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Cero entre Cero con Raíces - Contenido educativo

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Subido el 15 de marzo de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Vamos a seguir haciendo límites. Vamos a verlo primero, como siempre, sustituimos para ver qué tipo de indeterminación, si es que la hay, tenemos. 00:00:00
Bien, sustituyo la x por 0 y que me queda raíz de 1 menos raíz de 1, es decir, 0 entre 0. 00:00:09
Indeterminación. ¿Qué ocurre? Que habíamos dicho que cuando teníamos un 0 dividido entre 0 lo que teníamos que hacer es factorizar. 00:00:19
Pero claro, tenemos raíces, no puedo factorizar si tengo raíces porque no sabemos, ¿verdad? 00:00:26
Pero ¿qué es lo que acabamos de hacer en el vídeo anterior? 00:00:31
Si es que los estáis viendo en orden. 00:00:33
Hemos hecho cuando teníamos raíces, multiplicábamos y dividíamos por el conjugado. 00:00:35
Pues vamos a hacer el mismo truquito, vamos a hacer exactamente eso. 00:00:40
Siempre que tengamos raíces y una indeterminación, 00:00:43
pues vamos a multiplicar y dividir por el conjugado. 00:00:47
Por lo tanto me queda límite cuando x tiende a cero, 00:00:50
pero multiplicamos y dividimos por el conjugado donde esté una de las raíces, ¿vale? 00:00:55
En este caso me quedaría la raíz de 1 más x menos la raíz de 1 menos x, 00:00:59
y ahora ponemos el conjugado, raíz de 1 más x más la raíz de 1 menos x. 00:01:07
Y en el denominador mantenemos la x que teníamos y lo multiplicamos por la raíz de 1 más x 00:01:14
más la raíz de 1 menos x, ¿vale? 00:01:22
Por lo que hemos añadido. En el numerador es suma por diferencia, por lo tanto es diferencia de cuadrados y me queda aquí la raíz de 1 más x al cuadrado menos la raíz de 1 menos x al cuadrado. 00:01:25
En el denominador dejamos lo que teníamos, que es la raíz de 1 más x, o sea, x por la raíz de 1 más x más la raíz de 1 menos x. 00:01:45
Arriba se me va raíz con cuadrado, raíz con cuadrado y me queda el límite cuando x tiende a 0, ¿de quién? 00:01:56
Me queda 1 más x, un menos, os recuerdo, delante de un paréntesis cambia todo, menos 1 más x. 00:02:04
entre x por la raíz de 1 más x más la raíz de 1 menos x. 00:02:13
A ver, fijaros, el numerador se puede operar. 00:02:25
Tengo un más 1 y un menos 1 que se me va. 00:02:29
¿Y qué me queda? x más x. 00:02:32
Pues pongo igual a límite cuando x tiende a 0 de, 00:02:34
¿Qué me queda en el numerador? 00:02:41
x más x, 2x 00:02:44
Partido de x por la raíz de 1 más x 00:02:46
Más la raíz de 1 menos x 00:02:51
¿Qué ocurre? 00:02:55
Nosotros, que es lo que hemos dicho al principio 00:02:57
Cuando teníamos un 0 partido por 0 00:02:58
Hemos dicho que lo que se hace es factorizar 00:03:00
Bueno, pues con el truquito de multiplicar y dividir por el conjugado 00:03:03
Lo que conseguimos es que ahora ya nos quede más o menos factorizado 00:03:06
porque si yo no me doy cuenta y sustituyo 00:03:10
tengo arriba un 0, abajo un 0 por algo 00:03:13
que sigue siendo un 0 partido por 0 00:03:16
pero es que ahora ya sí que podemos, ya está factorizado 00:03:18
podemos simplificar el factor que nos hace 0 00:03:21
que es justamente esta x con esta x de aquí 00:03:24
y si se me va, que me queda límite 00:03:28
cuando x tiende a 0 de 2 partido de la raíz de 1 más x 00:03:31
más la raíz de 1 menos x, sustituimos la x por 0 y me queda arriba un 2 y abajo 1 más 0 es 1, 00:03:38
raíz de 1 es 1 y abajo más raíz de 1 otra vez, o sea, 1 más 1 es 2, 2 entre 2 es 1, ¿vale? 00:03:47
Entonces fijaos, lo que hacemos es el truquito de multiplicar y dividir por el conjugado donde haya raíces 00:03:56
para que ya podamos factorizar, lo normal muchas veces nos queda ya prácticamente factorizado, ¿vale? 00:04:01
Vamos a hacer el siguiente. Voy a bajar este para tener más espacio. 00:04:08
Venga, pues hacemos lo mismo. Sustituyo, me queda 0 más 0 es 0 y abajo me queda 0 más 4 es 4, raíz de 4 es 2, 2 menos 2 es 0. 00:04:17
Igual que antes, arriba puedo factorizar sacando factor común a la x pero abajo tengo la raíz. 00:04:30
Así que ahora multiplicamos y dividimos, pero ¿dónde está la raíz? Por el conjugado de esa expresión. 00:04:36
Luego me queda límite, cuando x tiende a 0, ¿de quién? 00:04:42
En el numerador dejo el x más x cuadrado y lo multiplico por 2 menos la raíz de x más 4 por 2 más la raíz de x más 4. 00:04:49
En el denominador 00:05:05
2 menos la raíz 00:05:10
Uy, no 00:05:13
¿Os habéis dado cuenta de lo que he hecho, verdad? 00:05:14
O sea, se me ha ido un poco la pinza 00:05:16
He puesto en el numerador lo que tendría que estar en el denominador 00:05:17
Es decir, este 2 menos raíz de x más 4 00:05:19
No estaba en el numerador 00:05:24
No lo puedo dejar aquí 00:05:26
¿Vale? Es la costumbre 00:05:27
Como estoy haciendo todos los vídeos seguidos 00:05:29
Pues se me ha ido 00:05:31
Pero bueno, ya sabéis que sin un vídeo no tengo un error así de estos 00:05:33
Pues no, no soy yo 00:05:37
El 2 menos raíz de x más 4 estaba abajo 00:05:39
¿Vale? Es decir, lo que yo tengo aquí es 00:05:44
2 menos la raíz de x más 4 00:05:47
Esto es lo que yo tengo 00:05:50
Y ahora lo que hago es multiplicar arriba y abajo por la expresión conjugada 00:05:52
Que es 2 más la raíz de x más 4 00:05:56
A ver, no pasa nada por equivocarse 00:06:00
Siempre y cuando nos demos cuenta de que nos hemos equivocado 00:06:04
vale, arriba se nos queda lo que tenemos, vale, límite cuando x tiende a 0 de x más x cuadrado por 2 más la raíz de x más 4 00:06:07
y en el denominador nos queda la suma por diferencia que es cuadrado del primero que sería 2 al cuadrado es decir 4 00:06:25
Bueno, lo pongo 2 al cuadrado menos la raíz de x más 4 al cuadrado. 00:06:34
Y el cuadrado y la raíz se me van. 00:06:45
Igual a, límite, cuando x tiende a 0, ¿de quién? 00:06:48
Arriba se me queda el x más x cuadrado, lo voy a factorizar porque me temo que se va a necesitar factorizar. 00:06:55
Eso sería x por x más x. 00:07:01
si saco factor común una x lo que me queda es un 1 más x vale disculpa y lo que teníamos 2 más la 00:07:06
raíz de x más 4 y en el denominador operamos y me quedan 4 el menos me cambia todo y me queda 00:07:19
aquí 4 menos x menos 4 el 4 con el menos 4 se me va y si os dais cuenta podríamos tachar ya también 00:07:28
las x que tengo arriba con el de abajo vale pero bueno por eso lo había factorizado lo voy a volver 00:07:39
a escribir por si acaso no lo vemos límite cuando x tiende a 0 arriba me queda x por 1 más x por 2 00:07:46
más la raíz de x más 4 no hace falta poner más paréntesis vale porque es todo un producto y abajo 00:07:56
que me queda? Simplemente menos x. Si sustituimos, como tengo aquí la x y tengo aquí la x, 00:08:05
este es el factor que va a hacer que sea 0 entre 0, pero yo puedo coger y simplifico 00:08:12
s con s, y ojo, que aquí abajo me va a quedar un menos 1, porque estoy simplificando, x 00:08:16
entre x es 1, y el menos se mantiene. Luego esto me quedaría límite, cuando x tiende 00:08:22
a 0 de, en el numerador queda 1 más x por 2 más la raíz de x más 4 y en el denominador 00:08:29
me queda menos 1. Y ahora ya sí sustituimos la x por 0 y me queda 1 por 2 más raíz de 00:08:42
4 que es 2 entre menos 1. Lo podríamos hacer todo de cabeza, ¿vale? Y esto queda exactamente 00:08:51
menos 4, ¿vale? 00:08:57
Venga, pues vamos con el siguiente 00:09:00
que es volver a hacer todo esto 00:09:02
igual que antes 00:09:04
o sea, lo mismo que hemos hecho 00:09:06
pero ahora en lugar de en el 0 00:09:08
es en el 2, da lo mismo 00:09:12
el número, ¿vale? Sustituimos 00:09:14
2 al cuadrado es 4 00:09:16
4 menos 4 es 0 00:09:17
y abajo me queda 7 más 2 es 9 00:09:19
raíz de 9 es 3, 3 menos 3 es 0 00:09:21
¿vale? 00:09:24
¿Qué conjugado tenemos que utilizar? 00:09:26
no el de arriba que es un polinomio 00:09:27
sino el de abajo, en el denominador 00:09:31
porque es el que tengo en la raíz 00:09:34
luego ponemos límite 00:09:35
cuando x tiende a 2 00:09:37
entre otras cosas el numerador 00:09:39
yo creo que todos sabemos 00:09:42
su factorización, ¿verdad? 00:09:43
es una expresión notable 00:09:47
de suma por diferencia, es una diferencia de cuadrados 00:09:48
pero bueno, en principio 00:09:50
bueno, vamos a ir poniéndolo allá 00:09:52
aunque sea más largo, eso es x más 2 00:09:54
por x menos 2 00:09:56
lo factorizamos porque se ve muy bien 00:09:58
y ahora tenemos que multiplicar 00:10:02
por el conjugado del denominador 00:10:04
que es 7 más x 00:10:06
raíz de 7 más x más 3 00:10:07
y abajo que me queda 00:10:09
pues lo que teníamos 00:10:12
la raíz de 7 más x 00:10:14
menos 3 00:10:15
por 00:10:18
el conjugado 00:10:19
7 más x más 3 00:10:21
A ver, en estos ejercicios sé que es un rollo que tenemos que estar todo el tiempo escribiendo lo mismo 00:10:24
Y no se me puede olvidar la palabra límite 00:10:31
Pero no tiene dificultad, veis que estamos haciendo todo el tiempo lo mismo 00:10:34
Me quedo aquí x más 2 por x menos 2 por la raíz de 7 más x más 3 00:10:39
En el denominador que me queda, cuadrado del primero, es decir, la raíz de 7 más x al cuadrado 00:10:49
Raíz y cuadrado se me van, menos cuadrado del segundo, que es 3 al cuadrado, 9 00:10:59
Vale, pues seguimos operando, no sé si me va a caber ahí todo el límite cuando x tiende a 2 00:11:05
vamos a ponerlo un chiquitito 00:11:13
x más 2 00:11:16
por x menos 2 00:11:18
por la raíz 00:11:21
de 7 más x 00:11:23
más 3 00:11:26
y en el denominador que me queda 00:11:27
pues el 7 más x 00:11:30
menos 9 00:11:32
seguimos operando el denominador 00:11:33
límite 00:11:36
si no queréis escribir tantos pasos 00:11:38
Sí que es cierto que este paso lo podríamos haber ya puesto el resultado de cabeza, ¿vale? 00:11:41
Pero si queremos asegurarnos, pues escribimos todo. 00:11:46
Otra vez, ponemos arriba el x más 2 por el x menos 2 por la raíz de 7 más x más 3. 00:11:51
Y abajo, ¿qué me queda? x, 7 menos 9 menos 2. 00:12:04
Y fijaos, este factor con este factor se me va 00:12:07
Por eso he factorizado el x cuadrado menos 4 00:12:12
Y ahora si sustituyo en el 2, que me queda 2 más 2, 4 00:12:15
Podría copiarlo, pero bueno, lo sustituimos directamente 4 por 7 más 2, 9 00:12:19
Raíz de 9 es 3, 3 más 3 00:12:26
Y lo mismo, todo esto lo podríamos hacer de cabeza 00:12:30
Hemos simplificado el de arriba con el de abajo 00:12:32
Luego abajo lo que me quedaría es un partido por 1 00:12:35
Que no haría falta ponerlo 00:12:38
¿Y esto cuánto es? 3 más 3, 6 00:12:39
6 por 4, 24 00:12:41
¿Vale? Si no me he equivocado en alguna operación 00:12:43
Pues eso es lo que nos da 00:12:46
Si me he equivocado ya me lo decís en clase 00:12:47
Vale, pues vamos con el siguiente 00:12:49
Aquí como en las fichas 00:12:51
Os fui poniendo a cada uno, uno diferente 00:12:54
Pues tenemos unos cuantos 00:12:56
Para hacer 00:12:58
Venga, este también es en el 2 00:12:59
Pues lo mismo 00:13:01
sustituimos raíz de 2 menos raíz de 2, 0 00:13:03
da igual que no sea exacta pero es la misma 00:13:07
raíz de 2 menos raíz de 2, 0 00:13:09
y abajo es 4 menos 4, 0 00:13:11
ahora la raíz es la que tenemos arriba 00:13:13
luego tenemos que multiplicar por su conjugado 00:13:18
límite cuando x tiende a 2 00:13:20
de raíz de x menos raíz de 2 00:13:23
por raíz de x más raíz de 2 00:13:29
Y en el denominador, x cuadrado menos 4, bueno, lo podría haber factorizado ya, venga, vamos a factorizarlo, que lo hemos visto antes, el x cuadrado menos 4 es x más 2 por x menos 2, ¿vale? Por la raíz de x más la raíz de 2. 00:13:34
Vale, pues lo de siempre, arriba, ¿qué es lo que tenemos? Suma por diferencia, ¿no? 00:13:52
Diferencia de cuadrados, yo espero que con todas las veces que lo estoy repitiendo se os quede ya en la cabeza 00:13:59
Luego esto será raíz de x al cuadrado, raíz y cuadrado se me va, menos el cuadrado del segundo, raíz de 2 al cuadrado, raíz y cuadrado se me va 00:14:05
Y abajo me queda x más 2 por x menos 2 por la raíz de x más la raíz de 2. 00:14:17
Bien, igual a límite cuando x tiende a 2, ¿de quién? 00:14:35
¿Qué me queda arriba? Pues simplemente x menos 2. 00:14:41
¿Qué me queda abajo? Un x más 2 por un x menos 2 por la raíz de x más raíz de 2. 00:14:44
¿Qué ocurre? Que tengo un mismo factor arriba y abajo. 00:14:55
Si no hubiera factorizado el x cuadrado menos 4 al principio, pues aquí al sustituir nos hubiera quedado 0 partido por 0 y por lo tanto tendríamos que haber factorizado. 00:14:59
Tacho el x menos 2 con el x menos 2 00:15:11
Y vamos a ir poniendo aquí lo que me queda 00:15:15
Vamos a sustituir ya y que me queda arriba 00:15:19
Arriba me queda un 1 00:15:21
Al simplificar el x menos 2 me queda un 1 00:15:22
Luego esto es un 1 partido de 00:15:26
No pongo límite porque voy a sustituir ya entre 2 00:15:29
2 más 2 es 4 00:15:32
Que multiplica aquí en raíz de 2 00:15:34
Más raíz de 2 00:15:37
¿cuánto es la raíz de 2 más raíz de 2? 00:15:39
ojo, no es raíz de 2 al cuadrado, es 2 raíz de 2 00:15:43
luego esto es 1 partido de 4 por 2 00:15:46
bueno, vamos a ponerlo para 00:15:49
¿vale? raíz de 2 más raíz de 2 es 2 raíz de 2 00:15:50
y ahora multiplico y me queda 00:15:55
1 partido 4 por 2, 8 raíz de 2 00:15:56
¿vale? y aquí me sirve 00:15:59
pero si lo queremos racionalizar, ya que este era rápido 00:16:03
¿recordáis cómo se hacía? multiplicar y dividir por la raíz 00:16:05
Tengo aquí raíz de 2 por raíz de 2 y arriba por raíz de 2 00:16:08
1 por raíz de 2 es raíz de 2 y abajo que me queda raíz de 2 por raíz de 2 00:16:13
Ahora sí que hay raíz de 2 al cuadrado 00:16:19
Si me iría la raíz con el cuadrado me quedaría 2 por 8, 16 00:16:20
¿Vale? 00:16:24
Así es como los deberíamos dejar porque así nos quedan más bonitos 00:16:26
Vale, pues vamos con el siguiente límite 00:16:29
Todavía nos quedan de la ficha otro 2, este y otro 00:16:31
Vale, pues seguimos 00:16:37
igual sustituimos 5 por 0 es 0 y abajo raíz de 1 menos 1 es 0 00:16:39
pues lo mismo que en los anteriores 00:16:47
multiplico y divido por el conjugado de donde está la raíz 00:16:51
es decir del denominador 5x que ya está factorizado 00:16:58
no lo tendría que factorizar 00:17:02
por la raíz de 1 menos x menos 1 y abajo me queda, perdón, menos 1 no, hemos dicho de multiplicar por quien, por el conjugado 00:17:03
y el conjugado si tengo aquí un menos sería con un más, vale, y me quedaría arriba raíz, o sea perdón, abajo 1 menos x menos 1 00:17:15
que es lo que tengo, multiplicado por la raíz de 1 menos x más 1, igual a... 00:17:28
A ver, pues si es igual al límite, he parado un momentito, ¿vale? 00:17:39
Entonces a lo mejor no tiene, no sé cómo he terminado la frase antes. 00:17:42
Límite cuando x tiende a 0 de 5x por la raíz de 1 menos x más 1, 00:17:46
y abajo ya aplicamos lo de suma por diferencia, diferencia de cuadrados, ¿vale? 00:17:55
El cuadrado del primero, raíz de 1 menos x, todo el cuadrado, menos el cuadrado del segundo, que es 1, 00:18:00
voy a poner el cuadrado, ¿vale? Lo pongo simplemente para que lo veáis, porque sé que hay alguno que luego 00:18:08
deberíais tener súper controlado las expresiones notables, pero bueno, lo pongo para que se vean todos los pasos. 00:18:12
Y igual a, límite cuando x tiende a 0, en el numerador me queda el 5x por la raíz de 1 menos x, menos x más 1. 00:18:19
Y en el denominador la raíz con el cuadrado se me va y me queda 1 menos x, ojo aquí, mira, me ha venido bien al haberlo dejado. 00:18:35
El cuadrado solo está con el 1, no está con el menos, ¿vale? 00:18:44
No es menos 1 al cuadrado, el menos está afuera 00:18:50
Luego es primero el 1 al cuadrado que es 1 y luego me queda el menos 00:18:54
O sea, menos 1 00:18:58
Y de esta manera el 1 con el menos 1 se me va 00:18:59
Y ahora, esto ya nos ha pasado algo parecido en alguno de los de arriba 00:19:03
Podemos simplificar porque nos queda arriba una x, ¿vale? 00:19:07
Esta x con la x de aquí abajo 00:19:12
Podemos coger también y simplificar esta x con esta x 00:19:14
Pero ojo que me queda un menos 00:19:18
Ese menos de la x no se me va 00:19:20
Luego esto sería igual al límite cuando x tiende a 0 00:19:22
¿De quién? 00:19:29
En el numerador me queda 5 por la raíz de 1 menos x más 1 00:19:30
Y en el denominador hemos dicho que nos quedaba ese menos 00:19:37
Luego me queda un menos 1 00:19:41
No me queda un menos solo, obviamente. Me queda siempre con el 1, porque x entre x es 1. 00:19:43
Y ahora ya sustituimos en el 0 y me queda aquí 5. Lo mismo, esto lo podemos hacer de cabeza, ¿vale? 00:19:49
Me queda 5 que multiplica la raíz de 1 menos 0, que es 1, 1 más 1, 2, bueno, 1 más 1, y abajo partido por menos 1. 00:19:55
1 más 1 es 2, por 5, 10, con el menos, menos 10. ¿Vale? 00:20:05
Bien, voy a poner a cargar, que se está yendo un poco la luz 00:20:09
Vale, es que se me había quedado la pantalla un poquito más oscura 00:20:13
Porque me estaba quedando sin batería 00:20:17
No sé si eso en el vídeo se veía o no se veía 00:20:18
Vale, pues vamos ya con el último límite que ya tenemos de este estilo 00:20:20
De los que teníamos de la ficha 00:20:24
¡Uah! Que se me va 00:20:26
Vale, pues igual que antes, ¿vale? 00:20:27
Raíz de 0 más 9 es raíz de 9x3 00:20:32
3 menos 3, 0 00:20:35
y en el denominador 0 más 16 es 16, 16 es 4, 4 menos 4 es 0. 00:20:37
Fijaos, ahora tengo raíces en los dos sitios. 00:20:45
¿Qué tenemos que hacer? Pues multiplicar y multiplicar por el conjugado de los dos. 00:20:49
Este va a ser un poquito más largo. 00:20:54
Igual a límite cuando x tiende a 0. 00:20:58
Voy a empezar copiando lo que tenemos. 00:21:03
Arriba teníamos la raíz de x más 9, menos 3 00:21:05
Y abajo tenemos la raíz de x más 16, menos 4 00:21:13
Siempre que nos den 0, las dos raíces, tendríamos que multiplicar y dividir por el conjugado de los dos 00:21:19
Así que empezamos poniendo el conjugado del numerador, x más 9 más 3, lo ponemos arriba y abajo, x más 9 más 3, 00:21:27
Y ahora el conjugado del denominador, raíz de x más 16 más 4, x más 16 más 4. 00:21:41
Como el producto ya sabéis que es conmutativo, podría haber puesto este, o sea, podríamos haberlos puesto juntos, ¿vale? 00:21:58
pero bueno, para el caso da igual, la cuestión es que tenemos que multiplicar por los dos, lo puedo hacer a la vez. 00:22:05
Límite cuando x tiende a 0, ¿qué me queda arriba? 00:22:12
Arriba tengo la raíz de x más 9 menos 3 por la raíz de x más 9 más 3, es suma por diferencia, 00:22:16
así que tengo la diferencia de cuadrados que es la raíz de x más 9 al cuadrado menos 3 al cuadrado 00:22:24
y todo esto multiplicado por la raíz de x más 16 más 4, ¿vale? 00:22:32
Y en el denominador, pues lo que había marcado, esta menos con este más es la suma por diferencia, 00:22:44
luego me queda aquí también la diferencia de cuadrados, que sería la raíz de x más 16 al cuadrado menos 4 al cuadrado. 00:22:50
Todo esto multiplicado por la raíz de x más 9 más 3. 00:23:01
Quitamos raíz con cuadrado, raíz con cuadrado y operamos. 00:23:14
¿Y qué me queda aquí? Límite cuando x tiende a 0, ¿de quién? 00:23:20
Bien, ¿qué me queda en el numerador? Pues me queda un x más 9 menos 3 al cuadrado, ¿cuánto es? 9, ¿vale? 00:23:26
Y todo esto multiplicado por la raíz de x más 16 más 4. 00:23:36
Y en el denominador me queda x más 16 menos 4 al cuadrado, o sea, menos 16. 00:23:45
recordad lo que he dicho antes con el menos, el menos no está dentro del cuadrado, por la raíz de x más 9 más 3. 00:23:54
Arriba el 9 con el menos 9 se me va, el 16 con el menos 16 se me va, y me quedaría, podría también simplificar la x, 00:24:08
pero ahora voy a escribir. ¿Cuándo x tiende a 0? ¿De quién? 00:24:15
Arriba me queda una x sola que multiplica a la raíz de x más 16 más 4. 00:24:20
Y abajo me queda otra x sola que multiplica a la raíz de x más 9 más 3. 00:24:29
Fijaos que como estoy calculando el límite en el 0, 0 es la raíz, luego el factor es x menos 0, es decir, x. 00:24:36
Ahora la x con la x se me va y ya podemos sustituir 00:24:43
0 más 16 es 16, raíz de 16 es 4 00:24:48
4 más 4 es 8 y en el denominador 00:24:52
0 más 9 es 9, raíz de 9 es 3, 3 más 3 es 6 00:24:55
8 sextos, pero sabemos que siempre que tenemos una fracción se simplifica 00:24:59
Divido entre 2 y me queda 4 tercios, ¿vale? 00:25:04
En lugar de 8 sextos 00:25:08
Y este sería, y estoy bajando por si acaso queda alguno más, nada, hemos hecho todos los de la ficha. 00:25:09
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
40
Fecha:
15 de marzo de 2025 - 17:03
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
25′ 17″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
57.41 MBytes

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