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Operaciones con polinomios - Contenido educativo

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Subido el 21 de enero de 2026 por Distancia cepa parla

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Vale, bueno, ¿veis mi pantalla entonces? 00:00:00
Sí. 00:00:06
Vale, pues vamos a continuar. 00:00:08
El otro día estuvimos viendo la lección 4 del álgebra, 00:00:11
estuvimos viendo que eran las expresiones algebraicas, 00:00:19
vimos también monomios, 00:00:24
Bueno, vimos también igualdades, desigualdades, el signo mayor, menor o igual 00:00:26
Y luego, en las actividades, pues estuvimos viendo el lenguaje algebraico 00:00:32
Y los monomios, los coeficientes, el grado y calcular el valor numérico 00:00:40
Bien, hoy empezamos con la parte de los polinomios 00:00:46
Esta parte de aquí, monomios, ya lo hemos visto 00:00:50
Entonces empezamos con los polinomios 00:00:53
Pues un polinomio es una suma o resta de monomios, entre ellos o se suman o se restan y tenemos una expresión así, más larga, en la que antes, el otro día veíamos que 00:00:56
la parte literal es la X, que es nuestra incógnita, el grado de este monomio es 4 y el suficiente 00:01:22
es el número que acompaña, que sería 8. Bueno, pues cuando tenemos un monomio, otro 00:01:33
diferente de menor grado y así una serie de ellos, esto ya es un polinomio. Entonces, 00:01:39
pues tiene diferentes términos 00:01:47
voy a ponerlo en rojo 00:01:49
este es uno de los términos 00:01:51
el que? 00:01:53
no se te oye profe 00:01:55
está silenciado 00:02:01
es que te ha silenciado el micro 00:02:02
voy un momentito a ver 00:02:03
a mi me sale como que te ha silenciado el micro 00:02:06
a mi también 00:02:08
no se escucha nada 00:02:09
ahora se oye 00:02:16
ahora si 00:02:17
Sí, ahora sí. 00:02:18
Pues perdonad, estábamos, ya digo, en la segunda parte de la lección que se llama polinomios. 00:02:21
Y digo que un polinomio es una suma o resta de monomios. 00:02:28
Esta parte de aquí, los monomios, los vimos ya en la parte anterior, en los dos días de clase anteriores. 00:02:34
Pues ya digo, un polinomio es una expresión en la que nos aparecen incógnitas, que pueden ser X o cualquier otra letra, elevadas a un grado, cada una de ellas puede estar elevada al grado que sea, con una parte literal en la que le ponemos un coeficiente delante, por ejemplo, el 5, el 2 y el 8, y siempre se está multiplicando. 00:02:40
El 8 multiplica, vale, pues cada uno de estos términos está o sumándose o restándose, eso es un polinomio, una expresión larga, ya digo, en la que o se suma o se resta, vale, está aquí mejor explicadito las partes en x que son de este polinomio x4, x2 y x, 00:03:04
Los coeficientes serían 8, menos 2 y 5. El coeficiente principal es el primero y el término independiente es el último, que es menos 1. Ese es el término independiente. 00:03:30
Siempre tenemos que ordenarlos de mayor a menor. Por ejemplo, este está desordenado. Este es grado 2, grado 7, independiente, 4, x. Se ordenaría de esta manera. 00:03:46
Siempre el mayor, grado 7, luego el que hubiera que sea contiguo, grado 4, grado 2, grado 1 y término independiente. 00:04:00
Entonces, ¿cómo hacemos para ordenarlo? Si hay algún hueco no pasa nada, pero lo ponemos siempre de mayor a menor. 00:04:12
De más a menos el grado de la X, de mayor a menor. 00:04:22
Bueno, pues, ¿qué podemos hacer con los polinomios? Con los polinomios podemos sumarlos y podemos restarlos, pero para sumarlos o restarlos, yo os recomiendo que los pongáis como cuando empezábamos a sumar, así, unos encima de otros. 00:04:30
¿Por qué? Porque hay veces que hay algún hueco que nos falta y le podemos dejar ese hueco vacío 00:04:56
Y vamos a ver por ejemplo este ejemplo, con un ejemplo se ve muy bien 00:05:03
Tenemos el polinomio P que es 2x³, luego menos 4x² y 5x 00:05:08
Aquí le faltaría un término, por ejemplo le faltaría el término independiente, no le tiene 00:05:15
Vale, queremos sumarle a este otro, al Q 00:05:20
Este polinomio Q es menos X cubo más X cuadrado menos 4X más 5 00:05:24
Este parece que ya está completo, tiene todos 00:05:31
Y el R, R también le falta algún término, por ejemplo, el término en X le falta 00:05:34
Bueno, pues para sumar P, Q y R, ya digo, se ordenan de arriba abajo en la misma columna 00:05:40
Se ordenan por columnas. Entonces, el p lo ponemos de manera que vamos dejando huecos, en este caso aquí un hueco que no hay, pero el q, el x3 debajo del x3, el x2 debajo del x2, el menos 4x debajo de x y el término independiente a la derecha. 00:05:50
En el R, el X3, debajo de los otros X3 es X2, debajo, y como no tiene término en X, aquí no ponemos nada 00:06:17
Y luego el menos 3, debajo del 5 00:06:28
Y lo que vamos a hacer es, vamos por separado a sumar cada una de estas columnas 00:06:31
Entonces, 5 y 3, 8, vale 00:06:39
5 menos 4, una X 00:06:42
No hay que poner un 1, pero sabemos que solo hay una. Ahora, aquí en x cuadrado tenemos menos 4 y menos 2, que es menos 6, y 1 positivo, menos 5, menos 5x2, y en x cubo tenemos 2 y 4, 6, 6 menos 1, 5x cubo. 00:06:45
Así es que la suma de los tres, ya digo, ordenados uno encima de otros 00:07:06
Y dejando los huecos correspondientes, lo haríamos así 00:07:12
Pero entonces no se sumaría el numerito de arriba, el cubo 00:07:17
Ah, no, no, no, los exponentes no 00:07:24
O sea, solo se sumaría el número 00:07:26
Sí, acordaros que las potencias las puedo multiplicar y dividir 00:07:28
Pero sumarlas solo si son iguales. Si son idénticas, pues tengo dos manzanas menos una manzana, puedo sumar manzanas, pero tienen que ser exactamente igual. Pero yo no puedo sumar esta con esta, porque el exponente es diferente. Sí que puedo sumarlas dentro de la misma columna. 00:07:34
Claro, pero yo me refería, por ejemplo, 2x al cubo. Me refería que si el cubo se contaba. 00:07:53
No, en las potencias de la misma base, por ejemplo, imaginar 10 al cubo por 6 al cubo. 00:08:05
Cuando eran de diferente base, dejábamos los exponentes y multiplicábamos la base. 00:08:26
Esto es 60 al cubo. 00:08:33
Y cuando tenían la misma base, por ejemplo, 2 a la quinta por 2 a la cuarta, 00:08:37
Cogíamos y decíamos 00:08:49
La misma base la pongo 00:08:51
Y sumo los exponentes 00:08:53
5 y 4, 9 00:08:55
Eso la tengo con las potencias 00:08:56
Entonces, misma base solo puedo multiplicarla 00:08:58
Si es la misma 00:09:01
La x la puedo multiplicar 00:09:03
Pero sumarla y restarla no puedo 00:09:05
No puedo sumar los exponentes 00:09:07
Quiero decir 00:09:10
Vale, vale, vale 00:09:11
Vale, pues entonces 00:09:12
Continuamos 00:09:15
Y vamos a hacer un ejemplo aquí debajo 00:09:17
Hay un ejemplo en el que vamos a sumar P, Q y R. 00:09:19
P y Q son, no sé si son los mismos que arriba o no, 00:09:28
ah bueno, pues P, Q y R están aquí también sumados, pero todo continuo. 00:09:35
Y yo prefiero que se haga así, porque así vamos viendo por columnas, 00:09:43
cuál te falta y cuál no, y cómo sumamos. Es mucho más fácil. 00:09:47
Ah, vale, un momentito, antes de pasar a la resta, vamos a pasar que aquí abajo hay algunos ejercicios, y aquí lo vemos mejor. 00:09:56
Tenemos como ejercicios P, Q y R, y te dice, vamos a sumar P y Q. 00:10:08
x2 menos 3x, este es el primero 00:10:14
x2 menos 3x 00:10:18
y le queremos sumar q, que es x menos 2 00:10:25
no tiene término en x cuadrado, pues no se pone 00:10:29
x menos 2, pues lo pongo a continuación 00:10:33
y que nos dicen que sumemos p más q 00:10:37
tiro raya y sumo x cuadrado 00:10:41
como no tiene otro, pues lo ponemos x cuadrado 00:10:45
en x normal, sin elevar ninguna potencia 00:10:48
tenemos menos 3 más 1, pues nos quedaría 00:10:55
menos 2x 00:10:58
y luego menos 2 no tiene nada, pues menos 2 00:11:00
esto es p más q 00:11:05
entonces yo prefiero que 00:11:08
hagamos la suma así 00:11:13
y abajo lo vamos viendo y por columnas 00:11:15
vamos sumando 00:11:18
todos los que tengan el mismo exponente 00:11:19
Profe, ¿no sería 00:11:22
4x? 00:11:23
Sí, yo es que no lo he entendido 00:11:28
no lo he entendido 00:11:30
¿cómo has hecho el 2x? 00:11:32
Esto es p 00:11:34
x cuadrado menos 3x 00:11:35
esto es p 00:11:38
y esto es q 00:11:38
Y quieren que lo sumemos 00:11:40
Y Q es X menos 2 00:11:42
Pues la X la tengo que poner debajo 00:11:44
Donde está el término en X 00:11:46
Y el menos 2 00:11:48
Donde aquí hay un término independiente 00:11:49
Que aquí ahora mismo es 0 00:11:51
No hay ningún término independiente 00:11:52
¿Y la R no se sumaría? 00:11:54
Bueno, te dice 00:11:58
Calcula 00:12:00
Si queréis calculamos la R 00:12:00
Vale, que estás en el de abajo 00:12:03
Vale, vale 00:12:06
¿Y no son 4X? 00:12:07
Si quisiéramos calcular la r, tendríamos que poner aquí x cubo, luego menos x cuadrado, y lo pondríamos donde el x cuadrado. 00:12:09
Bueno, esto es un cuadrado. Luego menos x en esta otra columna, menos x y menos 3 en la otra. 00:12:22
si quisiéramos sumar 00:12:30
P más U más R 00:12:32
¿vale? 00:12:34
entonces este con este sería menos 5 00:12:36
aquí tendríamos 00:12:39
menos 4 más 1 00:12:42
menos 3X 00:12:44
y X2 00:12:45
no habría, se nos iría 00:12:51
positivo y negativo no habría nada 00:12:52
y luego tendríamos aquí un X3 00:12:54
aquí no habría nada porque si 00:12:56
nos iría. Eso es el caso sumado. 00:13:00
Por eso la semana que viene. 00:13:02
Solo P y Q, pues 00:13:04
es el resultado este 00:13:05
de aquí, P más Q. 00:13:08
Joder, P, mala suerte 00:13:10
yo también. 00:13:12
3X más X 00:13:15
no son 4X. 00:13:16
¿Dónde hay 3X? 00:13:19
Eso me lo pensaba yo también. 00:13:20
Aquí, en la suma, 00:13:22
3X más X, sí. 00:13:24
Pero no es 3X, 00:13:26
tienes menos 3X. 00:13:28
Entonces, menos 3X es que debes 3. Y si debes 3 y debes 1, debes 4. Tienes menos 4 más 1 y menos 4 más 1 es igual a menos 3. 00:13:30
Y se pone el radiador. 00:13:46
Tienes cuatro negativos y uno positivo. 00:13:51
Si tú imagínate que debes cuatro euros, pero... 00:13:55
¿Pero dónde está el cuatro? 00:13:57
Pues ya solo debes tres. 00:13:59
O con los números enteros negativos. 00:14:01
Arriba. 00:14:03
Vale. 00:14:04
Pero sí, sí, preguntar cualquier duda que parezca la clase. 00:14:06
Yo sé que yo, como es una suma, digo pues 3x más x menos 4x. 00:14:09
Claro. 00:14:16
Pero no es 3x, es menos 3x. 00:14:18
Ya, porque está... 00:14:22
Entonces, por eso digo que tienes menos 3 y 1 menos 4. 00:14:23
Negativo y negativo. 00:14:28
Bueno, vamos a pasar a ver la resta, a ver cómo restamos. 00:14:31
Subo para arriba para que veáis la teoría. 00:14:36
¿Cómo restamos polinomios? 00:14:39
Venga, en vez de así, lo voy a poner al lado para que veáis cómo restamos. 00:14:45
Tenemos p, que es este de aquí, y tenemos q, que es este de aquí. 00:14:53
Vale, yo voy a ir poniendo aquí, y yo no puedo hacer p menos q. 00:15:01
Entonces lo que vamos a hacer es P más, los voy a sumar y voy a sumar la inversa, la inversa es lo contrario de Q, lo que veamos en Q por lo contrario y vamos a hacer una suma porque hacer la resta es mucho más complicado. 00:15:09
tienes un menos menos y vas cambiando a todo el signo y es muy complicado 00:15:30
entonces es más fácil hacer para la resta 00:15:34
cuando te pidan restar es una suma en la que al segundo le cambias de signo 00:15:38
así es que voy a coger el primero 00:15:46
2x cubo 00:15:48
2x cubo 00:15:51
luego menos 4x cuadrado 00:15:55
y más 5x, no tiene término independiente, más 5x, vale, y ahora le voy a sumar el contrario de q, 00:16:00
el contrario de q, lo que yo veo aquí, a ver, voy un momentito a borrar estas rayas, porque eso, 00:16:18
porque si no, no me dejan trabajar, entonces, si yo veo aquí menos x cubo, pues lo voy a poner en positivo, 00:16:25
y voy a poner x³ 00:16:31
luego veo 00:16:33
x² positivo 00:16:37
pues lo voy a poner negativo 00:16:39
menos x² 00:16:40
y luego 00:16:43
el término en x, aquí veo menos 4 00:16:47
pues lo voy a poner en positivo 00:16:50
más 4 00:16:52
todo lo que yo vea 00:16:53
en un signo le pongo el contrario 00:16:55
porque estoy hallando 00:16:59
este, menos q 00:17:01
Perdona, ¿pero lo pones al contrario para que te coincida con el de arriba la suma? 00:17:02
Para que ahora lo sumo 00:17:08
Así es que se suma P y se suma el... 00:17:15
Y ahora lo que nos va a dar es la resta, que es lo que nos están pidiendo 00:17:22
Restar es sumar el contrario 00:17:25
Imaginar dos números positivos 00:17:27
5 y 3 00:17:33
y digo, no quiero restarlos, quiero sumarlos 00:17:38
y pongo 5 más el contrario de 3 que es menos 3 00:17:42
y los estoy sumando, estoy haciendo esta operación 00:17:48
¿y cuánto sería? 5 más menos 3 00:17:52
es 2, ¿no? 00:17:55
vale, pues aquí con los polinomios hacemos lo mismo 00:18:00
con los polinomios sumamos el contrario que es la resta 00:18:03
Total, que ahora tendría término independiente, menos 5, luego término en x, 9x, 9x, y como los dos son más, 5 y 4 más 9, 00:18:08
luego menos 4 menos 1 menos 5x cuadrado 00:18:24
o x a la 2, uy, menos 5x al cuadrado 00:18:30
y luego en x cubo tengo 2 y 1, 3x cubo 00:18:38
3x al cubo 00:18:45
Así es que esta resta, porque es una resta de polinomios, es la suma del contrario 00:18:50
Y me da menos 3x cubo, menos 5x cuadrado, más 9x, menos 5 00:18:58
Bueno, lo mismo que aquí 00:19:02
¿3x cubo o más 3x cubo? 00:19:04
¿El qué? 00:19:07
¿Menos 3x cubo o más 3x cubo? 00:19:09
Más, más, más, tengo 2 y 1 aquí, 2 y 1, 3, 3 positivo 00:19:12
3x cubo menos 5x cuadrado 00:19:16
este 5 lo voy a cambiar 00:19:20
pero entonces cuando lo tenemos que cambiar 00:19:22
para que nos coincida con la 00:19:26
con la parte de arriba 00:19:27
o sea, si yo tengo por ejemplo menos x al cubo 00:19:29
para que me coincida con el de arriba 00:19:32
tengo que poner el mismo signo 00:19:33
este menos 00:19:36
le hemos cambiado 00:19:38
y lo hemos puesto positivo 00:19:39
exacto, pero para que me coincida 00:19:41
con la operación de la de arriba 00:19:44
Ah, sí, sí, claro 00:19:46
Bueno, esto es como si fuera un 1 00:19:48
Claro, que tenga los mismos signos 00:19:50
Por ejemplo, el más 5x 00:19:52
Pues hemos cambiado el de menos 4 00:19:54
Para que coincida con el de más 5x 00:19:56
Que sea más y más 00:19:58
Hemos cambiado todo el polinomio 00:19:59
Entonces, si es menos, pasa a más 00:20:01
Si es más, pasa a menos 00:20:07
Si es menos, pasa a más 00:20:09
Y si es más, pasa a menos 00:20:11
Todo el polinomio 00:20:13
Le damos la vuelta 00:20:14
Y ponemos el signo contrario 00:20:15
independientemente si coincide o no coincide con lo de arriba 00:20:17
exacto 00:20:21
esto que ha coincidido 00:20:22
hace bien en preguntarlo 00:20:24
porque aquí qué casualidad que coincide en todo 00:20:26
claro, por eso me estaba liando 00:20:28
digo, a ver si hay que hacerlo para que coincida 00:20:30
o sabes que me estaba ahí 00:20:32
lo haces cambiando de signo 00:20:33
y luego sumas 00:20:35
y eso sí, la resta es una suma de dos polinomios 00:20:36
vamos a hacer el ejemplo 00:20:40
que nos piden abajo 00:20:41
tenemos 00:20:43
P menos Q. Voy a borrar por aquí un momentito que si no, no me cabe todo. P era X cuadrado 00:20:45
menos 3X. Y ahora Q, para restarlo, le cambio de signo. Entonces ya no es X, ahora es menos 00:21:03
X, menos X y ya no es menos 2, ahora es menos X más 2. Entonces, cuando he cambiado el 00:21:20
signo a Q, estoy sumándole menos Q. Lo mismo que hemos hecho antes con el ejemplo. A P 00:21:31
le estoy sumando menos q. Ahora pongo aquí el signo más, tiro raya y ahora sumo. Como no hay nada, pues x cuadrado, x cuadrado. 00:21:46
Menos 3 y menos 1, menos 4x. Y ahora más 2, pues se queda en más 2. Esto es lo mismo. Esta sería la resta de p menos q, 00:21:58
Que es una suma de P más menos Q. ¿Se entiende ahora con los dos ejemplos? 00:22:12
Sí. 00:22:19
Vale. 00:22:21
Pero, profe, ¿dónde sale ese menos 4? 00:22:24
Ah, pues, al final de 3 hay que poner el menos 1. 00:22:30
es menos 3 00:22:34
y menos 1 00:22:37
pues debes 3 00:22:38
y debes 1, pues debes 4 00:22:41
esto es menos 4 00:22:43
claro, porque la X 00:22:44
la X vale 1 00:22:47
¿no? 00:22:49
exacto, si no hay nada 00:22:50
es 1, es lo mismo 00:22:51
igual que aquí, si no había nada, había una X 00:22:53
es verdad 00:22:56
y menos es menos, es más 00:22:57
aunque luego tienes que poner menos 00:22:59
o sea, se suma pero tienes que poner el signo negativo 00:23:01
Pero esto de los números enteros, acordaros que cuando estamos sumando dos números del mismo signo, pues se conserva el menos y el menos, y por eso ponemos el menos 4. 00:23:04
Si estuviéramos multiplicando, no, menos por menos sería más, pero sumando, pues es el concepto de que si debo 3 y debo 1, pues debo 4. 00:23:19
Vale, lo siguiente que vamos a ver 00:23:30
Y una pregunta 00:23:34
Por ejemplo, ¿en esto te podría salir para multiplicar? 00:23:38
¿Para multiplicar? 00:23:44
Sí, pero multiplicar polinomios 00:23:46
Vale, ahora mismo 00:23:49
Por ahora, lo que viene en la 00:23:51
Yo sigo la lección 00:23:54
Vamos a ver las identidades notables 00:23:56
Pero lo que os cuentan es sobre todo la división, la suma y la resta, la multiplicación también, pero bueno, vamos a ir paso a paso. 00:23:59
Vale, antes de la división vamos a ver un momentito que están aquí las identidades notables. Las identidades notables es siempre que no conocemos A y B al cuadrado, esa suma de dos números que no conocemos al cuadrado es cuadrado el primero, cuadrado el segundo y doble producto de primero por el segundo. 00:24:14
No sé si esto lo recordáis de nivel 1. Con la resta de dos desconocidos, lo mismo. Cuadrado del primero, cuadrado del segundo, menos doble producto del primero con el segundo. 00:24:36
Y cuando hay suma por diferencia, pues suma por diferencia, diferencia cuadrados. Yo lo siento, pero esto es una fórmula que sí o sí, estas tres, nos las tenemos que aprender así. 00:24:52
Por ejemplo, vamos a hacer, bueno, es que este está al cubo, os va a liar más, pero bueno, imaginar un ejemplo, x más 2 al cuadrado. 00:25:06
Dices, anda, yo sé, yo conozco 2, pero como x no lo conozco, pues sí o sí tenemos que aplicar esta fórmula. 00:25:25
Entonces, x más 2 al cuadrado es cuadrado el primero, x cuadrado, cuadrado el segundo, 2 al cuadrado, que es 4, y luego doble producto dos veces a por b, dos veces x por 2, 2 por x y por 2 otra vez. 00:25:33
Este primer 2 es porque lo dice la fórmula 00:26:00
Y este segundo 2 es este 00:26:03
Dos veces el primero por el segundo 00:26:05
Entonces, ¿cómo se queda esto? 00:26:08
Pues se queda x cuadrado 00:26:11
Más 4 00:26:13
2 por 2, 4 00:26:16
Más 2 por x y por 2 00:26:18
2 por x y por 2, 4x 00:26:24
¿Lo veis? 00:26:27
Entonces, si fuera una resta, lo mismo. Por ejemplo, aquí tenemos x menos 2, que ya son muchos 2, pero bueno, x menos 2 al cuadrado, cuadrado el primero, cuadrado el segundo, los tenemos, y luego menos dos veces el primero por el segundo. 00:26:29
Y cuando es diferencia suma, o sea, el producto de la suma por la diferencia, entonces diferencia cuadrados, cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo, que en este caso es conocido y es nueve. 00:26:45
vale, pues aquí hay algún ejercicio 00:27:02
vamos a hacer estos tres ejercicios 00:27:07
x más 3 al cuadrado 00:27:10
el primero sería cuadrado del primero 00:27:12
en el a tendríamos 00:27:15
cuadrado del primero, pues x cuadrado 00:27:17
cuadrado del segundo 00:27:21
que es 3 por 3, 9 00:27:24
más doble producto del primero por el segundo 00:27:26
2 por 3 y por x, en total 6x 00:27:32
aplicamos, ya digo, esta 00:27:36
cuadrado del primero, cuadrado del segundo y doble producto del primero por el segundo 00:27:42
x cuadrado más 9 más 6x, esto es un polinomio 00:27:46
si lo colocamos bien, esto es un polinomio como los que estamos aquí trabajando 00:27:51
vamos al b, en el b 00:27:55
tendríamos cuadrado del primero pues 00:27:58
x cuadrado 00:28:02
más 00:28:04
cuadrado del segundo 00:28:06
5 por 5, 25 00:28:07
vale 00:28:10
y más 00:28:12
dos veces el primero 00:28:14
menos, perdón, menos 00:28:16
dos veces el primero por el segundo 00:28:17
2 por 5 por x 00:28:20
2 por 5 por x 00:28:22
es menos 10 00:28:24
pero 00:28:28
perdón 00:28:30
¿Por qué es más 25 y no menos? 00:28:31
Si pone menos 00:28:34
Ah, porque se multiplica 00:28:34
Es que cuando es la resta al cuadrado 00:28:36
Es el cuadrado del primero 00:28:40
Cuadrado del segundo 00:28:42
Los dos positivos 00:28:43
Y lo que es negativo es menos dos veces a por b 00:28:44
¿Vale? 00:28:48
O si lo queréis hacer así 00:28:49
Pero a mí me resulta más fácil 00:28:50
Sumar primero el cuadrado de uno y de otro 00:28:53
Y luego el positivo suma 00:28:55
Y el negativo resta 00:28:57
Vale. Esa es la diferencia entre uno y otro. Vale. Y en el C, en el apartado AC, suma por diferencia es diferencia de cuadrados. Así es que el primero al cuadrado menos el cuadrado del segundo que es 16. 4 por 4 es 16. También es un polinomio incompleto. 00:28:58
lo veis aquí, suma por diferencia 00:29:22
diferencia de cuadrados, cuadrado del primero menos cuadrado del segundo 00:29:26
yo sé que esto es un rollo 00:29:30
pero esto hay que aprendérselo así porque 00:29:32
o desarrollarlo 00:29:34
pero si hay que aprenderse la fórmula 00:29:37
si, las tres 00:29:42
o sea, que se tiene que hacer con la fórmula 00:29:43
si, no hace falta que la hagas con A y con B 00:29:45
simplemente digas el cuadrado del primero 00:29:49
Este primero, lo que sea, al cuadrado. Cuadrado del segundo. Y dos veces el primero por el segundo. Dos veces A por B. Yo lo siento, pero de los polinomios esta es la única fórmula que hay que aprenderse sí o sí. 00:29:51
En el primer ejercicio que has hecho del apartado A 00:30:07
Me ha parecido un poco más fácil que el A 00:30:14
Porque no entiendo, yo pensé que era 5 por 2 00:30:16
Ya que en la primera veo que has multiplicado 3 por 2 00:30:20
O lo has sumado, no sé 00:30:23
¿Estás en este ejercicio o me estás preguntando? 00:30:25
No lo he entendido 00:30:29
¿El qué? 00:30:30
¿Este que he hecho yo aquí? 00:30:34
Sí, el que estabas haciendo del apartado A, me pregunto, como veo que está ahí el 9, no sé por qué está el 6 al final. Me pregunto dónde has sacado el 9, porque yo pensaba que era 3 por 2. 00:30:35
Igual lo he hecho sin simplificar. El cuadrado del primero es x cuadrado. El cuadrado del segundo es 3 al cuadrado. Y 3 al cuadrado, 3 por 3, 9. Y luego, aquí es doble producto del primero por el segundo, 2 por x y por 3. 00:30:52
y 2 por x y por 3 00:31:13
es por eso que he puesto 6x 00:31:15
sería 00:31:17
desarrolladito 00:31:19
todo lo que he hecho 00:31:22
es que como lo estoy diciendo en voz alta 00:31:22
pues ya directamente 00:31:26
he hecho 3 al cuadrado 9 00:31:27
y doble producto del primero 00:31:29
por el segundo es 2 por x y por 3 00:31:31
aquí lo mismo 00:31:33
el segundo es 00:31:35
5 al cuadrado 00:31:37
5 al cuadrado 00:31:39
y luego 00:31:42
menos 2 por x y por 5, y 2 por x y por 5 he puesto 10x, ¿vale? Y aquí x al cuadrado 00:31:43
y 4 al cuadrado, esto 16 es de 4 al cuadrado. Bueno, pues ahora os quería contar la división, 00:31:58
Si tenéis alguna duda más y si no, vamos a hacer la división de polinomios. 00:32:09
Mirad, lo más fácil y lo que más se utiliza es hacerla por Ruffini. 00:32:16
En el método de Ruffini tenemos un polinomio y lo queremos dividir entre otro. 00:32:21
Vale, queremos dividir este polinomio entre otro 00:32:28
Normalmente este es el dividendo y este es el divisor 00:32:36
El divisor siempre es más pequeño 00:32:39
Y vamos a tener siempre este de grado menor que este 00:32:40
Este no puede ser nunca ni grado 5 ni grado 6 00:32:46
Siempre va a ser menos que este 00:32:49
Y siempre lo vamos a dividir entre uno que es muy sencillito 00:32:51
Por Ruffini nos tenemos que montar aquí, como bien dice una caja, y en esta caja vamos a ir poniendo los coeficientes del polinomio grande. 00:32:56
Entonces, x cuadrado tiene un 1, x3 no hay nada, entonces ponemos 0 00:33:14
x2 menos 3, x1 no hay nada, ponemos 0 00:33:22
Y el término independiente 2, pues lo ponemos 2 00:33:31
Vamos a dividirlo, ya digo, aquí no se ponen las x, solo los coeficientes, nada más 00:33:37
1x cuadrado, 0x3, menos 3x2, 0 para el x y 2 para el término independiente. 00:33:43
Y lo vamos a dividir entre x menos 3. 00:33:54
Como vamos a dividirlo entre x menos 3, ¿cuánto vale la x? 00:33:57
Pues x es igual a 3. 00:34:02
Lo ponemos en positivo. 00:34:04
Y vamos a dividirlo y ponemos aquí el número que vamos a dividirlo, que es 3. 00:34:07
No es el cajetín de la división normal y corriente, es por Ruffini 00:34:11
Y este señor simplificó la división de polinomios y ya veréis que es muy muy facilito 00:34:17
¿Cómo lo hacemos? Cogemos el 1 y es el primero que bajamos 00:34:26
Y ahora decimos 3 por 1 es 3 y 3 por 1 es 3, lo pongo aquí y sumo 00:34:30
3 y 0, 3 y sumo 00:34:37
Ahora, 3 por 3, vuelvo a multiplicar, 9 00:34:39
Y lo pongo debajo de este término 00:34:44
Y lo sumo, 9 menos 3, 6 00:34:47
Y ahora vuelvo a multiplicar, 6 por 3, 18 00:34:51
Y pongo aquí el 18 00:34:55
Y lo sumo, 18 con 0, 18 00:34:57
Y ahora 18 por 3 00:35:02
A ver, me he quedado ya aquí sin raya 00:35:07
Un momentito 00:35:11
Voy a poner un poquito más de raya 00:35:13
Ahora 00:35:16
Vale 00:35:17
Y 18 por 3 00:35:19
Multiplico 8 por 3 00:35:23
3 por unas 3 y 2 que me llevo 00:35:26
5, 54 00:35:30
Y lo sumo, 54 y 2, 56 00:35:32
Vale, y os preguntaréis, bueno, pero ¿dónde están aquí los polinomios? 00:35:37
Este es el dividendo, este es el divisor, este es el cociente 00:35:43
Y este de aquí, este último, este es el resto 00:35:46
Así es que vamos a traducir lo que hemos puesto 00:35:49
En un polinomio que nos queda 00:35:55
que es, si este es término independiente, x, x1, x2, me queda x cuadrado, como aquí 00:35:58
no hay ningún negativo, más 3, perdón, x cuadrado no, x cubo, un momentito, que le 00:36:07
puesto uno de menos, x cubo más 3x cuadrado. Este es el término en x, más 6x, más el 00:36:20
término independiente, más 18, más 18 y el resto es 56. Bueno, estaréis súper extrañados 00:36:39
de haber visto esto, vamos a hacer más ejemplos, pero 00:36:53
vamos a hacer siempre la división de esta manera, por Ruffini 00:36:57
cogiendo aquí el divisor, este es el dividendo 00:37:01
solo, solo, solo los coeficientes 00:37:05
y vamos a ir operando aquí, el último que me queda es el resto 00:37:08
me imagino que por aquí lo van explicando paso a paso 00:37:13
lo mismo, lo mismo, y os lo cuentan 00:37:17
Yo lo he hecho de un plumazo y vamos a hacer ahora otro ejemplo también que nos piden por aquí, por Ruffini. 00:37:21
Voy a aumentar. 00:37:32
Vamos a hacer esta división por Ruffini, como acabamos de aprender antes. 00:37:36
Mirad, del 3x6 cojo solo el 3. 00:37:43
Luego, el más 2, pues pongo un 2. 00:37:49
No, perdonad. 6, 5, sí, vale, de acuerdo. Del más 2 pongo un 2. 6, 5, 4. Del 4 pongo un 1. El término en 3 no está, así es que pongo un 0. 00:37:52
El término en 2 sí que está, pero es negativo, es menos 1, pues pongo menos 1 00:38:21
Del término en x tampoco está, pongo otro 0 00:38:27
Y del término independiente está y es menos 3, pues le pongo menos 3 00:38:34
Así es que, si aquí pone x es 6, 6, 5, 4, 3 que no está 00:38:40
2, 1 que no está 00:38:48
Y término independiente 00:38:50
Tengo que poner todos, estén o no estén 00:38:51
En positivo y en negativo 00:38:53
Según aparezcan en el polinomio 00:38:55
Perdona, ¿y el 3? 00:38:57
¿Ese dónde lo has sacado? 00:38:59
¿Cuál? 00:39:02
Has dicho el 3, 2, el ax que es el 1 00:39:03
El 0, ¿cuál sería? 00:39:06
Ah, vale 00:39:09
El 0, este es el término en x 00:39:09
Que no le tenemos aquí, que tendría que estar 00:39:12
Y este de aquí es el término en x3, que tampoco le tenemos 00:39:14
Entonces, en x3, como no hay, le pongo un 0 00:39:20
Y el término en x, después del x2, x, como no hay, también le pongo un 0 00:39:24
Y ahora, quiero dividir entre x más 1 00:39:29
Pues x más 1, ¿a qué es igual a x? 00:39:33
x es igual a menos 1 00:39:36
Entonces, a lo que sea igual a x, lo pongo aquí para dividir 00:39:39
Este es el divisor, dividendo, divisor y vamos a hacer igual que en el ejemplo de antes, vamos a operar, el primero le bajo directamente y bajo el 3 porque no hay nada para sumarle y ya sí, ahora multiplico 3 por menos 1, menos 3 y lo pongo aquí, menos 3. 00:39:43
Y ahora, menos 3 y 2 positivo, menos 1. Vale. Y ahora vuelvo a multiplicar menos por menos más, más 1 y pongo 1. Menos por menos más y pongo 1. Y ahora sumo 1 y 1, 2. 00:40:09
Vuelvo a multiplicar 00:40:28
Dos por menos uno, dos por uno 00:40:32
Dos negativos 00:40:34
Menos dos 00:40:36
Y se lo sumo al cero 00:40:37
Al cero se me queda igual, se me quedaría 00:40:39
Menos dos, lo mismo 00:40:42
Ese no lo, ese no lo 00:40:43
No lo he entendido, ahí me he perdido 00:40:45
O sea 00:40:48
Dos 00:40:49
Dos menos uno 00:40:51
Dos por menos uno 00:40:53
Más por menos, menos 00:40:55
Menos 2 00:40:56
¿No? 2 por menos 1 00:40:58
Menos 2 00:41:00
Y ahora se lo sumo 00:41:00
Acordaros que los de arriba suman con los de abajo 00:41:02
¿Y por qué has sumado el 1? 00:41:05
¿Qué 1? 00:41:08
Bueno, aquí 1 y 1 le he sumado 00:41:09
Y me da 2 00:41:11
Aquí 2 menos 3 da menos 1 00:41:12
Siempre el de arriba se lo suma al de abajo 00:41:15
Se lo sumo 00:41:18
Claro, pero 00:41:19
1 más 1 son 2 00:41:20
Pero 2 menos 1 00:41:22
Es 1 y tú has puesto menos 2 00:41:26
No, no, no 00:41:28
Esto de aquí arriba es un 0 00:41:30
Aquí hay un 0 00:41:32
0 porque no hay término en x3 00:41:33
Este 0 00:41:37
Pero debajo del 0 has puesto menos 2 00:41:37
0 menos 2 lo sumo 00:41:40
Menos 2 00:41:42
Y ahora multiplico 00:41:44
Menos por menos más 00:41:45
2 por 1 más 2 00:41:47
Y pongo aquí un 2 00:41:50
Menos por menos más 00:41:52
y lo pongo. Y ahora 2 positivo menos 1, 2 menos 1, 1. Estos siempre suman y estos siempre 00:41:56
multiplican. Y ahora más por menos es menos, 1 por 1 es 1 y pongo menos. Como hay un 0, 00:42:04
ahora sumo 0 y menos 1, pues menos 1. Y luego el último ya, menos por menos vuelve a ser 00:42:14
más, menos por menos, menos 1 por menos 1, más 1, menos 3, más 1, menos 2, esto como 00:42:24
lo dejo aquí grabado, pues intentar hacerlo, esta última hemos dicho que es el resto, 00:42:36
vale, pues este es el resto, ya está, pero esto de aquí es el polinomio que resulta 00:42:45
de dividir este largo de grado 4 entre, no, perdonad, que estoy haciendo este, el que 00:42:51
estoy haciendo es este. Dividimos este largo de grado 6 entre x más 1 y digo que ponemos 00:43:01
aquí menos 1 porque, ¿a qué es igual la x? La x da menos 1, por eso lo ponemos al 00:43:09
contrario. Y ahora ya sí, vamos a poner debajo el polinomio que resultaría de la división. 00:43:14
Si este es grado 6, el que resulta es grado 5 00:43:20
5, ¿y qué tenemos delante? Pues tenemos un 3 00:43:25
3x5, vale 00:43:29
Menos 1x4, entonces menos x4 00:43:32
Vale, y ahora más, porque aquí hay un positivo 00:43:38
Más 2, un grado menos x3 00:43:43
Luego, menos, pongo el negativo, 2, menos 2, x2, menos 2, vamos bajando, 5, 4, 3, 2 00:43:48
Aquí ninguno es 0, con lo cual están todos los términos 00:44:06
Vale, ahora vamos a este, más positivo, x, porque no, del grado 2 baja al grado x 00:44:08
Y ahora, el término independiente, menos 1 00:44:18
Este sería el polinomio por Ruffini, ya digo, con resto 2 00:44:21
Este es el resto, resto menos 2 00:44:28
¿Vale? 00:44:31
A ver, esto tenéis que hacer muchos ejemplos y muchos ejercicios 00:44:38
Porque yo he hecho este que os piden aquí 00:44:43
Y el que tenéis explicado paso a paso 00:44:46
pero solo con dos ejercicios esto es imposible de sacar hay que repetirlo y 00:44:51
hacer muchos más y practicar sobre todo las matemáticas es practicar luego las 00:44:58
igualdades notables estas que hemos están aquí perdona las estaban en 00:45:06
amarillo estas sí o sí hay que aprenderse las de memoria está las 00:45:11
igualdades notables o identidades notables lo siento pero estas fórmulas 00:45:16
no las tenemos que memorizar para sacar estas sumas o restas al cuadrado. 00:45:20
Y bueno, y lo otro que hemos visto hoy, operar los polinomios sumándolos o restándolos, 00:45:29
pues sumarlos, pues es más fácil, los ponemos debajo y operamos siempre con la potencia que sea idéntica, 00:45:37
La misma la sumo o la resto. Nunca la multiplico. Y en la resta de polinomio lo que hemos hecho ha sido sumar y sumarle el contrario. Esa es la resta. Para restar le sumamos a P, le sumamos menos Q. En fin, yo sé que la clase de hoy ha sido intensa, pero, pues bueno, pues es que... 00:45:46
Gloria, quería preguntarte de la última operación que has hecho, a mí me sobra un número, hemos dicho que lo hacíamos de grado 6 y era grado 5, empezábamos por 3x5, ¿no? 00:46:11
Bajo un momentito, ¿no? Rufini, ¿me dices? 00:46:23
Sí, sí, sí. 00:46:25
¿Estamos haciendo esto? 00:46:27
Vale. 00:46:28
¿Verdad? 00:46:28
El final es, sí, el de arriba, era grado 6. 00:46:28
6, 5, 4, 3 que no hay, 2, 1 y término independiente. 00:46:32
Vale. 00:46:40
Eso sí lo tenemos, ¿no? 00:46:40
Sí, eso sí. Es cuando ponemos el polinomio, ¿vale? Empezamos por 3x5. 00:46:42
7 términos y aquí tienes en total 00:46:47
6, hemos bajado 00:46:49
un grado de polinomio 00:46:51
entonces el primero que tenemos aquí 00:46:53
no va a ser 3x6 00:46:55
va a ser 3x5 00:46:57
1 menos, este es x4 00:46:59
x3, x2 00:47:01
independiente 00:47:04
es que yo el independiente lo estaba poniendo 00:47:06
el resto también 00:47:09
entonces ahí 00:47:10
ese se elimina 00:47:11
porque esto yo lo sé que es un galimatías 00:47:14
Y este Ruffini, que claro, este ejemplo es muy grande y muy largo. Hacer ejemplos sencillitos, con tres términos nada más o con cuatro términos, no tan largos. Pero se operaría así. Todo el rato multiplicas y lo pones debajo. Y luego sumas. 00:47:17
¿Y por qué el grado se baja? 00:47:33
Porque imaginar que vais a dividir X4 entre X3 y en potencias hacéis una división, pues siempre se restan 4 menos 3, ¿vale? 00:47:37
Sería la resta de potencias del grado. 00:47:56
Siempre se restan los exponentes. 00:48:01
Vale, pues aquí al 6 le vamos a restar este. 00:48:04
Entonces, si aquí tenemos grado 1 y aquí tenemos grado 6, es 6 menos 1, 5. 00:48:08
Y nos queda 1 menos. 00:48:15
Pero oye, esa pregunta es muy inteligente. 00:48:17
¿Por qué se restan? 00:48:20
Pues siempre nos queda uno menos porque estamos dividiendo por uno de X y por uno de X le quitamos uno del polinomio de arriba. Bueno, espero que se haya entendido. 00:48:21
A mí la resta se me ha hecho más complicada que lo de las rumores, la verdad 00:48:36
Sí, sí, es complicado, todo lo que hemos explicado hoy es complicado 00:48:43
Pero tenéis esta semana, porque imaginar que todo esto aquí en presencia lo vemos en cuatro días de clase 00:48:48
Y yo os lo he metido en uno, pero eso es lo que viene de la distancia 00:48:56
¿Y puedo preguntarle una cosa de los ejercicios que tenemos que entregar? 00:49:01
Sí. Vale, es del segundo ejercicio, no sé si os puede ver, pone, dado el polinomio y pone 3x más 4x, entiendo que es un por dos, menos dos, o es un 4x cuadrado. 00:49:05
Pues un momentito 00:49:20
Y los busco 00:49:24
A ver, estarían 00:49:26
¿No? Aquí 00:49:39
Y los ejercicios 00:49:40
Pues aquí no los veo 00:49:42
Son los otros los de entregar, ¿verdad? 00:49:51
Sí, los que hay que entregar 00:49:55
Ahí están 00:49:56
Aquí 00:49:59
¿Dónde estaba? 00:50:01
Aquí 00:50:04
Sí 00:50:05
El segundo, porque el primero no sé ni por dónde cogerlo, esto creo que es que no lo hemos visto 00:50:07
No, no lo hemos visto eso todavía 00:50:14
No, eso es lo que la pregunté yo el otro día 00:50:16
No, eso no lo hemos visto 00:50:19
Vale, el segundo 00:50:20
¿Esto? 00:50:22
No, el número dos 00:50:26
El número dos 00:50:28
Arriba, arriba, adentro, arriba, adentro 00:50:31
¿Este? 00:50:34
Este 00:50:38
Este, sí 00:50:38
Ah, sí, sí, esto está, bueno, no es que está mal, es que este es al cuadrado. 00:50:40
Ah, vale, es que yo lo estaba haciendo como si fuese un por dos, mi hija me dijo, eso no existe. 00:50:45
Y dije, tú que sabrás. 00:50:52
X al cuadrado, claro, veías ahí un dos y dices, esto que pinta. 00:50:54
Claro, y ella me decía que eso no existe, eso no te lo han puesto, sí, esto es un error, pero bueno, pues acá. 00:50:59
Está bien, los cuadrados están bien, pero en este se les ha ido y es 4X cuadrado. 00:51:05
Ah, pues lo habéis hecho muy bien en preguntar también, porque si no, no se puede resolver. 00:51:10
Claro, es que ella, mi hija, me decía que eso no existía, que no podía estar eso bien, y yo discutiendo con ella. 00:51:14
Es el equilibrado. 00:51:24
Vale, pues esa era mi duda. Vale, pues gracias. 00:51:25
Pues nada, gracias por estar también ahí preguntando dudas, porque si no, las matemáticas con dudas no se pueden resolver, no se puede seguir avanzando. 00:51:28
Bueno, pues el miércoles que viene continuamos con esta sesión 00:51:38
Vale, perfecto 00:51:42
Muchas gracias 00:51:44
Buenas tardes 00:51:45
Chao 00:51:47
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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      • Nivel I
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Autor/es:
Gloria Royo Mejia
Subido por:
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Reconocimiento - No comercial
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4
Fecha:
21 de enero de 2026 - 19:32
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB RAMON Y CAJAL
Duración:
51′ 59″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
133.42 MBytes

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