VIDEO 4 TEMA 3 MATEMÁTICAS II | Mediateca de EducaMadrid

Muy buenas a todo el mundo, ¿qué tal estáis? Espero que estéis con ganas de matemáticas 00:00:02

y si no estáis con ganas, pues pausad el vídeo y cuando estéis con ganas, pues mirad el vídeo. 00:00:06

No queda otra, como podéis ver el vídeo a veces que queráis. 00:00:13

Como siempre, antes de empezar la clase, os recuerdo mi correo para cualquier duda 00:00:16

o si queréis tener una tutoría conmigo. Ya sabéis que soy el tutor de distancia de nivel 2. 00:00:20

Si tenéis alguna duda, podéis escribir también para alguna tutoría. 00:00:26

No solo para temas de matemáticas o de ciencias, que también soy vuestro profesor. 00:00:30

¿Qué más? La tutoría, no sé si lo sabéis, es el solo jueves, ¿vale? 00:00:38

El que quiera venir, sobre todo. 00:00:41

Como es tutoría a distancia, no hay ni delegado ni nada. 00:00:43

Entonces, simplemente esas tutorías son para el que quiera preguntar algo, que venga. 00:00:45

¿Vale? Son los jueves de 7 a 8. 00:00:49

No, de 6 a 7. 00:00:55

Los jueves de 6 a 7 es la tutoría. 00:00:56

¿Vale? 00:00:59

entonces cualquier duda que tengáis acerca 00:01:00

yo que sé, del curso 00:01:02

o alguien que se haya incorporado ahora tarde 00:01:04

que tenga dudas de cómo se evalúa y todo eso 00:01:06

pues que me diga, aunque el tema 00:01:08

de evaluación y todo eso está yo creo claro aquí 00:01:10

¿vale? 00:01:12

luego respecto a recuperaciones sabéis que no hay 00:01:14

recuperaciones 00:01:16

en distancia, pero podéis aprobar 00:01:16

la asignatura suspendiendo el primer trimestre 00:01:20

ya sabéis que 00:01:22

tenéis que sumar entre los tres trimestres 00:01:24

al menos 14 puntos, ¿por qué? 00:01:25

14 entre 3 son 4,67 00:01:27

4,67 aproximado 00:01:30

da 5, tendréis aprobado 00:01:32

así el módulo, tanto en matemáticas 00:01:34

como en ciencias, si lo hacéis en color 2, pues tenéis 00:01:36

aprobada todo el ámbito 00:01:38

científico, tecnológico, ¿vale? 00:01:40

entonces, los que no se hayan 00:01:42

presentado al primer examen, que tengan puestos 00:01:44

un 1, aunque en realidad es un 0, pues 00:01:46

que, a ver, que no vengáis 00:01:48

abajo, que se pueda aprobar 00:01:50

con sacar un 7 en cada uno 00:01:51

de los otros, ya te da 14 puntos 00:01:54

entonces 00:01:56

es lo que no os desaniméis 00:01:58

aunque en la recuperación no tenéis que ir a mayo 00:02:01

si o si 00:02:03

si os da bien 00:02:05

estos temas 00:02:08

y sacáis un 7 o más, os aprobáis de sobra 00:02:09

si el tercer trimestre 00:02:11

también lo aprobáis con buena nota 00:02:13

no hay que sacarlo en 8, con un 7 vale 00:02:14

vale 00:02:17

entonces eso 00:02:18

no os desaniméis 00:02:20

bueno, vamos a empezar la clase 00:02:22

hoy vamos a ver, ya hemos terminado 00:02:25

todo el tema de sistemas, vamos a ver una cosa 00:02:27

así, un poquito más rara 00:02:29

entre comillas, que a lo mejor suena menos 00:02:31

uno es tan 00:02:33

conocido como las ecuaciones o los sistemas de ecuaciones 00:02:35

que son las sucesiones 00:02:37

numéricas, vale 00:02:39

entonces 00:02:41

vamos a ver poco a poco que son las sucesiones 00:02:42

pues las sucesiones son un conjunto 00:02:45

conjunto o una secuencia 00:02:47

de números que están ordenados 00:02:49

de una manera, tienen un orden determinado 00:02:51

Y cada uno de esos números tienen un lugar concreto. Es decir, están ordenados así por algo. Por ejemplo, la sucesión 2, 4, 6, 8, 10, 12, los números están así ordenados. ¿Por qué? Porque son números pares ascendientes, es decir, consecutivos. 00:02:53

El siguiente número par de 2 es 4, el siguiente es 6, etc. 00:03:11

O sea, tienen que tener un patrón, algo, ¿vale? 00:03:16

Suelen tenerlo, no siempre, ¿vale? 00:03:21

Pues supone aquí que a veces, bueno, más que a veces, normalmente, ¿vale? 00:03:23

Pero para que entendáis que hay veces que no siguen un patrón determinado. 00:03:27

Por ejemplo, la última. 00:03:30

3, 7, 15, de repente viene 9, ¿por qué sí? Por la cara. 00:03:32

22, 43, luego de repente va 12, ¿por qué sí? 00:03:37

Se está aumentando y de repente disminuye 00:03:41

¿Veis? Entonces no sigue ninguna ley 00:03:42

¿Vale? Ley o patrón, para que tengáis más 00:03:45

Un patrón común 00:03:47

O sea, el patrón sumar 2, sumar 3 00:03:48

Multiplicar por 2, etc 00:03:50

Entonces, para que, normalmente las sucesiones 00:03:52

Pues tienen un patrón, y las que vamos a ver 00:03:56

Por supuesto que van a tener un patrón 00:03:58

No vamos a ser tan malos los profesores de exponeros 00:03:59

A lo mejor les sale una sucesión 00:04:02

Que no tenga patrón, que ni yo sé 00:04:04

Ni yo mismo sé que va después de este 12 00:04:05

Porque como no sigue ninguna ley 00:04:08

ninguna norma, ningún patrón 00:04:10

común, pues es imposible saber 00:04:12

que después del 12 va a 36 00:04:14

o 29 00:04:15

¿entendéis? aunque parece ser que 00:04:17

tiene que ir algo impar, porque mira 00:04:20

par, bueno no, no tiene nada que ver, impar, impar 00:04:22

impar, impar, impar, nada, no tiene nada que ver 00:04:24

puede ser cualquier número, 37, 36 00:04:26

lo que sea, ¿vale? 00:04:28

entonces, como 00:04:30

os vamos a preguntar por 00:04:34

sucesiones numéricas en las que 00:04:35

sí que haya un patrón determinado 00:04:37

es decir, que 00:04:40

que estén ordenadas, pues hay que hablar de lo que es el término general de la sucesión, 00:04:41

ya que gracias a este término vamos a poder lograr entender cuáles van a ser todos los números de la sucesión. 00:04:47

¿Me explico? Es como una formulita que corresponde a esa sucesión numérica. 00:04:58

Es decir, aquí la formulita puede ser, a lo mejor, n más 2. 00:05:05

más o menos, ¿vale?, o 2 más n, ¿vale?, entonces en este caso es 2 más n que es 1, bueno, más o menos, 00:05:11

entonces hay que buscar ese término general que nos diga cuál es el siguiente número, ¿vale?, que no solo sumar 2, 00:05:24

Aquí vemos que es sumar 2. Entonces, pues, podemos hacerlo como que es el primer número que es 2 más n-1 por 2, ¿no? 00:05:33

n-1, ¿qué es? Por ejemplo, este sería el segundo lugar. Entonces, 2-1 es 1. 2 más 1 por 2, sería 2 más 2, 4. 00:05:44

Entonces, como se ve un poco más raro, ahora cuando lo veamos, lo veremos con mayor detalle, ¿vale? 00:05:54

Entonces, lo que sí es importante es que hay que conocer el término general de una sucesión para conocer todos los números de una sucesión numérica, que esos números se llaman términos, ¿vale? Aquí lo tenemos, los términos son cada uno de los elementos de una sucesión, por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 10, 12, esos son los términos, ¿vale? Y esto sigue, ¿no? Esto va, cuando se ponen estos tres puntitos, que sigue hasta el infinito, ¿vale? 00:05:59

Entonces, esos son los términos, ¿vale? Y se nombran con una letra, normalmente la A, ¿vale? Porque es la primera, con un subíndice 00:06:22

Entonces, el primer término, pues A1, el segundo A2, A3, o sea, este sentido común, ¿no? 00:06:32

Entonces, ¿qué es el término general de una sucesión? Pues es una expresión algebraica que nos permite averiguar cualquier valor de cada término 00:06:40

Es decir, nos permite averiguar el valor que tiene A1, si es 60 o en el caso aquí, que es 2, ¿vale? 00:06:50

Por ejemplo, aquí A1 es este, A2 es este, A3, A4, A5, A6 y así consecutivamente, igual que con estos. 00:06:58

Entonces, va a ser, por así decirlo, como una formulita que se va a nombrar por AN, ¿vale? 00:07:07

Porque N puede ser el término que sea, lo mismo el 1 que el 2. 00:07:11

Entonces, es como una fórmula general para todos los términos, ¿vale? 00:07:16

Eso es el programa de término general, ¿no? Es como las típicas ecuaciones que utilizamos en ciencias, ya sea la ley de los gases o lo que sea. 00:07:20

Entonces, es como una ecuación entre comillas, una fórmula, bueno, más que una ecuación, acordaos que, no sé si lo visteis el año pasado, ecuación no es lo mismo que fórmula, ¿vale? 00:07:27

Igual que identidad, porque la ecuación solo se cumple para un valor concreto, o a lo mejor dos valores. 00:07:38

La fórmula, en cambio, sirve para calcular varios tipos de valores, o sea, varios valores. 00:07:48

Luego está la identidad, que es siempre el mismo valor. 00:07:54

Entonces, vamos a decir que es una fórmula más bien, como la típica fórmula del área y todo eso. 00:07:57

Entonces, importante, vamos a verlo con un ejemplo. 00:08:05

Imaginad que tenemos la sucesión numérica, porque siempre con los ejemplos se ve mucho más que por las definiciones. 00:08:08

Tenemos esta sucesión, 60, 70, 80, ¿no? 00:08:16

Y sigue, ¿vale? 00:08:19

Aunque vamos a poner que la sucesión es solo de estos tres. 00:08:20

Entonces, ¿los términos cuáles serían? 00:08:23

A1 sería 60, A2 70 y A3 80. 00:08:25

Entonces, ¿y patrón llevan a cabo? 00:08:31

Pues todos, entre comillas, tienen un mismo patrón. Es como que sumamos 50 a 10 multiplicado por un número. 00:08:35

Entonces tenemos que ver, lo más difícil es encontrar el patrón, pero una vez que se encuentre es súper fácil. 00:08:49

¿Qué pasa con esto? Que cada vez vamos sumando de 10 en 10. 00:08:56

O lo que es lo mismo, a 50 le sumamos 10 por el n, que es el número del término. 00:09:00

Si le sumamos 10 por 1, porque este es el término primero, pues sería 50 más 10, 60. 00:09:10

Luego, el segundo término, pues será 10 por 12, le sumamos esto, o sea, perdón, 10 por 2. 00:09:16

50 más 10 por 2, que es 20, 70. 00:09:21

¿Veis? Entonces cada vez vamos sumando de 10 en 10. Luego vamos a ver en el siguiente apartado, que es la progresión aritmética, que nos va a poner una fórmula todavía más general para, en el caso de estas, que siempre va a haber una diferencia entre ellos. 00:09:24

En este caso la diferencia es de 10 en 10. Entonces vamos a ver que cuando veamos lo siguiente, esto se encontraría mucho más fácil esta fórmula y más simplificada. 00:09:39

entonces aquí el término general ¿cuál es? pues es a elevado a n, porque para cualquier valor es 10 por n más 50, este sería el término general 00:09:48

si nos dicen el término general y nos piden dar la sucesión numérica es súper fácil, simplemente multiplicamos por el número que sea 00:09:58

¿qué es el término 1? pues esto es a1 es igual a 10 por 1 más 50, 60, el término 2 por 10 por 2 más 50, 70 y así 00:10:05

¿Entendéis un poquito? O sea, ahora mismo suena un poco raro, pero cuando veamos algún ejemplo se va a entender, ¿vale? 00:10:13

Porque esto normalmente se hace con una tabla 00:10:19

Entonces, un ejemplo típico es en los alquileres, ¿no? 00:10:20

Porque tienes que dar como un pequeño importe y luego sumar según las horas que contrates un servicio 00:10:28

Entonces, un automóvil se puede alquilar por 30 euros al día más un depósito inicial, ¿vale? 00:10:34

De 50 euros, o sea, los 50 euros son de gratis, por así decirlo 00:10:40

Por la car, como diríais. Entonces, tú pagas 50 euros y es como cuando te apuntes en un gimnasio, pagas 30 al mes, pero al principio pagas una matrícula para apuntarte. 00:10:44

Seguramente, si algunos apuntan al gimnasio, es algo que es eso. La primera vez hay que pagar una matrícula. Aquí es igual. Tú pagas al principio un precio 00:10:56

y luego aumentas un suplemento según el tiempo que tengas, que tengas alquilado el coche, ¿vale? Por día. 00:11:07

Si lo alquilas un año, pues será 30 por 335, excepto si el año es bisiesto, que te jode un poco más, que es un día más, ¿vale? 30 euros más. 00:11:14

Entonces, estos ejercicios siempre son muy parecidos. Te dan aquí los datos, te dice lo que pagas inicialmente 50 y luego por cada hora o por cada día 00:11:23

o por cada segundo, lo que sea. En este caso es por cada día. Entonces aquí normalmente en una parte nos dicen de que pongamos una tabla en la que nos digan el número de días o de horas 00:11:32

según el precio que sea. En este caso el precio es por día. Y pongamos el precio total de alquiler en función de los días. Entonces el número de días será 1, 2, 3, 4, 5, así hasta el infinito. 00:11:43

Y el precio del alquiler será ajustando nuestra fórmula. Es decir, porque no quiero que os fijéis esto. Esto sería ahora mismo el término general, ¿vale? 00:11:57

Que es elevado a n es 30n más 50. Pero queremos llegar a esto. Así que ahora mismo no leáis esto. Sé que cuanto más os diga que no leáis esto, más lo vais a leer. 00:12:09

Pero no lo leáis, ¿vale? 00:12:16

Entonces, claro, esto es usar lógica. 00:12:18

Para encontrar este término es usar lógica. 00:12:23

Claro. 00:12:25

Vosotros me sabréis decir, así, de primeras, 00:12:27

¿cuánto pagaría el primer día? 00:12:30

Serán los 50 euros primero más 30 euros de un día, ¿no? 00:12:32

Vale, 80. 00:12:37

¿Y cuánto pagaría el siguiente día? 00:12:38

Joder, serán 30 más, ¿no? 00:12:41

80 más 30, 110. 00:12:42

Entonces, hay que buscar una fórmula, ¿no? 00:12:44

Que es el término general que nos indique, pues, cuánto se va a pagar 00:12:48

Entonces, como esto siempre es igual, es 30 euros el día 00:12:54

Más un importe inicial, pues, claro 00:12:59

Pues el término general será sumarle 50 aún a el precio de los días 00:13:01

Es decir, que tenemos un día, pues, 30 por 1 más 50 00:13:08

¿Qué tenemos dos días? 30 por 2 más 50, 110. Entonces, 1, 2, 3, 4, ¿todo esto qué es? Son el número de días. Pues llamamos al número de días n y entonces será 30 por n más 50. 00:13:12

Y este sería el término general. Entonces, estos ejercicios siempre nos piden, o muchas veces nos piden, poner la tabla, luego decir cuál es el término general y poner la sucesión. 00:13:26

es decir, este valor, la sucesión numérica del alquiler, lo que nos cuesta, ¿vale? 00:13:36

A lo mejor nos dicen que pongamos los 7 primeros términos, entonces tenemos que ir hasta aquí, hasta 7. 00:13:44

En este caso he puesto los 6 primeros, ¿vale? 00:13:49

¿Entendéis un poquito? 00:13:53

Entonces, aquí tenemos un ejemplo que puede pedir. 00:13:57

el alquiler de una bicicleta cuesta 2 euros 00:14:00

más 00:14:03

vale, 2 euros la hora, perdón 00:14:04

más el depósito inicial 00:14:07

de 5 euros, igual que aquí, aquí pagamos 50 00:14:09

por la cara, ¿no? 00:14:11

como lo giras en la matrícula, aquí pagamos 00:14:12

5 euros, y luego hay que 00:14:15

sumarle las horas 00:14:17

que estemos, ¿no? 2 euros por cada hora 00:14:19

con lo cual, así 00:14:21

igual que la otra 00:14:22

¿cuál será el término general? es decir, como la 00:14:24

fórmula para calcular el resto de 00:14:27

la sucesión? Pues será 2 por el número de horas, que será n, más 5. 00:14:28

Igual que esto. 30 por día, pues 30 por n, y n más en los días, más 50. 00:14:34

Entonces, nos pide dibujar la tabla y escribir el precio que debemos pagar de alquiler de la bicicleta. 00:14:41

Es decir, esto. Poner aquí el número de, en este caso, de horas en media, y aquí el precio de alquiler, 00:14:46

que es poner esto. Es decir, estos van a ser los valores de la sucesión. 00:14:50

y luego nos pide escribir el término general 00:14:55

que es básicamente lo que acabo de hacer 00:14:57

y la sucesión numérica que sostiene 00:14:59

entonces vamos a coger 00:15:00

aquí papel 00:15:03

bueno, más bien la tablet 00:15:05

y vamos a escribirlo 00:15:06

entonces 00:15:08

vamos allá 00:15:08

tenemos 00:15:12

a ver dónde te he apuntado 00:15:13

bueno, dicen que 00:15:15

se paga 00:15:17

dos euros la hora 00:15:18

dos euros por hora 00:15:21

más 5 euros iniciales 00:15:22

entonces, primero 00:15:26

tenemos que elaborar la tabla 00:15:29

y nos dicen el 00:15:31

número de horas 00:15:33

que el número de horas será 00:15:34

n 00:15:38

y luego el precio de alquiler 00:15:39

el precio de alquiler 00:15:41

será en euros 00:15:47

entonces 00:15:49

¿cuántas horas? pues vamos a poner 00:15:51

yo en este caso he puesto las 5 00:15:54

primeras porque siempre sigue igual 00:15:56

vale si no os dice en un término concreto las que queráis por lo menos poner 5 vale ahora si 00:15:58

os dicen por los 10 primeros términos pues tenéis que llegar hasta 10 vale entonces esto vemos así 00:16:03

y voy a hacer el cuadro que va a salir un poco con la de a2 como siempre vale no lo mismo un 00:16:09

folio con una tabla una que una tableta hoy como ha salido de malas voy a borrar esto aunque voy 00:16:17

a borrar también sin querer lo otro pero bueno voy a hacer primero va a ser hacer la tabla 00:16:24

y luego ya pongo lo del precio es un número de horas esto va a ser n minúscula y el precio 00:16:30

alquiler vale lo que vamos a pagar vale entonces ya no hacer estas líneas porque va a salir la de 00:16:53

hay muy poco pulso en la tableta vale si para cirujano no valgo entonces vamos a ello esto es 00:17:05

por cajón o sea pagamos siempre cinco euros de gratis no y luego hay que sumarle pues las horas 00:17:17

no el precio por hora dos euros por cada hora pues dos en este caso en una hora pues dos por 00:17:24

1 más 5 2 por 1 más 5 igual a 7 ahora cuántas horas 2 x 2 x 2 más 5 que los 5 siempre que 00:17:29

sumarse sería 9 2 x 3 más 5 igual a 11 si des cuenta vamos sumando siempre dos en dos porque 00:17:37

porque cada vez pagamos dos euros más porque cada hora son dos euros pues cada vez cada hora pagamos 00:17:44

dos euros más entonces pues nos va de dos en dos ya tienen que tener lógica más 5 si veis que de 00:17:49

repente hay un salto y lógico pues tendréis más o sea y siempre me gusta que utilice la lógica por 00:17:58

esto para dar cuenta de si está bien o no no si cada hora tienes que pagar 20 macos tendrá que 00:18:06

ir de dos en dos o sea es lógica entonces esto sería la apartada ya hemos puesto el alquiler 00:18:11

cuando sería aquí siete euros vale 7 bueno aunque ya como está señalado señalado aquí no hace falta 00:18:17

por la unidad, pues lo he puesto aquí, para que esto 00:18:23

signifique que todo esto son euros 00:18:25

vale, y ahora 00:18:26

nos pide el apartado B 00:18:28

nos pide decir 00:18:30

¿cuál es el 00:18:33

término general? vamos, el término 00:18:35

general será, el término general 00:18:37

¿cuál será? ¿cómo hemos sacado esto? 00:18:42

pues, el número de horas 00:18:44

es n, y vamos cambiando 00:18:46

entonces, ¿qué es lo único que cambia? 00:18:48

todo esto es igual, ¿no? y esto, lo único que cambia 00:18:50

es este número, pues, y esto es el número de 00:18:52

horas, pues, será 00:18:54

2 por n, es decir, 2n 00:18:55

más 5 00:18:59

y ya estaría 00:19:00

¿no? porque la n es lo que cambia 00:19:01

aquí, ¿veis? 00:19:04

entonces 00:19:08

el término general será 00:19:08

a elevado a n, o sea, perdón 00:19:10

a n es igual a 2n más 5 00:19:13

vale, que se me había olvidado poner esto 00:19:15

siempre poner esto, ¿vale? 00:19:16

¿y esto qué sería? esto sería 00:19:19

a elevado a 1 00:19:20

¿por qué digo a elevado a 1? a 1, perdón 00:19:22

A2, A3, A4 y A5 00:19:24

¿Vale? Estos serían los términos de la sucesión 00:19:29

¿Vale? En este caso serían 5 términos 00:19:32

No sé si me piden algo más 00:19:35

Sí, creo que me piden poner la sucesión numérica 00:19:37

¿Vale? 00:19:40

Sucesión numérica 00:19:42

Sucesión numérica es poner esto a 1, a 2, a 3 00:19:43

Es decir, los valores estos 00:19:49

Entonces la sucesión numérica será 00:19:51

7, 9, 11, 13 y 15 00:19:53

vale 00:19:59

y ya estaría 00:20:00

si queréis poner con euro 00:20:04

lo que sea 00:20:05

si queréis numérica en euro 00:20:05

lo que queréis 00:20:07

vale 00:20:07

esto sería básicamente 00:20:08

poner a 1, a 2, a 3 00:20:09

es decir, su valor 00:20:11

y esto sería el ejercicio típico 00:20:11

de esto 00:20:14

vale 00:20:15

bastante completo 00:20:16

tiene su apartado de tablas 00:20:17

para que aprendáis a hacer 00:20:18

tablas con varias columnas 00:20:19

y todo eso 00:20:21

así que voy a borrar 00:20:22

y hago si queréis 00:20:24

el siguiente ejercicio 00:20:25

que es el 15 00:20:25

¿Vale? 00:20:26

Que si yo creo que lo puedo hacer 00:20:34

Lo puedo hacer aquí, a ver 00:20:36

Si, yo lo sé 00:20:38

Vale, esto es muy sencillo 00:20:41

Escribir los 7 primeros números 00:20:43

De las siguientes sucesiones, ya nos están dando 4 00:20:45

Tenemos que poner 3 más 00:20:47

Entonces 00:20:48

¿Qué habrá que poner aquí? 00:20:49

2, 10, 18, 26 00:20:53

Que aquí no hace falta 00:20:55

Ni que pongáis el término general ni nada 00:20:57

Esto se ve muy simplemente 00:20:58

De aquí a aquí ¿Cuánto van? 8 ¿No? 00:20:59

Y de aquí a aquí también. De aquí a aquí también, pues, es sumar cada vez 8, ¿no? 00:21:02

Para que con la fórmula, pues, ya, que si 2n más no sé cuánto, bueno. 00:21:07

Entonces, aquí no te piden nada de eso. Solo nos piden sumar 8 cada vez, ¿vale? 00:21:12

Pues, vamos allá. Entonces, será 26 más 8. Vamos allá. 00:21:16

Entonces, ponemos aquí coma y seguimos. 26 más 8 será 34, 42 y 50, ¿vale? 00:21:22

Cuidado con esta. 00:21:32

Si os dais cuenta, son múltiplos de 3, ¿no? 00:21:34

3, 6, 9, 12. 00:21:38

Lo que pasa es que los pares son negativos. 00:21:40

¿Qué quiere decir? 00:21:43

Que aquí multiplica 3 por 1, pero cuando multiplica por un número par lo hace por su negativo. 00:21:43

Es decir, 3 por 1, aquí 3 por menos 2, 3 por 3, 3 por menos 4. 00:21:49

Con lo cual, cada 2 va a ser negativo en los múltiplos. 00:21:54

Entonces, ahora será 3 por 5, que será 15, y ahora 3 por menos 6, que será menos 18, y 3 por 7, 21. 00:21:59

Esta es la más difícil de ver. 00:22:08

Esta es un poco... el que ha escrito el libro la ha hecho un poquito amargado, ¿vale? 00:22:10

Que entendáis. 00:22:15

Entonces, lo múltiplo de 4. Esto es súper fácil, vamos. 00:22:17

Y la sucesión, pues, sería 4, ¿vale? 00:22:21

A ver, también podéis poner 4 por 0, 0. 00:22:24

Pero yo voy a empezar con 4 por 1, ¿vale? Que no es normal. 00:22:26

4, 8, 12, 16, 20, 24 y 28, vale, 4 por 1, 4 por 2, todo eso, simplemente poner los 7 primeros 00:22:29

múltiplos, y esta es la más fácil de todas, son números consecutivos, es decir, sumar 00:22:41

uno cada vez, o sea, es muy fácil, esto es lo 5, 6, 7, es que este ejercicio, si os pongo 00:22:45

alguno de estos en la tarea, pues el examen y luego ya veréis lo que os pongo porque 00:22:52

en muchos ejercicios, pues tiene más pinta de caer algo parecido al 14 que al 15, que al 15 está chupado, ¿vale? 00:22:56

O puedo mezclar las dos cosas, o ya veréis. Según sabéis que mis exámenes son similares a los de las tareas, 00:23:10

es decir, cojo ejercicio de las tareas, cambio los números, por supuesto, no voy a poner los mismos números y todo eso, 00:23:18

pero son de ese estilo, entonces 00:23:23

es importante que hagáis las tareas 00:23:25

no porque os obligue 00:23:27

o porque cuenten para notas, sino para que 00:23:29

aunque no me las queráis enviar 00:23:31

por lo menos las hagáis para vosotros 00:23:34

para que practiquéis 00:23:35

para el examen 00:23:37

¿vale? entonces seguro que no me va a ir 00:23:38

ahora, efectivamente, porque siempre que escribo aquí 00:23:41

tengo que darle luego para atrás para que vaya 00:23:43

a ver, va ahora 00:23:45

esperar un momento 00:23:53

que no me va esto 00:23:59

ah, vale, vale, vale, ya 00:24:00

vale, vale, y ahora quito esto y lo vuelvo a poner 00:24:02

bueno, entonces 00:24:08

ya hemos visto 00:24:12

lo que son las sucesiones numéricas 00:24:14

ahora vamos a ver un tipo concreto 00:24:17

de sucesiones numéricas 00:24:19

y ya la siguiente semana que terminamos el tema 00:24:21

vemos otro tipo concreto 00:24:22

ahora vamos a ver las progresiones aritméticas 00:24:24

y la próxima semana que ya terminaremos el tema 00:24:27

veremos las progresiones geométricas 00:24:29

que son simplemente 00:24:32

un tipo, cada una es un tipo de sucesiones 00:24:34

es como que sucesiones numéricas es global, general 00:24:38

incluye todas, y estas son un tipo concreto de sucesiones 00:24:41

igual que las que veremos la semana que viene 00:24:46

estas van a ser así las más sencillas, por ejemplo, son estas típicas 00:24:48

son a las que cada vez le vamos sumando algo, es como que hay una diferencia 00:24:54

entre este y este hay 8 de diferencia, entre este y este también 00:24:58

Entonces, en este estilo, o esta, por ejemplo, entre este y este, van uno de diferencia, ¿vale? Cada vez vamos sumándole uno. Entonces, son de este estilo, ¿vale? Incluso los últimos de cuatro, es como si le sumáramos cada vez cuatro, ¿vale? Se puede entender así. 00:25:00

En cambio, esta no sería ya una sucesión, o sea, una progresión aritmética, ¿vale? 00:25:17

Porque no hay, entre ellos no hay una, no hay, por así decirlo, una diferencia siempre igual. 00:25:25

Entre este y este hay nueve diferencias, ¿vale? 00:25:33

Primero bajará al cero, es decir, de tres al cero van tres, y luego del cero al menos seis van seis, total nueve. 00:25:35

En cambio, de este a este van 15, y de este a este van 21, de diferencia, ¿vale? Entonces, ¿cómo que hay que hacer 21 pasos? ¿Vale? Es decir, 8, 7, 6, así hasta el menos 12, son 21 pasos, primero 9 hasta el 0, y luego 12 pasos hasta el menos 12, ¿vale? 00:25:42

Entonces, no es igual que esto, no es una progresión aritmética, que es lo que vamos a ver ahora, ¿vale? 00:26:03

Que estas siempre tienen lo bueno de, si distinguimos qué es este tipo, no nos tenemos que comer la cabeza a la hora de poner su término general, ya que siempre es igual, ¿vale? 00:26:09

Y es muy sencillo, vais a ver. 00:26:22

Es una sucesión de números en las que cada término se obtiene sumando al número anterior un número fijo, lo que os he dicho, ¿vale? 00:26:25

Que se llama diferencia. 00:26:31

Nosotros tenemos este sumándole 8 a este, y este sumándole 8 a este, y este sumándole 8 a este. 00:26:33

¿Entendéis? 00:26:40

Esa es una progresión aritmética, es una sucesión numérica, es decir, sucesión de números, 00:26:41

en la que el término siguiente se obtiene sumándole un número fijo al término anterior, y así consecutivamente. 00:26:48

Por ejemplo, también, 4, 2, 0, menos 2, menos 4, menos 6. 00:26:54

Aquí, ¿qué estamos sumando cada vez? Menos 2. Hay que sumar números negativos. Es como si restáramos el número 2. Entonces, 4 más menos 2 es como 4 menos 2. Más por menos es menos. Entonces, serían 2, luego 0. Estamos sumando menos 2. Es como si restáramos 2. Entonces, quedaría esto. 00:26:59

¿Veis? Entonces es una progresión aritmética 00:27:18

Porque la diferencia entre uno y otro es menos 2 00:27:20

¿Vale? 00:27:23

Hay dos pasos entre uno y otro 00:27:25

Por así decirlo 00:27:26

Entonces esto es un ejemplo 00:27:27

Y ahora vamos a ver 00:27:30

Cómo se saca la fórmula general 00:27:31

Entre comillas 00:27:34

De este tipo concreto 00:27:35

Que es esta fórmula de aquí 00:27:37

Y esta va a ser para todas las progresiones aritméticas 00:27:39

No todas las sucesiones numéricas 00:27:42

¿Vale? 00:27:45

Una cosa es sucesión numérica 00:27:46

Y otra cosa son las progresiones aritméticas, que es un tipo concreto de sucesiones numéricas, ¿vale? Entonces, esta fórmula solo sería para las progresiones aritméticas, es decir, un tipo concreto de sucesión numérica, ¿vale? 00:27:47

Que es en las que cada vez hay una diferencia de tanto en tanto, ¿vale? Ya sea de 8, de menor 2 o lo que sea. Es decir, como que cada vez se le suma un número, ¿vale? 00:28:05

Entonces, para calcular esto, primero tenemos que, pues, poner, por así decirlo, tenemos que usar la definición de progresión aritmética, ¿no? 00:28:16

Que es que empezamos siempre por el término 1, que este término tenemos que conocer, ya sea 5, 3, lo que sea, y luego a los otros es este término más D. 00:28:24

El siguiente, pues será, ¿no? El término 3, pues será el término 2 más D. O lo que es lo mismo, el término 1 más 2 veces D, ¿no? Porque le hemos sumado D a este y luego a otro. 00:28:36

El término 4 será el término 3 más D 00:28:46

O lo que es lo mismo, el término 1 más 3 veces D 00:28:50

¿Por qué? Porque este más D da este, este más D da este 00:28:52

Y este más D sería lo mismo que 3D a este 00:28:57

Sumarle, ¿entendéis? 00:29:02

Y así es consecutivamente 00:29:04

Entonces veis que sigue un patrón 00:29:05

Entonces con esto, si sacamos factor común y todo eso 00:29:07

Llegamos a esta conclusión 00:29:10

Que AN, porque es el término general, por eso siempre ponemos N 00:29:12

Es igual a el primer término, a1, más paréntesis n-1 por d. 00:29:15

Y esto siempre se cumple. 00:29:24

Siempre. 00:29:26

Vamos a ver luego un ejemplo. 00:29:27

Si una progresión aritmética tiene como primer término a1, ¿veis? 00:29:30

Nos tienen que dar el primer término o nos tienen que dar algún dato, o la diferencia, o lo que sea. 00:29:34

¿Vale? 00:29:38

Tiene como primer término a1 y su diferencia es 4. 00:29:38

Ya se están diciendo, si nos dan esto y la diferencia de sobra, podemos calcular todos los términos. 00:29:41

Entonces nos dan que a1 es 6 y que esto es 4, ¿vale? Que la diferencia es 4. 00:29:48

¿Cuáles son los 10 primeros términos? Y luego nos dicen, ¿vale? Después de esto, escribir el término 32, a32, el término 32, ¿vale? 00:29:54

Entonces, claro, nos piden esto y luego, pues, nos piden esto. 00:30:03

Entonces, lo primero que hay que hacer es escribir la ecuación general, que no nos la piden, pero la tenemos que calcular para saberlo. 00:30:09

Entonces, ¿cuál será la ecuación general? Pues nosotros nos vamos a la fórmula que hemos visto. 00:30:15

An es igual a 1 más n-1 por d. Esta es la fórmula general, o sea, para todas las progresiones aritméticas, 00:30:20

pero estamos hablando concretamente de esta, en la que se distancian 4. Entonces, podemos acotar esta fórmula. 00:30:33

Podemos decir que a n, concretamente para esta progresión, es el valor de a1, que nos lo dan, que es 6, más n-1 por el valor de, que nos lo dan, 4. 00:30:39

Así que cuando nos pregunten cuál es el término general de esta progresión aritmética en concreto, sería ya cambiando a1 y d por sus valores. 00:30:54

Esta es como la ecuación, perdón por la ecuación, la fórmula, ecuación no está bien dicho, mejor dicho la fórmula general de esta progresión aritmética 00:31:04

O sea, bueno, de todas, y esta es en concreto de esta, porque ya estamos sustituyendo por su valor, ya que otras progresiones tienen un valor distinto de a1 y de d 00:31:15

¿Vale? Puede haber diferencia 8, como en otra que hemos visto, y que el primer valor sea 2 en vez de 6, ¿entendéis? 00:31:24

Entonces, esta es en concreto de esta. De esta progresión aritmética es su término general. Y ahora, con esto podemos escribir todos. a elevado a 1, ¿cuál será? Pues el valor que tenemos, pues 6. 00:31:31

a elevado a 2, pues será, ponemos en la calculadora 00:31:45

6 más, ahora 2 menos 1 00:31:49

por 4, ¿vale? porque a1 da 6 00:31:52

porque 6 más 1 menos 1, 0 por 4 00:31:57

0, 6 más 0, 6, ¿vale? 00:32:01

ahora a2, pues esto, si hacemos la cuenta 00:32:05

esto es 2 menos 1, 1, 1 por 4 00:32:09

4, 6 más 4, 10 00:32:13

tiene que quedar 10, como aquí 00:32:15

y ya cuando vemos que de aquí a aquí van 4 00:32:16

pues 00:32:20

todas las demás también serán de 4 en 4 00:32:21

14 00:32:25

18 00:32:26

¿vale? 00:32:27

incluso no haría falta casi sacar el término general 00:32:29

pero es para que os acostumbréis 00:32:32

porque yo si os pregunto algo de esto 00:32:33

sí que os lo voy a pedir 00:32:35

que me calculéis esto para ver si 00:32:36

os acordáis de esta fórmula 00:32:38

y ya concretáis más para esta 00:32:39

progresión, entonces 00:32:42

¿cómo se podría sacar sin tener 00:32:44

esto? bueno, si tenemos este 00:32:47

valor y tenemos la diferencia, pues al 6 le vamos 00:32:49

sumando 4, pues 6, 10 00:32:51

14, etcétera, ¿vale? 00:32:52

entonces es muy sencillo, ¿vale? 00:32:55

entonces los 10 primeros, pues sería así 00:32:57

llegar hasta el 42, ¿vale? sumarle 00:32:59

4 en 4, 6, 10, 14 00:33:01

18, 22, 26, 30 00:33:03

34, 38 y 42 00:33:05

y ahí paramos, y luego nos pide 00:33:06

escribir el término 00:33:09

32 00:33:10

Entonces, ¿por qué he hallado esto, el término general? 00:33:12

Porque es mucho más fácil hallarlo con la formulita esta que no tener que llegar hasta 32 00:33:18

Es decir, sacar el término 11, 12 y así hasta 32 00:33:24

¿Entendéis? Cuando nos piden ya un término alto, pues usamos ya esto 00:33:28

Pues a elevado a 32 será igual a 6 por n, ¿cuál es? Pues 32, ¿no? 00:33:32

Porque esto es a n, en este caso como es 32, pues aquí será 32, es el número de término, ¿vale? 00:33:39

Menos 1 por 4, ¿vale? 00:33:46

Que van por, entonces, esto lo hacéis con calculadora y nos tiene que dar 130, que es lo que viene ahí, ¿vale? 00:33:49

32 menos 1 es 31, ¿vale? 00:33:56

31 por 4, si no recuerdo mal, son 124, ¿por qué? 00:34:00

Porque 30 por 4 son 120 y luego 1 por 4, ¿vale? Pues serían 4. 120 más 4, 124, más 6, 130, ¿vale? 00:34:04

Para el cálculo mental, si no queréis usar la calculadora, pues acordaros del consejo que os di al principio del curso, 00:34:16

que transforméis una operación compleja en operaciones más sencillas. 00:34:22

Si no sabéis multiplicar 31 por 4, pues multiplicar 30 por 4, ¿vale? Es mucho más fácil. 00:34:26

30 por 4 es lo mismo que 3 por 4 00:34:31

sumando un 0 00:34:33

3 por 4 es 12, pues 30 por 4 00:34:34

será 120, y ahora 00:34:37

lo que le queda, el 1, no 00:34:39

es 1 por 4 00:34:41

4, le sumáis el 4 al 120 00:34:42

124, y ahora 6 más 124 00:34:45

130 00:34:47

por si se os olvidara la calculadora 00:34:48

y todo eso 00:34:51

un comodín que tenéis el cálculo mental, por eso es bueno ejercitar 00:34:52

también el cálculo mental 00:34:55

no hacer todas las cuentas con calculadora 00:34:56

para gente que incluso me sume 11 más 00:34:58

7 como calculadora, en vez de pensarlo 00:35:01

en vez de poner 18 pensándolo 00:35:03

pues que lo haga con calculadora rápido 00:35:05

¿vale? entonces también 00:35:07

está bien que utilice la calculadora pero sobre todo 00:35:08

para cosas complejas, ¿vale? para que no 00:35:11

perdáis el cálculo mental, sobre todo 00:35:13

para cuando os hagan, o vayáis 00:35:15

a una tienda y ordenen 00:35:17

el cambio que no se engañen, joder 00:35:19

pues es importante también el cálculo mental para que no se engañen 00:35:20

con el cambio, aunque ahora 00:35:23

en los supermercados y todo eso ya 00:35:25

la máquina registradora es la que 00:35:26

les dice cuánto tienen que devolver 00:35:29

Entonces, ¿qué le hice de 10-12? Pues cojo un billete de 10 y una moneda de 10 céntimos y una moneda de 2 céntimos 00:35:30

Entonces no tiene que pesar mucho, pero en las tiendas estas que no tienen caja registradora y eso, pues os pueden engañar 00:35:39

A lo mejor no a mala fe, sino que ellos también se equivocan al hacer sus cálculos 00:35:45

Entonces, sobre todo, pues es bueno tener cálculo mental 00:35:50

Bueno, que vamos a ir por las ramas 00:35:56

¿Vale? ¿Entendéis un poquito cómo sería? ¿Vale? Pues así sería básicamente. Entonces, a ver si me deja cambiar. No, voy a tener que hacer lo de siempre. Doy para atrás y vuelvo a presentar a esta. 00:36:00

Vale, aquí tenemos otro ejemplo, que este sería un poquito más difícil 00:36:20

Nos dicen que se sabe que el cuarto término de una progresión aritmética, es decir, a4, es 8 00:36:25

Y que el octavo, es decir, a8, estoy hablando de folios, a4 00:36:33

Y que a8 es 14, allá en su término general 00:36:38

Claro, nos están diciendo a4 y a8 00:36:41

Entonces tenemos que ver cuánto espacio hay entre ellos 00:36:44

entre a4, que es 8, y a8, que es 14, hay 6, ¿no? Porque la diferencia es 6, ¿no? Del 8 al 14, 14 menos 8 es 6. 00:36:47

Claro, hay 6, pero ¿cuántos pasos hay? De a4 a 5 hay 1, de a5 a 6, 2, ¿vale? De a6 a 7, 3 pasos van, y de a7 a 8, 4 pasos. 00:36:58

Entonces ahí ha aumentado el número en 6 en 4 pasos, con lo cual en cada paso ¿cuánto será? Pues es, tenemos, hemos aumentado 6 en 4 pasos, pues 6 entre 4, en cada paso se ha aumentado 1,5. 00:37:13

Con lo cual de aquí a aquí hay 1,5 de diferencia, de aquí a aquí 1,5, 1,5 más 1,5 más 1,5 más 1,5 da 6, que es la distancia que hay, la diferencia que hay entre este y este. 00:37:27

¿Entendéis un poquito? 00:37:38

Cobas, este sería un poquito más difícil 00:37:39

Porque tendríais que utilizar la lógica para sacar esto 00:37:41

Y luego pues haría todo el rato igual 00:37:43

Utilizando la ecuación que os puse en la general 00:37:45

¿Vale? 00:37:48

A elevado a n es igual a 00:37:48

Lo que os puse aquí 00:37:49

A 1 más 00:37:51

¿No? 00:37:53

n menos 1 00:37:54

Por el número que sea 00:37:55

En este caso, el por lo ha puesto antes 00:37:58

Pero es lo mismo que aquí en 1,5 00:37:59

¿Vale? 00:38:01

A 1 que es 3,5 00:38:02

Más n menos 1 por 1,5 00:38:03

que sabéis que es lo mismo multiplicar aquí que aquí, ¿vale? 00:38:06

Porque estamos hablando de una multiplicación, no de una suma, ¿vale? 00:38:10

O sea, no está cambiando el factor de esto, ¿vale? 00:38:13

Simplemente en vez de más n-1 por 1,5 es más 1,5 por esto. 00:38:17

Da igual porque esto se va a hacer lo primero, ¿entendéis? 00:38:22

Otra cosa es que nos ponga un paréntesis aquí, ya sí que la liamos, ¿vale? 00:38:27

Entonces sería un poquito eso, ¿vale? 00:38:31

Y este sería el término general de esta progresión aritmética. ¿Por qué? ¿Cuál sería el término general para todas las progresiones aritméticas? Sería a n es igual a 1 más n menos 1 por, en este caso, 1,5. 00:38:33

Parece que ya se ha sumado 00:38:51

¿Vale? 00:38:53

Entonces sería 00:38:54

No, perdón 00:38:55

Es que lo he puesto antes 00:38:55

A1, que sería 2 00:38:57

¿Vale? 00:38:58

No sé por qué me ha cambiado 00:38:59

El orden del libro 00:39:01

¿Vale? 00:39:02

Sería 2 00:39:03

Que esto sería 1 00:39:04

Pero voy a escribirlo aquí 00:39:05

Entonces voy a escribir esto 00:39:06

Esto 00:39:08

¿Vale? 00:39:09

2 más 00:39:10

1,5 00:39:11

N 00:39:14

¿Vale? 00:39:15

Que lo que ha hecho aquí es 00:39:17

Restar un poquito 00:39:18

Por así decirlo 00:39:19

¿Vale? Entonces, ¿por qué? Porque de distancia hay 1,5. 00:39:21

Entonces, lo que ha hecho es, básicamente, n es igual a 2 más n-1 por 1,5. 00:39:26

¿Vale? Que n-1 siempre va a dar 1-1, 0, 2-1, 1. Siempre va a haber un paso de 1 en 1. 00:39:35

Entonces, esta es la fórmula concreta, el término general de esta. 00:39:43

Pero, ¿cuál es el término general de todas las progresiones aritméticas? 00:39:48

Sería a1 aquí, ¿vale? 00:39:52

Más n-1 por d, ¿vale? 00:39:55

Baja aquí la distancia, es 1,5 y a1 es 2, ¿vale? 00:39:59

¿Entendéis un poquito? 00:40:03

O sea, esto siempre es igual, ¿vale? 00:40:04

Entonces, poneros a practicar, ¿vale? 00:40:06

Tenéis aquí unos ejercicios para practicar, ¿vale? 00:40:10

Si tenéis alguna duda me decís, pero esto lo hagas igual, ¿vale? 00:40:13

Esto es mucho más fácil, ¿vale? 00:40:17

Esto es lo que serían progresiones aritméticas. Aquí, si os dais cuenta, es calcular los seis primeros términos de estas sucesiones, con lo cual este ejercicio podría entrar, entre comillas, dentro del apartado 6, ¿vale? 00:40:18

lo metió aquí porque el libro lo ponía en esta página 00:40:31

y ya como lo he escrito 00:40:34

digo no me voy a volver atrás 00:40:36

entonces esto es muy sencillo 00:40:38

aquí simplemente tenéis que 00:40:40

ir poniendo los valores 00:40:41

es decir, aquí se ve que no es 00:40:44

una sucesión 00:40:46

una progresión aritmética porque no tiene la misma 00:40:47

fórmula, aunque luego puede 00:40:50

bueno, más bien 00:40:52

es que como esta fórmula es general 00:40:54

luego se puede simplificar y que a lo mejor de esta 00:40:56

¿entendéis? pero bueno 00:40:58

si la hacéis todo el rato como en la fórmula que os he puesto 00:41:00

con esta 00:41:03

¿qué más se escribe? 00:41:04

a n es igual a 00:41:07

a 1 más 00:41:08

n menos 1 por la distancia 00:41:10

¿vale? lo que pasa es que simplificando 00:41:12

pues a lo mejor os puede salir algo de esto 00:41:15

entonces, aquí nos piden calcular 00:41:16

los 6 primeros términos de esto, entonces vamos a ello 00:41:19

aquí los 6 primeros términos 00:41:20

voy a poner entre paréntesis ¿vale? 00:41:23

pues serían, para distinguirlo 00:41:24

bueno, voy a 00:41:26

no, voy a ponerlo aquí 00:41:28

Aquí vamos a poner 00:41:29

Aquí sería 00:41:32

Con esto lo hacéis con calculadora 00:41:34

Menos 3 00:41:36

N más 2 00:41:37

Pues sería menos 3 por 1 más 2 00:41:39

Menos 3 por 2 más 2 00:41:40

Entonces menos 3 por 1 menos 3 más 2 00:41:42

Sería menos 1 00:41:45

Siguiente 00:41:47

Menos 3 por 2 menos 6 00:41:48

Más 2 menos 4 00:41:51

Y ya vemos el patrón 00:41:53

Vemos que cada vez va restando 3 00:41:54

O sumando menos 3 00:41:56

¿Por qué? Porque la diferencia es menos 3. Cada vez vamos poniendo 3 menos. 00:41:58

Aquí será menos 7, menos 10, menos 13 y menos 16. 00:42:04

¿Veis? Es sencillo. 00:42:12

Ya con que hagáis dos estos, ya no hace falta ni volver a operar esto, sino que vais viendo el patrón que tiene. 00:42:13

El b será n al cuadrado más 2. 00:42:20

Entonces, 1 al cuadrado, 1, más 2, 3. 00:42:23

2 al cuadrado, 4, más 2, 6 00:42:26

¿Vale? 00:42:30

Luego 3 al cuadrado, 9, más 2, 11 00:42:33

Aquí el patrón cuesta más verlo 00:42:36

Aunque, si vemos un poquito, de aquí a aquí van 3 00:42:41

De aquí a aquí van 5 00:42:44

Es como que cada vez vamos aumentando, entre comillas 00:42:47

Esto no sería, por supuesto no sería una progresión aritmética 00:42:51

esta sí coincidiría con una progresión arométrica porque porque van cada vez la distancia en este 00:42:55

caso la distancia es menos 3 entonces podemos sacar para esta fórmula es simplificada de esto 00:42:59

cuando lo vemos los valores pues se puede simplificar quitando el factor común y todo 00:43:07

eso vale entonces esto sí es pero aquí no por aquí cada vez la distancia cambia lo que pasa 00:43:11

es que se puede sacar por patrón no si tenéis mucha imaginación como estoy poniendo vale aquí 00:43:19

De aquí van 3, ¿vale? 00:43:24

Pero de aquí a aquí van 5. 00:43:26

Entonces, de aquí a aquí van 2 más. 00:43:28

Entonces, de aquí a aquí irán 7. 00:43:30

De aquí a aquí irán 9. 00:43:33

Vamos a comprobarlo. 00:43:35

Ahora viene el 5, ¿no? 00:43:36

Sí. 00:43:37

No, espera. 00:43:38

No, hasta era el 3, ¿vale? 00:43:39

Ahora, 4 al cuadrado, 16. 00:43:40

Más 2, 18. 00:43:43

¡Anda! 00:43:44

El 18 al 11 van 7, ¿no? 00:43:46

18 menos 11, 7. 00:43:47

El 5, 5 al cuadrado, 25. 00:43:50

25 más 2, 27. Anda, 27 menos 18 son 9. Eso es la diferencia. Con lo cual, ahora de aquí a aquí, ¿qué irán? 11. Con lo cual, esto, me juego todo, mi carrera como profesora queda 38. 00:43:52

6 al cuadrado, 36 más 2 00:44:07

38, ¿vale? Entonces, aquí no os compliquéis 00:44:11

la vida, ¿vale? Hacerlo por la fórmula esta, lo que pasa es que si caéis que cada vez 00:44:15

vamos sumando una cantidad inicial más 2, pues 00:44:19

lo ponéis, ¿vale? Pero haciéndolo con esta fórmula que os dan 00:44:23

no os equivocáis, ¿vale? Pues aquí esto es muy sencillo, aquí 00:44:27

apartado C pues será 13 elevado a menos 1, como esto da números 00:44:31

periódicos no los pongo, los pongo así, 3 elevado a menos 2, así hasta 00:44:35

3 elevado a menos 6, y este puedes calcular 00:44:39

sería n más 1 al cuadrado, esto cada vez va aumentando 00:44:42

exponencialmente, ¿no? sería, vale, esto 00:44:47

corresponde a este, sería 1 más 1 al cuadrado, pues sería 00:44:51

2 al cuadrado, 4, luego sería 2 más 1 al cuadrado, pues sería 00:44:55

9, entonces sería encontrar los cuadrados de los números, entonces ahora 00:44:59

Ahora, este coincide con el cuadrado del 2, este coincide con el cuadrado del 3, pues este coincidirá con el cuadrado del 4, suponemos, vamos a ver si es verdad, ¿por qué? Ahora el siguiente es 3, el término 3, pues 3 más 1, 4, ¿por qué? Porque aquí vamos encontrando el 4 al cuadrado, 16, ahora pues será 25 y luego será 36 y 49, ¿vale? 00:45:03

Pero esto porque ya estoy acostumbrado, pero vosotros utilizar esto todo el rato, ¿vale? A lo mejor no lo veis con tanta lógica, ¿vale? O sea, porque cada persona tiene su lógica matemática. Entonces, si veis que no lo pilláis tan rápido como yo, pues seguir haciendo esto. Está muy fácil de pillarla con cada dos o tres, pero esta a lo mejor os cuesta más. O sea, ¿entendéis? Que no hace falta que lo veáis tan rápido. 00:45:26

yo es por daros un consejo para que no estéis 00:45:52

ahí tanto tiempo perdiendo tiempo 00:45:54

si lo veis rápido pues lo ponéis 00:45:56

lo que pasa es que 00:45:58

al 00:46:00

verlo así os podéis equivocar más 00:46:02

o sea, aquí es como la forma 00:46:04

segura pero más 00:46:07

corta, o sea, que tardáis más 00:46:08

y esta es la forma más corta de hacerlo 00:46:11

es decir, vais más rápido pero os podéis 00:46:12

equivocar más, porque a lo mejor no habéis pillado 00:46:15

el patrón bien, a lo mejor aquí yo 00:46:17

lo he podido pillar bien o no, en este caso sí 00:46:18

¿vale? a lo mejor 00:46:21

os podéis equivocar, ¿vale? Entonces, esta es una forma mucho más segura, siguiendo 00:46:22

la, el término general, coño, os están dando la fórmula, seguid la fórmula, ¿entendéis 00:46:27

un poquito? Luego aquí, en cuenta el término general de las siguientes, pues esto es muy 00:46:32

sencillo, vosotros tenéis esta ecuación general para todas, pues ahora simplemente 00:46:36

concretáis, ¿cuál es el primer término? Este, pues esto que es a1, esto será a1 del 00:46:41

otro esto será el a1 de este apartado y esto será a1 de este apartado con lo 00:46:46

cual pues para esta será a elevado a n será igual a este a1 que es un medio 00:46:53

vale más n menos uno por la distancia de aquí 00:47:00

aquí cuánto hay un medio no porque un medio más un medio es uno más un medio 00:47:05

3 medios, pues esto por 1 medio y ya estaría 00:47:10

aquí pues sería AN será igual a 1A1 00:47:14

que es 3 más N-1 por la distancia 00:47:18

de aquí a aquí ¿cuánto hay? igual que de aquí a aquí, 10, pues esto por 10 00:47:22

¿lo hacéis con calculadora? mira, 3 más N-1, vamos a ver 00:47:25

vamos con este, este es el término 2, pues sería 2-1, bueno vamos a verlo por este 00:47:30

¿vale? que sería el término 4, A4, con lo cual sería 00:47:34

a 1, es decir, 3 más 4 menos 1, ¿no? 00:47:38

porque es el término 4, pues 4 menos 1 es 3, ahora 00:47:41

3 más 3 por 10, 3 por 10 es 30, 30 más 3 00:47:45

33, ¿veis? o sea, con cualquier término, este es el término 3 00:47:49

3 menos 1 es 2, por 2 por 10, 20, más 3, 23 00:47:53

y así con todos, luego este, pues este será igual 00:47:57

¿vale? aquí no se ve, esto es a 1, pues a n será igual 00:48:01

A1, ¿vale? 00:48:05

Siguiendo esto, o sea, lo único que tenéis que aprender 00:48:07

Es esta que es la ecuación general 00:48:09

De todas las progresiones aritméticas 00:48:12

Y luego sustituís el valor de D 00:48:14

Y el valor de A1 00:48:15

Y ya está 00:48:17

Aquí A1 es 6 00:48:18

Pues será 6 más N-1 por D 00:48:21

Ya que aquí, ¿cuánto hay? 00:48:24

Si os dais cuenta 00:48:26

Va variando, lo que pasa 00:48:26

Es que lo que va variando 00:48:29

Ahora se está sumando 00:48:31

menos 3 entre comillas, ¿entendéis? 00:48:34

entonces esto se ha multiplicado por 00:48:36

menos 3 00:48:38

¿vale? 00:48:39

o sea, ¿entendéis un poquito cómo va? 00:48:41

¿no? porque 00:48:44

le estamos sumando cada vez algo, lo que pasa es que le podemos sumar 00:48:45

un número negativo, acordaros de que al principio 00:48:48

que la primera que teníamos era 00:48:50

lo que era 4, 2, 0 00:48:52

menos 2, menos 4, etc 00:48:54

porque estábamos sumando cada vez menos 00:48:56

menos 2, pues aquí 00:48:58

también, estamos sumando, lo que pasa es que estamos sumando 00:49:00

un número negativo, no es como la deuda, la deuda 00:49:02

se puede sumar, tú puedes deber 10.000 00:49:03

y si debes más, le sumas otra deuda 00:49:05

pues debes más todavía 00:49:08

10.000 más 10.000 de deuda 00:49:09

son 20.000 de deuda, es decir 00:49:12

menos 20.000 euros 00:49:13

para que veáis que los números negativos se pueden sumar 00:49:14

¿vale? o sea, como siempre 00:49:18

siempre me gusta explicarlo con dinero porque como 00:49:19

muchos son mayores ya y trabajan y todo eso 00:49:21

pues estáis acostumbrados a ver 00:49:23

el tema de dinero, ¿vale? 00:49:25

entonces sería así 00:49:27

y este pues 3 cuartos de lo mismo 00:49:28

sería, ah bueno 00:49:30

No, si esto es del anterior, ¿vale? 00:49:32

Pues este no sigue una ley como tal. 00:49:39

No sumar 5 y aquí también suma 5, ¿no? 00:49:40

¿Vale? 00:49:44

Entonces, ¿entendéis un poquito cómo va? 00:49:46

Y luego aquí, esto es mucho más fácil. 00:49:48

Escribir el término general y los 5 primeros términos de esta progresión, 00:49:52

que a 1 es igual a esto y la diferencia es esto. 00:49:56

¿Vale? 00:49:59

Pues es esto. 00:50:00

Pues sustituyes aquí por 5 y aquí por 1,5 y ya está. Y luego puedes calcular los 5 primeros términos. A1 ya es este, 5. A2 pues será lo que te dé. 5 más 2 menos 1, 1 por D, 1,5. Es decir, es sumar cada vez 1,5. 00:50:00

contó es 5 más 15 6 y medio luego será 8 luego serán 9 y medio y luego 11 y hasta los demás 00:50:18

es hacer la fórmula para sustituir por este valor aquí sustituimos por 5 vale pues aquí 00:50:27

su fórmula general la voy a poner aquí para que la tengáis y luego hacéis los otros términos con 00:50:35

esto es 55 más de menos 1 por 15 acordaos fórmula general de todas fórmula general de 00:50:39

esta progresión aritmética, ¿vale? Porque hemos sustituido por su valor concreto, de aquí a aquí, ¿vale? 00:50:48

Y esto lo termináis en casa, o sea, simplemente sustituir, ¿vale? El a1 es el que tenemos, con lo cual, a ver si el a1 lo vais a meter aquí en la fórmula, es tontería, 00:50:54

os va a salir 5 igual, pero bueno, podéis probar, ¿vale? Bueno, entonces, nos falta dar una cosilla, llevamos 51 minutos, esta clase va a ser algo larga, no pasa nada, 00:51:02

ya que la próxima clase a lo mejor es más cortita 00:51:14

bueno, también es que estoy haciendo varios ejemplos 00:51:17

podría hacer menos si queréis 00:51:20

y que sea la clase más corta, como me digáis 00:51:21

no hay problema 00:51:23

¿vale? 00:51:25

entonces, vamos a ver también 00:51:27

la suma de los términos de una progresión 00:51:30

es decir, vamos a ver 00:51:32

por ejemplo, si ponemos estos cuatro 00:51:33

¿cuánto dan estos cuatro números sumados? 00:51:36

mediante una fórmula para que se haga mucho más fácil 00:51:39

¿vale? 00:51:41

pues 00:51:43

a ver, queda poco tiempo 00:51:44

pero bueno, voy a expandirme 00:51:47

un poquito, menos 5 minutos 00:51:49

vale, lo que tenemos que saber es que 00:51:50

en general, normalmente, porque sabéis que 00:51:52

nunca me gusta decir siempre 00:51:55

o nunca 00:51:56

me gusta 00:51:58

decir normalmente 00:52:01

o casi siempre, por si hay alguna excepción 00:52:03

que te la líes, y te dicen 00:52:05

siempre profe, y ahora no se ha cumplido 00:52:06

pues me gusta decir normalmente, o casi siempre 00:52:08

entonces en general 00:52:11

que significa eso normalmente, en una progresión aritmética se cumple que la suma de los extremos es igual a la suma de dos términos cualesquiera, es decir, cualquier término equidistante, es decir, separados por la misma distancia de estos. 00:52:12

Es decir, nosotros tenemos esta, ¿no? Tenemos esta sucesión, ¿no? 2, 4, 6, 8, así hasta 60. Pues la suma de los últimos es la misma que la suma del segundo con el penúltimo, que la suma del tercer, ¿no? El primero con el último es lo mismo que el segundo con el penúltimo. 00:52:28

Lo mismo que el tercero con el antepenúltimo 00:52:51

Lo mismo que el cuarto por el cuarto de la cola 00:52:53

Que no tiene nombre o tal 00:52:55

O por lo menos no lo sé 00:52:57

Entonces, la suma siempre va a ser 62 00:52:58

Entonces, si sabemos esta 00:53:02

Con que sepamos la suma del primero con el último 00:53:04

Vamos a saber la suma del resto 00:53:06

Del resto de parejas, entre comillas 00:53:08

Entonces, si aquí hay 30 términos 00:53:10

Tenemos 15 parejas 00:53:13

Entonces, vamos a saber que cada una de las 15 parejas da 62 00:53:15

Y con eso podemos elaborar esta fórmula. 00:53:19

Las Sn, ¿vale? 00:53:23

Esta es la fórmula general de la suma de los términos de una progresión aritmética. 00:53:25

Lo otro era An, pues esto Sn de suma. 00:53:31

Sn es igual a, entre paréntesis, a1, porque es el primero, más An, que se refiere al último, ¿vale? 00:53:35

Partido de 2, ¿por qué? 00:53:45

Porque es escoger las parejas, ¿vale? 00:53:46

Por n. 00:53:50

Esto es lo mismo que si queréis poner a1 más a n entre paréntesis por n partido de 2. 00:53:52

Es lo mismo. 00:53:59

Da igual multiplicar por n y luego dividir entre 2, que divide entre 2 y luego multiplica por n. 00:54:01

¿Entendéis? 00:54:04

¿Por qué? 00:54:05

Porque las parejas es siempre la mitad de lo que hay. 00:54:05

Si hay 30 personas, hay 15 parejas. 00:54:08

Me refiero en caso de que todos tuvieran pareja. 00:54:10

Si hay 60 personas, hay 30 parejas. 00:54:13

hay 46 personas, hay 23 parejas 00:54:14

¿entendéis? 00:54:17

pues esta sería la fórmula 00:54:19

sería esto entre 2 por n 00:54:20

o esto por n entre 2 00:54:23

porque tiene que haber la mitad 00:54:26

de los términos que haya 00:54:26

el número de términos entre 2 00:54:28

¿por qué? porque siempre se va a cumplir este valor 00:54:30

es decir, todos van a dar 62 en este caso 00:54:33

o en otros casos a lo mejor dan 100 00:54:35

o lo que sea 00:54:37

entonces vamos a verlo con un ejemplo fácil 00:54:38

calcula la suma de los 100 primeros números naturales 00:54:40

Esto es muy sencillo, ¿vale? Entonces, yo me vengo aquí y voy a poner esto aquí, ¿vale? Y presento. 00:54:44

Entonces, nos vamos a nuestra formulita, ¿vale? S n es igual a, esto sería a elevado a 1 más a elevado a n partido de 2 por n. 00:54:53

O, como os he dicho, esto por n partido de 2. Es decir, esto es igual a a1 más a n por n partido de 2. 00:55:07

La que queráis. Esta tiene mejor pinta para que sepáis que hay n partido de 2 parejas. 00:55:18

Entonces, claro, solo tenéis que saber cuánto suman el primero y el último. 00:55:23

Es decir, aquí los 100 primeros números laterales serán del 1 hasta el 100, ¿no? 00:55:30

Pues hay que ver cuánto suman el 1 y el 100 00:55:35

1 más 100 es 101 00:55:38

Con lo cual, este valor va a ser 101 00:55:41

Entonces, ahora, s de n, ¿cuántos términos tenemos? 00:55:45

100, ¿no? 00:55:49

De los 100 primeros números naturales, pues son 100 términos 00:55:50

Pues s de 100 será igual a 00:55:54

101 por n, 100, partido de 2 00:55:56

Es decir, ¿esto qué es igual? Esto da igual a 50. ¿Por qué? Porque en 100 términos hay 50 parejas de términos. Por 101 por 50, esto da 5050. Si lo buscáis en internet o lo hacéis uno por uno, no creo que haya nadie de vosotros que en vez de hacerme caso, perdáis tiempo sumando 1 más 2 más 3 más 4 más 5, así hasta 100. 00:56:04

Porque vais a perder a lo mejor cinco minutos de vuestra vida intentando ver si se equivoca el profesor, ¿vale? 00:56:28

Entonces, a ver, yo me puedo equivocar, pero joder, esto es una fórmula comprobada, ¿vale? 00:56:37

Entonces, a ver, que podéis perder tiempo si queréis, ¿vale? 00:56:43

Y es bueno que seáis confiados, ¿vale? 00:56:46

O sea, porque yo muchas veces me puedo equivocar. 00:56:48

Y si veis que me equivoco, claro, en un vídeo no me podéis decir que estás equivocado, 00:56:50

pero si estuvieras en clase o lo que sea, pues me podías decir, creo que te has equivocado aquí, profe. 00:56:55

Y yo digo, ah, pues enséñamelo. Y digo, ah, pues es verdad. Vale, puede ser. Y ya está, ¿vale? 00:56:59

Y aquí pues sería lo mismo, sería calcular los 30 primeros números siguiendo esta fórmula. 00:57:05

Porque esta fórmula es un poco distinta. Bueno, esta es la fórmula, es el, por así decirlo, el término general de una progresión aritmética. 00:57:09

Que en este caso está comprimida, entre comillas 00:57:19

Es decir, hemos pasado de esta a esta 00:57:23

¿Por qué? Porque al haciendo la sustitución y luego sacando factor común 00:57:30

Pues hemos llegado a esta conclusión, ¿vale? 00:57:33

En este caso 8 sería a 1 y luego pues hemos llegado a esto 00:57:37

¿Entendéis? 00:57:40

Esto lo hemos contraído como 2n 00:57:42

Entonces, pero para que sepáis que esto es una progresión aritmética 00:57:44

Cada vez le vamos a sumar 8 00:57:48

vale, entonces los primeros pues serán 8 00:57:49

16, etcétera, lo que sea 00:57:51

vale, entonces 00:57:54

eso lo podéis, bueno, en este caso 00:57:56

2n, el primero será 10, entre comillas 00:57:58

empieza desde 10, y luego le sumamos 00:58:00

8, vale, 18 00:58:02

vale, 2 por 1, 2, más 8, 10 00:58:03

así, entonces sumarle cada vez 8 00:58:06

vale, esto es seguir la 00:58:08

fórmula, 2 por 1, etcétera 00:58:10

vale, entonces 00:58:12

eso es así 00:58:13

vale, hay veces que no nos van a dar 00:58:15

esta fórmula, ¿por qué? porque ya la han 00:58:18

comprimido entre comillas 00:58:19

y esa fórmula al poner los valores 00:58:21

y todo eso, al quitar paréntesis y eso 00:58:24

coincide con esta, pero es lo mismo 00:58:26

es una progresión aritmética 00:58:28

así que nada 00:58:29

espero que tengáis un buen fin de casi una hora 00:58:34

de clase, yo creo que ya es hora de parar 00:58:36

y eso, que 00:58:37

la semana que viene terminamos 00:58:39

y luego empezamos tema nuevo, y sabéis que antes del examen 00:58:42

ya queda menos 00:58:44

está la cuarta clase, nos quedan 00:58:45

seis antes del examen, cinco 00:58:48

bueno, otra del tema esta 00:58:49

que serían 5 clases para el tema 00:58:51

3 de matemáticas 00:58:53

que es el tema 4 de vuestro libro 00:58:56

y luego 4 clases 00:58:57

del tema 4 00:59:00

que es el tema 5 de vuestro libro 00:59:02

y luego una clase de repaso antes de la examen 00:59:03

así que ya queda poquito 00:59:06

ya queda menos para la examen, solo quedan 6 clases 00:59:08

no os quiero asustar, vale? 00:59:10

en mes y medio, no os preocupéis 00:59:11

así que nada, nos vemos en la siguiente clase 00:59:13

y eso, descansad, estudiad 00:59:15

y hasta luego 00:59:18

Chao. 00:59:19

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