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Ejemplo Intervalo de Confianza para la Media - Contenido educativo

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Subido el 17 de noviembre de 2024 por Francisca Beatriz P.

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Lo primero que hacemos, como siempre, es leer muy bien el enunciado. 00:00:00
El número de megabytes descargados mensualmente por el grupo de clientes de una compañía de telefonía móvil 00:00:04
con la tarifa AA se puede aproximar por una distribución normal con media 3,5 megabytes 00:00:08
y una desviación típica igual a 1,4 megabytes. 00:00:14
Se toma una muestra aleatoria de tamaño 24. 00:00:18
Me piden cuál es la probabilidad de que la media muestra sea inferior a 3,37 00:00:21
y en el B supóngase ahora que la media poblacional es desconocida 00:00:24
y que la media muestral tome el valor de 3,42, obtengase un intervalo de confianza del 99% para la media de la población. 00:00:28
Típico problema de estadística para calcular, o sea, para trabajar con las medias muestrales. 00:00:37
Entonces vamos a ir viendo qué es lo que tenemos. 00:00:42
En el apartado A tenemos nuestra variable x, que lo que está mirando es justamente el número de megabytes que tenemos, 00:00:44
O sea, que se descargan mensualmente y lo que me están diciendo es que X sigue una distribución normal con media 3,5 y con desviación típica 1,4. 00:00:55
Nos dicen que se toma una muestra aleatoria simple, vamos, no nos dicen simple, simplemente una muestra aleatoria de tamaño 24. 00:01:11
Y me piden calcular la probabilidad de que la media de la muestra, la media muestral, sea inferior a 3,37. 00:01:19
Vale, para poder calcular esta probabilidad necesito saber cuál es la media muestral, qué distribución sigue. 00:01:29
Como la población es una normal, aunque el tamaño de la muestra sea menor que 30, podemos asegurar, estamos en el mejor caso, 00:01:38
que mi media muestral va a seguir también como distribución una normal, con media la misma de la población, 00:01:44
pero con desviación típica, la desviación típica partido por la raíz del tamaño de la muestra. 00:01:54
Es decir, que va a ser una normal, 3,5 coma, y ahora tiramos de calculadora, y nos da 0,29 aproximando. 00:02:03
Pues ya tenemos la distribución normal que es 00:02:13
Bien, pues ahora para calcular la probabilidad 00:02:18
Lo primero que hacemos es, como es una normal, tipificamos 00:02:20
Para transformarla en una normal 0,1 00:02:23
Esto sería 3,37 menos 3,5 00:02:26
Es decir, se le resta la media 00:02:32
Y se divide entre la desviación 00:02:34
Y esto es lo mismo que la probabilidad de que z sea menor 00:02:37
Volvemos a tirar de calculadora y nos da menos aproximando 0,45. 00:02:44
¿Vale? Pues ahora, ¿qué es lo único que tenemos que hacer? 00:02:53
Vamos a hacernos el dibujito para que nos quede más claro. 00:02:58
Si esta es nuestra distribución normal, que tenemos el 0, sabemos que es simétrica. 00:03:02
Si aquí ponemos el menos 0,45, lo que quiero calcular es esta parte que estoy rayando. 00:03:08
Por simetría a la distribución normal, si aquí está el número en positivo, esa parte rayada coincide con esta parte de aquí 00:03:13
Es decir, que esto es lo mismo que la probabilidad de que z sea mayor que 0,45 00:03:21
Como en las tablas que nosotros utilizamos, lo que nos da es el valor cuando es más pequeño, calculamos el contrario 00:03:28
Es decir, 1 menos la probabilidad de que z sea menor que 0,45 00:03:36
Es decir, 1 menos, y ahora vamos a la distribución, o sea, a la tabla de la distribución normal 0,1. 00:03:43
Miramos a ver, el 0,4 con el 5 es aquí, y nos da 0,6736, y lo ponemos aquí. 00:03:52
0,6736 igual a 0,3264 y este es el valor de la probabilidad pedida del apartado A. 00:04:03
Ahora ya para el apartado B lo que voy a hacer va a ser, voy a borrar todo lo que tenemos aquí, 00:04:21
lo que acabo de hacer y volvemos a escribirlo todo de nuevo, ¿vale? Entonces ahora en el apartado B lo que me están diciendo, 00:04:27
aquí sigue siendo lo mismo, pero que ahora es una distribución, o sea sigue una distribución normal pero de media desconocida 00:04:39
y de desviación típica la misma que teníamos antes, es decir 1,4. ¿Qué me están diciendo ahora? Que la media poblacional, 00:04:46
es decir, se supone que la muestra sigue siendo la misma, 24, y la media muestral, perdón, la media muestral que tenemos ahora es de 3,42. 00:04:54
Y me están diciendo con un nivel de confianza, es decir, 1 menos alfa igual a 0,99. 00:05:07
Y lo que me piden calcular es un intervalo de confianza para estos datos, que es lo único que necesito calcular, 00:05:15
Porque el intervalo de confianza, os acordáis que la fórmula es media menos z alfa medios por sigma partido por la raíz de n, media más z alfa medios por sigma partido por la raíz de n. 00:05:21
Vale, pues tengo todos los datos a excepción del z alfa medios que viene justamente con el nivel de confianza. 00:05:43
¿Cómo se calcula? Pues, ¿qué significa que el nivel de confianza sea 0,99? Pues que la probabilidad de menos Z alfa medios sea menor que Z o Z menor o igual que Z alfa medios, recordar que como es en una continua en un punto siempre es 0, esto es 0,99. 00:05:49
Como es un intervalo simétrico, nos queda que dos veces la probabilidad de que z sea menor o igual que z alfa medios, esto es menos 1, esto es 0,99. 00:06:09
¿Vale? Es decir que la probabilidad de que Z sea menor o igual que Z alfa medios es 0,99 más 1 entre 2 y esto es 0,995. 00:06:26
¿Y ahora qué hacemos para calcular el valor del z alfa medios? 00:06:50
Pues tengo que irme a la tabla de la normal 0,1 y buscar dentro el 0,995 00:06:54
Estamos ya aquí en la tabla y buscamos dentro el 0,995 00:07:00
Aquí vemos que está el 9949, 9951, son los dos que se aproximan a la misma distancia uno de otro 00:07:06
Por lo tanto tenemos que hacer la media, pero no de los números de dentro, sino de sus zetas 00:07:14
El zeta es 2,5 y este está aquí, el 0,7, es decir, 2,57 y 2,58 00:07:19
Tenemos que hacer la media entre 2,57 y 2,58 00:07:26
Hacer la media es sumarlos y dividirlos entre 2 00:07:35
nos da 2,575, que como siempre aproximamos a dos decimales, lo dejamos en 2,58, ¿vale? 00:07:39
Y ese sería el valor del z alfa medios. 00:07:50
Ahora ya podemos calcular el intervalo de confianza. 00:07:53
Voy a poner aquí una línea de separación, ¿vale? 00:07:59
Por si no queda un poco claro. 00:08:06
sustituimos los valores y me queda la media 00:08:08
la media nos da 3,42 00:08:11
menos el Z alfa medios que acabamos de calcular 00:08:14
2,58 00:08:17
por la desviación que es 1,4 00:08:19
entre la raíz de 24 00:08:23
y el otro extremo 3 00:08:26
3,42 más 2,58 00:08:30
por 1,4 entre la raíz de 24. 00:08:40
Y voilà, tiramos de calculadora, nos da 2,68, 2,68, y el otro extremo, 4,16, aproximando a dos decimales, 00:08:49
Y si no me he equivocado, pues si no he cometido ningún error, ese sería el valor del intervalo de confianza para la media. 00:09:06
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
17 de noviembre de 2024 - 16:56
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
09′ 16″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
29.17 MBytes

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