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T6 - Ej 41 - Contenido educativo

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Subido el 7 de enero de 2026 por Francisca Beatriz P.

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Vamos con el ejercicio 41, nos dan una función polinómica en el que tenemos dos parámetros desconocidos, la a y la b, 00:00:00
y me piden que calcule esos valores para que la función tenga un máximo en x igual 1 y un mínimo en x igual 2. 00:00:09
Vale, pues a ver, ¿qué significa que x igual 1 sea un máximo? 00:00:15
Pues esto lo que significa es que la derivada primera de la función en ese punto tiene que ser 0. 00:00:24
Para ser un máximo no lo vamos a necesitar, pero bueno, aparte también necesitaríamos que la derivada segunda en el 1 fuera menor que 0, ¿vale? 00:00:30
Esto es por un lado para que fuera x igual 1 un máximo y el otro valor era x igual 2 que fuera un mínimo. 00:00:40
Lo que significaría es que la derivada primera en ese punto tiene que ser 0 y aunque tampoco lo vamos a necesitar, 00:00:50
pero para recordar que la derivada segunda en el 2 tendría que ser mayor que 0. 00:00:59
¿Qué es lo que vamos a necesitar para conseguir? 00:01:03
Necesitamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. 00:01:06
Por lo tanto, lo que vamos a utilizar es que la f' de 1 es 0 y que la f' de 2 es 0. 00:01:09
Este va a ser mi sistema de ecuaciones. 00:01:21
¿Quién es mi f'? 00:01:23
Venga, pues lo voy a poner aquí arriba, f' de x es la función 2 por 3, 6x cuadrado más 2bx más a, ¿vale? 00:01:24
Y ya sustituimos, f' en 1, vuelvo aquí abajo, esto sería 6 más 2b más a, queremos que esto sea 0, y en el 2 sería 4 por 6, 24, más 2 por 2, 4b, más a, igual 0. 00:01:39
Directamente si queréis, bueno lo podríamos ordenar 00:02:04
Pero si queréis directamente puedo restar 00:02:09
Para que se me vaya la a y me quede solamente en función de la b 00:02:11
6 menos 24 es menos 18 00:02:15
2b menos 4b es menos 2b 00:02:17
Las a y s me van y me queda que esto es 0 00:02:20
Por lo tanto pasando las b a la derecha 00:02:24
Aunque lo voy a escribir a la izquierda 00:02:27
me queda que la b es igual a menos 18 entre 2 igual a menos 9, ¿vale? Por lo tanto la b es menos 9. 00:02:29
Ya tenemos el primer valor calculado de la b. ¿Cómo calculamos el valor de la a? Pues por ejemplo voy a coger la primera ecuación 00:02:42
que tiene números más pequeños, sustituimos y que me quedaría 6, 2 por menos 9 es menos 18, 00:02:50
más a es igual a 0, por lo tanto la a será igual, 6 menos 18 es menos 12, 00:02:57
pasamos a la derecha y me queda que la a vale 12, ¿vale? 00:03:06
Y con esto ya habríamos calculado el apartado a, los valores de a y b, 00:03:12
para que tenga un máximo en x igual a 1 y un mínimo en x igual a 2, son a, 12, b, menos 9. 00:03:16
Y por lo tanto la función la voy a escribir aquí para tenerla ya para el apartado siguiente. 00:03:23
La función f de x sería 2x cubo, en lugar de b ponemos el valor que sería menos 9x cuadrado 00:03:28
y en lugar de a, más 12x menos 5. 00:03:41
Esta sería la función. La voy a dejar ahí, voy a copiar el apartado b, lo voy a cambiar de sitio para tener más espacio. 00:03:46
El apartado b me pide calcular el área de la región limitada por la grafia f de x, el eje x entre 0 y 3. 00:03:55
Tenemos que tener un poco una idea de cómo es la función. 00:04:03
Vamos a hacer aquí un esbozo, este es mi eje x, este es mi eje y, y me lo están pidiendo entre 0 y 3. 00:04:06
¿Qué es lo que sabíamos nosotros? 00:04:22
Nosotros sabíamos que en el 1 tenía un máximo, sabíamos que el valor x igual 1 había un máximo, 00:04:25
y que en x igual 2 había un mínimo. 00:04:35
Por lo tanto, lo primero que vamos a hacer es calcular los puntos de corte de la función 00:04:40
para hacernos un poco una idea de por dónde puede ir y cuál es el área limitada. 00:04:44
Entonces, lo primero que tenemos que hacer es resolver la ecuación, la f de x igual a 0 para los puntos de corte. 00:04:52
Como es un polinomio de grado 3, vamos a hacer Ruffini. 00:04:59
2 menos 9, 12 menos 5, ¿vale? 00:05:03
Siempre lo primero es sumar los coeficientes, ¿vale? 00:05:14
Me queda 2 menos 9 es menos 7, más 12 es 5, menos 5 es 0 00:05:17
Lo que significa que el 1 es una raíz 00:05:21
Pues lo hacemos, 1 por 2, 2 00:05:23
Menos 9 más 2, 7 00:05:25
Perdón, menos 7 00:05:27
Menos 7, aquí sería 5 00:05:31
5, 0 00:05:34
¿Vale? 00:05:36
Y por lo menos ya tendríamos la primera 00:05:39
Voy a volver a hacer como la suma vuelve a ser 1 00:05:42
Voy a hacer otra vez el 1 00:05:44
2 por 1, 2 00:05:47
Menos 5 00:05:50
Menos 5, 0 00:05:51
¿Vale? 00:05:54
Luego lo estamos obteniendo dos veces 00:05:55
Tenemos una raíz doble en x igual 1 00:05:57
y es decir, que algunos el otro día en clase me estabais preguntando 00:05:59
este numerito de aquí lo que significa es que es el factor x menos 1 00:06:05
pero la solución es x igual 1 00:06:10
aquí es el mismo valor, factor x menos 1 00:06:13
pero la raíz x igual 1 00:06:17
sin embargo aquí el factor es 2x menos 5 tal y como queda 00:06:19
este sería el factor 00:06:25
¿y quién va a ser la solución? 00:06:27
Pues si lo igualáramos a 0 nos quedaría x igual a 5 medios. 00:06:29
Nos queda una fracción, no pasa nada, ¿vale? 00:06:33
Entonces, lo que hemos obtenido es que esta función, la voy a poner aquí arriba, 00:06:37
factorizaría como x menos 1 al cuadrado por 2x menos 5, ¿vale? 00:06:42
Así es como factorizaría. 00:06:52
Pero nosotros lo que queríamos era calcular los puntos de corte, ¿vale? 00:06:54
Pues tenemos un punto de corte en el 1, es decir, aquí, y en el 5 medios, 5 medios es 2,5, vale, pues cortan estos dos puntos. 00:06:57
Ahora, lo que os he dicho, ¿qué sabíamos? Que el x igual 1 es un máximo, es decir, que la función va a ser así, ¿vale? 00:07:09
Va a venir por aquí y viene por aquí. 00:07:17
Y en el 2 teníamos un mínimo, por lo tanto, bueno lo voy a cambiar de color para dibujarla, sabemos que es una función polinómica, por lo tanto va a venir aquí, no cortan más sitios, luego tiene que venir desde el menos infinito, viene por aquí, aquí tiene un máximo, en el 2 va a tener un mínimo, podemos incluso calcular el punto en el que va a tener el mínimo, 00:07:19
Pero como no estoy poniendo valores en el i, me va a dar lo mismo, lo voy a poner como si aquí fuera el mínimo, ¿vale? 00:07:43
Y aquí subiría, no corta más, luego tiene que ir para arriba. 00:07:52
Mi función tiene que ser así, ya la altura del mínimo puede ser más abajo o más arriba, pero tiene que ser de esta forma, ¿vale? 00:08:00
Y sabemos que este punto de aquí es el 5 medios, ese es el 5 medios, y este sería el 1, ¿vale? Por lo tanto, me están pidiendo el área limitada entre 0 y 3, entre 0 y 3, obviamente, no la he continuado, esto no tiene una asíntota porque es un polinomio, esto seguiría por aquí, de hecho corta en el menos 5, ¿vale? 00:08:07
Porque sé que es en el menos 5, porque si sustituyo la función lo que me queda aquí es menos 5, ¿vale? 00:08:34
Por lo tanto, lo que me están pidiendo ahora calcular es esta área comprendida, este trocito, entre 0 y 1, 00:08:40
y como queríamos también entre 0 y 3, pues ese cachito, este cachito también aquí, y hasta el 3. 00:08:49
Este de aquí, este otro trocito, ¿vale? 00:09:01
Es decir, lo que quiero calcular son esos tres trozos, ¿vale? 00:09:04
Es decir, el área, yo quiero calcular el área entre 0 y 3 de f de x diferencial de x. 00:09:10
Esto es lo que me están pidiendo, pero esto lo tenemos que dividir en esos tres trozos. 00:09:19
va a ser por un lado entre 0 y 1 de mi función f de x, diferencial de x, más la integral entre 1 y 5 medios de f de x, diferencial de x, 00:09:23
más la integral entre 5 medios y 3 de f de x, diferencial de x, ¿vale? 00:09:43
Es decir, lo que tenemos que calcular siempre para calcular el área limitada es un poco los puntos de corte para ver cuáles son los recintos, si obtenemos 1, 2, 3, los que obtenemos lo que tienen que ser. 00:09:53
Como me están diciendo entre 0 y 3, o sea, si no me dijeran nada y me hubieran dicho solamente el área comprendida entre la curva y el eje x, pues sería justamente entre el 0 y 1 y el 1 al 5 medios. 00:10:04
No tendríamos que calcular entre 5,5 porque ese se va hacia infinito, ¿vale? 00:10:17
Pero en este caso tenemos que calcular esas tres integrales. 00:10:22
Fijaos que la primitiva va a ser la misma. 00:10:25
Voy a subir. Ah, bueno, no, que no he escrito la función, perdonad. 00:10:28
Es decir, ¿quién va a ser la primitiva de f de x? 00:10:33
Lo voy a poner... De hecho, os colgué el solucionario. 00:10:38
el solucionario siempre lo calcula directamente y luego va poniendo los resultados, ¿vale? 00:10:43
Es decir, para que no sea más largo, si yo llamo a f grande a la integral, ¿vale? 00:10:48
A la primitiva la llamo f mayúscula, aplicando la regla de Barrow, 00:10:54
esto primero sería f grande en el 1 menos f de 0, ¿vale? 00:10:58
Más F grande en 5 medios 00:11:05
Menos F de 1, ¿vale? 00:11:11
Más el tercer trocito 00:11:18
Quería que me hubiera cogido todo en ese cacho, pero bueno 00:11:19
Vale, voy a pausar un momentito 00:11:24
Vale, es que es para que me entre todo en el mismo 00:11:26
Más F de 3 00:11:29
Fijaos que estoy aplicando la regla de Barru, ¿vale? 00:11:31
Suponiendo que F mayúscula es la primitiva 00:11:34
menos f de 5 medios 00:11:36
¿y por qué lo estoy poniendo de esta manera? 00:11:39
porque cuando hay trocitos 00:11:41
¿qué ocurre? 00:11:42
aquí tengo un f de 1 con un menos f de 1 00:11:43
este, con este se me va 00:11:46
el f de 5 medios con el menos f de 5 medios 00:11:48
se me va 00:11:51
¿y qué es lo único que me está quedando 00:11:51
que va a ser este área? 00:11:53
pues me está quedando que va a ser 00:11:55
f de 3 menos f de 0 00:11:56
¿vale? 00:12:02
y si hiciéramos esto 00:12:04
me podríais decir 00:12:09
Pero entonces, ¿para qué lo estamos dividiendo? 00:12:11
¿Alguien se ha dado cuenta de cuál ha sido el problema? 00:12:15
¿De qué es lo que no he hecho? 00:12:17
A ver, si lo hiciera de esta manera, efectivamente, daría lo mismo 00:12:20
Tendría la integral f de 3 menos f de 0 00:12:23
Pero es que lo que acabo de hacer es una burrada 00:12:26
¿Vale? Esto no lo puedo poner así 00:12:28
No puedo tachar 00:12:31
Bueno, en lugar de hacerlo 00:12:32
Voy a volver a escribirlo, a ver si me lo... 00:12:35
Yo no puedo, es que no me quita, no puedo tacharlo de esta manera, ¿vale? No lo puedo tachar. ¿Por qué no lo puedo tachar? ¿Qué es lo que no he tenido en cuenta? A ver, ¿os habéis dado cuenta? 00:12:39
¿Alguien ha visto cuál es el problema? 00:12:51
Yo aquí pongo, y esto efectivamente es la primera integral 00:12:54
Sería f de 1 menos f de 0, esto no estaba mal 00:12:58
La segunda integral es f de 5 medios menos f de 1 00:13:03
Y la tercera integral es f de 3 menos f de 5 medios 00:13:10
Pero ¿qué es lo que no he puesto? 00:13:16
Y no sé si os habéis dado cuenta 00:13:19
que es lo que siempre decimos, hay que tener cuidado por si es negativo 00:13:20
hay que poner siempre valores absolutos, es decir, de hecho aquí se ve que va a haber 00:13:24
dos que son negativos, aquí tengo que poner un valor absoluto y aquí tengo 00:13:29
que poner un valor absoluto y un valor absoluto, es decir, que van 00:13:33
valores absolutos en estos trocitos, por lo tanto 00:13:37
no podemos tacharlo tan alegremente 00:13:43
porque tenemos que ver primeramente cuál es el signo, a lo mejor no es 00:13:46
negativo y por tanto no se nos va, se nos va a transformar todo en positivo, pero tenemos 00:13:51
que ver esos valores, ¿vale? Entonces fijaos que lo que he hecho es lo que muchas veces 00:13:56
si no pensamos lo hubiéramos podido hacer y hubiéramos tirado de ello, no, error, burrada, 00:14:02
¿vale? Venga, dicho esto, ¿cuánto va a ser nuestra integral? Pues a ver, ya no tengo 00:14:08
mucho espacio por aquí. Voy a reducir un poquito de tamaño para tenerlo. Vamos a calcular 00:14:16
mi f antes de sustituir, de calcular todo esto. Mi f, mi f de x es la integral de 2x 00:14:23
cubo menos 9x cuadrado más 12x menos 5 diferencial de x sin la constante, ¿vale? Porque luego 00:14:36
O vamos a calcular los valores. 00:14:46
Vale, yo lo que quiero es hacer esto que voy a poner aquí, el asterisco. 00:14:51
Vamos a calcular primero esta f. 00:14:55
¿Y esto cuánto va a ser? 00:14:57
Pues esto va a ser 2x cuarta partido de 4. 00:14:59
Podríamos haber simplificado, pero bueno. 00:15:06
Menos 3x cubo más 6x cuadrado menos 5x. 00:15:08
¿Vale? 00:15:19
Y ahora si queréis podemos ir calculando los valores poco a poco 00:15:19
F de 1, pues F de 1 va a ser 2 cuartos que es 1 medio 00:15:23
Menos 3, más 6, menos 5 00:15:28
Y esto es menos 3 menos 5 es menos 8, más 6 es 2 00:15:33
2 más 1 medio, 5 medios, ¿no? 00:15:37
¿Qué otro valor teníamos? F de 0 00:15:42
F de 0 va a ser directamente 0 00:15:44
y necesitamos también el f de 5 medios, f de 5 medios, a ver esto ya va a ser más cálculos, 5 a la cuarta es 625, sería 2 por 625 partido del 4 que teníamos y del 2 a la cuarta que es 16, 00:15:48
menos 3, 5 al cubo es 125 00:16:12
partido de 2 al cubo que es 8 00:16:18
más 5 al cuadrado, es decir, 6 por 5 al cuadrado que es 25 00:16:22
y 2 al cuadrado es 4 00:16:28
menos 5 por 5, pues también 25, pero en este caso medios 00:16:30
vale, voy a tirar de la calculadora para ver todo esto 00:16:36
para ver cuánto es, así que pauso 00:16:39
Vale, pues nos da menos setenta y cinco treinta y dos avos, si no me he equivocado, y la última f que me falta por calcular es f de tres, f de tres, que es tres a la cuarta es ochenta y uno, o sea, ochenta y un medios, 00:16:41
Menos 3 al cubo por 3 00:17:05
O sea, pues 81 00:17:09
Más 9 por 6, 54 00:17:10
Menos 3 por 5, 15 00:17:12
Queda un poco raro, pero es un 15, ¿vale? 00:17:15
Pauso otra vez para tirar de calculadora 00:17:18
Vale, da menos 3 medios 00:17:20
Y he estado revisando los cálculos 00:17:23
Y me he equivocado, como siempre 00:17:26
Esto no es 5 medios 00:17:29
Es también menos 3 medios 00:17:32
A ver, menos tres menos cinco es menos ocho, seis menos ocho es menos dos, creo que antes dije dos. 00:17:34
Por tanto sería un medio menos dos menos cuatro medios, menos tres medios, perdón. 00:17:41
Bien, ahora ya sí, disculpadme como siempre mis errores. 00:17:47
Y ahora lo único que tenemos que ir sustituyendo aquí son los valores, ¿vale? 00:17:51
Voy para abajo y ¿qué me queda? 00:17:55
Que el área que yo busco, vamos a poner aquí la continuación de la estrellita, 00:17:59
Va a ser f de 1 menos 3 medios, menos f de 0 que es 0, menos 0, más f de 5 medios que es menos 75 treinta y dosavos, 00:18:04
menos f de 1 que es menos 3 medios, así que menos menos, más 3 medios. 00:18:20
Y el último es más f de 3, que es menos 3 medios, menos f de 5 medios, que es menos, o sea, con más 75 treinta y dosavos, ¿vale? 00:18:27
Veis que entonces no se nos van a ir como se nos iba antes porque nos va a quedar, se nos va a sumar todo, ¿vale? 00:18:45
Y esto, si lo operamos, pongo ya el resultado final, ¿vale? 00:18:52
Si esto lo operamos bien, nos queda 51 dieciséisavos unidades al cuadrado. 00:18:58
¿Vale? Y todo esto vosotros cuando eso tirar de calculadora. 00:19:06
Ojo, en el valor absoluto no es que transformo cada uno, sino opero primero lo de dentro y luego lo sumo. 00:19:11
O sea, luego lo transformo en positivo si fuera negativo. 00:19:19
¿Vale? 00:19:21
Pues nada, este sería el ejercicio, os viene bien que yo falle tantas veces en cálculos para que así luego veáis lo importante de parar en un momento dado y comprobar si los fallos están bien, lo que sí que quiero que os haya quedado claro era un poco todo lo que he hecho aquí de si se me olvidan los valores absolutos en este trocito, hay que tener cuidado si se me olvidan aquí los valores absolutos que entonces sí que la estoy fastidiando. 00:19:22
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
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1
Fecha:
7 de enero de 2026 - 16:32
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
19′ 51″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
50.62 MBytes

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