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5. Ejemplos monotonía máximos y mínimos funciones polinómicas - Contenido educativo

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Subido el 29 de julio de 2024 por Francisca F.

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Ejemplos de monotonía y cálculo de máximos y mínimos de funciones polinómicas

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Vamos a empezar con una función de tipo polinómico. 00:00:03
Sabéis que una función polinómica, su dominio, 00:00:06
el dominio de una función polinómica es todo R. 00:00:10
También son funciones que van a ser siempre derivables, 00:00:17
es decir, siempre en cualquier punto de la curva 00:00:20
vamos a poder dibujar la recta tangente a la curva de la misma. 00:00:24
La derivada existe para todo valor de X. 00:00:29
Con lo cual, los posibles máximos o mínimos de la función, ¿dónde lo vamos a encontrar? 00:00:31
En los que hemos llamado puntos singulares. 00:00:38
Para ello, derivamos la función 3x al cuadrado menos 12x más 9, sería la primera derivada, 00:00:40
la igualamos a 0 y en este caso los posibles candidatos a ser máximos o mínimos de la función 00:00:51
son x igual a 3 y x igual a 1. 00:00:57
Estos puntos los situamos en la recta real. 00:01:01
Hemos dicho que el dominio de la función es de menos infinito a más infinito. 00:01:05
Situamos esos puntos, puntos singulares, en la recta real. 00:01:12
Determinando de esta manera tres intervalos, de menos infinito a uno, de uno a tres y de tres a infinito. 00:01:19
En cada uno de estos intervalos tenemos que estudiar el signo de la derivada. 00:01:26
¿Cómo lo estudiamos? Pues simplemente cogemos un punto de cada intervalo y sustituimos en la derivada primera. 00:01:31
Y vemos el signo. Por ejemplo, de menos infinito a 1, pues hemos evaluado la primera derivada en 0, 00:01:42
que es un punto de preferencia de este intervalo, y resulta que la derivada nos sale positiva, mayor que 0. 00:01:50
Si la derivada primera en cero me ha salido positiva, va a ser positiva en todos los puntos del intervalo. 00:01:59
Podemos coger otro, hacer la prueba y veréis que siempre para puntos de este intervalo nos va a salir igual que el signo que hemos obtenido para x igual a cero. 00:02:08
Con lo cual, f de x es creciente en todos los intervalos. 00:02:19
Bien, hacemos lo mismo en el intervalo que va de 1 a 3. 00:02:25
Fijaros que los intervalos de monotonía se escriben siempre abiertos, porque en 1 y en 3 la derivada, hemos dicho que es 0. 00:02:29
En el intervalo que va de 1 a 3, pues hemos evaluado en 2, evaluando en 2 nos ha salido negativo, 00:02:41
con lo cual la derivada en todo su intervalo es negativa, la función ahí va a ser decreciente. 00:02:49
Y por último, de 3 a infinito, cogemos para x igual a 4, o cualquier otro punto, 00:02:54
cogemos en el intervalo que va de 3 a infinito, en el intervalo abierto de 3 a infinito, 00:03:02
veremos que la derivada sale lo mismo que para 4, es decir, positiva. 00:03:07
Si es positiva, eso nos está indicando que la función es creciente en ese intervalo. 00:03:13
Fijaros, si la función en el intervalo que va de menos infinito a 1 primero crece y luego decrece, 00:03:20
y hemos dicho que en 1 la derivada se me anulaba, significa que en x igual a 1 voy a tener un máximo de la función. 00:03:33
por lo tanto hay un máximo de la función en x igual a 1 00:03:41
y como se trata de un punto calculamos las coordenadas del punto 00:03:48
es decir, el máximo, su coordenada x es 1 00:03:52
y para obtener su coordenada y simplemente tengo que sustituir en la función 00:03:54
para x igual a 1 la función vale 4 00:03:59
pues en el punto de coordenadas 1, 4 tenemos un máximo de la función 00:04:04
De igual manera, vemos que para x igual a 3, a la izquierda de 3 la función decrece y a la derecha la función crece. 00:04:08
Si la función se me anulaba, es decir, tenía pendiente nula en x igual a 3, 00:04:22
eso significa que lo que voy a tener en x igual a 3 es un mínimo de la función. 00:04:29
Un mínimo de la función que tiene su coordenada x y su coordenada y. 00:04:38
¿Cómo calculamos la coordenada x? Pues igual que hemos hecho antes para 1. 00:04:42
Sustituimos para x igual a 3 en la función y obtenemos su imagen. 00:04:46
En este caso, para x igual a 3 la función vale 0. 00:04:53
Por lo tanto, tenemos un mínimo en el punto de coordenadas 3, 0. 00:04:57
Bien, estamos utilizando el criterio de la derivada primera para ver si un punto crítico, un punto singular, 00:05:01
un punto que anula la derivada primera, es máximo o mínimo. 00:05:08
Fijaros, si el signo de la derivada no cambia a la derecha y a la izquierda de ese punto singular, 00:05:14
pues la función no tendría ni máximo ni mínimo. 00:05:21
En el ejemplo anterior hemos obtenido un máximo y un mínimo. 00:05:23
Bien, hay otro criterio que es el de la derivada segunda. 00:05:28
Lo que pasa es que nosotros, en general, pues como tenemos que hacer el estudio de los intervalos de monotonía, 00:05:31
pues nos quedamos con el criterio de la derivada primera. 00:05:39
Pero esto viene también muy bien saberlo, sobre todo para problemas de optimización. 00:05:41
¿En qué consiste este criterio? Pues el criterio es el siguiente. 00:05:47
Imaginar un punto en el cual la derivada primera se me ha hecho cero, ¿vale? 00:05:52
es un punto singular y quiero saber si es un máximo o un mínimo. 00:05:56
Pues va a ser un máximo relativo si cuando yo calcule la derivada segunda y evalúe en ese punto 00:06:02
resulta que el signo de la derivada segunda es negativo. 00:06:08
Fijaros, un máximo relativo lo voy a tener cuando al sustituir en la derivada segunda ese punto singular 00:06:13
la derivada segunda me da negativa. 00:06:22
Y voy a tener un mínimo relativo si ocurre lo contrario, es decir, cuando al sustituir en la derivada segunda el resultado es positivo. 00:06:26
Vamos a verlo en el ejemplo que hemos hecho antes. 00:06:36
Teníamos esta función polinómica, hemos derivado, hemos calculado estos puntos singulares, 00:06:39
es decir, puntos que anulan la derivada primera, y quiero saber si son máximos o mínimos. 00:06:44
Pues para ello tendría que calcular la derivada segunda de la función, que en este caso sería 6x menos 12 y vamos a evaluar en cada uno de los puntos. 00:06:53
Evaluamos en 3. En 3 me quedaría 6 por 3, 18, ¿no? Y 18 menos 12, 6. 00:07:06
Fijaros, me ha dado mayor que 0 00:07:17
¿Eso qué significa? 00:07:21
Que en x igual a 3 voy a tener 00:07:22
Si obtenemos que es mayor que 0 00:07:27
Lo que voy a obtener es un mínimo relativo de la función 00:07:31
Es decir, en x igual a 3 voy a tener un mínimo relativo 00:07:35
Sin embargo, en 1, cuando yo evalúe 00:07:39
Pues el resultado va a ser negativo 00:07:48
va a ser menos 6. ¿Eso qué significa? Que en x igual a 1 voy a tener un máximo relativo. 00:07:51
Este es el criterio de la segunda derivada. Bien, vamos a coger otra función de tipo 00:08:06
polinómico. Dominio sabemos que es todo r, dominio de la función es todo r, y la función 00:08:13
tiene derivada en todos los puntos, es decir, si tengo máximos o mínimos de la función 00:08:21
los voy a tener que obtener de los puntos singulares, calculamos la derivada primera 00:08:29
e igualamos a cero, en este caso, sacando el factor común a menos 12x al cuadrado 00:08:34
obtenemos dos posibles cantidades, o esto se me hace cero, es decir, para x igual a cero 00:08:49
o el paréntesis es cero, es decir, x vale o. 00:08:59
Hemos dicho que situamos en la recta real, en el dominio de la función, que en este caso es r, 00:09:06
los puntos singulares y vamos a tener tres intervalos, el que va de menos infinito a cero, 00:09:15
de cero a uno y de uno a infinito. Vamos a ver qué ocurre en cada uno de ellos. 00:09:21
Para todos los x que pertenecen al intervalo abierto de menos infinito a 0 00:09:25
Estudiamos la derivada primera 00:09:32
En este caso podemos coger para x igual a menos 1 00:09:34
Y estudiamos que pasa 00:09:38
A lo mejor es el signo de la derivada primera para menos 1 00:09:41
Para menos 1 esto me quedaría negativo 00:09:45
Y esto también 00:09:49
Con lo cual aquí la derivada sería positiva 00:09:51
menos por menos, más 00:09:55
eso significa que en todos los puntos 00:09:57
de este intervalo, de menos infinito a cero 00:10:00
el signo de la derivada es mayor que cero 00:10:04
la función es creciente 00:10:08
vamos a poner un pequeño esquema aquí 00:10:10
aquí sabemos que la función crece 00:10:16
f es creciente 00:10:20
para todo x perteneciente al intervalo que va de cero a uno 00:10:23
vamos a coger por ejemplo para x igual a 1 medio 00:10:28
la derivada de la función pues me quedaría 00:10:32
esto sería negativo y esto también sería negativo 00:10:39
como cual menos por menos es más 00:10:44
la derivada en 1 medio es positiva 00:10:47
también en cualquier punto que yo cogiera del intervalo me va a quedar positiva 00:10:51
Así que la función es creciente también 00:10:56
Aquí la f crece también 00:11:00
Ahora cogemos otro punto 00:11:09
Ahora el intervalo de 1 a infinito 00:11:13
Vamos a ver el signo que toma la derivada primera 00:11:15
Podemos coger, por ejemplo, para x igual a 2 00:11:21
Para x igual a 2, la derivada 00:11:24
Fijaros, esto quedaría negativo 00:11:27
Y esto positivo 00:11:31
Menos por más es menos 00:11:33
Aquí quedaría derivada negativa 00:11:34
y también para cualquier punto que hubiéramos cogido, la derivada no habría salido negativa. 00:11:37
Eso significa que la función en este intervalo es decreciente. 00:11:41
Entonces, f decreciente. 00:11:50
¿Qué es lo que vemos aquí? 00:11:57
Con esta información ya podemos decir que en x igual a 0, 00:11:59
que era un punto singular, un punto que anulaba la derivada primera, 00:12:06
en realidad no tenemos ni máximo ni mínimo 00:12:09
porque la función a la izquierda de 0 crece 00:12:12
y a la derecha también crece 00:12:15
entonces en 0 no podemos decir que haya ni un máximo ni un mínimo 00:12:17
en x igual a 1 sí que vemos que hay un máximo 00:12:23
porque la función a la izquierda de 1 crece 00:12:28
y a la derecha decrece 00:12:31
entonces en x igual a 1 tenemos un máximo de la función 00:12:34
Y ese máximo tiene dos componentes. La primera componente es la x, 1, y la segunda componente sería el valor que yo obtengo al sustituir en mi función. 00:12:41
Si sustituyo aquí para x igual a 1, tengo menos 3 más 4, 1. Así que tengo un máximo de la función en el punto 1, 1. 00:12:57
Si lo hubiéramos hecho con el criterio de la derivada segunda 00:13:08
Derivamos otra vez, deriva aquí 00:13:12
Y me quedaría menos 36x elevado al cuadrado 00:13:20
Más 24x 00:13:28
Fijaros, si yo sustituyo en 0 00:13:32
El resultado sería 0 00:13:38
No me da ni positivo ni negativo 00:13:42
No es ni máximo ni mínimo 00:13:45
así que la derivada segunda no determina si es un máximo o es un mínimo 00:13:47
en 1, no sé si me quedaría 36 más 24, esto es negativo 00:13:53
y como es negativo, en x igual a 1 sabemos que hay un máximo 00:14:06
entonces es importante recordar que no todos los puntos en los cuales se anula la derivada primera 00:14:13
van a ser máximos o mínimos 00:14:25
por eso decimos posibles valores candidatos a ser máximos o mínimos 00:14:26
aquí tenéis otro ejemplo en el cual el punto singular que se obtiene 00:14:31
cuando igualamos la primera derivada a 0 es x igual a 0 00:14:37
y resulta que si estudiamos el signo de la derivada a la derecha de 0 y a la izquierda de 0 00:14:41
a la izquierda de 0, por ejemplo para menos 1 00:14:49
la derivada de la función es positiva 00:14:53
con lo cual aquí la función va a ser creciente 00:14:58
y también ocurre lo mismo cuando tomo un valor 00:15:01
en el siguiente intervalo de 0 a infinito 00:15:09
por ejemplo para 1 la derivada también es positiva 00:15:12
con lo cual es positiva en todos los puntos de este intervalo 00:15:15
entonces aquí también la función es creciente 00:15:20
Eso que significa que el 0, a pesar de ser un punto singular, un punto que anulaba la derivada primera, no hay ni máximo ni mínimo 00:15:23
Idioma/s:
es
Autor/es:
Francisca Florido Fernández
Subido por:
Francisca F.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
29 de julio de 2024 - 15:24
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES ENRIQUE TIERNO GALVAN
Duración:
15′ 38″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
39.00 MBytes

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