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Ej Repaso Geo2 - Contenido educativo
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Hola, vamos a ver este ejercicio. Me piden primero que calcule la posición relativa de la recta R
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que viene dada implícita y el plano pi, x menos y igual a cero, ¿vale? En forma general.
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Vale, pues a ver, para calcular la posición relativa, ya que tenemos la recta como dos planos,
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vamos a estudiar el sistema formado por los tres planos, ¿vale?
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Calculamos la matriz de coeficientes.
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del primer plano sería menos 1, 1, 0
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del segundo plano sería menos 2
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pongo siempre primero x y z
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aunque nos lo pongan aquí aunque estén cambiadas
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menos 2, 0, 1
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y del plano pi sería 1, menos 1, 0
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1, menos 1, 0
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esta es mi matriz de coeficientes
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bueno, lo podría haber puesto directamente como una matriz ampliada
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para no tener que escribir dos veces, ¿vale? Pero bueno, mi matriz ampliada sería exactamente
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la misma, pero con los términos independientes, que serían 1, 0, 0. ¿Vale? Esta sería mi
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matriz ampliada. Vamos a estudiar los rangos. A ver, ¿cuánto es el determinante de C?
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Pues a ver, el determinante de C es 0 porque se ve que la primera fila y la tercera son
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las mismas pero opuestas, ¿vale? Por lo tanto, ni me molesto por las propiedades de los determinantes
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es 0. Y tenemos, por ejemplo, aquí este menor de orden 2. Se ve claramente que es distinto
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de 0. Es 1 menos 0, 1. Por lo tanto, el rango de C es 2. Lo voy a calcular por rangos. Voy
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a calcular también el rango de A, aunque se vería claramente que el primer plano de
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que forma la recta R y el plano pi son paralelos porque tienen los coeficientes de los vectores
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pero no la D, no el término independiente, eso significa que son paralelos, como los otros dos planos se cortan en la recta, lo que significaría, ya lo tendríamos, es que la recta y el plano son paralelos, pero bueno, lo calcularíamos también, calcularíamos un menor, yo me voy a coger el último que tiene muchos ceros y que se ve claramente que es distinto de cero.
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vale, si yo lo desarrollo me queda 0, 0, 0, más 1, 0, 0
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distinto de 0 lo que significa que el rango de la ampliada es 3
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por lo tanto como es distinto sabemos que es un sistema incompatible
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y lo que os he dicho, se veía, ojo, que el primer plano de la recta
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con el plano pi son paralelos
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Por lo tanto lo que significa es que R es paralelo a pi.
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El apartado B me está pidiendo un plano perpendicular a pi que contenga R.
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A ver, si yo quiero calcular el plano, vamos a llamarle pi prima, que es perpendicular a pi y queremos además que R esté contenida en pi prima.
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Pues a ver, ¿qué significa que pi prima sea ortogonal a pi, que sea perpendicular?
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Pues que el vector normal de pi es un vector director de pi prima, ¿vale? Es decir, el normal de pi es un vector director, o sea, es director de pi prima, ¿vale?
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Luego este sería nuestro primer vector director, el n de pi que es 1, 1, menos 1, 0.
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Este sería uno de los dos vectores directores que necesitamos.
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El otro vector director, pues como r está contenida en pi,
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pues lo único que tendríamos que hacer es, vamos a llamarle u por ejemplo,
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el otro vector director sería el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos.
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es decir, del primer plano era el menos 1, 1, 0
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menos 1, 1, 0
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y del segundo menos 2, 0, 1
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calculo y que tendríamos
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el primero con el i sería 1
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con la j sería menos 1, es decir, 1 también
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y con la k sería 2
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vale, pues ya tenemos los dos vectores directores
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ahora me falta calcular un punto
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pues calculamos un punto de la recta R
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¿Vale? Para calcular el punto, vamos a llamarle punto A por ejemplo, lo que hacemos es despejar las ecuaciones
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como tanto la primera ecuación como la segunda tienen X, pues lo voy a dejar todo en función de la X
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y pongo que la Y es igual a 1 más X, la Z es igual a 2X y por lo tanto el valor más fácil si la X es 0
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es que la y valga 1 y la z valga 0 y ahora ya tengo dos vectores directores y tengo un punto
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pues el plano pi prima que busco es el determinante x menos el punto que es 0 y menos 1 que es el punto
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z menos el punto que es 0 y ahora los dos vectores 1 menos 1 es 0 y el segundo vector 1 1 2
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Y es este determinante igualado a 0
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Desarrollamos y esto me queda
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Menos 2X más Z más 0
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Menos con el menos me queda más Z
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Menos 2 por Y menos 2
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Es decir, menos 2Y más 2
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Más 0
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Y esto sería 0
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Espero no haberme equivocado, ¿vale?
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Porque como lo hago así un poco rápido
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Sabéis que tiendo a equivocarme muy fácilmente. Menos 2x menos 2y más 2z más 2 igual a 0, que podríamos simplificar todo entre, lo voy a simplificar entre menos 2 y me quedaría x más y menos z igual a 1.
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Esta sería la ecuación del plano pi' que estoy buscando.
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Y ya estaría el ejercicio.
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- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Ejercicios resueltos
- Niveles educativos:
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- Subido por:
- Francisca Beatriz P.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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- 1
- Fecha:
- 20 de abril de 2026 - 0:47
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES IGNACIO ALDECOA
- Duración:
- 06′ 37″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 15.76 MBytes