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Ejemplo Matriz Inversa con Parámetro - Contenido educativo

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Subido el 19 de enero de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Vamos a hacer este ejercicio que es el número 17 del tema 8, que está en la página 167. 00:00:00
Es un problema muy típico de examen. 00:00:06
Me dicen considerar la matriz A que depende de un parámetro A 00:00:09
y me dicen que para qué valores de A la matriz A tiene inversa. 00:00:12
También me podría haber dicho que calcule los valores de A para que la matriz sea regular. 00:00:17
Es lo que os decía, que tenemos que sabernos los nombres. 00:00:22
La matriz A es cuadrada, por lo tanto esa primera propiedad la cumple 00:00:25
La segunda es que el determinante para que exista inversa tiene que ser distinto de 0 00:00:30
Así que lo primero que tenemos que hacer para el apartado A es calcular el determinante de A 00:00:35
Determinante de A, aquí tenemos A cuadrado, 2A, 1A, A más 1, 1, 1, 2, 1 00:00:40
Pues aplicamos ARRUS y ¿qué me queda? 00:00:57
Diagonal principal, A cuadrado por A más 1 por 1, es decir, A cuadrado por A más 1 00:01:01
el por 1 no lo voy a poner 00:01:07
más 2A por 1 por 1 es 2A 00:01:10
más A por 2 por 1 es otro 2A 00:01:14
y ahora los que restamos 00:01:19
diagonal secundaria 00:01:21
1 por A más 1 por 1 es A más 1 00:01:22
menos 2A por A por 1 es 2A cuadrado 00:01:26
menos 1 por 2 por A cuadrado 00:01:32
Pues menos 2 a cuadrado. Es decir, esto es, vamos a ir operando, a cuadrado por a es a cubo, más a cuadrado por 1 es a cuadrado, 2a más 2a es 4a, menos a más 1, un menos delante de un paréntesis, 00:01:37
Esto es menos a menos 1 y menos 2a al cuadrado menos 2a al cuadrado menos 4a al cuadrado. 00:01:59
Seguimos operando y nos queda a cubo, a al cuadrado menos 4a al cuadrado menos 3a al cuadrado, 00:02:08
4a menos a más 3a menos 1. 00:02:23
Este es el determinante de la matriz. Entonces, nosotros lo que queremos hacer es ver para qué valores este determinante es 0. 00:02:29
Para los valores en los que el determinante sea 0, son para los que no existe la matriz. 00:02:38
Es un polinomio de orden 3, una ecuación cúbica. Tenemos que hacer Ruffini para poder resolverlo. 00:02:44
Entonces, a ver, por Ruffini, 1 menos 3, 3 menos 1, si os fijáis todos suman 0, por lo tanto eso significa que se puede dividir entre el 1. 00:02:52
1 por 1 es 1, menos 3 más 1 es menos 2, 1 por menos 2 es más 2, 3 menos 2 es 1, 1 por 1 es 1, menos 1 más 1 es 0. 00:03:03
¿Vale? Luego este polinomio factoriza como a menos 1 por a cuadrado menos 2a más 1 igual a 0 00:03:13
A ver, podríamos seguir haciendo Ruffini porque se ve claramente que vuelve a dar 0 si lo sumo 00:03:26
¿Vale? 1 por 1 es 1, menos 1, menos 1 es 0 00:03:37
Y entonces me queda a menos 1 por a menos 1 por, y el que me queda abajo es otra vez, a menos 1 igual a 0. 00:03:43
Es decir, en el fondo ese polinomio es a menos 1 elevado al cubo. 00:03:55
Para que un producto sea 0, cada uno de los factores tiene que ser 0. 00:04:01
En este caso, como es el mismo factor, me queda que a menos 1 es igual a 0. 00:04:06
es una raíz triple, a es igual a 1, ¿vale? 00:04:10
Si fueran otros números, pues nos habrían salido tres números, dos los que fueran. 00:04:15
Por lo tanto, ahora, ¿qué es lo que tendríamos que ver? 00:04:21
¿Cuál es el único número que hace que este determinante sea cero? 00:04:23
El a igual a 1. 00:04:27
Luego, entonces, ahora respondemos, si a es distinto de 1, ¿qué ocurre? 00:04:28
que el determinante de A 00:04:36
es distinto de 0 00:04:38
y por lo tanto 00:04:40
existe la inversa 00:04:42
eso es 00:04:44
discutir, justificar la respuesta 00:04:46
¿vale? 00:04:48
y ahora que me están pidiendo en el apartado B 00:04:49
para A igual a 0 00:04:51
haya la inversa, ya sabemos que para A igual a 0 00:04:54
va a existir inversa 00:04:56
porque el único valor para el que no existe inversa 00:04:58
es el 1, también hay veces que también 00:05:00
si queréis podemos ponerlo aquí 00:05:02
si A es igual a 1 00:05:03
significa que el determinante de A es 0 00:05:05
y por lo tanto no existe A menos 1, ¿vale? 00:05:08
Con poner 1 en el fondo serviría, pero podemos poner las dos. 00:05:14
Entonces vamos a calcular la inversa. 00:05:18
Para ello me voy a quedar aquí arriba con el determinante de A. 00:05:21
El determinante de A era A cubo menos 3A cuadrado más 3A menos 1. 00:05:24
¿Y para qué me quedó eso? Porque voy a borrar toda la parte de abajo para tener espacio para lo siguiente. 00:05:34
Vale, ya he borrado la pizarra para que me quede todo, para tener todo el espacio. 00:05:41
Entonces he mantenido el valor porque claro, ahora para calcular la inversa, para la igual a cero, 00:05:46
no vuelvo a calcular el determinante, ya lo tengo calculado. 00:05:51
Lo único que tengo que hacer es que si a es igual a cero, ¿cuánto vale el determinante de a? 00:05:54
Pues sustituimos, cero menos cero más cero es cero y que me queda menos uno. 00:05:59
que ya lo sabíamos, que existía la inversa para ese valor, 00:06:04
pero si quieres también lo podemos volver a poner, es distinto de cero, 00:06:09
por lo tanto existe a menos uno, cosa que sabíamos por el apartado A. 00:06:11
Y ahora ya escribimos cómo nos quedaría la matriz A, 00:06:16
para A igual cero es cero, cero, uno, cero, uno, dos, uno, uno, uno. 00:06:20
Esta es mi matriz A. 00:06:31
Pues a ver, para calcular la inversa, sabemos, lo voy a hacerlo aquí a la izquierda, a menos 1 era 1 partido por el determinante de a de la traspuesta de la adjunta. 00:06:33
Pues lo hacemos todo de una vez. Esto sería 1 partido de menos 1 por la matriz. 00:06:48
Vamos a poner los signos, más, menos, más, menos, más, menos, más, menos, más 00:06:55
Y como ya voy a poner directamente la traspuesta 00:07:05
Voy a empezar haciéndolos por la primera fila 00:07:09
Y los voy a colocar en la primera columna 00:07:13
Vamos a ir calculando los menores, ya que he puesto los signos de los adjuntos 00:07:16
Entonces para el primer elemento, tacho, primera fila, primera columna 00:07:20
me queda 1 por 1 menos 1 por 2, que sería menos 1, así que menos 1. 00:07:24
El segundo tacho, primera fila, segunda columna, y me queda 0 por 1 es 0, 1 por 2, 2, así que me queda menos 2. 00:07:30
Y lo ponemos aquí, que podríamos haber tachado ya directamente y haber puesto el más 2, ¿vale? 00:07:39
Y ahora el tercer elemento, tacho primera fila, tercera columna, y me queda 0 por 1, 0, menos 1 por 1, menos 1. 00:07:44
Y lo ponemos aquí 00:07:51
Ahora voy a la segunda columna 00:07:54
Tacho segunda columna, primera fila 00:07:56
Y me queda 0 por 1 es 0 00:07:58
Menos 1 por 1, 1 00:08:00
Y ahora lo estoy poniendo en la segunda columna 00:08:01
Segundo elemento 00:08:04
Tacho segunda fila, segunda columna 00:08:06
Y me queda 0 por 1, 0 00:08:08
Menos 1 por 1, 1 00:08:10
Menos 1 por 1, 1 00:08:11
Así que me falta el menos, que me lo he comido 00:08:15
Y el último elemento 00:08:16
Tacho segunda fila, tercera columna 00:08:18
Y me queda 0 por 1 00:08:21
Bueno, tengo una fila de ceros, así que directamente es cero. 00:08:22
Y por último, calculo los menores de la tercera fila y los pongo en la tercera columna. 00:08:27
Tacho primera fila, primera columna y me queda cero por dos, cero, menos uno por uno, menos uno. 00:08:35
Tercera fila, segunda columna, tengo una columna de ceros, así que va a ser cero. 00:08:42
Y el último elemento, tacho tercera fila, tercera columna y me queda lo mismo, vuelvo a tener fila y columna de ceros, lo opuesto es cero. 00:08:46
Por lo tanto, la matriz inversa va a ser, tengo que dividir o multiplicar todo por menos uno, así que es cambiar los signos que me quedan. 00:08:54
Aquí me quedaría menos uno, luego es más uno, menos uno, más uno, menos uno, más uno. 00:09:02
Ahí es más dos, luego menos dos, menos uno, más uno, el cero, que no le ponemos signo, menos uno, uno, cero y cero. 00:09:07
Así que si no me he equivocado, esa sería la matriz inversa. 00:09:16
Lo he estado repasando y he visto que efectivamente he cometido un fallo. 00:09:21
Y es en este elemento. 00:09:26
Se me ha olvidado poner el menos. 00:09:29
Este elemento era de la segunda fila. 00:09:31
Es el menor correspondiente a este elemento. 00:09:35
Que teníamos que tachar esta fila y esta columna. 00:09:39
¿Y qué me quedaba? 00:09:42
0 por 1 es 0, menos 1 por 1 00:09:43
Es decir, me quedaba menos 1 00:09:46
Me he comido aquí el menos 00:09:47
Porque el otro menos era por el signo del adjunto 00:09:49
Por lo tanto, este era positivo 00:09:52
Como teníamos aquí el menos 00:09:54
Aquí me queda el menos 00:09:55
¿Vale? Siempre conviene 00:09:57
Ir, a ver, es lo que siempre os digo 00:09:58
Vosotros lo vais haciendo del papel y vais tachando 00:10:01
Yo lo estoy haciendo aquí un poco a ciegas 00:10:03
Y bueno, pues se tienen fallos 00:10:05
Pero bueno, siempre para un momentito 00:10:08
Lo vuelvo a repasar y ya está 00:10:10
Lo que espero es que en el momento que yo le haya estado diciendo 00:10:12
Alguno os hayáis dado cuenta de que he cometido un fallo 00:10:15
Eso es importante, ¿vale? 00:10:20
Creo que por todo lo demás está correcto 00:10:22
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
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    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
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Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
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Fecha:
19 de enero de 2025 - 21:03
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
10′ 27″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
24.83 MBytes

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