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T5 - ej 85 al 124 - Contenido educativo

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Subido el 14 de diciembre de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Hola, vamos a ver bastantes ejercicios de integrales inmediatas para seguir cogiendo un poquito más de soltura. 00:00:00
Entonces, vamos a empezar, vamos a ponerlos en rojo. 00:00:07
La primera integral, la 85, pues vemos que es una función potencial. 00:00:11
Fuera tenemos el 4, que es la derivada de lo de dentro. 00:00:15
Por lo tanto, esto no es otra cosa que 4x menos 1 elevado a un exponente más, es decir, 5 más 1 es 6, partido por el exponente más k. 00:00:18
La 86 es lo mismo, lo que pasa es que la potencia está en el denominador 00:00:28
Si usáis la fórmula la aplicáis, yo como no me la sé la voy a subir arriba 00:00:34
Con exponente menos 5 00:00:38
Y es exactamente lo mismo que la anterior 00:00:40
La derivada de lo de dentro del x menos 1 es 1 00:00:42
Por lo tanto simplemente es x menos 1 00:00:45
Elevado al menos 5 más 1 que es menos 4 00:00:48
Partido de menos 4 00:00:51
O lo que es lo mismo, menos 1 00:00:53
partido de 4 veces x menos 1 a la cuarta, ¿vale? 00:00:55
Y el más k, que siempre me como. 00:01:01
La 87 es la integral de un coseno. 00:01:06
La función que tiene por derivada el coseno es el seno. 00:01:09
Por lo tanto, esta viene del seno de 3x partido por 2. 00:01:12
¿Y qué es lo que deberíamos tener aquí delante? 00:01:17
Aquí delante deberíamos tener el 3 medios. 00:01:19
Por lo tanto, tenemos que multiplicar por 2 tercios. 00:01:22
o lo que es lo mismo, tendríamos que dividir aquí por 3 medios, que en el fondo es lo mismo, más k, perdón, más k, 00:01:24
y esto sería como si tuviéramos 2 tercios del seno de 3x medios, ¿vale? Más k. 00:01:34
La siguiente, la 88, es la integral de una exponencial, pues sabemos que la exponencial es ella misma, 00:01:43
lo único que me falta es el menos de la derivada del exponente 00:01:48
que es menos 1, por lo tanto ponemos el menos delante y ya estaría 00:01:52
la 89 es la típica de un logaritmo neperiano 00:01:56
porque está en el denominador y la derivada de x-1 es 1 00:01:59
por lo tanto esto es logaritmo neperiano, valor absoluto de x-1 00:02:03
más k 00:02:07
vamos a subir un poco 00:02:09
hasta la 90 00:02:12
vale, la 90 tenemos una resta de integrales inmediatas 00:02:16
la integral de coseno de x sabemos que es el seno de x 00:02:20
y la integral de menos elevado a menos x 00:02:24
como ya tengo el menos delante 00:02:28
que es de la derivada del exponente 00:02:29
pues esto simplemente es más elevado a menos x 00:02:32
más k, vale 00:02:35
aquí tenemos una función potencial 00:02:38
pero ahora no es una e, sino que la base es 2 00:02:40
por tanto ella va a venir de ella misma 00:02:42
de 2 por menos 4x, pero ¿qué le faltaría? 00:02:44
Nos faltaría tener la derivada del exponente, sí, que es menos 4, 00:02:48
por tanto lo divido por menos 4, 00:02:53
y también nos faltaría el logaritmo neperiano de la base, 00:02:55
por el logaritmo neperiano de 2, más k. 00:02:59
Luego esto lo podemos poner como menos 2 elevado a menos 4x, 00:03:03
partido de 4, logaritmo neperiano de 2, más k. 00:03:08
¿Vale? 00:03:14
La 92, si os fijáis, en el numerador tenemos prácticamente la derivada del denominador 00:03:14
Me falta el 2, luego esto es el logaritmo neperiano 00:03:20
Siempre entrevalo absoluto, ¿vale? 00:03:23
De x cuadrado más 9 00:03:26
Y lo tengo que dividir por lo que me falta, que es el 2 00:03:27
Que es la derivada del exponente 00:03:31
Más k 00:03:32
La 93 es la integral de un seno, luego esto viene de un coseno 00:03:33
Del 5 menos 2x 00:03:38
¿Y qué es lo que me faltaría? 00:03:42
me faltaría la derivada de lo de dentro que es el menos 2 00:03:43
que no lo tengo y como es de un coseno me falta también el menos 00:03:47
pero como ya hemos dicho que tendría que ser un menos 2 00:03:51
y el menos se hace simplemente un 2 más k 00:03:55
la 94 es la integral de una raíz cuadrada 00:03:58
está la raíz cuadrada en el denominador 00:04:02
y además justamente arriba tenemos la derivada del radicando 00:04:05
que es lo único que me faltaría, tener un 2 delante de la raíz 00:04:08
¿Vale? Como el 2 tendría que estar en el denominador 00:04:13
Lo tengo que poner en el numerador 00:04:16
Luego esto viene a ser dos veces la raíz de 3x más k 00:04:18
¿Vale? 00:04:23
A ver, que se me va 00:04:28
Venga, seguimos 00:04:29
La 95 00:04:31
Fijaos que aunque tengamos aquí una x que parece que es un producto 00:04:32
Son inmediatas 00:04:36
Es el coseno de x cuadrado más 1 00:04:37
La derivada del x cuadrado más 1 es 2x 00:04:39
Luego esta x es por la derivada de lo de dentro 00:04:42
Por lo tanto si tenemos un coseno es que viene de un seno 00:04:46
Del seno de x cuadrado más 1 00:04:51
Pero me falta el 2 del exponente 00:04:53
Luego lo divido entre 2 más k 00:04:56
Venga, la siguiente 00:04:59
La 96 tengo la integral de la diferencial de x 00:05:02
Abajo tengo 3 más x cuadrado 00:05:05
No tengo arriba la derivada de x cuadrado 00:05:07
Por lo tanto no es un logaritmo 00:05:10
Esto va a ser un arco tangente 00:05:12
Pero para que fuera un arco tangente 00:05:13
El 3 como tendría que ser 00:05:16
Tendría que ser algo al cuadrado 00:05:18
Pero el 3 es lo mismo que la raíz de 3 al cuadrado 00:05:21
Más x al cuadrado 00:05:23
Arriba tendríamos el diferencial de x 00:05:25
Y esto sería 00:05:27
1 partido por raíz de 3 00:05:29
Por 00:05:30
El arco tangente 00:05:32
De x partido por raíz de 3 00:05:34
Todo más k 00:05:38
¿Vale? 00:05:39
Ahora, el 97 es una secante al cuadrado, ¿vale? 00:05:42
Por lo tanto, esto es la integral de la tangente. 00:05:46
Tenemos aquí la x, que es justamente la derivada del x cuadrado, salvo el 2. 00:05:49
Por lo tanto, esto es la tangente de x cuadrado, partido por 2, más k. 00:05:53
La 98, en el denominador tenemos una raíz, pero no tenemos en el numerador la derivada de la raíz. 00:06:01
Por lo tanto, no es una potencial, sino lo que es, es un arcoseno. 00:06:08
Igual que nos pasaba con la que hemos visto del arco tangente 00:06:11
Para que fuera el arco seno, nosotros podemos jugar un poco 00:06:15
Porque necesitaríamos tener la raíz de quién, de algo al cuadrado 00:06:19
Esto sería raíz de 2 al cuadrado menos x al cuadrado 00:06:22
Luego esto es el arco seno de x partido por la raíz de 2 más k 00:06:27
Espero que sea así, ya sabéis que mi memoria para las fórmulas es bastante mala 00:06:37
La 99 es un 5 por un seno, bueno, un 5 es la constante que sale fuera 00:06:41
Y tengo el seno de 7x, y es un seno que proviene de un coseno de 7x 00:06:47
Y que me falta el menos, porque la derivada del coseno es un seno, es menos el seno 00:06:53
Le pongo delante, y tengo que dividirlo por la derivada del 7x, que es 7 00:06:58
Lo pongo, por ejemplo, aquí delante, más k 00:07:03
La 100 simplemente es un polinomio, por lo tanto esto será 00:07:06
Viene un x que es cuarta, viene de una x quinta, como el 10 00:07:11
Bueno, lo hago todo de una vez y luego lo opero 00:07:16
10x quinta partido de 5, es que iba a poner ya directamente 2x quinta 00:07:20
más 2x cuarta partido de 4 menos, perdón, menos x cuadrado partido de 2 menos x más k. 00:07:24
Es decir, 2x quinta más x cuarta partido de 2 menos x cuadrado partido de 2 menos x más k. 00:07:41
Aquí tenemos la cosecante, ¿vale? 00:07:54
La cosecante es menos la cotangente, ¿vale? 00:07:59
Perdonad que es que estoy parando un poco porque me va dando la tos, 00:08:02
entonces no sé si cuando vuelvo a empezar el vídeo, si tiene mucho sentido lo que digo, ¿vale? 00:08:05
Venga, pues volvemos con la 101. 00:08:10
La integral de la cosecante es la menos cotangente, 00:08:12
menos la cotangente cuadrado de 3 menos 4x, ¿vale? 00:08:16
Vale, disculpad, he puesto cotangente al cuadrado, ¿vale? 00:08:24
Y es simplemente la cotangente, no al cuadrado. 00:08:29
Vale, la integral de la cosecante, igual que hemos puesto aquí arriba en la 97, 00:08:35
subo un momentito aquí, en la 97 la secante al cuadrado es la tangente, 00:08:42
con la cosecante es lo mismo, es la cotangente pero negativo, 00:08:46
vale, de 3 menos 4x 00:08:49
y que me faltaría, la derivada de lo de dentro 00:08:51
que sería menos 4, por lo tanto este menos 00:08:53
se transformaría en más 00:08:55
y tendríamos que dividirlo entre 4 00:08:56
más k 00:08:59
vale, vamos a subir un poquito 00:09:00
venga, la 102, tenemos una 00:09:03
una función, una 00:09:09
una potencial, por lo tanto lo vamos a 00:09:10
escribir como una potencia y esto sería 00:09:13
x elevado a 3 quintos 00:09:14
diferencial de x 00:09:17
vale, pues esto es 00:09:19
x elevado a tres quintos más uno, entre tres quintos más uno, más k, y esto sería tres quintos más uno, son ocho quintos, 00:09:20
y ocho quintos es la raíz quinta de x a la ocho, entre ocho quintos, que al dividirlo entre ocho quintos me queda arriba el cinco y abajo el ocho, más k. 00:09:34
La 103 es la e elevado a x tercios, pues es ella misma y que le faltaría dividirla por la derivada del exponente que es un tercio, 00:09:50
es decir, tendríamos que dividirlo entre un tercio más k y esto es lo mismo que 3 por e elevado a x tercio más k. 00:10:02
la 104 es la integral del seno de x menos coseno de x 00:10:11
es una diferencia 00:10:16
la integral del seno viene del menos coseno de x 00:10:17
y el menos coseno viene del seno 00:10:22
más k 00:10:27
fijaos que esto simplemente estamos aplicando las fórmulas 00:10:28
la 103 pues a ver tenemos por un lado 3x cuadrado 00:10:31
3x cuadrado viene del x cubo 00:10:35
el 1 viene de la x 00:10:39
Entonces, el menos 1 partido por x más 2 es un logaritmo neperiano, menos logaritmo neperiano del valor absoluto de x más 2, y ahora tenemos arriba más 8, x quinta en el denominador es como si fuera x a la menos 5, menos 5 más 1 sería menos 4 partido de menos 4, ¿vale? 00:10:41
Y esto sería más k. Operamos un poco el último sumando y esto quedaría x cubo más x menos logaritmo neperiano de x más 2 y ahora me queda aquí menos 8 entre 4 es 2 partido por x cuarta más k. 00:11:05
La 106 es también una función potencial, ¿vale? 00:11:24
La derivada de lo de dentro es 2, que me falta 00:11:30
Luego esto viene del 2x menos 1 00:11:32
Elevado a 4, un exponente más 00:11:35
Partido de 4 por el exponente 00:11:38
Y tengo que dividir por la derivada de lo de dentro, que es 2 00:11:40
Que no viene 00:11:43
Más k 00:11:44
Y esto es igual, multiplicando, me queda 2x menos 1 00:11:45
a la cuarta partido de 8 más K. 00:11:50
Vale, vamos a seguir con la 107, ¿vale? 00:11:58
La 107, a ver... 00:12:02
Vale, para la fórmula de la 107, si sabéis la de la cotangente, fenomenal. 00:12:11
Si no os la sabéis, recordad lo que yo hacía en clase, ¿vale? 00:12:15
Es decir, yo tomo la cotangente... 00:12:18
Sabéis que yo hay muchas fórmulas, bueno, no me quiere... 00:12:22
no sé por qué no me lo cogía, la cotangente es un coseno entre un seno, ¿vale? 00:12:32
Luego lo que tenemos arriba es la derivada de lo de abajo, por lo tanto esto es un logaritmo, ¿vale? 00:12:40
Y además la función es la cotangente de x cuadrado y la derivada de x cuadrado es justamente 2x, 00:12:46
que tengo aquí delante la x, ¿vale? 00:12:54
Por lo tanto esto aquí va a ser, vamos a ir haciéndolo poco a poco, sería el logaritmo neperiano de quién? 00:12:57
del seno 00:13:01
del valor absoluto 00:13:04
del seno 00:13:09
de x cuadrado 00:13:14
tengo un menos 00:13:15
pues el menos lo dejo delante 00:13:19
y por quien tengo que dividir 00:13:21
por la derivada de lo de dentro 00:13:22
del x cuadrado que es 2x 00:13:25
me falta el 2 00:13:26
partido de 2 00:13:27
vale 00:13:29
¿Vale? El a 108 es una exponencial que la base es 7, por lo tanto fijaros que tengo aquí el 5 que es justamente la derivada del exponente salvo el signo. 00:13:31
Luego esto será menos porque me falta el signo, 7 elevado a menos 5x y que me falta el logaritmo neperiano de la base. 00:13:42
El a109, pues como hemos visto, lo puedo poner como x más 7 elevado a menos 2 diferencial de x 00:13:51
Luego esto viene del x más 7 elevado a menos 1, es decir, al menos 2 más 1 00:14:02
Sería menos 1 partido de menos 1 más k 00:14:12
Por lo tanto, esto es menos 1 partido por x más 7 más k 00:14:18
El 110 es exactamente igual que el 107, ¿verdad? 00:14:25
Porque lo que tengo es una cota en frente 00:14:32
Por lo tanto, esto va a ser el logaritmo neperiano del seno de x cuadrado 00:14:34
¿Qué ocurre ahora? 00:14:41
Que tengo delante un 2, bueno, tengo el 2x que es justamente la derivada de x cuadrado 00:14:44
Por lo tanto, no tengo que añadir nada más, salvo la k. 00:14:48
La 111, fijaos, tengo una función racional, pero resulta que el numerador es justamente la derivada del denominador. 00:14:53
Luego, esto es el logaritmo neperiano del denominador de x cubo más 5x menos 1 más k. 00:15:02
Vamos con la siguiente tanda. 00:15:13
A ver, tenemos un seno, para que venga de un seno es que es un coseno, ¿verdad? 00:15:15
Entonces esto viene del coseno de 3x más 2 00:15:25
Pero si es un coseno, ¿qué me falta? El signo menos, que no lo tenemos porque la derivada del coseno es el menos seno 00:15:31
Y tengo que dividir por la derivada de lo de dentro, que es justamente 3 00:15:37
Que también falta, más k 00:15:40
La integral de la tangente, pues como hemos hecho la de la cotangente, 00:15:44
la tangente es un seno partido por un coseno, ¿verdad? 00:15:47
Por lo tanto, ¿esto qué va a ser? 00:15:50
El logaritmo neperiano del coseno de x cuartas. 00:15:52
¿Vale? Y ahora, ¿qué me falta? 00:15:58
La derivada del coseno es, he dicho que es un seno, pero salvo el signo, 00:16:00
me faltaría un signo menos delante, y además, ¿qué faltaría? 00:16:03
La derivada del x cuarto, que es un cuarto, 00:16:07
Luego tendríamos que dividir por un cuarto, que es lo mismo que multiplicar por cuatro. 00:16:09
Luego esto sería menos cuatro más k, ¿vale? 00:16:15
Menos cuatro, logaritmo neperiano para el absoluto del coseno de x cuarta más k. 00:16:19
La 114 es una función potencial, aunque sea la raíz, ¿vale? 00:16:28
Lo podemos poner como potencia. 00:16:32
5x más 1 elevado a un tercio 00:16:34
Diferencial de x, pues sabemos que esto va a ser 00:16:38
El 5x más 1 elevado a un tercio más 1 00:16:41
Dividido entre un tercio más 1 00:16:46
Y además, ¿por qué más tengo que dividir? 00:16:51
La derivada de lo de dentro del 5x más 1 es 5 00:16:56
Luego me falta también el 5 00:16:58
¿Y esto a qué va a ser igual? 00:17:00
Un tercio más uno son cuatro tercios, ¿no? 00:17:02
Luego esto lo puedo poner como la raíz cúbica de cinco X más uno 00:17:06
Ya lo sé, me he comido la K 00:17:10
Cinco X más uno a la cuarta 00:17:12
Partido de, aquí sería cuatro tercios 00:17:14
Cuatro tercios por cinco 00:17:18
Cuatro tercios por cinco son veinte tercios 00:17:21
Por tanto aquí tenemos un veinte y aquí tenemos un tres 00:17:24
Que multiplica el del denominador que le subo 00:17:27
Más k, más k, ¿vale? 00:17:30
La 115, ¿qué es lo que tenemos también? 00:17:34
No es la, claro, podríamos pensar que es la derivada de una raíz, 00:17:38
pero no tengo el 2x que debería ser la derivada del radicando, ¿vale? 00:17:47
Entonces lo que tenemos aquí es un arcoseno, ¿verdad? 00:17:51
Y además tenemos el 4, que es justamente 2 al cuadrado. 00:17:55
Luego esto sería 7 veces el arco cuyo seno es x partido por 2 más k. 00:18:00
El 116, aunque en un principio puede parecer que tengamos que hacer una integración por partes, 00:18:12
es inmediata porque es el seno de una función, 00:18:17
de una función, esto es como si fuera mi u, 00:18:21
y aquí fuera tengo prácticamente mi u prima, bueno, salvo el signo, ¿vale? 00:18:22
Pero para que lo veamos un poco, entonces, el seno, ¿de quién viene? 00:18:28
Del coseno elevado a menos x y que me faltaría por un lado el signo de la derivada, ¿vale? 00:18:32
Porque aquí me falta el menos, pero la derivada del coseno es el menos seno, 00:18:40
por lo tanto tendríamos que poner dos menos, menos por menos es más, se nos quedaría aquí, ¿vale? 00:18:44
más k 00:18:48
vamos a subir un poquito 00:18:50
venga 00:18:53
la 117, nuestra amiga la exponencial 00:18:57
se queda igual 00:18:59
al integrarla 00:19:01
elevado a 5x 00:19:03
pero me falta dividir por 00:19:04
la derivada del exponente 00:19:06
partido de 5 00:19:08
más k 00:19:09
en la 118 00:19:12
tenemos una fracción 00:19:15
en el denominador tenemos 5x más 4 y en el numerador 5, que es justamente la derivada del denominador. 00:19:17
Luego esta es el logaritmo neperiano de 5x más 4, ¿vale? Está todo, no hay que hacer nada más. 00:19:23
La tangente, pues lo que os he dicho antes, la tangente, yo no me sé la fórmula. 00:19:31
La tangente es un seno partido por un coseno, ¿vale? Por lo tanto, yo lo que tengo es la derivada. 00:19:35
Arriba tengo la derivada del denominador, que es la derivada del coseno. 00:19:41
Por lo tanto, esto es un logaritmo neperiano 00:19:43
¿De quién? 00:19:46
Del coseno de 4x más 5 00:19:47
Y ahora vamos a poner todo lo que nos falta 00:19:50
Si es un coseno, me falta un signo menos 00:19:53
Porque la derivada del coseno es el menos seno 00:19:55
¿Vale? 00:19:58
Y además, como es 4x más 5 00:19:58
Me falta la derivada del 4x más 5, que es 4 00:20:01
Por lo tanto, lo divido 00:20:03
Más k 00:20:05
La 120 00:20:06
A ver, voy a subir otro poquito 00:20:08
A ver si ya... 00:20:10
Venga, esta ya es la última pantalla. 00:20:12
La 120 tenemos aquí el coseno de 4 menos x, la derivada del coseno. 00:20:15
La sabemos que viene de un seno. 00:20:19
La derivada del coseno no. 00:20:22
La función que tiene por derivada coseno es el seno, ¿vale? 00:20:23
Sería el seno de 4 menos x, pero me falta la derivada de lo de dentro, que sería menos 1. 00:20:27
Por lo tanto tenemos que poner un menos delante. 00:20:34
Más k. 00:20:37
La 121 es un arco tangente, es 1 más algo al cuadrado 00:20:37
Y sabemos que el 1 es lo mismo que 1 al cuadrado 00:20:45
Luego esto sería 6 veces el arco cuya tangente va a ser 2x partido de 1 00:20:47
Os lo pongo para que veáis, porque este 1 es lo mismo que 1 al cuadrado 00:20:55
Pero obviamente no lo dejamos dividido entre 1, que queda como un poquito feo 00:21:01
Arco tangente de 2x más k. 00:21:08
Si tenemos la integral de un seno es porque viene de un coseno, ¿vale? 00:21:12
El coseno de 4x partido de 5. 00:21:16
Y ahora veamos lo que nos falta. 00:21:19
La derivada del coseno es el menos seno, luego por un lado me falta un menos, 00:21:20
y además la derivada del 4x quinta es 4 quintos, luego tendríamos que dividir por 4 quintos. 00:21:24
Más k. 00:21:32
Por lo tanto, el 5 sube arriba y me queda menos 5 coseno de 4x quinta 00:21:33
O bueno, menos 5 cuartos, ¿vale? 00:21:41
Lo podemos partir todo como queramos 00:21:44
Venga, la 123 función es potencial, ¿verdad? 00:21:46
Por lo tanto, esta es muy fácil, esta es x4 partido de 4 00:21:50
Más el 3 cuartos que tengo del x3 partido de 3 00:21:55
menos 8x cuadrado partido de 2 00:22:01
más x más k 00:22:05
operamos las fracciones 00:22:08
x cuarta partido de 4 00:22:10
más el 3 con el 3 se me va 00:22:12
y me queda x3 partido de 4 00:22:14
el 8 entre 2 me queda 4 00:22:17
x cuadrado más x más k 00:22:19
¿vale? 00:22:22
y ya la última de este vídeo 00:22:24
pues lo pasa lo mismo que una de las que hemos hecho antes 00:22:26
que parece que tendríamos que hacer por partes 00:22:28
pero en el fondo lo que tenemos es el coseno de una función u y aquí fuera tenemos su derivada. 00:22:30
Salvo signos, ¿vale? Porque la derivada de elevado a menos x sería menos elevado a menos x, me falta ese signo. 00:22:37
Por lo tanto, si esto es un coseno, es que viene del seno de elevado a menos x 00:22:43
y que hemos dicho que es lo único que me falta, el signo de la derivada del elevado a menos x. 00:22:48
por lo tanto va a faltar aquí un menos 00:22:54
y la k 00:22:56
y con esto ya estarían todas estas integrales inmediatas 00:22:57
que como veis simplemente es aplicar la formulita 00:23:01
si en alguna se me ha ido un poco la fórmula 00:23:04
pues decírmelo en clase ¿vale? 00:23:07
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
9
Fecha:
14 de diciembre de 2025 - 10:13
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
23′ 10″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
57.23 MBytes

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