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Concurso de Primavera - 2010- Nv 4 - Fase 1 - Ej. 12 - Contenido educativo

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Subido el 29 de junio de 2024 por Pelayo P.

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Ejercicio 12 de la competición matemática Concurso de Primavera, año 2010, Nivel 4, Fase 1

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Buenos días, buenas tardes o buenas noches. 00:00:01
Estamos aquí hoy reunidos para resolver el concurso de primavera de la Comunidad de Madrid del año 2010. 00:00:04
El nivel 4, que serían los primeros segundos de bachillerato de la primera fase. 00:00:12
El ejercicio 12. 00:00:18
Ejercicio que dice lo siguiente. 00:00:20
En la igualdad, 2x elevado a más... 00:00:23
2 elevado a x más 1. 00:00:27
Más 2 elevado a x. 00:00:28
Es igual a 3 elevado a y más 2 menos 3 elevado a y. 00:00:30
Se sabe que tanto x como y son enteros. 00:00:33
¿Cuál es el valor de x? 00:00:37
Y nos dan pues 5 posibilidades, como siempre. 00:00:39
Menos 1, 0, 1, 2 o 3. 00:00:42
Pues de esas 5, 1 será la correcta. 00:00:48
Esto es un problema de potencias. 00:00:53
Y en general los problemas de potencias en este concurso, 00:00:55
en este concurso, pues requieren poquita cosa. 00:00:57
Saber la definición de potencia, sus propiedades básicas, como que potencia de potencia es, 00:01:01
no tenemos la base y multiplicamos exponentes, y después, en este caso, nos va a hacer falta 00:01:08
el teorema fundamental de la aritmética, es decir, que si tenemos una igualdad entre 00:01:13
dos números, si está descompuesto en factores primos, los primos en los dos lados tienen 00:01:16
que coincidir y los exponentes de esos primos también tienen que ser iguales, si no el 00:01:21
número es otro. Muy bien, con esto y un detallito más, que, bueno, por eso es el 00:01:27
de nivel 4, que nos hará falta, podremos resolverlo. Lo que he dicho hasta ahora, pero 00:01:34
bueno, ya lo comento aquí, que si tenemos dos números iguales, en este caso, vamos 00:01:41
a decir que no sean negativos, ¿vale? Que en este caso, bueno, son 2 y 3, pues que aparecen, 00:01:48
No hay problema. Si no es ni 0 ni 1, pues elevado a x igual a elevado a y significa forzosamente que x es igual a y. 00:01:52
Si incluyésemos los negativos, que no es el caso, habría que quitar el menos 1 también. 00:02:01
Y entonces, vamos a resolverlo. 00:02:10
Primero, antes de nada, sacamos factor común. 00:02:12
Tenemos 2 elevado a x más 1, que es 2 elevado a x por 2. 00:02:14
Así que nos quedaría 2 más 1 en el lado izquierdo por 2 elevado a x. 00:02:18
Y en el lado derecho, sacando 3 elevado a y como factor común, pues nos quedaría 3 elevado a y que multiplica a 3 al cuadrado, que va a ser 9, menos 3. 00:02:22
Operamos y nos queda, pues, 2 elevado a x por 3 tiene que ser igual a 3 elevado a y por 8. 00:02:34
8, fijémonos, que es 2 al cubo. No es casualidad, ¿eh? 00:02:39
No es que sería más complicado de lo que parece el ejercicio. 00:02:43
Así que tendríamos ya finalmente, cogiendo todos los primos, 2 elevado a x por 3 es igual a 3 elevado a y por 2 al cubo, lo cual fuerza a que 2 elevado a x sea igual a 2 al cubo y 3 sea igual a 3 elevado a y. 00:02:46
Y en particular va a ser 1, que es el exponente del 3, y x va a ser 3, porque 2 elevado a x tiene que ser igual a 2 al cubo, como las bases son las mismas, los exponentes también tienen que ser los mismos. 00:03:02
Y así pues, la solución es la e de la letra b, la eta. 00:03:17
Lo único que había que pensar y tener un poquito más de cuidado 00:03:23
Era que había que sacar el factor común 00:03:28
Y a partir de ahí ya, haciendo las operaciones 00:03:29
Ya nos va cuadrando todo 00:03:31
Pues ya termina nada más 00:03:33
Termina este vídeo cortito 00:03:35
Con el refrán 00:03:38
Dicho expresión 00:03:40
Del castellano 00:03:42
Que es marcharse a la francesa 00:03:43
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Pelayo Palacio Pérez
Subido por:
Pelayo P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
6
Fecha:
29 de junio de 2024 - 19:17
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ALPAJÉS
Duración:
03′ 48″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
8.40 MBytes

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