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T6 - ej 11 - Contenido educativo
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Hola, vamos ahora con el ejercicio 11. Nos dicen primero dibujar el recinto limitado por las curvas y igual a e elevado a x más 2, y igual a e elevado a menos x, y igual a 0, que es el eje de abscisas, y x igual a menos 2, x igual a 0.
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Y luego me piden que calculemos el área del recinto, ¿vale? Redondeando el resultado a dos decimales.
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A ver, sí que es cierto que a veces lo que nos piden es que tengamos que saber un poco, o sea, nos piden el dibujo o un poco el esbozo.
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Luego tenemos que saber más o menos cómo es la gráfica de cada una de las funciones.
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De la función elevado a x, lo voy a poner aquí primero arriba y luego lo hacemos bien, ¿vale?
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De la función elevado a x tendríamos que saber o tendríamos que recordar que tiene una asíntota horizontal que va creciendo y que tiene un poco esa forma, ¿vale?
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Y la elevado a menos x es justamente, tiene la fórmula al revés.
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O sea, tiene la forma donde es creciente una y la otra va decreciendo, ¿vale?
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Entonces, en este caso, vamos a ver si conseguimos hacer más o menos un poco el dibujo de cómo sería.
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Las exponenciales sabemos que siempre son positivas, ¿vale? x e y.
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La e elevado a x más 2 sería la traslación de elevado a x.
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Es decir, uno de los valores que nosotros conocemos siempre, vamos a poner aquí unas pequeñas particiones.
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El valor que nosotros siempre sabemos es que e elevado a 0 siempre es 1.
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Por lo tanto, en la e elevado a x que he dibujado aquí, si esto fueran los ejes, el eje de, el eje x, y aquí estuviera el eje y, este punto sería justamente el 1, ¿vale?
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Aquí pasaría lo mismo, aquí sería mi eje x, ahora la asíntota está en el otro lado, aquí estaría el eje y, y este punto sería 1, ¿vale?
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bueno, simplemente es por marcar un poquito
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saber por dónde van a ir
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en el caso de x más 2
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para que el exponente sea 0
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tiene que ser en el menos 2
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en el punto menos 2
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la función va a ser 1
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y aquí va a venir
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bueno, lo voy a escribir con otro color
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diferente a los ejes
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va a pasar por aquí
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tiene que tener una asíntota
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¿dónde va a cortar al eje x?
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pues cuando la x sea 0
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me sale e al cuadrado, bueno, pues el número que sea, serían cinco y pico, una cosa así, pero da lo mismo, nosotros hacemos, a ver si consigo con esto así de por sí, normalmente dibujo más, mal, aquí, me va a resultar más complicado, bueno, viene por aquí de manera asintótica, viene por aquí, curvita, curvita, sube, sube, sube, sube,
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Y ya que no he conseguido que pase por el punto que he puesto
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Vamos a poner la regla del punto gordo
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Y este sería en el 1, ¿vale?
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Esta sería la elevado a x más 2
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Elevado a x más 2
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¿Cómo sería la elevado a menos x?
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Pues ya os he puesto cómo sería aquí el dibujo
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En este caso va a tener asíntota por el lado de la derecha
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Y en el 1 es donde va a cortar
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Va a cortar aquí, es decir
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viene por aquí de manera
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decreciendo, decreciendo, decreciendo
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llega por aquí
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y aquí ya
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de manera asintótica
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que no me salía la palabra
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estos dos valores
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son el 1
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entonces, ¿qué es lo que me están pidiendo calcular?
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lo que me están pidiendo calcular es
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el área comprendida entre estas dos curvas
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el eje x
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porque esa es la recta igual a 0
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y la recta es x igual a menos 2
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es decir, vamos a ponerla con otro color, me están pidiendo esta, vale, la he cogido pero no la he cogido, esta recta, vale, esta es la recta x igual a menos 2 y la recta x igual a 0 que sería esta.
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Y esta recta de aquí, que es el eje X, que es igual a cero.
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Lo que me están pidiendo calcular es esta área.
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¿Qué vamos a tener que hacer en este caso?
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Bueno, pues lo que necesito calcular es este punto.
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Tenemos que saber cuál es el punto de intersección de las dos,
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porque donde está este punto,
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a la izquierda es la función elevado a x más 2 y a la derecha es la función que no la había puesto aquí
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esta es la función elevado a menos x ¿vale?
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por lo tanto el área que sería la integral entre menos 2 y 0 lo tenemos que dividir como una suma de dos integrales
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entre menos 2 y 0 de la función elevado a x más, perdón, entre menos 2 y este punto
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que es el que quiero calcular ahora
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entre menos 2 y este punto
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de la función elevado a x más 2
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y entre este punto y 0
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de la función elevado a menos x
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¿Cómo se calcula ese punto?
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Pues es la intersección de las dos funciones
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es decir, lo que tenemos que hacer
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es igualar las dos funciones
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pues e elevado a x más 2
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queremos que sea igual a e elevado a menos x
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y no ponerse nervioso
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que esto es una tontería
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para que dos potencias sean iguales
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tienen que tener la misma base
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y por lo tanto el mismo exponente, como las bases son las mismas,
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x más 2 menos x, perdón, tiene que ser igual, es que ya la estaba resolviendo,
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x más 2 tiene que ser igual a menos x, por lo tanto,
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x más x tiene que ser igual a menos 2, 2x igual a menos 2, x igual a menos 1, ¿vale?
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luego este punto, más o menos a ojo se veía aunque los dibujos me han salido un poquito mal
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es el punto x igual a menos u
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por lo tanto el área que nosotros tenemos que buscar
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bueno, el apartado A sería simplemente hacer el dibujito
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el apartado B era calcular el área
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voy a subir para tener un poquito más de espacio
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y ahora lo que me están pidiendo es el área
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que es la integral entre menos 2 y menos 1 de la función elevado a x más 2 diferencial de x
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más la integral entre menos 1 y 0 de elevado a menos x diferencial de x.
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Si os dais cuenta no estoy poniendo valores absolutos porque hemos hecho el dibujo
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y vemos que todo el área queda por encima, ¿vale?
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Entonces no me hace falta poner el valor absoluto.
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Si me saliera negativo, tendríamos que revisar a ver dónde hemos hecho algo raro.
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Venga, pues nada, calculamos la primitiva de elevado a x más 2, es ella misma.
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Ya sé que las exponenciales, no sé por qué nos gustan, pero son maravillosas,
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porque es que nos sale siempre directa.
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La derivada del exponente es 1, por lo tanto no tengo que hacer nada más,
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y esto lo tengo que evaluar entre menos 2 y menos 1.
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Y ahora sería más la integral de elevado a menos x, que es ella misma,
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pero ahora sí que el exponente, la derivada del exponente es menos 1,
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luego tengo que poner un menos delante, y esto lo vamos a evaluar entre menos 2 y menos 1.
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Pues nada, sustituyamos, no, entre menos 2 y menos 1, estos son los de antes.
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Entonces, esta segunda integral es entre menos 1 y 0, entre menos 1 y 0, vale.
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Bueno, pues sustituimos en el menos 1, esto sería elevado, menos 1 más 2 es 1, menos, en el menos 2 sería elevado a 0, que es 1, vale.
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Y ahora tengo que hacer aquí más, bueno, más, tengo un menos delante, entonces en lugar de poner el más, voy a dejarlo como si fuera un menos, vale, menos.
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E elevado a 0 que es 1, menos 1
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Y ahora sería menos, como tenía el menos delante es un más
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En el menos 1 sería E
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Porque menos menos 1 es E
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Luego esto es igual a 2E menos 2 unidades al cuadrado
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Me decían que redondeara el resultado a dos decimales
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Ya sabéis que yo normalmente siempre digo dejarlo así
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Tiro de calculadora, pauso el vídeo y ahora os digo el resultado.
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Venga, pues esto sería 3,44 unidades al cuadrado, ¿vale?
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Pero si no me dicen redondear resultados y demás, lo podría dejar directamente aquí.
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- Materias:
- Matemáticas
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- Ejercicios resueltos
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- Francisca Beatriz P.
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- Fecha:
- 14 de diciembre de 2025 - 15:51
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES IGNACIO ALDECOA
- Duración:
- 09′ 09″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
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