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Funciones de proporcionalidad inversa - Contenido educativo

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Subido el 23 de abril de 2026 por Roberto A.

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Buenas, en este vídeo vamos a ver las funciones de proporcionalidad inversa. 00:00:00
Las funciones de proporcionalidad inversa son del tipo y es igual a k partido de x. 00:00:05
Vamos a ver el caso en el que k sea igual a 1. 00:00:11
Aquí si nosotros hacemos una tabla de valores, para 1, como es 1 partido de x, es 1 partido de 1, que es 1. 00:00:15
Para 2 vemos que es 0,5. Para 3 es 1,3, que es 0,33 periodo. 00:00:22
para 4 es un cuarto que es 0.25 y así sucesivamente 00:00:28
estamos viendo que a medida que aumenta la X 00:00:32
aumenta aquí la X 00:00:36
el valor de la Y es cada vez más pequeño 00:00:38
de tal forma que nosotros aquí realmente 00:00:40
cuando tenemos un cociente, un cociente que es un reparto 00:00:43
si yo tengo una única cosa para repartir 00:00:46
y cada vez somos más personas donde repartir 00:00:50
pues al final llegará un momento en el que eso tienda a 0 00:00:54
Nunca va a ser 0, pero va a tender a 0. 00:00:57
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:01:01
Pues que la función 1 partido de x, que es la de proporcionalidad inversa, 00:01:03
evidentemente pasa por el punto 1, 1, pero luego va a pasar por el punto 2, 0, 5. 00:01:07
Vemos que cuando las x son positivas, la función también es positiva. 00:01:14
Y cuando las x son negativas, la función es negativa. 00:01:20
Pero volvemos a lo mismo. Mientras más alejada del 0 está x, 1 partido de x, son más gente en la cual repartir, va a ser cada vez menos. 00:01:24
Entonces, no está definida en x igual a 0. ¿Por qué? ¿Cuál es el dominio de esta función? 00:01:36
Como es el dominio de f de x, tenemos una división, cogemos el denominador y lo igualamos a 0. 00:01:41
x igual a cero. Por lo tanto, son todos los reales menos el cero. No está definida en cero. 00:01:49
Si x se acerca a cero y la y toma valores cada vez más grandes, veis que me estoy aproximando aquí al cero 00:01:56
y se me va muy, muy, muy, muy arriba. Si x toma valores cada vez más grandes, se acerca al cero. 00:02:03
¿De acuerdo? Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Aquí vamos a introducir conceptos muy importantes 00:02:12
cómo son las asíntotas. Vemos que el 0 no puede ser porque no está definido. Nunca la x va a valer 0 00:02:17
en esta función. ¿Por qué? Porque no pertenece al dominio. ¿Pero qué ocurre cuando yo me acerco a la x 00:02:24
tanto por la derecha como por la izquierda? Que se me va, en este caso, al más infinito y aquí se me va 00:02:31
al menos infinito. Entonces aquí lo que tenemos es una asíntota vertical. Pero tenemos una asíntota 00:02:38
vertical en x igual a cero, ¿de acuerdo? 00:02:47
Igualmente, si x toma valores cada vez más grandes, se acerca al cero, pero no lo toca. 00:02:50
Entonces nosotros aquí, si os fijáis, tenemos lo que se llama una asíntota horizontal, 00:02:55
pero una asíntota horizontal donde en y igual a cero. 00:03:03
Tenemos que decir esto, las horizontales van con las y y las verticales van con las x. 00:03:07
Esta curva como tal se llama hipérbola, ¿de acuerdo? 00:03:13
Y sus asíntotas, en este caso, de 1 partido de x, son los ejes coordenados. 00:03:16
Tanto en y igual a 0 como en x igual a 0, tenemos una hipérbola. 00:03:23
De verdad, no tenemos asíntotas, ¿vale? 00:03:28
Entonces, lo que yo quiero que veáis es cómo se comporta esta función cuando ya, por ejemplo, tenemos el y es igual a k partido de 6. 00:03:31
Cuando mi k vale 6, que tengo esta función de aquí, lo único que si os fijáis, si yo hago x igual a 6 partido de x a 0 siempre, una tabla de valores. 00:03:40
Y le dais, por ejemplo, menos 2, menos 1, el 0 no, porque el dominio de f de x son todos los reales menos el 0, por lo tanto en 0 no existe el 1 y el 2. 00:03:56
¿Cuánto vale menos 2? Pues 6 entre menos 2, ¿cuánto es 6 entre menos 2? Menos 3, pasa por el punto, menos 2, menos 3, ¿lo veis? Esto es menos 3, esto es menos 2. 00:04:10
En menos 1, ¿cuánto es 6 partido de menos 1? Eso es menos 6, pues en menos 1, si os dais cuenta, aquí pasa por menos 6, esto es menos 1, esto es menos 6. 00:04:23
En 0 no está definida, pero en 1 ¿qué ocurre? Pues 6 entre 1 es 6, pasa por el punto y este punto es el 1, 6. 00:04:34
Y en 2, que es 6 entre 2, es 3. ¿Vale? 6 entre 2 es 3. ¿De acuerdo? 00:04:42
Fijáis, esta función es igual a 6 partido de x, ¿cuánto es f de x? 00:04:49
f de menos x, ¿cuánto es? Es 6 partido de menos x. 00:04:55
Y el menos siempre se pone arriba, ¿verdad? Es menos 6 partido de x. 00:04:59
¿Y eso qué es? Menos f de x. Esta función es par, por lo tanto es simétrica respecto al eje de las x, ¿vale? 00:05:03
Lo único que está, esto de aquí, más separado. 00:05:12
¿Aquí qué es lo que he hecho? Esto es y es igual a menos 1 partido de x. 00:05:15
Como la k es negativa, la k es negativa, en vez de ser siempre decreciente, ahora es siempre creciente, ¿lo veis? 00:05:20
Va creciendo, creciendo. ¿De acuerdo? Igual, si tenéis dudas, hacéis la tabla de valores, ¿vale? Y le dais a cuatro valores y lo representáis. 00:05:29
Pero siempre tenéis que saber que la de proporcionalidad inversa es así y así. Si la k es mayor que cero, es siempre decreciente, ¿de acuerdo? 00:05:40
Siempre decreciente. Y si la k es mayor que 0, resulta que siempre es creciente. Aquí vamos creciendo y ahora desde aquí abajo también crecemos. ¿Vale? Tanto en una como otra. 00:05:53
Si es partido de x, ¿de acuerdo? Una k partido de x, vamos a tener una asíntota vertical en x igual a 0 y una asíntota horizontal en y igual a 0. 00:06:08
Hay una asíntota horizontal, ¿de acuerdo? Tanto para k mayor que 0 como k, esto es menor que 0, ¿vale? 00:06:24
Esto es k menor que cero y k mayor que cero. 00:06:38
Esto es una asíntota horizontal y aquí en x igual a cero, que no pertenece al dominio, tenemos una asíntota vertical. 00:06:41
Nunca me escribáis a h y a v, lo digo ahora para acelerar el proceso. 00:06:50
Entonces, menos cuatro partidos de x, como la k es negativa, vemos que siempre es creciente. 00:06:56
¿Lo veis? Es de este tipo, de aquí para acá, menores que cero. 00:07:03
Y haceros una tablita de valores, para x igual a menos 1, pues fijaros, vale menos 1, 4, y para el 1, pues pasa por el 1, menos 4, ¿de acuerdo? 00:07:08
Hacéis una tabla de valores y así os ayuda, ¿de acuerdo? 00:07:21
El dominio, pues el dominio serían todos los reales menos el 0, porque más o menos el denominador, ¿de acuerdo? 00:07:24
Y las hipérbolas, como es una hipérbola, tienen asíntotas, como hemos dicho, en los ejes coordenados, ¿de acuerdo? 00:07:31
¿Vale? Ahora lo que vamos a representar es esto de aquí, y entonces, ¿qué es lo que quiero que veáis? Realmente, si yo tuviera igual a 1 partido de x, ¿verdad? Si yo tuviera 1 partido de x, voy a poner aquí una página nueva, si yo tuviera 1 partido de x, pues yo, más o menos, sé que mi función siempre es decreciente de este tipo, ¿vale? 00:07:37
Lo suyo es que aquí pase por el 1, 1 y aquí por el menos 1, menos 1. 00:08:02
Más o menos, ¿eh? Es un esbozo de la gráfica, ¿de acuerdo? 00:08:08
Yo restarle 4, fijaros que yo la tengo y es igual a 1 partido de x menos 4. 00:08:13
Este menos 4 resta el x. 00:08:20
Fijaros ahora, ¿aquí cuál era mi dominio? 00:08:22
Mi dominio aquí de f de x eran todos los reales menos el 0. 00:08:24
¿Por qué es el 0? Porque yo igualo el denominador a 0. Fijaros aquí. Aquí ahora en x menos 4 yo lo igualo a 0 y resulta que x es igual a 4. 00:08:30
Entonces el dominio de esta función son todos los reales menos el 4. 00:08:42
Entonces, ¿por qué os explico esto? 00:08:49
Porque aquí, si os fijáis, en uno partido de x teníamos igual a cero una asíntota horizontal, ¿verdad? 00:08:51
Horizontal. 00:09:02
¿Y qué teníamos en x igual a cero? 00:09:03
En x igual a cero teníamos una asíntota vertical, ¿de acuerdo? 00:09:06
¿Qué ocurre? Que ahora mi función es igual a 1 partido de x. Tengo 1 partido de x menos 4. Si os fijáis, ¿cuál es el punto que no pertenece al dominio? El 4. El 4 no pertenece al dominio. 00:09:13
Bueno, pues mi función es exactamente igual, ¿de acuerdo? Mi función es exactamente igual, lo único que está desplazado a la izquierda, esto desplaza hacia la izquierda mi función. 00:09:35
Porque ahora el 4 es donde yo tengo el que en x igual a 4 yo ahora tengo una asíntota vertical. 00:09:55
Sin embargo, sigo manteniendo en y igual a 0 la asíntota horizontal. 00:10:05
¿Vale? 00:10:15
¿Qué ocurre si yo ahora le multiplico por 6? 00:10:16
Pues como tenemos aquí el multiplicado por 6, fijaros, yo me hago mi tabla de valores, ¿vale? 00:10:19
No le deis muchos valores, pero lo que quiero que veáis es que por multiplicar por 6 lo que hago es alejar estas dos hipérbolas, ¿vale? 00:10:24
Y cuando yo le echo a la x un 4, lo que estoy haciendo es desplazándola, en este caso, hacia la derecha, ¿vale? 00:10:34
Si hubiese sido x más 4, pues sería lo mismo, pero aquí en el más 4, ¿de acuerdo? 00:10:44
Y luego, ¿qué ocurre? Si yo tengo que representar todo esto a función de proporcionalidad inversa, yo le sumo un 2, lo que estoy haciendo, chavales, es aumentar todo hacia arriba dos unidades, ¿de acuerdo? 00:10:50
Entonces aquí, ¿qué ocurre? Que yo aquí en y igual a 2, lo que tengo en y igual a 2, una asíntota horizontal. 00:11:05
Y aquí en x igual a 4, ¿qué es lo que tengo? Fijaros, una asíntota vertical. 00:11:17
¿De acuerdo? Entonces, lo que es muy importante es que sepamos manejar estas funciones de aquí con las traslaciones para ver un esbozo de la gráfica. 00:11:26
¿De acuerdo? Fijaros, esto de aquí. Yo tengo y es igual a 2 partido de x. Entonces yo ya sé que si x vale 1 va a pasar por el 2, si x vale 2 va a pasar por el 1, es decir, por el punto 1, 2 y por el punto 2, 1. 00:11:36
Yo sé que es de proporcionalidad inversa. Entonces yo pongo por ejemplo el 1, 2 y el 2, 1 y fijaros que mi función va a hacer algo así y algo así. ¿De acuerdo? Esto es 2 partido de x. 00:11:52
Y ahora, ¿qué me dicen? Que yo represente menos 2 partido de x. ¿Qué es lo que ocurre? Pues esto es la a, que es 2 partido de x, y la b, y es igual a menos 2 partido de x. 00:12:06
Y entonces, esto que está aquí en negativo, que era esto de aquí, fijaros, lo voy a poner en rojo, se convierte en qué? 00:12:19
En positivo. 00:12:29
Esto que estaba aquí, lo voy a representar en negro con puntitos, en positivo, ahora se va a convertir, lo voy a poner en rojo, perdonad, en negativo. 00:12:31
¿De acuerdo? 00:12:43
Esta es mi función y es igual a menos 2 partido de x. 00:12:44
¿Qué es lo que ocurre aquí donde yo tengo el c es igual a 2 partido de x menos 3? 00:12:48
Pues yo lo primero que me tengo que fijar aquí es el dominio. 00:12:57
El dominio de f de x son todos los reales menos el 3, ¿verdad? 00:13:00
¿Por qué? Porque el 3 me anula este denominador. 00:13:05
Lo voy a escribir aquí bien, ¿vale? x menos 3. 00:13:08
Y entonces, ¿qué estoy haciendo realmente? Yo, mi función, la de y partido de x es esta de aquí y ahora lo voy a escribir en verde. Esto es lo mismo, pero justo en el 3 que está aquí yo no tengo función. Pues entonces, esta verde de aquí y esta verde de aquí. 00:13:12
Este es el esbozo de mi gráfica, lo voy a hacer aquí un poquito mejor, esto es el 3, mi gráfica va a ser tal que así, igual, damos 3 valores, 4 para representarla bien, pero más o menos ese es el esbozo, ¿de acuerdo? 00:13:33
Y entonces, esta de aquí, fijaros, esta de aquí, pues es mi misma función que yo tengo aquí, ¿de acuerdo? Mi misma función que yo tengo aquí, pero ahora le estoy sumando un 5. Este 5 no afecta a la x como si afectaba este 3, sino que el 5 afecta a toda la función. 00:13:49
Entonces, lo único que tengo aquí ahora, fijaros, es que he subido 5 posiciones, he subido 5 posiciones mi función, ¿de acuerdo? Eso es lo importante que yo quiero que veáis de las traslaciones en las funciones, lo diré, las funciones de proporcionalidad inversa, ¿vale? 00:14:09
Si yo me fuera a GeoGebra, a ver un momento, si yo me fuera, voy a ir aquí, a GeoGebra, ¿vale? 00:14:36
Lo que yo quiero que veáis es que si yo tengo, por ejemplo, aquí un A, aquí un B y aquí un C, ¿vale? 00:14:49
Si yo tengo que mi función, a ver si esto lo puedo hacer más pequeñito, un segundo, vale, vamos a ver. 00:14:59
aquí, si yo esto lo pudiera hacer aquí más, vaya por Dios, vamos a ver, esto de aquí yo lo pudiera hacer más pequeño, nada, está esto, bueno, a ver, si yo hago aquí a partido de x, ¿vale?, es mi función 1 partido de x, y la de proporcionalidad inversa, 00:15:07
Fijaros lo que ocurre cuando yo modifico la A, que se va, cada vez que la A es más grande se van separando, se van separando, separando, separando, cuando ya es muy cerca de 0 se convierte efectivamente en 0 y luego cuando es negativo lo único que siempre crece, mi función siempre es creciente, aquí es creciente y aquí mi función es decreciente, ¿de acuerdo? 00:15:31
¿Qué ocurre ahora, chavales? Voy a dejar la a igual a 1. A1. A ver si soy capaz. A1. Bueno, si no, fuerza aquí. A igual a 1. ¿Vale? ¿Qué ocurre cuando aquí, por ejemplo, perdonad, tengo yo aquí más b y aquí más c? 00:15:55
voy a hacer que b sea 0 y que c sea 0 00:16:16
es decir, tengo 1 partido de x 00:16:21
¿qué ocurre cuando yo estoy modificando lo que acompaña a la x? 00:16:22
pues fijaros, si yo voy modificando lo que acompaña a la x 00:16:28
cuando yo le sumo estoy desplazando todo hacia la izquierda 00:16:32
¿lo veis? yo ahora aquí la asíntota la tengo en 3 00:16:37
¿de acuerdo? a ver si consigo yo aquí el 3 00:16:40
o la asíntota la tengo ahora aquí en el 3 00:16:43
1 partido de x más 3, yo la asíntota vertical la tengo en x igual a menos 3. 00:16:46
Y si yo me voy hacia valores negativos, lo que estoy es desplazándola hacia la derecha. 00:16:50
De hecho, cuando yo llego a 1 partido de x menos 5, el dominio aquí son todos los reales menos el 5. 00:16:56
Y en el 5 que tengo la asíntota horizontal, ¿de acuerdo? 00:17:04
¿Vale? Entonces yo, cuando me está afectando a la X, ¿de acuerdo? Yo lo que hago, chavales, es desplazar mi función. Desplazar mi función. De hecho, si yo ahora es negativa, ¿vale? Es exactamente lo mismo, pero yo desplazo mi función. ¿De acuerdo? Yo desplazo mi función. Voy a dejar otra vez que la A valga 1. ¿De acuerdo? 00:17:07
Todo lo que haga es desplazar lateralmente. Si yo aquí me voy, por ejemplo, a x más 5, ahora lo que subo es la c, fijaros la c, lo que hago es subir la asíntota horizontal ahora, me está cambiando, ¿de acuerdo? 00:17:33
Es decir, si yo consigo que c valga 2, tengo una asíntota horizontal en x igual a 2. 00:17:52
Si yo hago que c valga menos 4, tengo una asíntota horizontal en c igual a menos 4, ¿de acuerdo? 00:18:02
Entonces, más o menos también es igual darle valores a la función y lo que tenéis que saber son estas traducciones que son muy importantes, ¿de acuerdo? 00:18:09
Este vídeo es muy importante. 00:18:18
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Educación Secundaria Obligatoria
    • Ordinaria
      • Segundo Ciclo
        • Cuarto Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
4
Fecha:
23 de abril de 2026 - 18:43
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
18′ 22″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
48.96 MBytes

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