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T5-ej 42 al 45.mp4: T5-ej 42 al 45 - Contenido educativo

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Subido el 7 de diciembre de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Buen día, vamos a ver en este vídeo los ejercicios de integración por partes, ¿vale? 00:00:00
No sé si haré todos los de 42 al 57 en este mismo vídeo, porque a lo mejor es demasiado largo. 00:00:06
Pero bueno, al menos iré haciendo de 5 en 5 o algo así. 00:00:13
Este es el que le hemos hecho en clase, es el más típico. 00:00:17
¿Y cómo saber si tenemos que hacer la integración por partes? 00:00:20
Pues a ver, tenemos una exponencial que sabemos que es ella misma, 00:00:23
pero delante la estamos multiplicando por x y la derivada del exponente no es x, por lo tanto es el típico ejemplo de hacer la integración por partes. 00:00:27
Lo que tenemos siempre que saber es a quién vamos a llamar u y a quién vamos a llamar diferencial de v, ¿vale? 00:00:37
Entonces, lo que siempre se... 00:00:47
Bueno, la fórmula supongo que no hace falta que os la recuerde, ¿vale? 00:00:51
Tenemos que saber a quién vamos a llamar u, como he dicho, 00:00:55
y quién va a ser nuestra diferencial de u. 00:00:58
En este caso, lo más sencillo, cuando tenemos un polinomio 00:01:01
y sabemos integrar la segunda función, voy a llamarle siempre u a x. 00:01:04
¿Por qué? 00:01:09
Porque si yo calculo su derivada, 00:01:10
la derivada me queda directamente diferencial de x. 00:01:13
baja un grado, si esta tenía grado 1 la siguiente va a tener grado 0, es una constante 00:01:16
y como diferencial de v va a ser e elevado a x 00:01:21
e elevado a x diferencial de x, vale, que no me lo coma 00:01:25
por lo tanto v va a ser ella misma 00:01:31
y ahora aplicamos la fórmula u por v 00:01:35
es decir x por e elevado a x 00:01:38
menos la integral de v que es e elevado a x 00:01:41
diferencial de x 00:01:46
entonces hemos pasado 00:01:48
de una integral que no era inmediata 00:01:49
a una integral que sí que es inmediata 00:01:52
por lo tanto 00:01:54
lo que tenía inicialmente no lo puedo quitar 00:01:55
menos y la integral de elevado a x 00:01:58
es ella misma 00:02:00
más k 00:02:01
y si queréis podemos sacar 00:02:03
factor común al elevado a x 00:02:06
y me quedaría 00:02:08
x menos 1 00:02:10
más k 00:02:11
que muchas veces así es como luego viene 00:02:12
en el solucionario y demás. La 43, pues hacemos, es igual que la anterior, ¿verdad? Tengo 00:02:15
una x y un seno. Vale, pues vamos a llamar u a la x y por lo tanto diferencial de u va 00:02:22
a ser diferencial de x y vamos a llamar diferencial de v al seno de x, diferencial de x y por 00:02:30
Por lo tanto, mi función v es la integral del seno de x, que es menos coseno de x, ¿vale? 00:02:41
Y ahora sustituimos arriba la fórmula u por v. 00:02:49
Voy a poner primero el menos del coseno, luego esto sería menos x coseno de x, 00:02:52
y ahora es menos la integral, ¿de quién? Del menos coseno de x, diferencial de x. 00:02:57
vale, pues ya obtenemos una integral inmediata 00:03:05
esto es menos x coseno de x 00:03:08
los dos menos 00:03:11
menos con menos me hace más 00:03:13
y la integral del coseno 00:03:15
es el seno 00:03:17
seno de x 00:03:20
diferencial de x 00:03:21
ui diferencial de x 00:03:23
que es lo que tenemos que poner 00:03:24
la k 00:03:27
que se me ha ido 00:03:29
vale, y ya estaría hecha la integral 00:03:30
la 43 00:03:32
Vale, para la 44 hacemos exactamente lo mismo 00:03:33
Mi u va a ser el x más 5 00:03:38
Y la derivada de u va a seguir siendo diferencial de x 00:03:42
Porque la derivada de x es 1 y la de 5 es 0 00:03:49
Y como diferencial de v va a ser el coseno de x diferencial de x 00:03:52
Por lo tanto mi v va a ser el seno de x 00:03:58
sustituimos y me queda u por v sería x más 5 por el seno de x 00:04:03
menos la integral de seno de x diferencial de x 00:04:13
seno de x diferencial de x 00:04:24
vale pues esta también es inmediata esto sería el x más 5 00:04:29
por el seno de x 00:04:33
y ahora la integral del seno es el menos coseno 00:04:37
como tengo este menos delante 00:04:40
un menos con el menos me hace más 00:04:42
más coseno de x 00:04:44
más k 00:04:47
¿vale? 00:04:49
os recuerdo lo que he dicho es que la integral del seno es menos coseno 00:04:50
el menos con este menos de aquí 00:04:54
¿vale? 00:04:57
se me transforma en el más 00:04:58
vale, la del seno, esta integral seno por el logaritmo neperiano de x 00:05:00
no, perdón, no es seno por el logaritmo neperiano 00:05:07
es el seno del logaritmo neperiano de x diferencial de x 00:05:10
obviamente no es una integral inmediata, no tengo un producto 00:05:13
pero entonces ¿qué es lo que vamos a llamar? 00:05:16
bueno, pues mi función u va a ser la única que tengo 00:05:18
el seno del logaritmo neperiano de x 00:05:22
porque eso no lo sé integrar, pero sí lo sé derivar 00:05:26
Su derivada, u', ¿quién va a ser? La derivada del seno, que es el coseno del logaritmo neperiano de x, ¿vale? 00:05:29
¿Por la derivada de quién? La derivada de lo de dentro del logaritmo neperiano, que es 1 partido por x. 00:05:42
y me falta poner, uy, ¿por qué? Pues todo, U', sí, U', a ver, es que normalmente no le llamo U', 00:05:50
le llamamos diferencial de U, ¿verdad? En los anteriores también he ido poniendo U', no diferencial de U, vale. 00:05:59
Disculpad, llega un momento que me pierdo, daría lo mismo, ¿vale? 00:06:08
Pero para que la fórmula esté bien escrita, para que no nos liemos, esto es diferencial de U. 00:06:13
Y aquí tengo que poner el diferencial de x. Y ahora mi diferencial de v va a ser mi diferencial de x. Por lo tanto, v va a ser directamente x. 00:06:18
Bien, pues vamos a sustituir, aplicarla a la fórmula u por v, es decir, x por el seno del logaritmo neperiano de x, 00:06:34
¿Vale? Y que me falta menos la integral, a ver, me sale la integral un poco rara, de v diferencial de u, es decir, v es x, voy a poner primero el 1 partido por x, y aquí pongo el coseno, ¿de quién? 00:06:49
del logaritmo neperiano de x, diferencial de x, ¿vale? 00:07:08
Iguala. 00:07:14
¿Qué ocurre? 00:07:15
Que hemos obtenido prácticamente lo mismo que teníamos inicialmente, ¿no? 00:07:17
Porque este x por 1 partido por x es directamente 1. 00:07:21
Entonces, ¿qué voy a tener que hacer? 00:07:27
Vamos a tener que volver a aplicar la integración por partes. 00:07:28
Este es el típico que va a ser cíclico, ¿vale? 00:07:32
Porque cuando lo haga vamos a obtener justamente lo que teníamos inicialmente. 00:07:35
Esto que he puesto, esto sería 1, ¿vale? 00:07:40
Entonces de eso me olvido, por no volverlo a escribir. 00:07:43
Volvemos a hacer otra vez la integración por partes, 00:07:45
llamando u, en este caso, al coseno del logaritmo neperiano de x, ¿vale? 00:07:48
Y por lo tanto, diferencial de u va a ser, 00:07:56
Ahora vamos a tener un menos menos el seno del logaritmo neperiano de x por la derivada del logaritmo que es 1 partido por x, diferencial de x. 00:07:59
Y como diferencial de v va a seguir siendo el diferencial de x, por lo tanto v va a ser simplemente x. 00:08:16
aplicamos la integración por partes 00:08:25
pero ojo que no se me olvide esta primera parte 00:08:28
de aquí voy a seguir aquí abajo 00:08:31
y me queda que eso es igual a lo que tenía inicialmente 00:08:36
que era x por el seno del logaritmo neperiano de x 00:08:41
menos 00:08:47
y ahora tengo que poner esta integral 00:08:49
por lo tanto pongo el menos y pongo un paréntesis 00:08:52
para poner otra vez la integración por partes que es u por v, es decir, x por el coseno del logaritmo neperiano de x 00:08:55
menos la integral de du por v, v es x, pongo el menos de du menos el 1 partido por x 00:09:04
y me queda aquí directamente el seno del logaritmo neperiano de x, diferencial de x, ¿vale? 00:09:16
He puesto primero esta x, he puesto este menos y el 1 partido por x lo he puesto después, ¿vale? 00:09:26
Entonces igual que pasaba antes, tengo aquí este x por 1 partido por x, esto es 1. 00:09:33
Y aquí tengo un menos con un menos que se me va a transformar en más. 00:09:40
¿Qué no he cerrado? El paréntesis, ¿vale? 00:09:44
Entonces lo voy a volver a escribir, desarrollando los paréntesis. 00:09:49
Esto sería x por el seno del logaritmo neperiano de x 00:09:54
Quito este menos, un menos delante del paréntesis me cambia todo de signo 00:10:00
Y me queda menos x por el coseno del logaritmo neperiano de x 00:10:07
Y ahora que habíamos dicho que este menos con este menos se nos transforma en más 00:10:13
Pero tengo un menos delante, luego me queda menos 00:10:18
la integral del seno del logaritmo neperiano de x diferencial de x, ¿vale? 00:10:20
¿Qué es lo que hemos obtenido? 00:10:32
A ver, si miro la integral inicial que había puesto en morado, ¿vale? 00:10:34
El enunciado, esto, bueno, no sé qué he hecho con el lápiz, 00:10:39
que se me ha ido borrando una de las cosas que estaba teniendo, ¿veis? 00:10:47
Ahora de repente me vuelve a escribir solo, ¿vale? 00:10:49
lo que os estaba diciendo. Bueno, cuando consiga que esto me funcione. Queda bonito, ¿verdad? 00:10:53
A ver, que lo voy a pausar otra vez. Vale, creo que ahora ya sí que me funciona. A ver, 00:11:01
lo que os estaba comentando es que la integral inicial, lo que tengo aquí en morado, es 00:11:05
justamente la última integral que yo acabo de conseguir, ¿vale? Por eso esta es la forma 00:11:11
de hacerlo de manera cíclica. Entonces si a esta integral yo le llamo y, esta integral 00:11:17
de aquí también es y, y lo que me queda, voy a volver a ponerlo en rojo, ya que lo 00:11:25
estaba resolviendo en rojo, me queda la ecuación y es igual a x por el seno del logaritmo 00:11:32
neperiano de x, menos x por el coseno del logaritmo neperiano de x, menos y, ¿vale? 00:11:41
Y entonces ahora lo único que tenemos que hacer es resolver esa ecuación. Lo que yo 00:11:50
quiero calcular es el valor de la y. Bueno, pues paso esta y a la izquierda y me quedarían 00:11:55
2y es igual a x, que puedo hasta sacarle factor común, y me queda aquí seno, esto da lo 00:12:02
lo mismo sacar factor común o no, ¿vale? Pero ya puestos, menos coseno del logaritmo neperiano, logaritmo neperiano de x, ¿vale? 00:12:09
Y, por último, despejo la y y que me queda x por, que aquí lo podríamos haber hecho directamente y me evito hacer esto, escribir esto dos veces, ¿vale? 00:12:21
menos el coseno del logaritmo de periano de x 00:12:32
todo ello 00:12:36
partido por 2 00:12:37
¿y qué es lo que se me está olvidando? 00:12:40
bueno, como lo estaba poniendo de esta manera 00:12:44
lo hacemos ya al final 00:12:46
y esta sería la integral más k 00:12:46
como siempre, ¿vale? 00:12:48
entonces este es el típico ejemplo 00:12:50
de una cíclica 00:12:52
voy a cortar este vídeo 00:12:54
y luego sigo con las 5 siguientes 00:12:56
porque si no van a ser muy largos 00:12:58
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
15
Fecha:
7 de diciembre de 2025 - 10:33
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
13′ 01″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
31.24 MBytes

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