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Ejercicio 21_pág. 113 - Contenido educativo

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Subido el 14 de noviembre de 2026 por Maria Isabel P.

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El primer apartado, el A, me dice, haya la ecuación de la recta que pasa por el eje de coordenadas, me está dando un punto, y es paralela a estos dos planos. 00:00:00
Estos dos planos que, como se ve, no son paralelos entre sí, porque sus ecuaciones no son proporcionales. 00:00:14
proporcionales. Entonces, como hemos visto en un ejercicio anterior, en este, cuando una recta y un 00:00:20
plano son paralelos, cuando una recta y un plano son paralelos, los vectores directores, el vector 00:00:29
director de la recta y el normal del plano son perpendiculares entre sí, así que en este caso, 00:00:36
como nuestra recta es paralela a este plano, su vector director es perpendicular al normal de 00:00:42
este plano y también es perpendicular al normal de este otro plano entonces la mejor manera la 00:00:48
más sencilla de encontrar el vector director de nuestra recta es hacer el producto vectorial de 00:00:54
esos dos vectores normales n1 y n2 luego esto sería y j no sé qué hace esa rodita y dando 00:01:02
A ver, tendríamos el 2, menos 1, 3 para el primer plano y 3, menos 2, 1 para el segundo 00:01:13
A ver, entonces esto sería con la Y, menos 1, más 6, que es 5 00:01:26
Para la J, 2, menos 9, que es menos 7, pero hay que cambiarle el signo 00:01:33
Y para la K, menos 4 más 3, menos 1. 00:01:40
Y entonces ya la recta, si la quiero poner en paramétricas, por ejemplo, 00:01:47
o en continua, que no se nos olvide que el origen de coordenadas pertenece a R, 00:01:55
la voy a poner en continua esta vez. 00:02:00
Los tres cocientes igualados, como el punto es el origen, 00:02:02
en la arriba solamente hay que poner X, Y y Z, porque estamos restando 0. 00:02:05
en los tres sitios, y aquí debajo poner el vector, y ya estaría, allá tenemos la ecuación de la recta que nos han pedido, R, es esta, así de cortito. 00:02:10
Apartado D, te pide hallar la ecuación general de un plano que pase por el punto de intersección de este plano de aquí con esta recta, 00:02:25
recta. O sea, hay que calcular el punto en común de esta recta y de este plano. Y también 00:02:38
nos dicen que es paralelo al plano O y Z. Vamos a ver, el plano O y Z, a ver, lo voy 00:02:43
a dibujar para que se vea mejor. Estos son los ejes, el eje X, el eje Y, el eje Z. Este 00:02:52
El punto sería el origen de coordenadas, entonces el plano OIZ, digamos, como colorear, como rayar, lo que sería la parte donde son positivas, ¿vale? 00:03:00
Para que se vea mejor. Entonces sería este plano de aquí. Entonces, si os dais cuenta, el vector normal de este plano es el vector I, porque es el vector que es perpendicular a ese plano, ¿vale? 00:03:12
Con lo cual, el plano O, Y, Z, la ecuación que tiene simplemente es X igual a cero. 00:03:29
X, porque al tener como vector normal el 1, 0, 0, nos aparece eso y como pasa por el origen de coordenadas, 00:03:42
pues está igual a cero directamente, no tiene término independiente. 00:03:51
Recuerdo haberlo dicho en clase, que los planos que pasan por el origen se reconocen al instante 00:03:56
porque en su ecuación no tienen término independiente, como por ejemplo tienen estos, ¿vale? 00:04:00
Porque su ecuación la tiene que cumplir el origen. 00:04:07
Si tuviera término independiente, pues no la cumpliría. 00:04:10
Bien, entonces, ¿qué ocurre? 00:04:13
Que si mi plano es paralelo a este, el plano que yo busco, vamos a llamarlo pi, 00:04:14
tiene que ser, su ecuación tiene que ser la forma x más d igual a cero, ¿vale? 00:04:22
Entonces, ahora lo único que necesito para averiguar cuánto vale D es averiguar el punto del que me hablan aquí 00:04:30
El punto común de esa recta con ese otro plano 00:04:37
Entonces, lo que vamos a hacer es, como el punto de corte es un punto que cumple a la vez la ecuación de la recta y la ecuación del plano 00:04:40
En estos casos lo que se hace es sustituir las ecuaciones de la recta, las paramétricas, en la del plano 00:04:50
¿qué va a pasar? vamos a hacer eso 00:04:58
voy a borrar todo esto, las raquitas 00:05:01
bien, entonces a ver, sería 00:05:03
2 por 1 menos t 00:05:05
menos t 00:05:07
más 4 por 00:05:10
menos 2 más t 00:05:11
igual a 3 00:05:13
como veis 00:05:16
lo que he hecho es donde pone x 00:05:17
he puesto esto, 1 menos t 00:05:19
menos y, pues he cambiado la y por t 00:05:21
y donde pone z 00:05:23
he puesto 2 menos 2 más t 00:05:24
que es esto 00:05:27
bien, esto como veis es una ecuación de primer grado 00:05:27
donde la incógnita es el parámetro, la t 00:05:31
cuando yo ahora averigüe cuánto vale t 00:05:34
lo sustituiré aquí y entonces con eso calcularé el punto en cuestión 00:05:38
vamos a ver, entonces esto sería 00:05:43
2 menos 2t menos t menos 8 más 4t igual a 3 00:05:46
a ver, tengo menos 2 menos 1 más 4 00:05:54
mira tú que bien, t, y al otro lado tendría 3 menos 2 y más 8, o sea que t tiene que ser 9, ¿vale? 00:05:57
Pues con este valor del parámetro lo sustituyo y entonces me quedaría que x tiene que ser 1 menos 9, que es menos 8, 00:06:08
que Y es 9 y que Z es menos 2 más 9 que es 7 00:06:18
es decir, ese punto voy a llamarlo P 00:06:25
que es la intersección entre la recta S que me dan y el plano 00:06:27
vamos a llamarlo, por ejemplo, a este plano 00:06:33
le voy a llamar, por ejemplo, alfa 00:06:36
el plano alfa 00:06:39
se usan las letras griegas para estas cosas 00:06:40
bien, ¿y qué coordenadas tiene? 00:06:43
Pues menos 8, 9, 7 00:06:46
Bien, entonces ahora sustituyo este punto aquí 00:06:51
En este caso es muy simple 00:06:55
La verdad es que con la coordenada X me habría bastado 00:06:58
¿Vale? 00:07:00
Y entonces simplemente al sustituirlo ahí 00:07:02
Menos 8 más D 00:07:04
Tiene que ser 0 00:07:05
Pues D es 8 00:07:07
Así que el plano pi que me piden es 00:07:09
X más 8 igual a 0 00:07:12
Y ya está 00:07:15
En este caso es una ecuación que sale un poquito curiosa 00:07:17
Por el hecho de ser paralelo a uno de los planos coordenados 00:07:22
Pero en general si me pidieran que fuera paralelo a cualquier otro plano 00:07:25
La dirección te la marca 00:07:28
Que ya, digamos, coges la parte de X, Y y Z igualita 00:07:33
Y todo dependerá de cuánto valga el término independiente 00:07:39
¿Vale? Pues ya está 00:07:43
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Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Subido por:
Maria Isabel P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
3
Fecha:
14 de noviembre de 2026 - 17:44
Visibilidad:
Público
Centro:
IES GUSTAVO ADOLFO BÉCQUER
Duración:
07′ 45″
Relación de aspecto:
1.67:1
Resolución:
1800x1080 píxeles
Tamaño:
222.08 MBytes

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