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Función con valor absoluto - Contenido educativo

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Subido el 6 de noviembre de 2026 por Jose Luis M.

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Hola, en este vídeo vamos a resolver el siguiente ejercicio. 00:00:00
Nos dan esta función, f de x igual a valor absoluto de x cuadrado menos x menos 2 partido de x cuadrado más 2x más 1 00:00:03
y nos piden asíntotas y de crecimiento. 00:00:13
Vale, pues vamos a empezar. 00:00:29
Bien, lo primero es un poco analizar la función y ver qué está pasando. 00:00:31
Todo valor absoluto implica que es una función definida a trozos, como os he dicho en clase. 00:00:34
Así que vamos a intentar descomponer este valor absoluto. 00:00:39
Para ello necesito saber cuándo va a ser lo de dentro positivo y negativo. 00:00:43
Una forma rápida es coger el polinomio y darse cuenta que esto es x más 1 por x menos 2. 00:00:49
Esto lo podríamos haber sacado con Ruffini, descomponiendo, haciendo la ecuación de segundo grado... 00:00:58
En fin, con cardano y vieta. 00:01:03
Y fijaros, como es una parábola, yo puedo poner aquí sus signos 00:01:05
y darme cuenta que aquí dentro va a ser negativa, aquí positiva, aquí positiva, 00:01:09
porque realmente lo que estamos dibujando es así. 00:01:16
Es una parábola. 00:01:19
Con lo cual, ya podríamos descomponer que este valor absoluto realmente va a ser así. 00:01:21
Si x cuadrado menos x menos 2, si x es menor o igual que menos 1, y ahora veremos lo que va a pasar, o x mayor o igual que 2, y su opuesto si la x está entre menos 1 y 2 porque es negativo. 00:01:27
Por otro lado vemos que x al cuadrado más 2x más 1, que es el denominador, es x más 1 al cuadrado 00:01:48
Esto nos da la pista de que el dominio de f es igual a todos los números reales menos el menos 1 00:01:57
Entonces este menos 1 de aquí no vamos a poder poner menor o igual 00:02:05
Vamos a descomponer ya la función 00:02:10
La función la podemos descomponer así como acabo de hacer 00:02:14
Esto es x al cuadrado menos x menos 2 partido de x más 1 al cuadrado 00:02:17
Si x, y ya no puedo poner menor o igual porque me he dado cuenta que no está en el dominio 00:02:24
O x mayor o igual que 2, aquí no hay problema 00:02:29
O esto cambiado de signo, partido de x más 1 al cuadrado 00:02:32
Si la x está entre menos 1 y 2 00:02:39
Realmente esto no es una forma muy habitual de poner la función de infinidad de trozos 00:02:46
Y se suele separar en varios trozos 00:02:50
Lo voy a hacer ya aquí 00:02:54
f de x va a ser igual 00:02:56
Fijaros que ahora ya incluso lo voy a poner así 00:02:58
Para que se vea lo que va a pasar 00:03:02
Si x menor que menos 1 00:03:06
Este ya sí es un trozo habitual 00:03:10
Esto va a ser menos x más 1 por x menos 2 00:03:12
partido de x más 1 al cuadrado 00:03:17
si menos 1 00:03:20
la x está entre menos 1 y 2 00:03:22
y otra vez la misma función 00:03:24
y aquí vamos a poner 00:03:26
x mayor o igual que 2 00:03:32
si os fijáis, pues ahora sí que tiene la estructura 00:03:34
de una función definida a trozos 00:03:36
que fijaros que 00:03:38
este lo voy a poder simplificar 00:03:40
y entonces la función 00:03:42
me va a quedar así 00:03:47
f de x va a ser igual 00:03:48
a x menos 2 partido de x más 1 si x es menor que menos 1, 2 menos x porque era lo opuesto, acordaros, si menos 1 es menor que x es menor que 2, y x menos 2 partido de x más 1 si x mayor o igual que 2. 00:03:57
Y ahora ya sí podemos estudiar las asíntotas 00:04:19
Vamos a estudiar las asíntotas horizontales 00:04:22
Ya sabéis que para hacer eso hay que hacer el límite cuando x tiende a infinito 00:04:27
De f de x, que cogiendo el trozo que corresponda 00:04:33
Es x menos 2 partido de x más 1 00:04:38
Que por ser un polinomio de grado 1 00:04:42
Dividiendo por el monomio de mayor grado, que es 1 00:04:45
Esto va a quedar 1 00:04:47
luego hay una asíntota horizontal en i igual a 1 00:04:48
vamos a ver qué pasa si nos vamos para el menos infinito 00:04:52
claro, para el menos infinito 00:04:55
pues vuelve a ser esta función 00:04:58
y entonces vuelve a salir 1 00:05:01
luego efectivamente esta es una asíntota horizontal 00:05:04
si cojo una asíntota vertical 00:05:07
bueno, pues puesto que antes hemos visto 00:05:10
que el dominio de f era todos los números reales 00:05:17
menos el menos 1 00:05:20
tenemos una candidata 00:05:21
asíntota 00:05:23
vertical 00:05:24
vamos a ver los límites por si me van a hacer falta 00:05:26
luego, menos 1 por la izquierda 00:05:29
es este valor 00:05:30
y claro 00:05:33
esto va a ser negativo y esto va a ser 00:05:36
muy pequeño, pero negativo 00:05:39
porque por la izquierda sería menos 1 con 1 00:05:41
luego esto va a dar infinito 00:05:43
y si hago lo mismo 00:05:44
por la derecha 00:05:46
pues ahora 00:05:49
me va a quedar esta expresión 00:05:50
Pero esto va a ser positivo 00:05:52
Y esto va a ser muy pequeño 00:05:54
Pero positivo porque menos 1 por la derecha es 00:05:56
Bueno, pues menos 0,9 00:05:58
Esto es infinito 00:06:03
Y asíntotas oblicuas 00:06:04
No hay 00:06:06
Porque son dos polinomios de grado 1 00:06:10
Y no va a haber 00:06:14
Con lo cual, el apartado A 00:06:14
La respuesta sería 00:06:17
Asíntota horizontal 00:06:19
En igual 1 00:06:23
Bueno, habría que poner 00:06:26
f tiene asíntota horizontal en igual 1 00:06:28
y asíntota vertical en x igual a menos 1 00:06:31
vamos con el apartado b 00:06:38
bueno, en el apartado b directamente podemos derivar 00:06:40
y esto si deriváis usando la regla del cociente 00:06:44
nos va a quedar esto 00:06:49
aquí nos va a quedar esto 00:06:50
y aquí pues nos va a quedar lo mismo otra vez 00:06:57
fijaros que aquí he puesto mayor que 2 00:07:04
porque realmente no sé si es derivable en 2 00:07:11
aquí sé que no, porque no está definida 00:07:15
y aquí no lo sé 00:07:19
pero esto ya nos permite estudiar el signo fácilmente 00:07:20
porque ahora vemos que 00:07:26
si estudiamos un poco lo que nos ha pasado antes 00:07:28
de menos 1 los dos trozos 00:07:31
aquí no tenemos función 00:07:33
aquí no sabemos si es derivable o no 00:07:35
pero si sabemos que antes de menos 1 00:07:38
la derivada era 3 entre x más 1 00:07:40
bueno, lo podemos poner aquí 00:07:43
era 3 entre x más 1 00:07:45
luego aquí va a estar el menos 1 aquí en 2 00:07:49
aquí va a ser la derivada positiva 00:07:53
aquí la derivada negativa 00:07:54
y aquí la derivada positiva 00:07:56
luego aquí la función f va a subir 00:07:57
aquí la función f va a bajar 00:08:00
y aquí la función f va a subir 00:08:03
Y no podemos hablar de extremos porque no sabemos si es derivable en 2 o en menos 1. 00:08:06
Por lo tanto, la respuesta a esta pregunta sería f es creciente en menos infinito menos 1 unión 2 infinito y f es decreciente en menos 1 2. 00:08:16
Y aunque no lo pide, vamos a intentar representarla con la información que tenemos. 00:08:39
Fijaros, para eso voy a hallar los puntos de corte. 00:08:44
Y para esto voy a usar la función directamente con su valor absoluto porque no me hace falta descomponer. 00:08:48
Aquí claramente un punto de corte cambiado de x por 0 es el 0,2. 00:08:58
y otro punto de corte resolviendo esto, o sea, haciendo f de x igual a 0 00:09:04
esto implica que x cuadrado menos x menos 2 es igual a 0 00:09:10
y acordaros que de aquí salía x igual a menos 1 y de aquí salía x igual a 2 00:09:16
este está descartado porque anularía el denominador 00:09:21
con lo cual el punto de corte es el 2, 0 00:09:24
vale, si ahora la dibujamos 00:09:30
este es el origen 00:09:33
tenemos una asíntota vertical 00:09:39
a la altura de menos 1 00:09:41
una horizontal 00:09:42
a la altura de 1 00:09:45
sabemos que 00:09:47
la vertical por la izquierda se va a más 00:09:49
infinito y por aquí también 00:09:51
y por aquí se va a ir así porque no puede 00:09:52
atravesar, con lo cual esta está 00:09:55
claro que es así y además 00:09:57
fijaros que hasta menos 1 la función 00:09:58
crece 00:10:01
vale, luego hemos descubierto por los puntos de corte que pasa por el 0, 2 00:10:01
o sea que pasa por aquí 00:10:06
y pasa por el 2, 0 00:10:08
y pasa por aquí 00:10:11
y además en el infinito se acerca a la asíntota vertical 00:10:12
con lo cual, y además también sabemos 00:10:18
que entre menos 1 y 2 00:10:21
la función decrece 00:10:24
pasa por aquí, pues claramente tendrá que ser algo así 00:10:25
aquí la función empieza a crecer 00:10:29
pero no es derivable en 2 00:10:35
bueno, ya lo he anticipado 00:10:38
no es derivable en 2 00:10:39
así es que tendrá que haber una especie de pico 00:10:41
que será así 00:10:43
aquí tenéis un ejemplo de función 00:10:44
en la que la gráfica de la función 00:10:50
sí corta la asíntota horizontal 00:10:51
porque tenéis que recordar que las asíntotas horizontales 00:10:53
se miden en el infinito 00:10:57
y con esto estaría el ejercicio resuelto 00:10:58
Gracias. 00:11:01
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
José Luis Muñoz
Subido por:
Jose Luis M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
8
Fecha:
6 de noviembre de 2026 - 20:46
Visibilidad:
URL
Centro:
IES PROFESOR JULIO PÉREZ
Duración:
11′ 03″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
120.68 MBytes

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