Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

T5 - ej 72 - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 7 de diciembre de 2025 por Francisca Beatriz P.

19 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Vamos a ver el último caso de funciones racionales, que es cuando el denominador nos va a dar raíces complejas, ¿vale? 00:00:00
Vamos a resolver x cuadrado menos 2x más 5 igual a 0, resolvemos la ecuación, x igual a menos b más menos raíz cuadrada de b cuadrado que es 4, 00:00:09
menos 4ac es menos 20 00:00:23
partido de 2a 00:00:28
esto es 2 más menos la raíz de menos 16 00:00:29
partido por 2 00:00:35
en los reales no tiene solución 00:00:37
pero en los complejos sí 00:00:39
la solución sería 2 más menos 4i 00:00:40
partido de 2 00:00:44
o lo que es lo mismo 00:00:45
1 más menos 2i 00:00:47
entonces, ¿qué vamos a hacer cuando al resolver 00:00:50
o sea, al calcular las raíces del denominador en una función racional, lo que obtenemos son números complejos. 00:00:52
Vale, pues no nos tenemos que asustar. 00:00:59
Lo que vamos a hacer es transformar esta ecuación, perdón, esta integral en la suma de dos integrales. 00:01:02
Una va a ser una integral logarítmica y la otra va a ser un arco tangente. 00:01:09
Vale, entonces, para poder llegar, o sea, para poder hacer eso, tenemos que recordar una serie de cosas, 00:01:14
de conceptos, una sobre los números complejos que no sé si 00:01:20
lo visteis el año pasado o no, pero hacéis un acto de fe 00:01:25
es decir, voy a poner otro color, si tenemos la ecuación 00:01:29
ax cuadrado más bx más c 00:01:32
igual a cero y al resolverlo obtenemos 00:01:37
las soluciones conjugadas alfa 00:01:41
soluciones complejas conjugadas alfa más beta por y 00:01:44
Entonces lo que ocurre es que el polinomio ax cuadrado más bx más c se podía factorizar como a por todo el a que multiplica x menos la parte real que es alfa al cuadrado más la parte imaginaria al cuadrado. 00:01:48
¿Vale? No sé si esto lo visteis el año pasado o no, pero hacemos el acto de fe. 00:02:18
En nuestro caso el polinomio que tenemos es mónico, es decir, es cuando el coeficiente principal es 1, 00:02:23
y en este caso si a es igual a 1, lo que obtenemos es que x cuadrado más bx más c 00:02:29
es simplemente igual a x menos alfa al cuadrado más beta, ¿vale? Al cuadrado. 00:02:37
Bien, pues esto es lo que vamos a utilizar por un lado para transformarlo en un arco tangente 00:02:45
Porque voy a poner aquí a la derecha, vamos a poner lo que era el arco tangente 00:02:50
Voy a ver si me lo sumo y luego me lo pega, me lo ha cogido muy abajo 00:02:58
Vale, aquí ya lo tenía escrito 00:03:06
Bien, pues a ver, la integral de u' diferencial de x partido por a cuadrado más u cuadrado 00:03:10
Es justamente un arco tangente 00:03:17
Fijaos, aquí en el denominador que tengo a cuadrado más u cuadrado 00:03:19
Que es un poco lo que acabamos de poner aquí 00:03:24
Bueno, pues en estas cosas, en las dos partes que he escrito en verde 00:03:27
Es en lo que nos vamos a basar para resolver estas integrales cuando tenemos raíces complejas 00:03:30
Pero para llegar a ello tenemos que jugar un poquito 00:03:36
¿Cómo vamos a jugar? Bueno, pues por un lado, lo primero 00:03:40
Vamos a transformarlo, hemos dicho que va a ser un logaritmo y un arco tangente 00:03:43
Para un logaritmo, si mi denominador es x cuadrado menos 2x más 5 00:03:49
Yo arriba, para que sea un logaritmo, necesito tener la derivada 00:03:55
La derivada es 2x menos 2, ¿vale? 00:04:00
Pero lo que tengo es un más 1 00:04:03
Bueno, pues jugamos como hacíamos con los límites 00:04:05
he puesto un menos 2, pues sumo un más 2, y así es como si no hubiera hecho nada, 00:04:08
y que tengo que añadir el más 1 que teníamos, diferencial de x. 00:04:14
Y ahora esto me queda integral de, lo voy a dividir en dos sumandos, 00:04:20
por un lado el 2x menos 2, partido por el x cuadrado menos 2x más 5, ¿vale? 00:04:27
más el otro sumando, que voy a poner lo que me falta, 00:04:35
o sea, lo que no he puesto, este más 1 y el más 2, que hace un 3, 00:04:42
partido de x cuadrado menos 2x más 5, diferencial de x. 00:04:48
Y entonces, ¿qué hemos transformado? 00:04:55
La primera función que teníamos, la función racional inicial, 00:04:57
en una suma de dos fracciones. 00:05:01
El primer sumando es un logaritmo, que es lo que lo hemos transformado igual, así, lo voy a poner aquí abajo, esto es el logaritmo neperiano de x cuadrado menos 2x más 5, ¿vale? 00:05:02
Para eso nos hemos inventado ese menos 2 que no teníamos. 00:05:21
¿Y qué me queda después? Pues más 3 veces la integral de ¿quién? 00:05:24
El 3 lo he sacado fuera, ¿vale? Para que me quede 1 partido de este denominador, 00:05:30
pero en lugar de poner este denominador vamos a aplicar esta formulita, ¿vale? 00:05:35
Es decir, aquí hemos calculado la raíz y ahora lo que tengo es que el x cuadrado menos 2x más 5 00:05:41
Lo vamos a factorizar, sabemos quiénes son mi alfa y mi beta 00:05:48
El alfa es 1 y el beta es 2 00:05:52
Lo vamos a poner como x menos parte real al cuadrado 00:05:55
Más la parte imaginaria que es 2 al cuadrado 00:05:59
Y veis que lo que yo acabo de escribir es como la formulita del arco tangente 00:06:03
Que hemos puesto antes 00:06:09
Luego aquí que me queda voy a poner primero el 2 al cuadrado 00:06:11
más el x menos 1 al cuadrado diferencial de x 00:06:14
y justamente es la misma fórmula aplícola del arco tangente 00:06:20
y entonces esto es logaritmo neperiano 00:06:24
de valor absoluto x cuadrado menos 2x más 5 00:06:27
más 3 veces y lo que tengo es el arco tangente 00:06:33
la a vale 2 y la función u es x menos 1 00:06:39
ya que la derivada de x menos 1 es 1, por lo tanto aquí sería el 1 partido por a es dividir por 2 por el arco tangente de la función u que es x menos 1 dividido por a que es 2 más k. 00:06:43
Y ya estaría resuelta. Entonces fijaos que lo que nos hemos basado es en la parte que os he puesto verde. 00:07:01
por un lado en cómo podemos factorizar calculando las raíces complejas 00:07:07
y por otro lado utilizando la integral de un arcotangente. 00:07:12
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
19
Fecha:
7 de diciembre de 2025 - 10:40
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
07′ 18″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
17.92 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid