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Ejercicio 3-25-6 - Contenido educativo

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Subido el 13 de noviembre de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Vamos a ver este ejercicio. 00:00:00

Nos dan una función que es el valor absoluto de x partido por x cuadrado más 1. 00:00:02

Y solo me piden analizar la monotonía y los extremos relativos. 00:00:06

Este ejercicio cuando cayó en la evau el apartado b era calcular un área utilizando integrales, 00:00:10

pero como todavía no lo hemos visto, pues no he puesto ese apartado. 00:00:17

Entonces, a ver, tenemos un valor absoluto. 00:00:20

Lo que tenemos que hacer lo primero es escribir la función desarrollando ese valor absoluto. 00:00:22

Os recuerdo aquí a la derecha que el valor absoluto de algo, le voy a llamar algo, por definición es ese algo si el algo es mayor que cero y menos ese algo si el algo es menor que cero. 00:00:26

Para el igual lo podemos poner en el lado que queráis, o en el mayor o en el menor, como queráis, ¿vale? 00:00:49

Es decir, que si lo que yo tengo es el valor absoluto de x, como es en este caso, 00:00:55

el valor absoluto de x es x cuando x es mayor o igual que cero, si le pongo arriba, 00:00:59

y menos x cuando x es, uy, qué fea me ha quedado, cuando x es menor que cero, ¿vale? 00:01:05

Esto es lo que nosotros tenemos que tener en mente. 00:01:13

Vale, pues borramos. Vamos a desarrollar ya esta función. ¿Cómo quedaría? La función f de x sería, el valor absoluto solamente está arriba, luego la parte del denominador va a quedar siempre igual, pues sería x en positivo partido por x cuadrado más 1, 00:01:15

cuando la x es mayor o igual que cero 00:01:38

y la x en negativo, es decir, menos x partido por x cuadrado más uno 00:01:41

cuando la x es menor que cero. 00:01:47

Ojo, que he empezado poniendo arriba el mayor y abajo el menor. 00:01:49

Siempre ponemos las funciones definidas a trozos al revés. 00:01:53

Arriba el menor y abajo el mayor. 00:01:56

Pero bueno, en el fondo da lo mismo, pero tenemos que tener cuidado con eso. 00:01:58

para analizar la monotonía necesitamos calcular la derivada primero 00:02:02

pero para que exista la derivada la función tiene que ser continua 00:02:10

lo primero que tenemos que hacer es ver si esta función es continua 00:02:13

el único punto en el que la función f de x se anula 00:02:16

donde no estaría definida serían los puntos en los que el denominador se anula 00:02:22

pero esto nunca se anula 00:02:25

es decir, x cuadrado más 1 siempre es distinto de 0 00:02:27

Pero eso significa que el dominio de f de x van a ser todos los números reales, ¿vale? 00:02:32

Va a ser continua en cada uno de los trocitos porque es un cociente de polinomios y el denominador no se anula. 00:02:41

Lo que tengo que ver es si la función es continua en el 0, que es justamente donde cambia, donde puede saltar. 00:02:48

entonces para ver si f de x continua en x igual 0 00:02:54

lo que tenemos que mirar es si f de 0 es igual al límite 00:03:04

cuando x tiende a 0 por la izquierda de f de x 00:03:11

y es igual al límite cuando x tiende a 0 por la derecha de f de x 00:03:15

mis límites ya empiezan a no entenderse, a parecer un garabato 00:03:20

vale, a ver, en este caso el f de 0 va con el límite a por la derecha 00:03:24

porque lo he puesto en el mayor, luego esto va a ser igual 00:03:30

que el límite cuando x tiende a 0 por la derecha 00:03:33

de x partido por x cuadrado más 1 00:03:36

esto es 0 partido de 1, es decir, 0 00:03:40

el otro límite cuando x tiende a 0 por la izquierda 00:03:44

de menos x partido por x cuadrado más 1 00:03:49

arriba sigue siendo 0 y abajo sigue siendo 1, es decir, 0. 00:03:53

Los valores coinciden, luego esto significa que f de x es continua en x igual 0 00:03:57

y por lo que hemos dicho antes que la función que cada uno de los trocitos era continua 00:04:07

significa que f de x es continua en r. 00:04:12

Y esto es algo importante que vamos a necesitar a la hora de estudiar la monotonía, ¿vale? Ver dónde es creciente y dónde es decreciente. En clase os comenté también que tendríamos que estudiar si la función era derivable en el 0, pero bueno, yo creo que lo podemos un poco hacer sin estudiarlo para que sea un poquito menos lioso. 00:04:17

A ver, ahora para estudiar la monotonía necesitamos saber donde la derivada primera es positiva o negativa 00:04:39

Pues lo primero que tenemos que hacer es calcular la derivada primera 00:04:45

Y ya sabemos que el dominio es todo R y que además es continua en todos los números reales 00:04:48

Vale, pues vamos a ver, f' de x 00:04:54

f' de x es un cociente, luego la derivada del numerador que es 1 por el denominador sin derivar, por x cuadrado más 1 00:04:56

menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador que es 2x 00:05:05

y todo partido por x cuadrado más 1 todo al cuadrado, ¿vale? 00:05:11

por el cuadrado del denominador. 00:05:17

Esto sería x cuadrado menos, esto es menos 2x cuadrado, 00:05:19

luego me queda menos x cuadrado más 1 o 1 menos x cuadrado, como lo queréis poner, 00:05:23

partido por x cuadrado más 1 al cuadrado 00:05:30

que 0, ¿vale? Recordar que en las derivadas quitamos el igual. Para derivar la de abajo 00:05:35

no volvemos a hacer la misma derivada, porque es justamente lo mismo, es la misma función 00:05:40

pero con un menos delante, el menos es una constante, podría salir fuera de la derivada. 00:05:44

Luego aquí lo que nos va a quedar va a ser menos el valor de la derivada que he obtenido 00:05:49

antes, menos x cuadrado más 1 partido por x cuadrado más 1 al cuadrado, o lo que es 00:05:54

lo mismo, x cuadrado menos 1 entre x cuadrado más 1 al cuadrado, y esto es cuando la x 00:06:02

es menor que 0, ¿vale? Y ahora lo que tenemos que ver es el crecimiento cuando la función, 00:06:11

cuando esa función es positiva o negativa, ¿vale? Entonces lo primero que tenemos que 00:06:20

hacer en cada uno de los trocitos es igualar a 0 para ver los posibles puntos críticos. 00:06:24

lo que os había comentado en clase aquí ahora mismo 00:06:30

si nos pusiéramos a calcular la derivada del 0 00:06:33

es decir, el límite por la izquierda y por la derecha 00:06:37

veríamos que el resultado es distinto 00:06:39

la función no es derivable en el 0 00:06:42

ya os comenté que los valores absolutos normalmente son picudos 00:06:43

y en el punto en el que tiene el pico 00:06:47

la función no es derivable 00:06:49

pero en principio tampoco lo necesitaríamos 00:06:51

para hacer el estudio de la monotonía 00:06:54

o eso creo, según lo vayamos viendo 00:06:58

Iré viendo si se necesita o no 00:06:59

Voy a subir un poquito 00:07:01

Voy a quedar solamente con la función 00:07:03

Y vamos a ir viendo el primer trozo 00:07:05

En el x mayor que 0 00:07:08

Vamos a ver donde se anula la derivada 00:07:10

Es decir, menos x cuadrado más 1 00:07:14

Partido por x cuadrado más 1 al cuadrado 00:07:17

Igual a 0 00:07:21

Esto significa que menos x cuadrado más 1 es igual a 0 00:07:22

O lo que es lo mismo 00:07:27

que x cuadrado es igual a 1 00:07:29

o lo que es lo mismo que x es igual a más menos, más menos 1, ¿vale? 00:07:33

Como estoy en la parte positiva de las x, 00:07:37

aquí solo me sirve la solución x igual a 1, ¿vale? 00:07:40

Pero fijaos, si yo ahora hago el estudio en el otro trozo, 00:07:45

cuando la x es menor que 0, 00:07:48

la función es la misma, pero multiplicada por menos 1, ¿vale? 00:07:50

Es decir, que si yo la igualo a 0, 00:07:55

la ecuación que obtengo es la misma que tenía antes 00:07:57

x cuadrado menos 1 igual a 0 00:08:00

por lo tanto obtengo que x es igual a más menos 1 00:08:03

luego en este caso la solución que me sirve es la x igual a menos 1 00:08:06

este es el trocito que me sirve 00:08:10

¿vale? 00:08:13

bien, pues a ver, hacemos nuestra tabla 00:08:15

como la función era continua 00:08:17

en mi tabla voy a intentar subir 00:08:20

la voy a hacer un poquito más pequeño 00:08:22

Para poder tener un poquito más de espacio 00:08:24

En la tabla que tenemos que poner 00:08:28

Aquí ponemos el menos infinito 00:08:32

Aquí ponemos el menos uno 00:08:37

Aquí ponemos el más uno 00:08:39

Y aquí ponemos el más infinito 00:08:42

¿Vale? 00:08:44

Fijaos 00:08:46

Bueno, ¿qué tendríamos que poner también? 00:08:47

El cero 00:08:51

¿Por qué? 00:08:52

Porque en el cero 00:08:54

o bueno, lo tendríamos que tener en cuenta a la hora que, o sea, para poder, a ver si entiendéis lo que quiero decir. 00:08:55

La derivada está en dos trozos y justamente el 0 es el punto en el que lo rompe. 00:09:03

Yo tengo que especificar en cada uno de los trozos, es decir, tendré que poner aquí la primera función, 00:09:09

la primera derivada es el menos x cuadrado más 1. 00:09:15

Fijaos que los denominadores es al cuadrado, por lo tanto, para el signo me va a dar lo mismo. 00:09:19

x cuadrado más 1 al cuadrado, y el otro trocito de la derivada es el x cuadrado más 1 partido por el x cuadrado más 1 al cuadrado. 00:09:25

¿Qué ocurre? Que el primero es para los mayores que 0, por eso he dicho que tendríamos que poner aquí también el 0, ¿vale? 00:09:38

Porque esta primera función es para los x mayores que 0, y esto es para los x menores que 0, 00:09:48

o lo que es lo mismo, este trozo de aquí no me sirve, solo es para la parte de la derecha que he dejado sin marcar 00:09:54

y en el segundo solamente es para los negativos, este trozo de aquí no me interesa porque no tiene función, ¿vale? 00:10:03

Entonces cogeríamos un valor, por ejemplo, en el 0 aquí podríamos coger, voy a cambiar de color a la hora de cogerlo, ¿vale? 00:10:10

Voy a coger aquí, por ejemplo, el 0,5 y aquí vamos a coger el 2. 00:10:19

0,5 al cuadrado sería 0,25 con el menos menos 0,25 más 1 sería positivo. 00:10:24

Ojo que el menos no está en el cuadrado, el menos está fuera. 00:10:35

Y en el 2 sería 2 al cuadrado es 4 menos 4 más 1 menos 3, negativo. 00:10:38

Luego, a ver, tendría que haber puesto aquí el trozo final 00:10:43

Para saber la función que es lo que va a hacer en cada uno de estos trozos 00:10:51

¿Vale? 00:10:59

Entonces, aquí lo que sé es que la función crece 00:11:00

Y aquí lo que sé es que la función decrece 00:11:04

¿Vale? 00:11:07

Bien, en la parte de la izquierda 00:11:09

Pues aquí cogemos, por ejemplo, el menos 2 y aquí cogemos, por ejemplo, el menos 0,5. 00:11:12

En el menos 2 lo miramos abajo, menos 2 al cuadrado es 4, 4 más 1, 5 positivo. 00:11:17

Por lo tanto, aquí la función crece. 00:11:23

En el menos 0,5, menos 0,5 al cuadrado, a ver, menos, sí, ¿no? El menos 0,5, vale. 00:11:26

Menos 0.5 al cuadrado 00:11:36

Porque 00:11:39

Lo estoy haciendo bien, ¿verdad? 00:11:41

A ver, espera un momentito que hay algo que me está chirriando 00:11:44

Vale, sabía yo que algo me estaba chirriando 00:11:46

Y es que 00:11:49

No he copiado bien, no sé si os habéis dado cuenta 00:11:50

Ha sido un fallo mío al copiar 00:11:52

Aquí tenemos un menos, ¿verdad? 00:11:54

Y yo que he puesto 00:11:57

Un más 00:11:58

Por eso no me estaba, me estaba saliendo 00:11:59

Estaba yo un poco rayada 00:12:02

Digo, aquí falla algo, no me podía quedar así 00:12:03

Esto es un menos, ¿vale? Entonces vamos a ponerlo bien. Disculparme, yo es complicado a veces no equivocarme cuando lo hago con la tabla. 00:12:06

Esto es x cuadrado menos 1, ¿vale? Pues vamos a ver, en el menos 2 está claro que es negativo, o sea que es positivo porque es menos 2 al cuadrado es 4, 4 menos 1 positivo. 00:12:16

Sin embargo, el menos 0.5 al cuadrado es 0.25, 0.25 menos 1 es menos 0.75, luego este es negativo, ¿vale? Este es el que aquí me estaba chirriando. 00:12:26

Pero es lo que os digo muchas veces, según lo vas haciendo, ves que de repente hay algo como que te descuadra, como que no queda muy claro. 00:12:38

Bueno, pues con esta tablita ya lo tendríamos, porque ¿qué es lo que estamos obteniendo con esta tabla? 00:12:46

pues estamos viendo que en este trocito la función es creciente 00:12:53

aquí es decreciente, aquí es creciente y aquí es decreciente 00:12:57

¿y qué ocurre? que hemos visto que la función es continua 00:13:04

por lo tanto y que es continua en todo R 00:13:07

y que su dominio son todos los números reales 00:13:10

pues aquí lo que acabamos de observar es que este punto va a ser un máximo 00:13:13

en el menos 1, en el 0 vamos a tener un mínimo 00:13:18

porque aunque la función no sea derivable, como va a hacer el pico 00:13:23

va a ser un mínimo porque la función es continua 00:13:27

y aquí en el punto 1 vamos a tener otro máximo relativo 00:13:30

esto es lo que sacamos simplemente llenando la monotonía 00:13:34

entonces ahora escribimos la respuesta, intervalos de crecimiento 00:13:37

pues la función donde hemos dicho que era creciente del menos infinito 00:13:42

a menos 1, unión 0, 1. ¿Vale? Los intervalos de decrecimiento será del menos 1 al 0, unión 1 infinito. 00:13:46

y luego tenemos en el punto o en los puntos x igual 1 y x igual menos 1 tenemos máximos relativos y en el punto x igual 0 tenemos un mínimo relativo. 00:14:04

Tendríamos que calcular el valor completo del punto 00:14:24

Como me he subido tanto 00:14:27

Vamos a ver, subo otra vez para ver el valor de la función 00:14:30

La función en el 1 sería coger este trocito 00:14:34

Y sería 1 partido de 1 más 1 sería 2 00:14:40

Es decir que tendríamos los máximos relativos en el punto 1, 2 00:14:45

en el 0 si veis al sustituir sería el punto 0,0 00:14:52

y en el punto menos 1 00:14:57

si vuelvo aquí en el menor, menos 1 00:15:00

esto sería 1, bueno sería el mismo valor 00:15:03

porque es el valor absoluto, o sea lo podríamos sustituir directamente la función 00:15:06

no hace falta complicarse con las dos partes 00:15:09