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Ejercicio 3-25-4 - Contenido educativo
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Vamos a ver cómo se haría este límite.
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Lo primero es un límite de funciones trigonométricas, pero lo primero que tenemos que hacer es no asustarnos.
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No pasa nada, sabéis trabajar con ellos.
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Importante, si calculáis valores en la calculadora, recordad que me lo están dando en radianes pi medios.
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Pi medios son radianes y pi medios radianes es lo mismo que 90 grados.
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Eso es algo que tengo que tener en cuenta.
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Vale, pues lo primero, vamos a ir calculando, esto sería el límite cuando x tiende a pi medios de la tangente, yo pongo como tangente tg, vale, en inglés ya sabéis que siempre se pone tan, tangente de x medios elevado a 1 partido por el coseno de x.
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Lo primero, sustituir
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Si pi medios es 90, pi cuartos, que es lo que tengo que poner, es 45
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La tangente de 45 es cuando coinciden seno y coseno
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Por lo tanto la tangente vale 1
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Luego esto es 1
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Elevado a coseno de pi medios, o lo que es lo mismo, coseno de 90 es 0
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1 partido por 0, infinito
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¿Vale?
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Por lo tanto vamos a aplicar la formulita que vimos
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Y esto va a ser igual a e elevado al límite
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cuando x tiende a infinito de, la fórmula es el exponente, es decir, 1 partido por coseno de x
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por el logaritmo neperiano de la base de la tangente de x medios, ¿vale?
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Os lo pongo aquí, si teníamos que era el límite, cuando x tendía a un valor de f de x,
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elevado a g de x, y me salía que era un 1 elevado a infinito, de otras cosas,
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esto lo poníamos como que esto era igual a e elevado al límite,
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cuando x tiende a, de g de x, por el logaritmo neperiano de f de x, ¿vale?
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Esta es la formulita que hemos aplicado, fórmula que, aunque no me guste,
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tenemos que sabérnosla, ¿vale? Hay que aprendérsela, ¿vale?
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Borro la fórmula y seguimos.
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Y lo que os estaba diciendo, recordad lo del tema de los radianes y de los grados.
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Súper importante a la hora de utilizar la calculadora.
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Tenemos que tener en cuenta si la tenemos puesta en el modo de radianes o en el modo de grados.
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Sustituimos, bueno, lo voy a arreglar un poquito, ¿vale?
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Voy a operar lo que está dentro del límite.
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Esto es el límite cuando x, uh, he puesto cuando x tiende infinito a la costumbre.
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ojo con eso, ¿vale?
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que ya sabéis que yo también soy súper despistada
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cuando x tiende a pi medios
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cuando x tiende a pi medios
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y me queda en el numerador
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logaritmo neperiano
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de la tangente de x medios
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y en el denominador me queda
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coseno de x
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vuelvo a sustituir y aquí me queda
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e elevado a cuánto tangente de pi cuartos
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hemos dicho que es 1
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logaritmo neperiano de 1 es 0
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y coseno de pi medios, coseno de 90 es 0
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0 partido por 0
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lo que hago ahora es aplicar lo pital
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¿vale? para aplicar lo pital
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esto es e elevado al límite
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cuando x tiende a pi medios
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que no se nos olvide, no me voy a equivocar
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y ponemos arriba la derivada de un logaritmo
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La derivada del logaritmo de una función es arriba la derivada de la función partido por la función.
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Por lo tanto aquí abajo vamos a tener la tangente de x medios y arriba tengo que poner la derivada de la tangente de x medios
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que sería 1 más tangente cuadrado de x medios por la derivada de x medios que es un medio.
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Y abajo tengo que poner la derivada del coseno de x, que es menos el seno de x.
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Vale, pues vamos a ordenarlo un poquito.
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Límite cuando x tiende a pi medios de, a ver, este 2, este 2 de aquí,
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pasa multiplicando aquí abajo, ¿vale?
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Por lo de producto de extremos y de medios.
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Y luego aquí esto es como si fuera también partido por 1,
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y me queda aquí producto de extremos, producto de medios, por lo tanto en el numerador lo que me va a quedar simplemente es 1 más tangente cuadrado de x medios, ¿vale?
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Y en el denominador me queda un 2, bueno un menos 2 porque tengo el menos, seno de x por la tangente de x medios.
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Y ahora sustituimos la x por pi medios y me queda elevado a cuánto arriba en el numerador me queda 1, a ver, pi medios serían pi cuartos, hemos dicho que la tangente de pi cuartos es 1, al cuadrado sigue siendo 1, por lo tanto me queda 1 más 1.
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Y en el denominador me queda menos 2 por el seno de pi medios, que es 1, por la tangente de pi cuartos, que es 1, ¿vale?
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Luego que me queda e elevado a cuánto? Arriba es 2, abajo es menos 2, e elevado a menos 1, es decir, 1 partido por e.
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Ya estaría el límite. Sé que estos límites con razones trigonométricas a veces como que nos agobian un poco, nos dan un poco de miedito,
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pero tampoco es tan complicado de operar
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eso sí, las derivadas nos tenemos que saber bien
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la del logaritmo, la del seno, la del coseno y la de la tangente
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esas sí que nos las tenemos que saber
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- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Ejercicios resueltos
- Niveles educativos:
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- Subido por:
- Francisca Beatriz P.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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- 31
- Fecha:
- 13 de noviembre de 2025 - 21:09
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES IGNACIO ALDECOA
- Duración:
- 06′ 13″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 14.88 MBytes