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Estudio gráfico de una función polinómica - Contenido educativo

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Subido el 9 de octubre de 2026 por Araceli A.

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Ejercicio 43

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Pues estamos haciendo el ejercicio 43, que son los 10 apartados, estudio gráfico, de esta función. 00:00:00
Como aquí se ve un poco mal, pues esto es un polinomio, ¿vale? 00:00:07
Lo que pasa es que el coeficiente de x cuarta es menos un cuarto, pero eso es un polinomio, ¿vale? 00:00:10
Porque no hay x en el denominador. 00:00:15
Y luego el coeficiente de x cuadrado es 2. 00:00:17
Menos x cuarta partido por 4 más 2x cuadrado. 00:00:20
vale, pues nos sale esto, ¿no? 00:00:30
nos sale la M esta que vemos aquí 00:00:40
entonces, ¿qué podéis hacer? 00:00:42
podéis coger 00:00:45
el punto 00:00:46
¿vale? y moverlo sobre 00:00:47
la función 00:00:50
y vamos viendo los 00:00:51
valores, ¿vale? ya sabéis que en GeoGebra os voy a 00:00:54
salir ahí, ¿vale? esto un poco para que nos ayude a verlo 00:00:56
más claro porque claro aquí justo esto vale menos 24 que bueno este punto está bastante claro aquí 00:00:58
justo vale 0 0 y aquí vale justo 24 vale pero los puntos que hay ahí intermedios son unos 00:01:04
puntos de inflexión vale entonces más o menos sería este sería uno y este sería otro 00:01:12
serían los valores que pone menos 2 raíz de 3 partido 3 20 partidos serían los valores que 00:01:21
Y aquí le llamo a C y D, ¿de acuerdo? 00:01:27
Entonces, los voy a, y también estos valores que es donde corta el eje X. 00:01:29
Entonces, los voy a marcar para que los tengamos también claros, ¿vale? 00:01:33
Y más o menos, ¿vale? 00:01:45
¿Veis que son menos 1, 0, 7, 0, 8? 00:01:46
1, 9, ¿vale? 00:01:49
Y este es 1, 0, no sé qué, casi 2, ¿vale? 00:01:51
1, 9, 9, tal. 00:01:55
Y luego, los otros puntos interesantes es donde corta el eje, que sería este, el C y el D, ¿vale? 00:01:56
Que serían en el menos 283 y en el 283. 00:02:03
Lo digo porque si es marea menos, pues lo ponemos así, ¿vale? 00:02:07
Menos 283, 283 y 107, 199 o algo así. 00:02:12
Pero da igual. Lo importante es que sepáis un poco identificar lo que le pasa a la función y todos sus apartados. Independientemente que los valores importantes tengan expresiones feas porque no nos están dando exactos. 00:02:26
Entonces, este sería, el punto C sería, la X vale menos 2,83 y la Y vale 0, ¿vale? 00:02:40
Esas serían las coordenadas de ese punto, ¿vale? 00:02:51
Y las coordenadas del punto D, pues, serían 2,83, 0. 00:02:57
En el libro os ponen que es menos 2 raíz de 2, ¿vale? 00:03:05
Bueno, claro, si hacéis menos 2 raíz de 2 o 2 raíz de 2, pues con la calculadora os va a dar ese número, más o menos, porque lo vemos más claro así. 00:03:09
Luego, estos puntos está claro quiénes son, ¿vale? Este es el menos 2, 4. 00:03:16
La x vale menos 2 y la y vale 4. Y este punto aquí, la x vale 2 y la y vale 4. 00:03:24
¿Vale? Que son importantes. Este está claro que es el 0, 0. 00:03:33
y el A, que aquí también nos pone 00:03:36
bueno, el A estaría este C de aquí 00:03:38
que tienes tus números tan feos 00:03:40
pues eso, también podéis ayudaros aquí 00:03:41
y poner más bien 00:03:43
menos 1,08, 1,99 00:03:45
y el B, que vemos que es simétrico 00:03:47
sería el 1,08 00:03:58
1,99 00:04:00
más o menos, ¿vale? 00:04:02
pero es para que lo veáis un poco más claro 00:04:03
¿vale? entonces, ¿qué pasa? 00:04:07
que estos valores de menos 2 por raíz de 3 00:04:08
entre 3 va a dar más o menos eso 00:04:11
bueno, pues eso dicho 00:04:12
porque es que yo creo que con tanta raya 00:04:15
es que ni vemos la función 00:04:17
entonces ahora vemos aquí un poco más clara 00:04:18
la función lo que nos hace 00:04:21
vamos a intentar estudiar los 10 apartados 00:04:22
primer apartado 00:04:25
a ver si me acuerdo, porque el orden de los apartados 00:04:29
ya os digo que eso tampoco es tan importante 00:04:31
primero es tipo de función 00:04:32
el tipo de función lo podéis ver 00:04:34
muchas veces, bueno, porque las hemos estudiado 00:04:39
porque las vamos a seguir estudiando, ¿vale? 00:04:41
De momento hemos estudiado muy pocas, 00:04:43
así que esta no la ibais a reconocer. 00:04:45
A veces solo por la gráfica ya sé qué familia de función es, 00:04:47
pero mayormente lo vamos a hacer a partir de la fórmula, ¿vale? 00:04:51
Es un polinomio, ya lo hemos dicho. 00:04:55
Por lo tanto, es algebraica polinómica. 00:04:58
De grado 4, ¿vale? 00:05:08
por si os ha mareado la fórmula, que a veces os marea, 00:05:11
realmente la fórmula sería igual, escrita de otra manera, 00:05:18
sería menos un cuarto de x elevado a 4 más 2 por x elevado a 2. 00:05:21
¿Vale? ¿Por qué digo esto? 00:05:32
Porque no nos lo han escrito así, pero es equivalente a menos un cuarto por x elevado a 4, 00:05:33
es lo mismo que menos 1 por x cuarta, menos x cuarta, 00:05:38
partido por 4. Muchas veces nos lo ponen así para resumir, pero tenemos que darnos cuenta 00:05:41
que aunque nosotros veamos un denominador, esto es un polinomio. Entonces, polinomio 00:05:47
de grado 4. Ya sabéis que las funciones se clasificaban en algebraicas y trascendentes, 00:05:51
y dentro de las algebraicas teníais las polinómicas, las racionales y las irracionales. 00:05:58
Las racionales cuando había x en el denominador y las irracionales cuando había raíces. 00:06:04
Vale, pues tenemos una función algebraica polinómica de grado 4 00:06:08
Vale, apartado 1 ya está hecho 00:06:13
Apartado 2, creo que era, a ver que me acuerde, la continuidad 00:06:16
Vamos a ver una cosa que a veces, porque sabéis que en el libro está súper resumida 00:06:21
Vale, entonces si os vais a las pizarras de clase igual tenemos los apartados un poquito más 00:06:26
Los he intentado desarrollar un poquito más 00:06:31
Entonces os podemos seguir ahí 00:06:33
ya me he ido al 5, madre mía 00:06:35
si es que este año ya te digo yo que me he corrido 00:06:38
vamos a ver que apartado aparece aquí 00:06:40
vale, el 1 es el tipo 00:06:43
el 2 es el dominio 00:06:47
entonces acordaros, ¿qué significaba el dominio? 00:06:48
son los valores que toma la X 00:06:52
eso nos dice el libro, pero eso como lo busco yo en el libro 00:06:53
pues en la gráfica tenemos que ver 00:06:56
las partes del eje X que tienen un punto 00:06:58
de la gráfica por arriba o por abajo 00:07:00
es lo de que como que aplastamos 00:07:02
la gráfica contra el eje x vemos donde hay sombra de la gráfica sobre el eje x vale entonces vemos 00:07:04
en este caso por ejemplo que todo el eje x tiene función o por arriba o por abajo excepto justo el 00:07:10
menos 1 y el 1 están aquí las asíntotas para el dominio hay que expresarlo siempre como intervalos 00:07:14
o unión de intervalos sobre el eje x que eso también es una de las cosas que más fallas el 00:07:23
dominio siempre sobre el eje x entonces en este ejemplo todo el eje x va a tener función o bien 00:07:29
por arriba o bien por abajo lo veis porque por aquí viene de aquí que tiene siempre valores por 00:07:37
aquí también por aquí también no hay ningún asíntota ni nada raro entonces todo el eje x o 00:07:42
sea de menos infinito más infinito va a tener función alguno puede decir no no al menos 5 no 00:07:47
llega pero bueno si llega lo que no se ve entonces si lo metes mucho zoom verás que sí que te llega 00:07:53
al menos 5, ¿vale? Lo que pasa es que tarda la vida 00:07:59
en llegar, pero llegar llega. 00:08:01
¿Vale? Esto se sigue aumentando, 00:08:03
¿vale? Se sigue yendo para 00:08:05
acá, con lo cual va a llegar a todos los números 00:08:07
aunque, claro, haya que hacer muchísimo 00:08:09
zoom, ¿vale? Para verlos 00:08:11
todos. ¡Ay! He metido un punto donde 00:08:13
no lo voy a esperar. 00:08:15
¿Vale? 00:08:18
Entonces, aunque va muy despacito, pero sigue 00:08:19
abriéndose. Es decir, que va 00:08:21
a llegar hasta menos infinito, aunque le cueste 00:08:23
mucho. ¿Vale? 00:08:24
Bueno, realmente Gebra lo vamos a ver 00:08:27
Como que, uf, no me da el zoom, ¿vale? 00:08:29
Pero sí que va a seguir hasta menos infinito. 00:08:32
Entonces, el dominio va a ser todos los números reales. 00:08:35
¿Vale? 00:08:42
El dominio voy a poner que es igual a r. 00:08:43
O menos infinito, más infinito, como lo queráis escribir. 00:08:47
A ver la vista de la gráfica, ¿vale? 00:08:53
Además, esto se cubre para todos los polinomios. 00:08:55
Todos los polinomios tienen como dominio a todos los reales. 00:08:57
Así que por ahí poco misterio. 00:09:00
¿Qué más veíamos? 00:09:02
Después del dominio, la continuidad. 00:09:06
¿Qué pasa con la continuidad? 00:09:10
Decimos que es que podemos dibujar la función sin levantar el lápiz del papel. 00:09:12
Es decir, que el trazo de la función no se interrumpe. 00:09:17
¿De acuerdo? 00:09:21
Cuando hablamos de la continuidad, si no es continuo, 00:09:22
también tendremos que decir dónde se rompe cuáles son las discontinuidades en este ejemplo pues 00:09:26
serían menos 1 y 1 los valores de la x donde se rompe entonces en el ejemplo con el que estamos 00:09:32
trabajando hoy no se rompe nunca vale es continua puedo dibujarla sin levantar el ratón vale desde 00:09:37
la pantalla o el lápiz del papel por lo tanto pues es continua y ningún misterio mal es continua en 00:09:43
todo el rey, es que se dice, en todo su dominio, todo el rato. 00:09:49
Vale, por aquí, bien, ¿no? 00:09:59
Fácil, hasta el momento esta función, como es un polinomio, 00:10:02
pues son bastante agradables, digamos, son menos raras, ¿vale? 00:10:04
Tienen pocas cosas raras. 00:10:09
Donde sí que vais a tener los polinomios, pues eso, 00:10:11
cosas que veis aquí como máximo, mínimo, 00:10:14
sí que hay un poquito más de variedad. 00:10:16
periodicidad sería el punto 4 00:10:17
sabéis que la mayoría de las funciones 00:10:20
que tratamos, excepto las trigonométricas 00:10:22
no van a ser periódicas 00:10:25
es decir, no se repiten 00:10:26
¿de acuerdo? porque para que sea periódica 00:10:28
tiene que tener este tipo de gráfica que todo el rato 00:10:30
hace el mismo dibujo y no es el caso 00:10:33
para nada, ¿vale? o sea, es verdad que 00:10:34
dice, pues mira, veo la montaña pero 00:10:36
luego ya se va para abajo, no sigue haciendo 00:10:38
la montaña, ¿de acuerdo? entonces 00:10:40
no es periódica 00:10:42
sería el punto 4 00:10:44
estos puntos ya os digo yo que son poco 00:10:48
aparecen poco a veces porque 00:10:50
pues eso no 00:10:51
no sale muchas veces que las funciones sean periódicas 00:10:53
a no ser que sean seno o coseno 00:10:56
esas funciones, las trigonométricas 00:10:58
que las estudiaremos al final del tema 00:11:00
punto 5 00:11:01
ahí ya nos íbamos a las simetrías 00:11:04
no sé si aquí lo voy a contar 00:11:07
veis aquí un ejemplo de periódica 00:11:09
simetrías 00:11:11
Vimos que había simetría par e impar y acordaros que las simetrías también las podemos hacer con la fórmula, no solamente con la gráfica, pero aquí las estamos haciendo con la gráfica. 00:11:12
Simetría respecto al eje Y, que se llama simetría par, es como en estos dibujos de aquí. 00:11:21
Si dobláramos por el eje Y coincidirían las dos mitades. 00:11:27
Y la simetría impar, que es respecto del origen, es que tendríamos que doblar dos veces por aquí y por aquí este tipo de dibujo. 00:11:29
Y también se puede ver que si uniéramos con el origen de coordenadas un punto, encontraríais su simétrico que está al otro lado. 00:11:38
Aquí veis un ejemplo de una función impar, el simétrico de L, uniéndolo con el origen, se nos va al otro lado. 00:11:46
La misma distancia tenéis de aquí a aquí y de aquí a aquí. 00:11:54
Si os imagináis que dobláis por el eje X, esto se subiría para arriba, pero si volvéis a doblar otra vez, ya os coincidiría. 00:11:57
Esto sería un ejemplo de simetría impar. 00:12:05
esta función que estuvimos 00:12:08
estudiando en clase también, más complicada 00:12:12
pero también tiene simetría impar 00:12:14
esta parte está aquí pero para abajo 00:12:15
esta parte está aquí para abajo 00:12:18
si dobláis dos veces el papel os va a coincidir 00:12:19
bueno, en este ejemplo 00:12:22
que estamos trabajando hoy 00:12:26
¿hay simetría? ¿qué opináis? 00:12:27
¿par, impar o ninguna? 00:12:30
¿cómo lo veis? 00:12:33
aquí sí que tiene un poco más de 00:12:34
mirar la gráfica y pensar 00:12:35
¿Qué clase de simetría creéis que tiene? ¿Lo veis? Par. Dice Cintia que par. Efectivamente. Claro, si doblas por la mitad, estas dos partes coinciden. 00:12:37
vale muy bien simetría para perfecto o simetría respecto al eje y como le queráis llamar los dos 00:12:59
nombres se utilizan simetría para respecto del eje esa es como más fácil de ver que la impago 00:13:06
a veces no son ni pares ni pares acordaros hay muchas funciones que no son nada pero en este 00:13:16
caso sí que nos han dado una función que es para vale muy bien seguimos luego el punto 6 00:13:22
Ya aquí más tela. Pero no hay, porque tenemos un polinomio. En este ejemplo no va a salir. 00:13:29
Las asíntotas, acordaros que son esas rectas que se aproximan mucho a la función, que son como unas guías para la función. 00:13:35
Y las hay verticales, horizontales y oblicuas. 00:13:43
Entonces, por ejemplo, las verticales son x igual al número que sea. 00:13:46
Por ejemplo, la recta vertical que pasa por aquí por el 1 es x igual a 1. 00:13:50
La recta vertical que pasa por aquí por el menos 1 es x igual a menos 1. 00:13:54
Las rectas horizontales son igual al número que sea. 00:13:59
Entonces, por ejemplo, esta no es una asíntota, pero podríais tener una asíntota que pasará justo por el 2 de la 6. 00:14:02
Si tenemos una recta horizontal que pasa por el 2 de la 6, será la recta igual a 2. 00:14:10
Y luego tenéis rectas oblicuas, que es como las rectas que repasamos ya el otro día en clase, igual a mx más b. 00:14:16
¿Vale? Tiene aquí, por ejemplo, esta sí que tenía una oblicua igual a menos x, que esta la dibujamos el otro día en clase, ¿vale? 00:14:23
Tiene pendiente menos 1 y sí que se ve que es asíntota de la función. 00:14:30
¿Qué pasa? Que en la que estamos viendo no hay asíntotas porque las funciones polinómicas no tienen asíntotas, eso es cosa de las racionales, ¿vale? 00:14:36
Y de otras, pero los polinomios no tienen asíntotas, lo vimos el otro día repasando las propiedades generales de los polinomios. 00:14:45
esta función no le vemos ninguna así vale entonces así entonces no tiene 00:14:52
y lo que sí que vamos a tener más trabajo cuando hablamos de un polinomio es todo lo 00:15:07
que viene detrás vale que vamos a hacer puntos de corte de máximos mínimos todo eso sí que va 00:15:11
tener más cosas vale entonces el punto número 7 eran los puntos de corte con los ejes y el signo 00:15:15
vale entonces acordaros súper importante puntos de corte con el eje x es cuando la y vale 0 puntos 00:15:23
de corte con el eje y cuando la x vale 0 está cambiada la cosa vale no está cambiado porque 00:15:32
estemos locos sino porque si miráis un dibujo todos los puntos que están justo encima del eje 00:15:38
x tienen la segunda coordenada la y 0 pero es que es lógico porque si no levantan ni arriba ni abajo 00:15:43
que se quedan ahí pegados es que su y es 0 vale por eso todos los casos que estemos buscando puntos 00:15:49
que están en el eje x tenemos que buscar puntos donde la y sale 0 y cuando buscamos puntos que 00:15:56
cortan al eje y son los que la x vale 0 vale aquí veis que los puntos que están justo encima del eje 00:16:01
y van a tener la x 0 y la y por lo que toque vale entonces toda función corta una sola vez al eje y 00:16:08
porque eso no sería una función se lo va a pasar una vez por aquí no puede volver para atrás y 00:16:16
puede cortar todas las veces que le dé la gana al eje x puedes tener uno varios o ningún punto 00:16:22
de corte con el gx pero con el eje y como máximo vas a tener bueno en este dibujo de aquí se lo 00:16:27
cortado una vez al eje x y al eje y en el 0, 0. Luego, ahora vemos en la nuestra, luego 00:16:33
el signo podía ser la función positiva o negativa. Positiva era la parte que está 00:16:39
por encima del eje x, ¿vale? Y dábamos los intervalos aquí en horizontal de la x cuando 00:16:46
la función está por arriba y negativa es cuando estaba por debajo, ¿vale? Vamos a 00:16:52
verlo en nuestro dibujo y aquí sí que nos va a salir más trabajo teníamos que ver lo primero 00:16:58
cuáles son los puntos de corte con los ejes nuestra función donde está cortando al eje x 00:17:03
pues está cortando al eje x a ver con cambio de color aquí en el c 00:17:10
el eje x es este 00:17:19
aquí 00:17:20
y también aquí, ¿vale? 00:17:23
Entonces, puntos de corte con el eje X 00:17:27
estaríamos en el punto 7 00:17:30
puntos de corte 00:17:33
Entonces, vamos a ver, eje X 00:17:37
son puntos con la Y, 0 00:17:41
¿Qué puntos tengo ahí con la Y, 0? 00:17:43
Pues este, que es menos 2, 83, 0 00:17:46
Luego el 0, 0, que es este de aquí, 0, 0, y el 2, 83, 0, que sería ese. 00:17:53
Si lo queréis poner como nos lo pone en el libro, 00:18:09
ese corresponde al menos 2 raíz de 2, 0, poniéndole forma de raíz, 00:18:12
este es el 0, 0 00:18:21
y este es el 2 raíz de 2, 0 00:18:22
lo mismo, ¿vale? 00:18:25
lo pongo así en decimal para que lo veáis 00:18:27
más claro que es lo que más importa 00:18:29
esto lo sacaremos cuando 00:18:31
busquemos los puntos de corte haciendo ecuaciones 00:18:33
¿vale? pero si estamos mirando una gráfica 00:18:35
pues mirad los decimales más intuitivos 00:18:37
ahora, puntos de corte con el eje Y 00:18:39
el eje Y que es este 00:18:42
¿vale? el eje Y 00:18:43
la función solo pasa por el eje y una vez 00:18:48
que sería aquí 00:18:51
que claro, pasa a la vez por el eje x 00:18:52
y por el eje y, es el 0, 0 00:18:56
es el único punto de corte con el eje y 00:18:58
y se corta a la vez a los dos ejes 00:18:59
¿vale? no tiene por qué ser 00:19:04
porque en el ejemplo que he visto antes también 00:19:05
pero no tiene por qué pasar por el eje 0 00:19:07
hay funciones que no pasan por ahí, ¿vale? es casualidad 00:19:09
que estas las dos tienen corte doble 00:19:11
el eje x y el eje y 00:19:13
vale, puntos de corte ya los tengo 00:19:15
Ahora lo que me gustaría saber es el signo, ¿vale? 00:19:17
¿Dónde es positiva y dónde es negativa? 00:19:21
Voy a coger otro dibujito. 00:19:23
Uy, aquí lo tengo un poco feo. 00:19:25
Vamos a coger la función y vamos a intentar ver dónde es positiva y dónde es negativa. 00:19:29
¿Vale? Pero vamos a pintar otra vez. 00:19:36
Mira, sí, ya lo había cortado. 00:19:39
vale, un poco para 00:19:41
entonces 00:19:45
lo importante de esto es que os tenéis que acordar 00:19:50
de darlo siempre 00:19:54
coordenadas de la X, ¿vale? 00:19:56
o sea, siempre intervalos de la X 00:19:58
súper importante 00:19:59
que normalmente lo confundís 00:20:02
¿vale? 00:20:04
en los exámenes me encuentro muchas veces 00:20:09
ese file 00:20:13
entonces por favor 00:20:13
siempre la X, no la Y 00:20:18
entonces 00:20:20
en este ejemplo 00:20:22
hay quien me dirá que es 00:20:23
positiva de 00:20:26
menos 2,8 a 4 00:20:28
pues ya la hemos liado porque el 4 no es una X 00:20:30
es una Y 00:20:33
es de menos 2,8 a menos 2 00:20:33
por ejemplo, bueno, en realidad sigue siendo positiva 00:20:36
Entonces, ¿en qué parte la vemos positiva? 00:20:38
Bueno, pues vemos que es positiva 00:20:42
A ver si se me ha caído 00:20:45
Esto sin el ratón no puedo 00:20:47
Bueno, sería 00:20:50
Es que no soy capaz 00:20:52
Con la tablet 00:20:54
Escribir aún escribo 00:20:56
Pero dibujar no puedo 00:20:58
Bueno, bueno 00:21:00
Además se me ha quedado sin espacio 00:21:02
Pero bueno, todo este trozo es positivo 00:21:04
todo este trozo es positivo 00:21:07
y todo este trozo 00:21:11
madre mía 00:21:16
y todo este trozo también 00:21:16
la realidad es positiva 00:21:19
casi todo el rato 00:21:21
excepto justo 00:21:22
cuando pasa a ser negativa 00:21:26
los puntos de corte con el eje X 00:21:28
son importantes porque son puntos 00:21:30
donde pasa de positiva a negativa 00:21:32
¿dónde es negativa? 00:21:34
por aquí 00:21:35
O sea, negativa es cuando la Y está por abajo, que puede ser por aquí y por aquí, ni con el ratón ni con la tableta. 00:21:36
¿Vale? Entonces, ¿ahora qué pasa? Que cada una de esas partes las tengo que marcar, pero en función de la X, ¿vale? 00:21:56
Las tengo que, tengo que dar esos intervalos, pero de X. Entonces, intervalos de X para la parte que he pintado así de amarillo, ¿vale? 00:22:03
Esta zona de aquí es la que yo tengo que decir que es la zona en la que la función es positiva. 00:22:12
positiva 00:22:19
que se me sale del área de pintado en la tableta y ya no puedo seguir 00:22:23
esta zona 00:22:28
de menos 2,83 00:22:29
hasta 00:22:39
2,83 son valores de x 00:22:41
¿Vale? Aquí la x valía menos 2,83 y aquí la x valía 2,83. 00:22:52
¿Vale? Entonces la función va a ser positiva en ese intervalo. 00:22:58
Y luego, ¿dónde es negativa? Pues hay dos intervalos donde va a ser negativa, ¿vale? 00:23:10
Donde está por abajo del eje Y. 00:23:17
Entonces, esos intervalos son en esta zona de aquí, ¿vale? 00:23:19
Que viene de menos infinito hasta aquí, hasta menos 2,83. 00:23:25
Y luego en esta zona de aquí también vuelve a ser negativa, empezando en 2,83 y llegando hasta más infinito, ¿vale? 00:23:35
Insisto, por la x, porque si no es, es decir, no va a menos infinito. 00:23:46
Lo que va a menos infinito es la y, ¿vale? 00:23:52
Pero la x, por aquí, esta zona, es de menos, de 283 a infinito. 00:23:55
Entonces, ahí es negativo. 00:24:01
Entonces, nos vamos a decir que el signo es positivo en ese intervalo central, de menos 283 a 283, 00:24:03
negativo en menos infinito, menos 283, 00:24:10
unión, ¿vale? Se pone la U para decir que son dos intervalos distintos que se unen desde 283 hasta más infinito. 00:24:14
Vale. 00:24:29
¿Se ha entendido lo del signo y lo de los puntos de corte? 00:24:32
¿Bien? Vale, genial. Todo bien, ¿no? De momento lo vamos siguiendo. Esta no es muy difícil, ¿vale? 00:24:38
Entonces, donde tiene más trabajillos, aquí en el punto 8, 9, ¿vale? 00:24:53
7, 8, 9. 00:24:59
El punto 8 va a ser uno de los más importantes, ¿vale? 00:25:00
Que es extremos relativos y monotonía. 00:25:07
Acordaros, ¿qué son los extremos relativos? 00:25:10
Los extremos relativos son los máximos relativos y los mínimos relativos, ¿vale? 00:25:13
Los máximos son encima de la montañita, los mínimos son el valle, digamos, ¿vale? 00:25:17
No son absolutos, es decir, la función puede subir, bajar más que el máximo y el mínimo, pero relativo es porque es el mínimo en su zona y el máximo en su zona. 00:25:23
Máximo decimos que es cuando estaba subiendo y empieza a bajar, mínimo es cuando estaba bajando y empieza a subir. 00:25:35
Hoy justo en la clase con los de segundo ya veíamos extremos absolutos porque no se dan en primero, pero como os va a salir, 00:25:41
o sea, vais a pensar en ellos, pues, para que veáis la diferencia, os cuento un poco lo que son, ¿vale? 00:25:51
Porque dicen, no, porque ese no es el punto más bajo, no es el mínimo. 00:25:56
Puede ser mínimo relativo y no ser el punto más bajo de la función. 00:26:00
El punto más bajo de la función sería un mínimo absoluto, ¿vale? 00:26:03
Entonces, creo que he hecho un dibujito, eso os quería enseñar antes, justo que estábamos hablando con los alumnos de segundo de esto. 00:26:06
Entonces, este, ¿no? 00:26:14
Hemos hablado de eso y hemos dicho, por ejemplo, en esta función no hay ningún valle ni nada, 00:26:18
pero el mínimo del 1 al 3, el más bajo es este y el más alto es este. 00:26:22
O aquí, por ejemplo, tenéis mínimo relativo, máximo relativo, mínimo absoluto y máximo absoluto dentro de este intervalo. 00:26:27
Entonces, mínimo relativo no significa es lo más bajo, sino que de esta zona sí que es lo más bajo. 00:26:36
Es el vallecito, lo he dicho. 00:26:41
Pues, ¿qué pasa con nuestra función? 00:26:43
Tiene máximos y mínimos 00:26:55
Bueno, aparte de eso 00:26:56
También tenemos que ver la monotonía 00:26:59
La monotonía es creciente y decreciente 00:27:00
Intervalos de crecimiento y decrecimiento 00:27:04
La función va a ser creciente cuando va para arriba 00:27:07
Pero siempre mirándola de izquierda a derecha 00:27:10
Cuando vayamos para acá, la X sube. Por ejemplo, aquí crece, aquí decrece. Y decreciente es cuando vamos en este sentido, siempre vamos de izquierda a derecha, la Y baja. 00:27:13
Entonces aquí, por ejemplo, baja, sube, sube, sube, sube, baja. Siempre leyéndola de izquierda a derecha. 00:27:23
Siempre los intervalos de monotonía, de crecimiento y de crecimiento en función de la X. 00:27:32
¿Vale? Entonces, por ejemplo, si aquí estábamos hablando de esta zona que desde el principio hasta justo aquí estaba bajando, estaba decreciendo, dijimos de menos infinito a menos 1,6. 00:27:37
¿Vale? Si aquí, por ejemplo, estaba creciendo, pues diríamos de menos 1,6 a menos 1. Se refiere a esta zona A. 00:27:49
Pero siempre lo miramos desde el punto de vista de las X. En toda esta parte la función estaba subiendo, dijimos de menos 1 a 1 crece. 00:27:58
en este trocito pequeño 00:28:05
está subiendo, dijimos que crece 00:28:08
desde 1 al 1,6 00:28:11
y luego del 1,6 00:28:12
al más infinito 00:28:15
está bajando 00:28:16
decreciendo 00:28:19
entonces tenemos que decir las dos cosas 00:28:19
a la vez, máximos y mínimos 00:28:23
en este dibujo tenemos aquí un mínimo relativo 00:28:24
y aquí un máximo relativo 00:28:26
máximo y mínimo damos sus coordenadas 00:28:28
vamos a ver nuestro ejemplo 00:28:30
esto es el punto 8 00:28:33
y vamos a ver 00:28:37
vamos a ir escribiéndolo todo 00:28:40
entonces tenemos 00:28:41
por ejemplo, vamos a ver primero los extremos 00:28:43
¿tienes máximos relativos ahí? 00:28:45
pues mirarlo en el dibujo 00:28:50
bueno, el punto 8, extremos y monotonía 00:28:51
entonces 00:28:54
tenemos un par de puntos 00:28:57
que van a ser máximos relativos 00:29:00
¿Vale? ¿Qué son? 00:29:02
Vamos a verlo en las coordenadas 00:29:05
Puede haber más de uno 00:29:07
Sí, puede haber varios máximos relativos 00:29:10
¿Vale? No hay ningún problema 00:29:12
Entonces tenemos un punto de aquí 00:29:13
¿Qué coordenadas tiene este punto de aquí? 00:29:15
¿Me he maleado? 00:29:19
Pues la x vale menos 2 00:29:20
Y la y vale 4 00:29:21
Y este otro máximo 00:29:24
Que también es un máximo relativo 00:29:28
Su x vale 00:29:29
2 y su y vale 4. 00:29:32
Acordaros que siempre va primero la x y luego la y, ¿vale? 00:29:37
El orden importa, hay mucho, ¿vale? 00:29:41
Entonces, máximos relativos, pues esos dos puntos, 00:29:43
menos 2, 4 y 2, 4. 00:29:46
Mínimos relativos, pues también hay uno, 00:29:54
solo uno, ¿no? 00:29:58
Que es el 0, 0. 00:29:58
En ese punto le pasan muchas cosas, es punto de corte con el gx, es punto de corte con el gi, también va y es mínimo relativo. 00:30:02
No, pero no pasa el mínimo porque aquí baja así, pero es un mínimo relativo, ¿vale? En su zona sí que es el más bajo. 00:30:09
Vale, monotonía. ¿Cómo sería la monotonía de esta función? Vamos a vernosla aquí, por ejemplo. 00:30:15
¿Dónde crece la función? La función empieza aquí, sube, sube, sube, sube, hasta que llegamos aquí, ¿vale? 00:30:22
Aquí la x valía menos 2, entonces va a ser creciente de menos infinito a menos 2. 00:30:29
Luego, desde aquí empieza a bajar hasta que llega aquí. 00:30:37
Entonces, ¿cuánto vale la x? 00:30:41
Empieza en menos 2 y acaba en 0. 00:30:42
No me digáis que empieza en 4 y acaba en 0, que me lo decís mucho. 00:30:44
Porque esos serían valores de la y, ¿vale? 00:30:48
Y tenemos que dar valores de la x. 00:30:49
Aquí vuelve a ser creciente de 0 a 2, ¿vale? 00:30:53
Porque en esta zona de la x la función sube y luego va a ser decreciente de 2 a más infinito porque de aquí en adelante va a bajar, ¿vale? 00:30:57
Entonces, insisto, siempre la x. 00:31:11
Entonces, en esta primera zona de aquí va a ser creciente desde menos infinito justo hasta menos 2, ¿vale? 00:31:17
De menos infinito a menos 2 crece, ¿vale? 00:31:27
Porque vemos que va subiendo a justo hasta aquí, hasta que la x vale menos 2. 00:31:35
No me digáis hasta el 4, ¿vale? Crece de menos infinito a menos 2, que son los valores de x. El 4 es un valor de y. 00:31:41
Luego, ¿qué pasa en el siguiente tramo? Que empezando en el menos 2 y acabando en el 0, tenemos un tramo de aquí, ¿vale? 00:31:54
Esta parte de la x, desde el menos 2 hasta el 0, tenemos un punto, un intervalo donde la función baja, ¿vale? Es decreciente. 00:32:03
Luego, ¿qué más pasa? Que ahora empieza a subir. ¿Hasta dónde? Hasta x2, no me digáis hasta el 4, ¿vale? 00:32:20
Entonces, vuelve a ser creciente desde el 0 hasta el 2, ¿vale? 00:32:27
El segundo es el 2, 4. 00:32:35
Pero tenemos que decir qué valor de la x es el último punto que crecía. 00:32:37
Hasta aquí creció, ¿vale? 00:32:42
Por todos estos valores de x, ¿vale? 00:32:43
Fue creciendo la función hasta que llegó a la x2 y ya paró de crecer. 00:32:48
¿Vale? Entonces, de 0 a 2 de la x, la función ha sido creciente. 00:32:57
Y luego, el último trozo es decreciente, desde el 2 hasta el más infinito. 00:33:12
muy típico que esto me pongáis en el examen 00:33:18
que crece del 4 00:33:23
más infinito 00:33:25
eso es la Y 00:33:26
el 4 es la Y 00:33:29
el menos infinito es la Y 00:33:31
el eje horizontal es del 2 00:33:32
hasta el final 00:33:36
del 2 al más infinito 00:33:37
el menos infinito de la X está aquí 00:33:39
esto es menos infinito de la Y 00:33:40
con eso ya tenemos 00:33:43
la monotonía. ¿Vale? La podemos copiar 00:33:47
si queréis aquí. Pues pondríamos 00:33:49
monotonía 00:33:51
escribiríamos creciente 00:33:52
y vamos a poner ahí unión de intervalos 00:33:59
donde vemos que la función es creciente 00:34:03
que es de menos infinito a menos dos 00:34:05
unión 00:34:07
cero dos. 00:34:09
¿Vale? Lo que hemos pintado 00:34:12
de azul, que era donde la función subía. 00:34:13
Y de creciente 00:34:15
en qué intervalos 00:34:17
hemos visto que la función 00:34:20
bajaba, que es de menos 2, 0 00:34:22
unión 00:34:24
0, 2 00:34:28
digo, 2 más infinito 00:34:29
¿vale? los que pinto de rojo 00:34:32
que es donde la función estaba bajando 00:34:34
¿me acuerdo? 00:34:36
vale 00:34:40
en los polinomios es muy típico 00:34:40
que haya subidas y bajadas 00:34:43
ya vimos el otro día en clase que cuanto más grado 00:34:44
más sube y baja vas a encontrarte 00:34:46
y más extremos y más 00:34:48
gracia tiene esta parte 00:34:49
¿ha quedado claro esta parte? 00:34:51
¿sí? 00:34:56
daros cuenta que esto normalmente 00:34:57
cuando lo cuento decís ah sí, sí, sí 00:34:59
pero luego me lo escribís al revés y empezáis 00:35:01
decrece de 4 a 0 00:35:03
no sé qué, ¿vale? 00:35:06
o sea que cuidado, siempre las X 00:35:07
¿vale? las X 00:35:09
me fijo en la Y para ver si sube y baja 00:35:11
¿vale? pero 00:35:14
explicó los intervalos en función de las x vaya me queda muy poco del 9 00:35:15
aquí no hay 9 a ver vamos a ver qué explicamos el 9 00:35:22
el 9 creo que era la 00:35:28
curvatura que es la curvatura la curvatura es si la función es concava convexa vale si tiene 00:35:32
esta forma se llama convexa existe en esta forma se llama cóncava y punto de inflexión es cuando 00:35:40
cambia de curvatura o bien de cóncava convexa o bien de convexa conca en este dibujo aquí era 00:35:46
convexa de menos infinito a menos uno en este trocito fue cóncava y luego ahí se dobló digamos 00:35:51
empezó a ser convexa vale ahí tenéis un punto de inflexión y en este trozo de aquí era cóncava 00:35:58
Hay veces que entre convexo y cóncavo lo que hay es una asíntota, como aquí, que me lo separa. 00:36:04
Y hay veces que entre convexo y cóncavo lo que hay es un punto de inflexión. 00:36:10
Depende si es continua o no. 00:36:13
Entonces, como esta es más complicada la nuestra, que es un polinomio, entonces no va a haber asíntotas. 00:36:15
Así que la única manera de que haya cambio de curvatura es que haya por el medio un punto de inflexión. 00:36:21
Y ahí sí que habíamos dibujado los puntos de inflexión, que son estos de los valores raros, menos 1.08, 1.99. 00:36:26
os voy a recordar otra vez 00:36:33
porque ahora sí que son importantes 00:36:39
esos números que nos estaban estorbando 00:36:41
ahí un poco, ¿vale? 00:36:43
el menos 1,08, 1,99 00:36:44
sería el A 00:36:47
y el B que hemos quedado 00:36:49
que sería lo mismo pero para las positivas 00:36:55
1,08 00:36:57
1,99 00:36:58
¿Vale? Que si lo queréis poner como raíces, pues se corresponde con los valores de ahí, ¿vale? 00:37:00
Menos 2 raíz de 3 partido 3, 20 novenos, 2 raíz de 3 partido 3, 20 novenos. 00:37:07
Vale, pues vamos a ver rápidamente para acabar. 00:37:14
Esto sería, esta parte de aquí se ve que es convexa, ¿vale? 00:37:17
Entonces vamos a poner que es con curvatura. 00:37:24
pues vemos que es convexa 00:37:30
en, o sea, perdón, 00:37:33
convexa no cóncava. Bueno, vamos a ver, voy a ponerlo por orden. 00:37:38
Convexa y cóncava. ¿Vale? Cóncava es 00:37:42
aquí y aquí. 00:37:46
Y convexa es aquí. ¿Vale? Entonces es convexa de menos 1, 0, 8 00:37:50
a 1, 0, 8. 00:37:54
Igual, valores de la x. 00:37:59
¿Vale? Aquí en esta zona, por aquí, es convexa. ¿Vale? Y es cóncava en el resto de menos infinito a menos 1, 0, 8. Unión de 1, 0, 8 a más infinito. 00:38:00
vale, y luego 00:38:21
¿qué puntos de inflexión tenemos? 00:38:25
pues esos A y B que aparecen ahí, ¿vale? 00:38:27
puntos de inflexión 00:38:29
donde cambia de cóncava a convexa 00:38:30
o de convexa a cóncava 00:38:33
entonces en este caso 00:38:37
el A, que es 00:38:39
bueno, las coordenadas que te ponen ahí 00:38:41
o las que viene en el libro, lo que queráis 00:38:43
menos 1.08, 1.99 00:38:44
que expresado de forma de raíces 00:38:46
será menos 00:38:51
menos 2 raíz de 3 tercios 00:38:52
estos números vienen 00:38:55
ya veréis de resolver ecuaciones 00:38:58
que hasta que no sepáis derivar 00:39:01
no vais a saber de dónde salen 00:39:02
de algún lado salen 00:39:05
de resolver ciertas ecuaciones 00:39:06
y el siguiente punto 00:39:09
que sería el B 00:39:12
que también es un punto de inflexión 00:39:13
sería el 1,08199 00:39:15
y ese otro punto de inflexión 00:39:19
pues también se puede poner en forma de raíces 00:39:22
veis que es como simétrico 00:39:24
entonces, bueno, sin el cómo, es que son simétricos 00:39:28
la función es simétrica, sería 2 raíz de 3 partido 3 00:39:30
con la misma y, entre 9 00:39:33
y así os lo dejo terminado 00:39:35
el 10 que sería la imagen o recorrido 00:39:39
acordaros que era la imagen o recorrido, 00:39:45
eran los valores que tomaba la Y. 00:39:50
Hacíamos lo mismo que en el dominio, 00:39:52
pero lo mirábamos sobre el eje Y. 00:39:54
Entonces, aquí podéis ver un ejemplo. 00:40:01
Nos íbamos a proyectar todos los puntos de la función sobre el eje Y 00:40:06
y en este ejemplo nos dio todo R. 00:40:09
Sin embargo, en el dibujo que tenemos nosotros, 00:40:12
Si nosotros proyectamos todo, ¿vale? Pues vale, de menos infinito hasta el 4 vais a tener función, pero a partir del 4 no hay nada, ¿de acuerdo? 00:40:15
Entonces, ¿eso qué quiere decir? Que la imagen se va a acabar ahí en el 4, ¿vale? Como lo vamos a ver sobre el eje Y, es como que, os imaginéis, ¿vale? 00:40:25
Que cada punto lo aplastamos sobre el eje Y, en este caso, porque estamos hablando de la imagen o recorrido, no de la X, ¿vale? 00:40:38
Ahora es la única vez que vamos a hablar de la Y. 00:40:48
Cada punto se va aquí, cada punto se va aquí, ¿vale? 00:40:51
Todos los puntos se van a ir ahí, por la izquierda y por la derecha. 00:40:55
Entonces vemos que todos los puntos del eje Y tienen algún valor de función, ¿vale? 00:40:59
O a la izquierda o a la derecha o a los dos lados, en este caso. 00:41:06
vale, pero justamente a partir del 4 no hay 00:41:08
vale, entonces, ¿qué pasa? 00:41:14
que si nosotros pintáramos la función sobre el eje Y 00:41:17
llegaríamos solo hasta el 4 00:41:20
del 4 para abajo no habría 00:41:23
vale, entonces, lo que nos está diciendo esto es que la imagen es 00:41:25
de menos infinito a 4 00:41:28
empezamos por abajo, ¿vale? porque siempre empezamos por los negativos 00:41:32
y el 4 cerrado porque justo llega hasta el 4 00:41:35
y la parte del 4 para arriba pues ya no hay 00:41:39
esta es la única cosa que se mira sobre el eje 00:41:43
bueno pues voy a cortar aquí 00:41:46
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Araceli Alonso
Subido por:
Araceli A.
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Fecha:
9 de octubre de 2026 - 20:04
Visibilidad:
URL
Centro:
IES MARIANO JOSÉ DE LARRA
Duración:
41′ 52″
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1.78:1
Resolución:
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Tamaño:
152.18 MBytes

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