Potencias, raíces y logaritmos. Notación científica

¡Hola! Bienvenidos a esta nueva entrega. Hoy nos vamos a meter de lleno en el lenguaje 00:00:00

secreto que utilizan las matemáticas para manejar números que son o bien gigantestos 00:00:04

o increíblemente pequeños. Haremos un viaje que empieza en las potencias y acaba en los 00:00:08

logaritmos. ¡Vamos al lío! 00:00:12

A ver, ¿alguna vez nos hemos parado a pensar en esto? ¿Cómo se las apañan los científicos 00:00:14

para hablar del número de estrellas en una galaxia o del tamaño de un átomo sin tener 00:00:18

que escribir páginas y páginas llenas de ceros? Bueno, pues la respuesta está en una 00:00:22

forma muy ingeniosa de abreviar las cosas, las potencias. Esta va a ser nuestra hoja de ruta. 00:00:26

Primero veremos por qué las potencias son una abreviatura genial. Después nos haremos con un 00:00:32

kit de herramientas para manejarlas, luego le daremos la vuelta a la tortilla y al final veremos 00:00:37

cómo todo encaja. Muy bien, pues primera parada, antes de ponernos a correr hay que aprender a 00:00:42

andar. Así que la pregunta es simple, ¿qué es exactamente una potencia? Pues mirad, es bastante 00:00:48

más fácil de lo que parece. Una potencia, en el fondo no es más que una abreviatura, es como una 00:00:54

taquigrafía para los números. En vez de escribir 7 por 7 por 7, que es un poco largo, simplemente 00:00:59

ponemos un 7 con un 3 pequeñito arriba. La base es el número que multiplicamos, el 7, y el exponente, 00:01:04

el 3, nos chiva cuántas veces hay que multiplicarlo. Simple y súper eficaz. Y lo bueno es que esta 00:01:10

abreviatura viene con sus propias reglas del juego para que operar sea más fácil. Por ejemplo, como 00:01:16

se ve en esta hoja de ejercicios, si queremos multiplicar potencias que tienen la misma base, 00:01:21

como 2 elevado a 12 por 2 elevado a 35, no hace falta calcularlo todo. Simplemente sumamos los 00:01:26

exponentes. ¡Es un atajo increíble! Y ojo, como en todo buen sistema hay algunos casos especiales 00:01:32

que hay que tener en el radar. Primero, cualquier número, me da igual cuál sea, si lo elevas a 0, 00:01:37

el resultado es siempre 1. Siempre. Segundo, un exponente negativo es como una orden para darle 00:01:42

la vuelta al número. Y tercero, si la base es negativa, el signo del resultado final 00:01:49

depende de si el exponente es par o impar. Son reglas sencillas pero que abren un montón 00:01:53

de puertas. Vale, ya tenemos los cimientos. Ahora vamos 00:01:58

a construir nuestro kit de herramientas. Estas son las propiedades que nos van a permitir 00:02:01

enfrentarnos a expresiones que, de primeras, pueden asustar un poco. 00:02:06

Y aquí está la clave de todo, en serio. Esta tabla es básicamente nuestro manual 00:02:10

de instrucciones. Si las bases son iguales, jugamos con los exponentes. Si los que son iguales son los 00:02:15

exponentes, entonces jugamos con las bases. Y si tenemos una potencia elevada a otra, pues más 00:02:20

fácil todavía, se multiplican los exponentes. Tres reglas de oro. Con esto se puede hacer casi de 00:02:26

todo. Y aquí es donde ocurre la magia. Al combinar estas reglas, podemos coger una expresión que 00:02:31

parece un auténtico lío, como esta fracción llena de potencias, y poco a poco, paso a paso, la vamos 00:02:37

desmontando hasta llegar a algo mucho más sencillo. Cada regla es una herramienta que 00:02:43

sacamos en el momento justo. Muy bien, ya controlamos las reglas del juego. Pero la 00:02:48

pregunta del millón es ¿y esto para qué sirve en la vida real? ¿Dónde aplicamos este nuevo kit 00:02:53

de herramientas? Pues, para esto, la anotación científica. Es la aplicación estrella de las 00:02:58

potencias, sin duda. Nos permite escribir números gigantescos o súper pequeños de una forma muy 00:03:04

compacta. Solo necesitamos un número decimal y una potencia de 10. El exponente nos dice lo 00:03:10

grande o pequeño que es el número. Es como su DNI. Es que mirad la diferencia. Un número larguísimo 00:03:15

como 2 billones 580 mil millones se convierte en un simple 2,58 por 10 elevado a 12. Pasamos de 00:03:21

algo casi imposible de leer a una expresión limpia, elegante y, sobre todo, mucho más fácil 00:03:30

de manejar. Bien, hasta ahora siempre hemos ido en una dirección. Tenemos la base, tenemos el 00:03:36

exponente y calculamos el resultado. Pero en matemáticas siempre es muy interesante preguntarse 00:03:41

¿qué pasa si le damos la vuelta a la tortilla? La pregunta normal es esta, ¿verdad? ¿Cuánto es 3 00:03:46

elevado a 4? Pues calculamos y 81. Fácil. Pero, ¿y si lo planteamos al revés? ¿Qué número si lo 00:03:52

elevo a 4, me da 81. Ah, ahora la cosa cambia. Ahora la incógnita es la base. Pues para responder 00:04:00

a esa pregunta necesitamos una nueva herramienta en nuestro kit y esa es la raíz. La raíz es la 00:04:06

operación inversa que nos permite encontrar esa base que se nos había perdido. El numerito de la 00:04:12

raíz, el índice, es el exponente que ya conocíamos. De acuerdo, ya sabemos encontrar la base, pero ¿y si 00:04:17

falta otra pieza. Pensemos en esto. ¿Qué pasa si conocemos la base, que es 3, y el resultado, 00:04:24

que es 81, pero lo que nos falta es el exponente? 3 elevado a ¿qué nos da 81? Y aquí es donde entra 00:04:30

en escena el protagonista de la segunda parte de nuestra historia, el logaritmo. Decir logaritmo 00:04:37

en base 2 de 8 suena muy técnico, pero en realidad es solo una forma un poco elegante de hacer una 00:04:43

pregunta. ¿A qué número tengo que elevar el 2 para que me dé 8? Y la respuesta, claro, es 3. 00:04:48

Vamos a verlo con este ejemplo práctico. 00:04:54

Logaritmo en base 2 de 1024. 00:04:56

Venga, ¿cuál es la pregunta que nos hacemos? 00:04:59

Exacto, ¿cuántas veces tenemos que multiplicar 2 por sí mismo para llegar a 1024? 00:05:00

Si descomponemos el número, vemos que 1024 es lo mismo que 2 elevado a 10. 00:05:06

Así que el logaritmo es 10. 00:05:11

Y con esto llegamos al final. 00:05:12

Ahora es el momento de que todas las piezas del puzle encajen y veamos la foto completa. 00:05:14

¡Atención! Porque esta es la idea clave de todo lo que hemos visto hoy. 00:05:19

Las potencias, las raíces y los logaritmos no son tres temas separados, no 00:05:22

Son tres maneras distintas de mirar la misma ecuación 00:05:27

Todo depende de qué pieza del puzzle nos falte 00:05:30

Vamos a desglosarlo 00:05:33

Si se conoce la base y el exponente y se quiere saber el resultado, se usa una potencia 00:05:34

Es el camino de ida 00:05:39

Ahora, si lo que falta es la base, pero se conocen el exponente y el resultado 00:05:41

La herramienta para encontrarla es la raíz 00:05:45

Y finalmente, el gran misterio 00:05:48

Si lo que se busca es el exponente, esa pieza que conecta la base con el resultado, ahí es 00:05:51

donde brilla el logaritmo. Y ya está, el círculo se cierra. Así que ahí lo tenemos, un viaje completo 00:05:55

desde una simple abreviatura hasta el poder interconectado de potencias, raíces y logaritmos. 00:06:03

Con este kit de herramientas completo se abren las puertas para entender de todo, desde cómo creció 00:06:08

una inversión en el banco hasta cómo se mide la escala de los terremotos. La pregunta que queda 00:06:13

en el aire es ¿Qué problemas del mundo real se pueden empezar a desentrañar ahora? 00:06:17

Potencias, raíces y logaritmos. Notación científica - Contenido educativo

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