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T11 - Ej 70 - Contenido educativo
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Vamos con el problema 70. Me dan dos vértices consecutivos de un paralelogramo, A y B, y el centro del paralelogramo.
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Y lo que nos piden es calcular las coordenadas de los otros vértices y luego una vez que tenemos los cuatro vértices, calcular el área del paralelogramo.
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Es importante el dato de que los vértices son consecutivos. Es decir, si por ejemplo este es mi vértice A, pues el vértice B puede ser directamente este.
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¿Vale? Es un paralelogramo, vamos, pues vamos a dibujar cómo podría ser el paralelogramo, por ejemplo, algo así, y los vértices que queremos calcular son este, el c y el d, ¿vale?
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Al c le voy a llamar de coordenadas c1, c2, c3, ¿vale? Y al d, d1, d2, d3.
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¿qué otro dato me están hablando? del centro del paralelogramo
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es decir, el centro del paralelogramo es donde se cortan las diagonales
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si yo hago la diagonal a C y hago la diagonal, bueno, dándonos por hecho que pasa por el punto C
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y hago la diagonal BD, el punto de intersección es justamente el centro
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y en este caso es el punto E
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a ver, se pueden hacer de varias formas, ¿vale?
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Una que yo veo fácil es que nos demos cuenta que el punto E es justamente el punto medio del segmento AC
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y también es el punto medio del segmento BD, ¿vale? Por simetrías del paralelogramo.
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Entonces yo lo voy a calcular, o sea, voy a calcular las coordenadas del C y del D
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utilizando lo que os acabo de decir, lo del punto medio, porque además me parece que es algo bastante sencillo.
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Entonces, por un lado, primero, lo que sabemos es que E es el punto medio del segmento AC.
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Del segmento AC, el punto medio, ¿recordáis cómo era? Era A más C, era el punto A más C partido por 2, ¿vale? Este era como se calculaba el punto medio.
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y vamos a calcularlo primeramente. El punto E es el 0, 0, 1 y A más C sería 1 más C1, 1 más C2, 1 más C3, ¿vale?
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este punto partido por 2, que partirlo por 2 también podría pasar el 2 a la izquierda
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y lo multiplicamos aquí, ¿vale? para que sea más fácil, y ahora igualamos coordenada
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a coordenada, ¿y qué me quedaría? que 0 es igual a 1 más c1, de donde c1 sería menos
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1, que 0 es igual a 1 más C2, de donde C2 también vale menos 1, y que 2 es igual a
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1 más C3, de donde C3 sería 1, ¿vale? Por lo tanto, de aquí sacamos que el punto C
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tiene por coordenadas menos 1, menos 1, 1, ¿vale?
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Y ahora lo mismo que he hecho con el punto E, lo hago con el punto D.
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Pues que el punto D es, no, el punto D no, el punto E es también el punto medio, pero ahora del segmento BD.
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Es decir, el punto medio del segmento BD es lo mismo como el más del B más D partido de 2
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Por lo tanto hacemos lo mismo, voy a pasar el 2 multiplicando al E
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Y me queda 2 por el punto E que es el mismo, 0, 0, 1
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Igual a, sumo el B, que las coordenadas del B son 0, 2, 0
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por lo tanto sería 0 más
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le he llamado de 1
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2 más de 2
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y el otro sería directamente de 3 ya que es 0
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igualamos coordenadas como hemos hecho antes
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y que me queda que 0 es igual a de 1
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que 0 es igual a 2 más de 2
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de donde de 2 es menos 2
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Y por otro lado me queda que 2 es igual a D3
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¿Vale? Aquí es que no tenemos ya ni que calcular nada
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Y por lo tanto obtenemos que las coordenadas del punto D buscado
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Son 0, menos 2, 0, menos 2, 2
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¿Vale?
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Y esto sería el apartado A
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Que es calcular las coordenadas de los vértices
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Con el tema del punto medio yo creo que sale bastante sencillito
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Esto sería el apartado A. Y para el apartado B me piden calcular el área del paralelogramo. Bueno, pues el área del paralelogramo, el área, sabemos que es el módulo del producto vectorial, por ejemplo, del vector AB por el vector AD.
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entonces tendríamos que calcular los vectores
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el vector AB tiene de coordenadas es B-A
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por tanto 0-1, 2-1, 1, 0-1
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el vector AD, el de lo acabo de calcular
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0-1, menos 2-1, menos 3 y 2-1, 1
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por lo tanto ahora tenemos que calcular el producto vectorial de AB por AD
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ay que se me ha cambiado la letra
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tendría que haber bajado, voy a bajar un poco porque es que si no lo estoy haciendo aquí como demasiado justo
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y que iba a quedar que no se va a entender bien
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voy a coger más espacio
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Vale, y lo hago mejor abajo para que no nos liemos.
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Venga, pues el producto vectorial de AB por AD es el IJK y aquí ponemos el menos 1, 1, menos 1, menos 1, menos 3, 1.
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Y esto es, de la coordenada I sería 1 menos 3, que sería menos 2I, menos la coordenada J, que sería menos 1, menos 1, menos 2, por lo tanto, más 2J, y la coordenada K, que sería 3 menos 1, 3, no, 3 menos menos 1, ¿vale?
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por lo tanto sería 3 menos menos es más, 3 más 1 es 4, más 4k, si no me he equivocado, espero no haberme equivocado, lo voy a repasar, vale, de la coordenada i era 1, menos 3 menos 2, de la j sería menos 1, menos 1 es menos 2, con el menos se hace más, y de la k sería 3 más 1 es 4, vale,
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Es decir, que es el vector menos 2, 2, 4. Y por lo tanto, el área que me pide, el área, es el módulo de ese vector, por lo tanto es la raíz cuadrada de 4 más 4 más 16, es decir, raíz de 24 unidades al cuadrado.
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- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Ejercicios resueltos
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- Subido por:
- Francisca Beatriz P.
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- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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- Fecha:
- 3 de abril de 2026 - 12:41
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES IGNACIO ALDECOA
- Duración:
- 08′ 05″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
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