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T11 - Ej 71 - Contenido educativo
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Hola, vamos con el problema 71. Me dicen el módulo de u que vale 3, el módulo de v que vale 5 y me piden que calcule los posibles valores del parámetro real a, es decir, a es un número, para que los vectores u más av y u menos av sean ortogonales.
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Entonces, ¿qué significa que sean ortogonales? Pues que sean ortogonales o perpendiculares lo que significa es que el producto escalar es cero. Eso es algo que tenemos que tener como muy claro.
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Pero cuando me hablen de algo ortogonal, tengo que pensar siempre en que su producto escalar es 0.
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Es decir, vamos a partir de que u más av, ¿vale?
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Por, de manera escalar, u menos av, yo sé que esto va a ser 0, porque queremos que sean ortogonales.
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Venga, pues vamos a desarrollar.
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Ya sabemos que el producto escalar es conmutativo, también es distributivo, ¿vale?
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Entonces, bueno, pues vamos a ir multiplicando u por u, el vector u por sí mismo, menos a por u por v, ¿vale? Más a por u por v. Estoy aplicando las propiedades asociativas y conmutativas del producto a escalar, ¿vale?
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Por eso lo estoy colocoponiendo, he dejado fuera o delante el parámetro y aquí hubiera sido v por a, pero he puesto ya u por v, ¿vale?
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Y luego me queda menos a por a, a al cuadrado, v por v.
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Como es un número lo pongo al cuadrado, ¿vale?
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V por v. Y queremos que esto sea cero.
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Vale, pues a ver, ¿cuánto es el producto escalar de un vector por sí mismo?
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Pues el ángulo que forma un vector consigo mismo es 0 grados y el coseno de 0 es 1, ¿vale? Es decir, el producto escalar de dos vectores, os lo pongo aquí, cuando no lo tengo de manera analítica, esto era el módulo de 1 por el módulo del otro por el coseno del ángulo que forman los dos vectores, ¿vale?
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Por lo tanto, en este caso, esto sería el módulo de u por el módulo de u por el coseno de 0, que es 1.
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¿Qué le ocurre al segundo y al tercer sumando? Pues que es exactamente lo mismo, pero opuestos, ¿vale?
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Uno negativo y otro positivo, por lo tanto, con este se me va.
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Y que me va a quedar aquí, menos a cuadrado, y lo mismo que antes, pero con v, módulo de v por módulo de v.
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y queremos que esto sea 0, pues sustituimos los valores que tenemos, el módulo de v es 3,
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por lo tanto 3 por 3 es 9, menos a cuadrado, y el módulo de v es 5, por 5, 25.
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Esto es igual a 0 y de aquí ya despejamos que la a al cuadrado queremos que sea 9 partido de 25,
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por lo tanto la a que buscamos puede ser el más menos que no se nos olvide,
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la raíz de nueve veinticinco agos, lo que es lo mismo, tres quintos.
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Pues esto ya estaría hecho el ejercicio, ¿vale?
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El problema es muy sencillito.
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Solo tenemos que partir de lo que significa el producto escalar,
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o sea, que sean ortogonales, que el producto escalar sea cero,
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y aplicar bien las propiedades asociativas y conmutativas del producto escalar.
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Recordad, el producto escalar sí es conmutativo, el vectorial no.
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- Materias:
- Matemáticas
- Etiquetas:
- Ejercicios resueltos
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Bachillerato
- Primer Curso
- Segundo Curso
- Subido por:
- Francisca Beatriz P.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 1
- Fecha:
- 3 de abril de 2026 - 12:42
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES IGNACIO ALDECOA
- Duración:
- 03′ 39″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 8.21 MBytes