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T5 - ej 76-77 - Contenido educativo

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Subido el 7 de diciembre de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Venga, vamos ahora con el ejercicio 76 y 77, ¿vale? 00:00:00
Lo mismo, no son funciones racionales polinómicas, no son integrales inmediatas, 00:00:04
hacer una integración por partes también es complicado, 00:00:11
pues lo único que nos queda es hacer un cambio de variable. 00:00:15
Si en los vídeos anteriores hemos visto cuando teníamos un logaritmo, 00:00:18
en este caso cuando tenemos una exponencial, lo que vamos a hacer es llamar a t directamente elevado a x. 00:00:21
Por lo tanto, si despejo de aquí la x, ahora es al revés, la x sería el logaritmo neperiano de t. 00:00:28
Y si derivo diferencial de x, ¿qué va a ser? 00:00:37
Pues diferencial de t partido de t. 00:00:41
El u' partido por t de siempre. 00:00:45
Y este de aquí va a ser el cambio, siempre va a ser igual, cuando lo llamamos, o sea, cuando tenemos una exponencial. 00:00:49
sustituimos como os hemos hecho con el vídeo anterior de los logaritmos 00:00:55
y me queda integral de 00:00:59
diferencial de x 00:01:00
bueno, lo pongo luego por separado 00:01:03
esto sería 1, voy haciéndolo poco a poco 00:01:05
elevado a x, esto es t 00:01:07
más 2 00:01:09
y el diferencial de x es 00:01:10
diferencial de t 00:01:13
partido por t 00:01:14
¿vale? 00:01:17
luego lo que tengo aquí que va a ser 00:01:20
la integral de 00:01:22
1 partido de t por t más 2 diferencial de t, ¿de acuerdo? 00:01:23
Y lo que tenemos es, ahora sí que tenemos una función racional 00:01:34
y la tenemos ya descompuesta al denominador, 00:01:38
bueno, pues aplicamos las fracciones simples. 00:01:41
Vamos a separar esto de aquí y lo que tenemos que es 00:01:44
Pues 1 partido de t por t más 2, lo vamos a poner como una que sea a partido de t más b partido de t más 2. 00:01:47
O lo que es lo mismo, a por t más 2 más b por t, todo ello partido de t y t más 2. 00:02:01
vale, de aquí lo que obtenemos era la ecuación 1 igual a por t más 2 más b por t, vale 00:02:12
es el método de fracciones simples y ahora sustituimos en las raíces 00:02:24
la primera es t igual a 0 y entonces me queda que 1 es igual a 2a 00:02:29
por lo tanto la a vale un medio 00:02:36
y la otra, la solución es t igual a menos 2 00:02:40
y me queda aquí 1 es igual a menos 2b 00:02:44
por lo tanto la b es menos un medio 00:02:49
¿vale? 00:02:55
y ahora lo único que tendríamos que hacer es 00:02:57
sustituir en nuestra integral inicial 00:02:59
y esto sería la a es un medio 00:03:03
1 medio partido de t menos 1 medio partido de t más 2 diferencial de t, ¿vale? 00:03:06
Y voilà, sigo aquí abajo, esto sería 1 medio, les saco fuera, 00:03:19
y me queda la integral de 1 partido por t diferencial de t menos 1 medio de la integral de 1 partido por t más 2 diferencial de t. 00:03:27
Este paso me lo podría haber comido y haber calculado directamente ya, porque se ve que son logaritmos. 00:03:41
Esto es 1 medio por el logaritmo neperiano de t menos 1 medio por el logaritmo neperiano. 00:03:46
Bueno, las t's sabéis que las estábamos poniendo siempre entre varios absolutos, ¿vale? 00:03:54
Logaritmo neperiano se me ha perdido de t más 2, que no lo veía. 00:04:01
Más k. 00:04:06
¿Hemos terminado? No. 00:04:07
Tenemos que hacer el cambio de variable. 00:04:09
Venga, pues sustituimos el cambio de variable. 00:04:13
Voy a subir un poquito para tener un poquito más de espacio. 00:04:16
Dejo ahí que se vea bien el cambio. 00:04:20
Y ahora, ¿esto cuánto va a ser? 00:04:22
Un medio del logaritmo neperiano, ¿de quién? De t que es elevado a x, de elevado a x, menos, bueno podríamos poner entre valores absolutos pero sabemos que eso es positivo, menos un medio del logaritmo neperiano, en lugar de t es elevado a x, más 2, más k. 00:04:24
¿Vale? Pero ¿qué ocurre? ¿Cuánto es el logaritmo neperiano de elevado a x? 00:04:49
Pues es justamente x 00:04:55
Luego aquí me queda un medio de x 00:04:56
¿Vale? 00:04:58
Menos un medio del logaritmo neperiano de elevado a x más 2 en valor absoluto 00:05:00
Más k 00:05:07
¿Vale? El valor absoluto al final lo ponemos por costumbre 00:05:09
Pero elevado a x sabemos que es positivo y más 2 también 00:05:14
Bueno, pues este sería el ejercicio 76 00:05:17
Vamos, voy a escribir ahora 77 00:05:21
Venga, pues el 77 es también con una exponencial 00:05:23
Hacemos el mismo cambio de variable que antes 00:05:27
Está claro que es de cambio de variable 00:05:29
Por lo que os he dicho, o sea, sería bastante complicado hacerlo por cualquiera de los otros métodos 00:05:32
Entonces nuestro cambio de variable va a ser 00:05:37
E elevado a x igual a t 00:05:39
Por lo tanto, la x que la necesitamos para la derivada, para el diferencial de x, va a ser el logaritmo niperiano de t, 00:05:42
y por lo tanto, diferencial de x va a ser diferencial de t partido de t, ¿vale? 00:05:53
Es exactamente el mismo cambio de antes. 00:05:59
Sustituimos y ¿qué me queda? Integral de... 00:06:05
Ojo, tengo elevado a 2x, eso es elevado a x al cuadrado 00:06:07
Por lo tanto esto es t al cuadrado 00:06:12
Y aquí me queda t menos 4 00:06:15
Y ahora el diferencial de x que es diferencial de t partido de t 00:06:19
Operamos y que me queda el cuadrado con la t del denominador se me va 00:06:24
Y que me queda t partido por t menos 4 diferencial de t 00:06:30
vale, pues vuelvo a obtener una integral de una función racional 00:06:36
en este caso tienen el mismo grado 00:06:40
por lo tanto podemos hacer la división 00:06:43
t entre t menos 4 a 1 menos 4 opuesto más 4 00:06:45
1 por tt menos t sumo, se me va y me queda aquí un 4 00:06:52
vale, recordad lo que estamos poniendo es que quiero que el dividendo 00:06:57
partido por el divisor sea cociente 00:07:01
más el resto partido de divisor 00:07:03
luego esta integral es lo mismo 00:07:06
que el cociente que es 1 00:07:09
más el resto que es 4 00:07:11
partido de t menos 4 00:07:13
diferencial de t 00:07:16
y vemos que estas son inmediatas 00:07:18
sigo aquí abajo 00:07:20
esto va a ser 00:07:22
fijaos que estamos derivando con respecto de t 00:07:24
esto es t 00:07:28
más 4 veces el logaritmo neperiano 00:07:29
de t menos 4 00:07:33
bueno, en valor absoluto 00:07:35
¿vale? más k 00:07:37
y ahora deshacemos el cambio 00:07:39
t es e elevado a x 00:07:41
más 4 veces 00:07:43
logaritmo neperiano 00:07:46
¿de quién? 00:07:48
de e elevado a x 00:07:49
menos 4 00:07:51
más k 00:07:52
¿vale? 00:07:55
cuando tenemos que hacer el cambio del exponencial 00:07:57
bueno, pues luego tenemos que 00:07:59
acabamos con unas fracciones 00:08:01
o sea, con unas funciones racionales, por lo que tenemos que aplicar el método de fracciones simples. 00:08:02
Pero vamos, es también muy sencillito de hacer. 00:08:09
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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18
Fecha:
7 de diciembre de 2025 - 10:42
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
08′ 12″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
19.86 MBytes

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