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T6 - Ej 31 - Contenido educativo
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Vamos con el ejercicio 31, que me piden calcular el área de la región limitada por estas dos curvas, ¿vale?
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A ver, ¿qué es lo que podemos, o qué es lo que nos tienen que decir primero estas dos curvas?
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La primera, la y igual a x cuadrado partido por 2, está claro que es una parábola, es la parábola básica,
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dividida entre dos, ¿vale?
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Simplemente nos va a dar la amplitud que va a ser menos abierta de lo que es la x cuadrado.
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De la segunda función, la 1 partido por x cuadrado más 1, lo que podemos, así a simple vista, tendríamos que darnos cuenta de que va a tener asíntotas horizontales en el más y en el menos infinito, porque si yo calculo el límite del más menos infinito, eso se va a cero.
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Eso es algo que así a ojo tendríamos también que verlo, y además es una función par, luego va a ser simétrica con respecto del eje y, ¿vale?
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Porque al ser la x al cuadrado y lo demás no cambia, va a ser el mismo tipo de función.
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Por lo tanto, el dibujo aproximado, y digo aproximado porque ya sabéis que yo simplemente hago esbozos, no lo calculo nada bien,
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La primera es la x cuadrado partido por 2, bueno, voy a poner algunos, o bueno, no sabía si poner algunos valores o no, da igual, mejor no los voy a poner, porque lo voy a hacer directamente a ojo.
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La primera función, la x cuadrado partido por 2, vamos a poner que es una parábola sonriente, como no sabemos los valores, y la otra función, esta la voy a poner moradito, lo que os he dicho es que yo sé que va a tener una asíntota horizontal en el menos y en el más, además son funciones continuas porque no se anula en ningún punto,
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ya que x cuadrado más 1 no se anula en los números reales, y en el 0 esto va a valer 1.
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Por lo tanto, de alguna manera, no sé cómo va a ser, pero esto va a tener que ser algo parecido a así.
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Bueno, me ha quedado bastante horrible.
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A ver si consigo... Si esto viene, por ejemplo, hasta aquí, luego va a tener que ser igual, por acá.
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Es decir, que el área que me están pidiendo calcular es justamente este trocito
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Por hacernos una idea de cómo va a quedar
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Luego lo que necesito calcular es este punto y este punto
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Que por simetrías tendrían que ser el mismo pero los valores opuestos
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Para calcular esos valores, ¿qué es lo que vamos a hacer?
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Igualamos o resolvemos el sistema
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vale, y igual a x cuadrado partido por 2, la otra es y igual a 1 partido por x cuadrado más 1,
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resolvemos el sistema y esto es x cuadrado partido por 2, igual a 1 partido por x cuadrado más 1.
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A ver, fijaos, lo que os he hecho del dibujo del esbozo, eso lo sabéis hacer vosotros,
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es algo que tenemos que ir pensando, o sea, porque nos tenemos que dar cuenta de esas cosas,
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de las asíntotas, lo que siempre os digo de que os tienen que hablar, pues los números y las funciones os hablan, ¿vale?
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Venga, resolvemos esta ecuación, multiplicamos en cruz y me queda el x cuadrado que multiplica x cuadrado más 1,
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es decir, x cuarta más x cuadrado igual a 2, o lo que es lo mismo, x cuarta más x cuadrado menos 2 igual a 0.
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Hacemos el cambio de variable y esto me quedaría t cuadrado más t menos 2 igual a 0
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Y aquí tenemos dos posibles soluciones que son la t igual menos 2 y t igual 1
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Porque el producto de los dos números tiene que ser menos 2 y la suma tiene que ser menos 1
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Y ahora deshacemos el cambio y me queda que la x es, por un lado, más menos la raíz de menos 2, que no existe en los reales, y por otro lado, más menos la raíz de 1, que como os decía es el mismo número, o sea, el número y su opuesto, el más menos 1.
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luego ya sabemos que de alguna manera este punto es el menos 1 y este otro punto es el 1
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por lo tanto el área que me piden es la integral entre menos 1 y 1
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¿de quién? de la diferencia de las funciones
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¿cuál voy a coger primero? voy a coger primero la moradita
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ya que sabemos que la parábola es convexa y por lo tanto es la que tiene sentido que esté abajo
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Si no me he equivocado yo mucho con el dibujo
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Y esto sería 1 partido por x cuadrado más 1
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Menos x cuadrado partido por 2 diferencial de x
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De todas maneras, recordad lo que siempre digo
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Me he podido equivocar con el dibujo
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Bueno, no pasa nada
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Yo le meto unos valores absolutos
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Y ya tengo el resultado positivo
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Venga, estas integrales son inmediatas
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1 partido por x cuadrado más 1 es un arco tangente
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Ya sé que los arcotangentes nos gustan mucho, pero es el arcotangente de x menos x cubo partido del 2 y partido del 3, es decir, partido de 6.
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Y esto lo tengo que evaluar entre menos 1 y 1, ¿vale?
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Bueno, como llevamos poquitos ejercicios hechos de este estilo, más adelante también veremos que cuando las funciones son simétricas,
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Como tiene toda la pinta de ser esta, podríamos haber calculado solamente la mitad de la integral entre 0 y 1 o entre menos 1 y 0.
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Y luego el resultado del área lo hubiéramos multiplicado por 2.
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Es también otra posibilidad de hacerlo de esa forma.
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Venga, que no he puesto los valores absolutos.
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Venga, sustituimos y esto es el arco cuya tangente vale 1 menos un sexto menos el arco cuya tangente vale menos 1.
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Y aquí sería más un sexto, a ver que me he vuelto a comer lo del menos, esto sería menos este, evaluado en el menos uno y ahora sería menos uno al cubo, que es menos uno con el menos sería más, vale, sí, más un sexto.
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¿Vale? No pone el paréntesis, me había liado un poco
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Y ahora lo que tenemos que hacer es tirar de calculadora
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Para ver quién es el ángulo cuya tangente vale 1
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¿Vale? Aunque yo creo que eso más o menos lo deberíais saber, ¿no?
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Cuando la tangente es 1, cuando el seno y el coseno valen lo mismo
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Es decir, a ver, os dejo que lo penséis
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Ya lo habéis pensado, 45 grados, ¿verdad?
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es el ángulo cuando el seno y el coseno valen lo mismo, es decir, normalmente en estos casos se trabaja con radianes.
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Voy a poner aquí que me he puesto los valores absolutos y por lo tanto lo que vamos a hacer es ponerlo pi cuartos a 45 grados, serían pi cuartos.
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Entonces esto sería igual, valor absoluto de pi cuartos menos un sexto, que se me va, y aquí sería menos el arco cuya tangente es menos uno, vale, menos, y aquí, a ver, no nos han especificado de cuántas vueltas lo podríamos hacer.
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Por eso digo que muchas veces estos ejercicios lo que hacemos es calcularlo directamente como, ay que no me sale, como en una única, o sea como en la mitad y luego multiplicarlo por 2, ¿vale?
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Porque el arco cuya tangente vale menos 1 sería el simétrico de 45, ¿vale? ¿Entendéis lo que quiero decir?
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Por tanto, lo podríamos coger como que fueran 135, lo que es lo mismo, pi medios más pi cuartos,
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pi medios más pi cuartos, que son 3 pi cuartos.
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Tengo que esperar, que tengo que escribirlo.
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Sí, son menos 3 pi cuartos, 3 pi cuartos, si lo tomamos de esta manera,
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y luego es el menos un sexto también.
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Y esto sería pi cuartos menos 3 pi cuartos, sería pi medios, ¿no?
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Si no, si uno le quito serían dos pi cuartos que serían pi medios
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Pi medios pero en negativo
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Menos dos sextos
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Dos sextos que es lo mismo que un tercio
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Menos un tercio
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¿Vale? Lo que no sé es por qué me sale en negativo
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Bueno, a lo mejor me he equivocado con el dibujo, no lo sé
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Venga, ¿y esto cuánto sería?
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Lo mismo me he dibujado, me he equivocado con el dibujo, ¿vale?
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Y esto me quedaría, si lo multiplicamos con los mismos denominadores, sería menos 3pi, menos 3pi, menos 2, partido por 6, ¿vale?
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Es que hay un signo aquí que no veo bien, algo he puesto mal con un signo, pero no sé muy bien dónde, porque me resulta rara esta solución.
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S-3pi, o sea, S-pi medios, no sé, donde hay algo extraño, ¿vale?
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Este signo aquí, este menos, me chirría. Voy a pausar un momentito.
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Vale, ya sé dónde está el problema, que lo he calculado un poco de cabeza y si tiramos la calculadora,
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lo que me va a decir es que el arco tangente de menos 1 es menos 45, ¿vale?
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Entonces, voy a borrar toda esta parte, y vas a ver, es que justamente, no sé, es que me chirriaba, hay un poco ese valor, ¿vale? Hasta aquí.
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Porque es lo que os decía, es decir, en el fondo, si nosotros pensamos en la circunferencia, para que sea la tangente, para que sea menos uno, puede estar en diferentes sitios, ¿vale?
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colocado con el ángulo y yo estaba pensando en cuadrantes, pero no, vamos a tirar lo que
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me pasa por no tener una calculadora. Venga, pues entonces habíamos sustituido en el,
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o sea, estábamos operando la tangente de 1 pi cuartos menos el 1 sexto y ahora aquí
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teníamos menos el arco tangente de menos 1, que si lo miráis en la calculadora os
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voy a decir que es menos pi cuartos, por tanto esto sería más pi cuartos y me va a quedar
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aquí menos 1 sexto, ¿vale? Y esto me va a quedar 2 pi cuartos, que es pi medios, menos
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2 sextos, que es 1 tercio, ¿vale? Y ahí ya tengo el signo positivo, es que no me cuadraba
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lo otro. Y ahora esto sí que es 3 pi menos 2 partido de 6, que esto es positivo, ¿vale?
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El dibujo sí que estaba bien hecho, unidades al cuadrado, ¿vale? Disculpad por el error
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por haber puesto la ley 135 que también correspondería
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pero no lo vamos a poner también como si fuera menos pi cuartos
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- Materias:
- Matemáticas
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- Ejercicios resueltos
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- Francisca Beatriz P.
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- Fecha:
- 14 de diciembre de 2025 - 20:23
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- Centro:
- IES IGNACIO ALDECOA
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