, ahora, si quiero hacer el mínimo común múltiplo de los polinomios que me han dado, lo que tendría que escribir es todos los polinomios que están entre paréntesis que me han salido. 00:07:25

Es decir, por un lado tengo aquí x menos 3, pues lo tengo que escribir, x menos 3. Por otro lado tengo aquí x menos 1, x menos 1. 00:07:42

El x menos 3 del otro polinomio que está al cuadrado, pues ya lo he puesto. Y me faltarían los números, porque aquí tengo un 4 en el polinomio q y aquí tengo un 2. 00:07:58

Y hay que calcular el mínimo común múltiplo también de 4 y de 2, que es 4 en este caso. Pero cada uno de esos factores que he puesto, tengo que buscar qué exponente más grande tienen. 00:08:15

El x-3 aparece al cuadrado y el x-1 aparece tal cual. Y luego he calculado eso. Si quiero ordenarlo, escribiría mejor esto, ¿vale? Para poner el número delante del polinomio. 00:08:29

O sea, en realidad, un mínimo común múltiplo es escribir todos los factores que aparezcan, y ahora los factores están entre paréntesis, cuando son polinomios, y fuera de paréntesis, cuando son números. 00:08:47

Entonces, primero hago los números, si tuviera, y luego pongo los polinomios. ¿Vale? Eso lo vamos a usar para las fracciones. 00:09:02

Imaginad este ejercicio, dice, comprueba si son equivalentes 00:09:11

Pues hay dos formas 00:09:17

Primera forma, dos fracciones son equivalentes si al multiplicar en cruz da lo mismo 00:09:18

¿Vale? La primera forma sería multiplicar en cruz 00:09:31

Pues vamos a hacerlo 00:09:35

Multiplicar en cruz significa que 2x menos 2 por x menos 2 me dará un resultado que tiene que salir lo mismo que 2x cuadrado menos 2x por 1. 00:09:38

¿Vale? El de abajo es muy fácil. 00:09:53

2x cuadrado menos 2x porque es por 1. 00:09:56

Y ahora el otro lo voy a calcular. 00:09:58

2x por x, 2x cuadrado. 2x por menos 2, menos 4x. Menos 2 por x, menos 2x. Y menos 2 por menos 2, que sería más 4. 00:10:00

Ese polinomio no sale lo mismo que lo de abajo y se ve con claridad, ¿verdad? No es igual. Entonces las fracciones no son equivalentes. Esa sería la primera forma de comprobar si son equivalentes. 00:10:17

Pero hay una segunda forma que la vamos a utilizar porque nosotros con las fracciones nos gusta reducir y simplificar cada una de las fracciones. 00:10:35

Entonces, esa es la segunda forma. Reducir y simplificar. 00:10:48

Entonces, primero, para simplificar, lo que tenemos que hacer es factorizar numerador y denominador. 00:10:58

Y luego quitar los factores que coincidan, ¿vale? El primer numerador, 2x menos 2, podemos factorizar el 2 y por x menos 1, porque como se repite el 2, pues lo podemos sacar factor común. 00:11:09

En la de abajo, 2x cuadrado menos 2x, si os dais cuenta, ahora se repite el 2 y la x. Entonces podríamos factorizar 2x. Y ahora a cada uno de los factores le quito 2x. 00:11:29

Entonces, si aquí quito dos x, me quedo con una x. Y si aquí divido entre x, me quedo con uno. ¿Vale? Es decir, que me ha quedado factorizado de esa manera. 00:11:46

Bien, pues si está factorizado de esa forma, ahora si yo lo que quiero es dividir, que es la fracción que tengo, que me ha salido factorizado lo que tengo ahí arriba, pues resulta que voy tachando los que se repitan. 00:11:58

El x-1 con el x-1 de abajo. El 2 con la x de aquí. ¿Y qué me ha quedado? Pues me ha quedado arriba un 1 y abajo una x. ¿Me sale lo mismo que 1 partido de x-2? Pues no sale lo mismo, ¿verdad? 00:12:24

Ahí lo vemos, que el resultado no es el mismo que la otra fracción, por lo tanto no son equivalentes. Me sale lo mismo que en el primero de las formas, ¿vale? 00:12:41

Vamos con la más difícil. Operaciones de sumas y restas. Vale, para calcular sumas y restas de fracciones hay que hacer el mínimo común múltiplo de los denominadores. 00:12:58

Y antes hemos visto que para hacer eso tengo que factorizar todos los denominadores, porque tengo que ver cuáles son los factores comunes y no comunes y todo eso. 00:13:11

El x-1, que es el primer denominador, ya está factorizado porque es un polinomio de primer grado y ya menos no puedo factorizar. 00:13:27

El x-3 también. Pero tengo aquí un polinomio de grado 2. Hay que factorizarlo. Bueno, pues ¿cómo lo factorizamos? Con la ecuación de segundo grado. Tengo que resolver esta ecuación. 00:13:37

Bien, aplicamos la fórmula, x igual a menos b más menos raíz cuadrada de b al cuadrado, que es 16, menos 4ac, que es 4 por 3 y por 1, dividido entre 2 por 1. 00:13:52

Vale, calculamos. Resulta que 4 por 3 es 12 y dentro de la raíz tendría 16 menos 12, que es 4. O sea, sería la raíz de 4. Así que sería 4 más menos 2 dividido entre 2. 00:14:09

Y si separamos, nos saldrían dos raíces, que es 4 más 2, 6, entre 2, 3, y la segunda, y si sub 2, sería 4 menos 2, 2, entre 2, 1. 00:14:31

¿Y qué factor está asociado ahí a cada una? Pues ya os acordáis, si la raíz es 3, el factor es x menos 3. 00:14:46

Si la raíz es 1, x menos 1. Así que resulta que el polinomio x cuadrado menos 4x más 3 es lo mismo que x menos 3 por x menos 1, ¿vale? Lo he conseguido haciendo la ecuación de segundo grado. 00:14:56

Vale, pues si quiero calcular ahora el mínimo común múltiplo de todos los denominadores, resulta que da la casualidad de que todos los factores son esos dos que me han salido ahí, x menos 3 por x menos 1, ¿vale? 00:15:15

Bueno, pues ahora ¿qué tengo que hacer? Pues en cada una de las fracciones, vamos a poner aquí un asterisco para continuar desde aquí, en cada una de las fracciones tengo que escribir ese mínimo común múltiplo. 00:15:33

x-3 por x-1. Aquí también x-3 por x-1. Y en la última lo mismo, x-3 por x-1. Y a todos los denominadores los voy poniendo 1, 1 y x-1. 00:15:51

lo pongo entre paréntesis, porque como ahora voy a multiplicar, tengo que tener cuidado, ¿vale? Pues los tengo que multiplicar precisamente por el factor que falte en el mínimo común múltiplo. 00:16:13

¿Qué significa eso? Pues significa que si aquí tengo x menos 1 y el mínimo común múltiplo era x menos 3 por x menos 1, ¿cuál de los dos factores falta ahí? El x menos 3, ¿verdad? Así que ese 1 lo tengo que multiplicar por x menos 3, ¿vale? Que es el que falta en la primera de las fracciones. 00:16:27

En la segunda hacemos lo mismo. Si aquí pone x menos 3 en ese denominador, ¿cuál es el factor que falta? x menos 1. Pues eso lo multiplico por x menos 1. 00:16:53

Y en la última de las fracciones, el denominador es x cuadrado menos 4x más 3, que resulta que es lo mismo que x menos 3 por x menos 1. 00:17:07

Entonces cuando yo lo divida, eso da 1. Así que debería multiplicar por 1. 00:17:21

Ahora, lo que tengo en los numeradores lo tengo que calcular. Habría que quitar esos paréntesis y hacer operaciones. 00:17:29

Así que voy a poner una fracción sola donde ya coinciden todos los denominadores. Multiplico 1 por x, x y 3 por 1, 3. Ahora tengo que sumar 1 por x, x y 1 por menos 1, menos 1. 00:17:37

Y ahora aquí tengo que restar, cuidado que hay un paréntesis, menos x y menos menos 1, que sería más 1. Cambia de signo. Cuidado que el paréntesis es una trampa, ¿vale? Una trampa porque muchas veces caéis en ella. 00:17:58

Y ahora junto las x de arriba, x más x, 2x, menos x, x y menos 3, menos 1, menos 4, menos 4, más 1, menos 3. Y abajo pone x menos 3 por x menos 1. 00:18:16

Ah, fijaos, resulta que uno de los factores coincide, porque x-3 arriba, x-3 abajo, se eliminan. Me quedaría abajo el x-1, puedo, si quiero, no poner el paréntesis porque ya está solo, y arriba ¿qué queda? Un 1. 00:18:36

No. Acordaros que no es un 0. Estamos factorizando y son multiplicaciones. Eso sería un 1. Y así terminaríamos el ejercicio. ¿Vale? Este es el ejercicio más difícil. 00:18:57