Ejemplo Proabilidad Teorema de Bayes | Mediateca de EducaMadrid

Vamos a ver cómo se resolvería este problema de probabilidad. 00:00:00

Lo primero, como siempre os digo, es leerlo. 00:00:04

En una empresa de auditoría se ha contratado a tres personas para inspeccionar a las empresas bancarias realizando las correspondientes auditorías. 00:00:07

La primera de ellas se encarga de efectuar el 30%, la segunda el 45% y la tercera el 25% restante. 00:00:14

Se ha comprobado que el 1% de las inspecciones que realiza la primera persona son erróneas. 00:00:24

La segunda persona comete un 3% de errores y la tercera un 2%. 00:00:29

Y me piden calcular a A, haya la probabilidad de realizar una auditoría correctamente 00:00:35

y B, al elegir una inspección no correcta, cuál es la probabilidad de que la haya realizado la segunda persona. 00:00:41

Según lo hemos leído, nos tendríamos que dar cuenta que es el típico problema en el que tenemos que hacer el árbol 00:00:48

para aplicar el teorema de Bayes. 00:00:54

Porque nuestra población está dividida en tres personas. La primera, la segunda y la tercera. Y luego cada una de ellas, ¿qué es lo que puede hacer? Puede cometer error o puede no cometer errores. 00:00:57

Entonces, lo primero, antes de hacer el árbol, vamos a identificar a los sucesos. Voy a llamar A, a que la auditoría la haga la primera persona, a que la auditoría la haga la segunda persona, 00:01:09

y vamos a llamar C a que la auditoría la lleve a cabo la tercera persona. 00:01:32

Esa es nuestra población en la que queda dividida. 00:01:46

¿Y qué es lo que tenemos que ver? ¿Qué es lo que nos dicen? 00:01:49

Lo que nos están hablando es de que cometen errores. 00:01:52

Vamos a llamar E al suceso haber cometido error a la hora de hacer la auditoría. 00:01:54

Y una vez que ya tenemos identificados los sucesos, lo único que tenemos que hacer ya es nuestro diagrama. Es decir, por un lado tenemos que la auditoría la realice la persona A, por otro lado que la realice la persona B y por otro lado que la realice la persona C. 00:02:01

La persona A, ¿qué puede hacer? Puede cometer un error al hacer la auditoría o puede no cometer un error. La persona B, lo mismo, puede cometer un error o no cometer un error. Y la C puede cometer un error o no cometer un error. 00:02:21

Y ahora, una vez que ya tenemos calculado, o sea, escrito la básica del diagrama, 00:02:45

pues ahora calculamos las probabilidades. 00:02:52

¿Qué es lo que me dicen? Que la primera se encarga del 30%, el 30% es 0,3. 00:02:53

La segunda persona el 45%, es decir, 0,45. 00:03:00

Y la tercera persona el 25% restante, porque recordad que siempre tiene que sumar 1. 00:03:05

Y ahora, ¿qué me dicen? Que se ha comprobado que el 1% de las inspecciones que realiza la primera persona son erróneas. Es decir, la probabilidad de error es el 1%, 0,01. Por lo tanto, de no cometer error sería el 0,99. 00:03:11

De la segunda persona que cometa un error es el 3%, es decir, 0,03, lo que no lo cometa es 0,97 y de la tercera persona un 2%, 0,02, es decir, el no cometer 0,98, ¿vale? 00:03:28

Ya tenemos nuestro árbol con sus probabilidades, pues ahora ya vamos a ponernos a calcular lo que nos piden. 00:03:48

Apartado A, probabilidad de que la auditoría haya sido correctamente, es decir, que no se haya cometido un error. 00:03:57

Vale, pues esto por un lado es la probabilidad de que la auditoría la haya llevado a cabo la persona, la primera persona, 00:04:08

por la probabilidad de que no haya tenido ningún fallo sabiendo que es la primera persona más la 00:04:15

probabilidad que la auditoría la haya llevado la segunda persona por la probabilidad de que no haya 00:04:23

tenido ningún fallo sabiendo que ha sido la segunda persona más la probabilidad de que la haya llevado 00:04:29

la tercera persona por la probabilidad de que no haya cometido ningún fallo si lo ha llevado la 00:04:36

tercera persona. Este es el teorema de la probabilidad total. Y ahora sustituimos. Igual 00:04:42

a probabilidad de A, 0,3, por la probabilidad que no haya tenido un fallo siendo de la persona 00:04:49

A, pues 0,99. Más que lo haya llevado la persona B, 0,45, por la probabilidad de que 00:04:58

no haya tenido un error la segunda persona, 0,97. Más que lo haya tenido la tercera persona, 00:05:07

lo haya llevado la auditoría, 0,25, porque no haya tenido ningún fallo, 0,98. Y ahora 00:05:15

esto cogemos la calculadora y vamos a ver cuánto nos da. Nos da 0,9785. 00:05:24

9, 7, 8, 5, que lo podemos aproximar a 0,98, ¿vale? Para no poner los cuatro decimales. 00:05:37

Pues ya sería la probabilidad de haber realizado la auditoría correctamente. 00:05:47

Y ahora me piden el apartado B. 00:05:52

El apartado B me dice, al elegir una inspección no correcta, es decir, a las ondas que tienen errores, 00:05:55

¿cuál es la probabilidad de que la haya realizado la segunda persona? 00:06:01

Es decir, es una condicionada. 00:06:05

¿Cuál es la condición que no sea correcta? 00:06:07

Es decir, que tenga un error. 00:06:09

Queremos calcular la probabilidad que la haya hecho la segunda persona. 00:06:11

En nuestro caso la hemos llamado b. 00:06:15

Vale, pues este es el teorema de Bayes. 00:06:17

Y si no queremos aplicar directamente, si no nos acordamos del teorema de Bayes, 00:06:19

aplicamos la fórmula de la condición, de la probabilidad condicionada, 00:06:23

que es la intersección entre la condición. 00:06:27

Pero si calculamos cuánto es la probabilidad de la intersección, aquí ya es donde ponemos lo de Valles, 00:06:34

la probabilidad de que la haya hecho B y además que haya tenido un error es la probabilidad de B 00:06:39

por la probabilidad de que tenga un error habiéndolo hecho B. 00:06:45

Partido por la probabilidad de que tenga un error, como tenemos calculado el contrario, 00:06:53

pues lo ponemos como 1 menos la probabilidad de que no haya tenido ningún error. 00:06:59

Y así aprovechamos ya lo que hemos calculado y no lo calculamos dos veces. 00:07:04

Probabilidad de B, esto es 0,45, por, ojo que ahora es la probabilidad de que haya cometido un error siendo de B, 0,03, partido por 1 menos lo que acabamos de calcular. 00:07:08

Lo vamos a poner aproximado, ¿vale? Con el 0,98 que habíamos puesto. 00:07:24

Y volvemos a tirar de calculadora y vamos a ver cuánto da. 00:07:29

Pues si no me he equivocado nos daría 0,675, que como siempre os digo que lo dejemos en dos decimales se aproximaría como 0,68. 00:07:34

Y ya estaría el ejercicio. 00:07:46