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(1) Integración por partes MAT II - Contenido educativo

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Subido el 9 de diciembre de 2020 por Esteban S.

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Hola, ¿qué tal estáis todos, alumnas y alumnos de Matemáticas II de segundo bachillerato? 00:00:02
Vamos a empezar unos vídeos en los que intentamos explicaros en qué consiste la integración por partes. 00:00:08
Primero, tenemos que recordar un poquito qué cosas sabemos de la integración hasta ahora. 00:00:17
No sabemos mucho, pero algo sí sabemos, mira. 00:00:22
Algo que sabemos importantísimo es que la integral de la suma es la suma de las integrales. 00:00:24
Entonces, muy bien, cuando digo suma, ya sabéis que puedo decir resta, pues perfectamente. También sabemos que la integral de un número por una función es la integral del número, perdón, es el número por la integral de la función. Estas son dos cosas importantes que sabemos. 00:00:29
Bien, y lo otro que sabemos, que es algo que al principio cuesta un poco, es que yo para poder integrar una expresión a la fuerza, aquí tiene que aparecer una función haciendo lo que quiera la función. 00:00:46
Eso significa que puede ser seno de f, puede ser logaritmo de f, puede ser 1 partido por raíz de f, puede ser elevado a f, puede ser 1 partido por 1 más f elevado al cuadrado, puede ser lo que se quiera. 00:01:03
Ahí está una función. Puede ser f elevado a 7, muy bien. Pero tiene que estar también multiplicado por la derivada. 00:01:19
Esta es la clave de todo. ¿Por qué? Porque la regla de la cadena ya nos decía que al derivar una expresión siempre al final hay que terminar por la derivada. 00:01:28
Como la integral es lo contrario, para poder integrar tiene que aparecer esto. Ya está. Esto ya lo tenemos claro. 00:01:36
Muy bien, pero lo que vamos a intentar hacer hoy es qué pasa si tenemos la integral de un producto de dos expresiones, las pongo así, esto por esto, en las cuales estas dos expresiones no están relacionadas unas con otras. 00:01:42
¿Qué quiere decir que no está relacionado? ¿Que aquí no pone f y aquí por f'? No, esto está relacionado, pues no, no pone eso. 00:02:07
¿Que tampoco va a poner f elevado a 3 y aquí por la derivada? Pues no, tampoco va a ser así. 00:02:15
Muy bien, bueno, otro ejemplo más. ¿Que no va a poner aquí elevado a f y aquí por la derivada? Pues no, no lo va a poner. 00:02:22
entonces va a ser como es como integramos expresiones que son un 00:02:30
producto pero que no tienen a que no están relacionadas unas con otras 00:02:37
vamos a ver cómo lo hacemos esto lo que se llama la integración por partes 00:02:42
entonces todo esto viene de aquí viene de aquí si yo quiero explicar algo de 00:02:47
integrales tengo que hablaros de derivadas porque ya sabéis que la 00:02:54
La integral es el proceso inverso de la derivada. 00:02:59
Muy bien. 00:03:02
¿Cuál es la derivada de un producto de dos funciones? 00:03:05
Bueno, profesor, a estas alturas, claro que lo sé, es la derivada de la venida por el segundo más f por la derivada. 00:03:08
Muy bien. 00:03:14
Por tanto, esto significa que la integral de esta expresión azul, la integral de la expresión azul es la expresión roja. 00:03:14
Pues claro que sí, muy bien, pues lo pongo, y lo pongo, y lo pongo. 00:03:30
es decir, la integral de f' por g más f por g' 00:03:34
mirad que no estoy poniendo de x y eso para no atorsigaros con la notación 00:03:40
pues la integral de esto es f por g 00:03:45
claro que sí, muy bien 00:03:47
vamos a manipular un poquito esto 00:03:49
¿qué opinamos de esta primera integral? 00:03:51
pues como es una suma yo la puedo transformar en 2 00:03:56
así que la integral de f' por g más la integral de f por g' es igual a f por g, muy bien, y de aquí, yo puedo despejar, entonces esta integral, a ver, estoy despejando esto, 00:04:03
Esto será igual a lo que había en el segundo miembro, es decir, f por g, 00:04:24
y ahora esto de aquí va a pasar al segundo miembro, pues, restando, bueno, pues, igual. 00:04:31
Bueno, pues aquí tengo una fórmula que me va a dar muchas alegrías. 00:04:39
Mira, vamos a investigarlo un poquito. 00:04:42
Bien, esta fórmula me está diciendo que la integral de esto de aquí, de f por g', 00:04:45
una función por la derivada de otro, mirad que f y g yo no he puesto que tengan nada que ver una con otra, 00:04:55
es igual a la, el producto de f por g, fenomenal, multiplicar dos funciones, lo hace un niño pequeño, 00:05:01
menos esta integral. 00:05:10
Entonces fijaros, lo que os estoy diciendo es que para hallar la integral roja, 00:05:14
tiquití, tenemos que hacer esto 00:05:20
y calcular una integral esta de aquí azul 00:05:24
¿qué os parece esto? ¿os parece bien? si estuviéramos viéndonos cara a cara 00:05:28
yo os preguntaría, pero a ver, ¿qué os parece? ¿os parece esto interesante? 00:05:35
que para hallar la integral azul, la roja, yo tenga que hallar 00:05:40
la integral azul, pues entonces alguien rápidamente me dirá, profesor pues vaya 00:05:43
gracia que tienes y para calcular una integral, tienes que calcular 00:05:47
Para otra integral, pues, estamos en las mismas, ¿no? 00:05:51
Esto hay una expresión castellana muy gráfica que dice, estás desvistiendo a un santo para vestir a otro. 00:05:56
Pues claro, estoy para hallar una integral, hallar otra. 00:06:04
Pues sí, tenéis razón, en parte. 00:06:07
¿Por qué? ¿Qué pasa si yo os digo que esta integral azul es muy fácil de hallar? 00:06:08
¿Es muy fácil de calcular? 00:06:26
¡Ah! Pues si os digo que esto es muy fácil de calcular, ya entonces tenéis que decir, 00:06:28
ah, bueno, pues esta fórmula está muy bien, pues claro que sí. 00:06:33
Porque yo voy a pasar, yo veo que para calcular una integral roja, 00:06:36
tengo que hacer un producto de funciones que lo hace cualquiera 00:06:40
y una integral azul que ya os aseguro 00:06:43
que va a ser muy, muy, muy fácil 00:06:45
muy bien, pues si 00:06:46
estamos con eso, entonces ya vamos a poder hacer 00:06:49
bueno, pues esto de aquí 00:06:51
esto de aquí, esto de aquí 00:06:52
este recuadro es lo que se llama 00:06:55
fórmula de la integración por partes 00:06:57
la voy a 00:07:00
borrar, no sé si os acordáis cual era 00:07:03
a ver si lo sé 00:07:05
borrar bien 00:07:06
más o menos 00:07:09
bueno, bueno, todo esto lo puedo borrar también 00:07:10
porque ya no lo quiero 00:07:15
y vamos a poner 00:07:16
aquí tenemos 00:07:18
vamos a ver 00:07:20
¿qué vamos a hacer? 00:07:24
pues lo primero que vamos a hacer es empezar 00:07:25
esto quiero borrarlo 00:07:27
muy bien, ya está borrado 00:07:33
y ahora tengo aquí mi formulita preparada 00:07:34
la vamos a poner 00:07:38
esta es la fórmula de antes 00:07:42
bueno, pues esta es 00:07:43
mi fórmula de la interacción por partes 00:07:53
vamos a estudiarla un poquito 00:07:55
ahí, ya la tengo 00:07:57
Esta es. Bien. Entonces, vamos a poner un ejemplo, que es lo mejor que podemos hacer. Un ejemplo. 00:07:58
Este vídeo, ya lo digo, voy un poquito despacio porque hay que entenderlo perfectamente. 00:08:09
Así que vamos a hacer este ejemplo. Integral de x por coseno de x, de x. Muy bien. 00:08:13
Bien, pues vamos a intentar hacer esta integral. 00:08:24
Bueno, lo primero que tenemos que ver es lo siguiente. 00:08:27
Que aquí tenemos un producto, que aquí pone x y aquí pone coseno de x. 00:08:32
Muy bien, entonces, lo que estamos viendo es que, lo voy a poner en verde, que ya sé que os gusta más. 00:08:38
Muy bien, lo que estoy viendo es que esta x y este coseno de x, pues no están relacionados entre sí. 00:08:44
No es una función y su derivada, ni nada, ni lo puedo operar, ni nada. 00:08:49
luego voy a aplicar la fórmula de la integración por partes 00:08:53
entonces, ¿qué tengo que hacer? 00:08:56
la integración por partes 00:08:58
siempre lo vamos a hacer de la misma manera 00:08:59
¿eh? 00:09:05
una integración por partes, tengo que encontrar 00:09:06
una función que la llamaré 00:09:08
aquí, una expresión que la llamaré 00:09:11
x y otra expresión que la llamaré 00:09:15
g' de x 00:09:17
y para eso tengo que calcular aquí 00:09:17
la g de x y aquí hay una derivada 00:09:20
muy bien, pues esto entonces es muy fácil 00:09:22
Yo siempre voy a tener que jugar con estas cuatro expresiones 00:09:24
Digo expresiones para no decir función y derivada 00:09:29
Muy bien, tengo f de x, g de m, muy bien 00:09:32
Entonces, el problema que hay es aquí 00:09:35
¿A quién llamo f de x? 00:09:40
¿A quién llamo g' de x? 00:09:42
Bueno, pues no lo sé 00:09:45
No lo sé por ahora 00:09:46
Pero lo vamos a hacer y vamos a ver que es fácil 00:09:47
Muy bien, ¿a quién puedo llamar f de x? 00:09:50
F de X se lo puedo llamar o a X o a coseno de X, ¿vale? Muy bien. Pues digo, se lo voy a llamar al coseno de X, ¿por qué queremos? Venga, pues sí, pues sí, llámaselo como quieras. 00:09:52
Y a G' de X es la otra, ¿eh? Así que esto sería G' y esto sería la F, muy bien. Entonces vamos a ver, ¿quién es la derivada del coseno? 00:10:03
La derivada del coseno, todos lo sabemos que es menos seno. Y ahora aquí es un poquito más difícil, hay que encontrar una función que al derivarla me dé x. Una función que al derivarla me dé x, x cuadrado partido por 2. 00:10:16
Alguien me puede decir, ¿más 9? Bueno, pues sí, más 9 puedes poner, pero bueno, lo más fácil es poner esta. Muy bien. Entonces fijaros, esto de aquí es fundamental. Entonces si yo cuando aplique esta formulita, cuando aplique esta formulita, clic, clic, clic, empiezo. 00:10:28
f por g, f por g, lo pongo ya bonito, venga, da igual coseno de x por x2 partido por 2, menos, menos, la integral de f' por g, menos esta integral, menos, menos seno de x por x cuadrado partido por 2. 00:10:46
Y aquí el profesor se para, los alumnos protestan, levantan la mano y me dicen, profesor, mal, mal, porque fíjate, para hallar esta integral de aquí, ahora resulta que hay que hallar esta integral de aquí, complicadísima, complicadísima. 00:11:07
Bueno, pues, ¿eso qué significa? Pues que he elegido mal, he elegido mal mi función f y mi función g'. Bueno, pues, como la he elegido mal, vuelve para atrás. No pasa nada, no pasa nada. Voy despacio, es el primer ejercicio, no pasa nada. Así que vuelvo para atrás, tranquilamente, y vamos a lo siguiente. 00:11:24
Entonces vamos a cambiar, voy a llamar f de x a x, porque sale en rojo, no me gusta, vale, f de x le llamo a x y g' de x se lo llamo al coseno de x, jolines Esteban, muy bien, y ahora mirad, ya tengo f de x, x, ¿quién es f' de x? Pues uno, y aquí tengo g coseno de x, ¿qué funciona al derivar la da coseno? Pues el seno de x, muy bien, y entonces ahora ya aplico la formulita, 00:11:43
me vengo aquí para que se vea un poquito mejor, esto siempre es lo mismo, es este por este, es sumando, 00:12:26
o esto sería f por g, que ahí viene la fórmula, pues x por seno de x, menos, cuidado con ese signo menos, 00:12:34
que es menos, la integral de esta por esta, este es más y este es menos, la integral de 1 por seno de x, 00:12:44
1 por seno de x, seno de x, menos la integral del seno de x, diferencial de x. 00:12:54
Bueno, pues ya he terminado. 00:13:03
Esto es x seno de x. 00:13:05
¿Cuál es la integral del seno? 00:13:08
¿Qué función al derivarla me da seno? 00:13:09
Pues es el coseno. 00:13:13
¡Ah, no! ¿Qué la debe? 00:13:15
Menos coseno. 00:13:16
Pues sería menos, menos coseno de x, más t. 00:13:17
Es decir, igual a X seno de X más coseno de X 00:13:22
Muy bien 00:13:29
Luego voy a poner 00:13:29
Ya se ha acabado 00:13:31
Y mirad que cosa tan bonita 00:13:32
La integral de X por coseno de X diferencial de X es esto de aquí 00:13:35
X seno de X más coseno de X 00:13:41
No se me olvida, Marce 00:13:45
Muy bien 00:13:47
¿Qué hace un alumno, una alumna de segundo bachillerato? 00:13:50
Pues decir, no me lo creo, voy a derivar esta expresión a ver qué me sale 00:13:55
Venga hombre, así que venga, vamos a derivar esta expresión 00:13:59
Bueno, y más c, ya os lo regalo 00:14:02
Derivada de esto, esto es un producto, derivada de x, 1 00:14:05
Por el seno de x, más x, por derivada del seno 00:14:08
Coseno de x, más derivada del coseno 00:14:15
menos seno de x 00:14:18
¿y esto cuánto es? 00:14:21
esto menos esto es 00:14:23
cero y esto me sale 00:14:25
x por coseno de x 00:14:27
luego lo he integrado 00:14:29
bueno 00:14:30
pues esto hemos terminado 00:14:32
ha sido un vídeo un poco largo pero 00:14:35
todavía me queda por decir una cosa 00:14:37
la única dificultad 00:14:38
que hay 00:14:42
para hacer 00:14:42
el método este de 00:14:44
por partes, es 00:14:47
saber a quién 00:14:50
vamos a llamar f de x 00:14:52
y a quién voy a llamar g' de x 00:14:54
así que eso es la única dificultad 00:14:56
¿qué pasa si me confundo? 00:15:00
pues no pasa nada, si te confundes vas a ver que te sale 00:15:02
una integral muy complicada y vuelves atrás y haces el cambio 00:15:04
y si quieres pensar un poquito 00:15:06
pues es fácil 00:15:08
las funciones más complicadas se ponen 00:15:09
en f, porque al derivar se van 00:15:12
haciendo más sencillas 00:15:14
es decir, que si yo tengo una expresión que es 00:15:15
x elevado a 3, a esto no le pongo 00:15:18
como g' de x 00:15:20
sino lo pongo como f de x para que 00:15:21
al derivarlo se vaya 00:15:24
haciendo más sencillo 00:15:25
pero bueno, ahora tampoco hace mucho 00:15:27
no es importante que os fijéis 00:15:30
en esto, porque si no os sale bien 00:15:32
pues cambiáis la elección y ya está 00:15:33
bueno, siguen los vídeos 00:15:35
que esto no ha hecho nada más que empezar 00:15:38
muchas gracias por escuchar 00:15:39
Subido por:
Esteban S.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
403
Fecha:
9 de diciembre de 2020 - 17:31
Visibilidad:
Público
Centro:
IES SAN JUAN BAUTISTA
Duración:
15′ 42″
Relación de aspecto:
1.85:1
Resolución:
1376x744 píxeles
Tamaño:
592.58 MBytes

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