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Ponencia D.Manuel Sada Allo

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Subido el 5 de agosto de 2010 por EducaMadrid

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Ponencia D.Manuel Sada Allo: "Experiencias con Geogebra en la enseñanza de las matemáticas" realizada en las II Jornadas de Integración de las TIC en las Enseñanza, el 1 de junio de 2010.

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Buenas tardes y bienvenidas, bienvenidos 00:00:00

y casi antes de empezar, más que agradeceros vuestra presencia, no sé, pues reconoceros el mérito que tiene, ¿verdad? 00:00:04

después de haber estado a la mañana dando clase, que bueno, que es una profesión que desgasta bastante, ¿verdad? 00:00:13

que sigáis enganchados a lo profesional, yo creo que es de más que agradecer, de reconocer 00:00:20

y estoy seguro que vuestros alumnos lo aprovecharán, ¿verdad? 00:00:25

y bueno, voy a intentar contribuir a que no os arrepintáis de esa decisión de estar aquí hoy en lugar de otro sitio, ¿verdad? 00:00:30

Lo que yo he preparado para 45 minutos, en principio, ¿verdad? 00:00:40

a ver si me avisáis, porque a mí me cuesta más que a Francisco ser breve 00:00:46

es una presentación que, por cierto, no sé si ya está enlazada en la página de las TIC 00:00:53

todo lo que vais a ver aquí lo tenéis accesible en internet 00:01:00

y de lo que se trata es más que de ver las muchas posibilidades que tiene Geogebra como programa para construir figuras 00:01:04

para aprender y enseñar matemáticas, física e incluso dibujo también 00:01:15

más que ver eso, lo que yo pretendo es ver algunos ejemplos o posibilidades, como dice aquí, didácticas, ejemplos de uso en clase de Geogebra 00:01:21

Eso es un poco lo que pone aquí, tenemos 45 minutos en los que yo me voy a apoyar en ejemplos concretos 00:01:31

lo mismo que Francisco, que he distribuido un poco como en dos ámbitos 00:01:40

vamos a ver ejemplos de cosas que se pueden hacer con Geogebra en clase 00:01:45

con la pizarra digital interactiva, como la que estáis viendo ahí, o no 00:01:50

yo le llamo pizarra digital ya a esto que tenemos aquí, que es la posibilidad de compartir en una pantalla 00:01:56

gracias al cañón, la pantalla de un ordenador, ¿verdad? 00:02:04

Pues esa sería una posibilidad que es muy diferente 00:02:08

para nada hay que optar por lo uno o lo otro, puede ser complementario 00:02:15

a un planteamiento como el de el aula de ordenadores, o bueno casi se podría decir ahora 00:02:19

los ordenadores en el aula, que parece que va a ser la tendencia 00:02:24

en lugar de llevar los chavales al aula de informática 00:02:28

va a ser el carrito de los portátiles el que parece que en no sé cuánto tiempo 00:02:33

podremos utilizar muchos de nosotros en el aula, ¿verdad? 00:02:38

Son planteamientos muy diferentes, en este caso son los chavales fundamentalmente 00:02:41

quienes van a trabajar y quienes van a hacer y también si puede ser aprender 00:02:48

a partir de lo que hayamos ideado, en el otro es sobre todo el profesor o un alumno 00:02:54

quien maneja un único ordenador para todos, ¿verdad? 00:02:59

Bien, pues vamos ya con, bueno aquí tenéis un poco lo que sería el esquema global 00:03:03

de todo lo que hay, esos dos ámbitos y después alguna cosa más 00:03:08

que probablemente no nos dará tiempo a ver, pero si accedéis vía internet 00:03:13

pues comentaros eso, que aquí podréis acceder a muchos más ejemplos 00:03:18

de los que yo voy a tener tiempo a enseñaros, de manera que os invito 00:03:22

si os parece interesante a que luego por vuestra cuenta naveguéis en este entorno. 00:03:27

Bien, pues en esa primera parte de los ejemplos, ¿qué es lo que se puede hacer en clase 00:03:33

con un portátil, un cañón y gracias a GeoGebra? 00:03:40

Pues bueno, yo creo que se pueden hacer muchas cosas, pero las que para mí 00:03:43

me parecen fundamentales pues os he puesto ahí como tres globos de distinto tamaño 00:03:48

porque quizás tamaño proporcional a lo que yo creo que se está usando, ¿no? 00:03:53

Lo que más se está haciendo es utilizar el cañón como apoyo a las explicaciones 00:03:58

para que se entienda mejor lo que queremos contar o para visualizar conceptos 00:04:04

más o menos abstractos como los que manejamos en matemáticas sobre todo, ¿verdad? 00:04:11

Bien, pues dentro de ese tipo de uso, como ha dicho Francisco también, 00:04:16

yo creo que fundamentalmente GeoGebra es útil para la geometría con o sin coordenadas 00:04:24

y también para el estudio de funciones, aunque también se puede utilizar en el resto 00:04:29

de ramas o bloques de matemáticas, fundamentalmente yo creo que serían 00:04:34

esos dos, geometría y análisis, ¿verdad? 00:04:38

¿Algún ejemplo de geometría sin coordenadas? 00:04:41

Pues al hilo de, por ejemplo, esta pregunta de cuánto miden las cosas redondas 00:04:45

se podría trabajar el concepto, el significado del número pi, ¿verdad? 00:04:52

Aquí os voy a enseñar una figura ya creada, Francisco comentaba antes 00:04:58

como que cabían esas dos posibilidades, una es la de preparar algo ya listo para ser enseñado 00:05:05

y por ejemplo aquí pues esta figura pretende que se entienda mejor qué es pi, ¿no? 00:05:11

Viene a ser pues el diámetro de esa circunferencia de diámetro, he dicho el diámetro, el perímetro, ¿verdad? 00:05:18

De la circunferencia de diámetro 1, que bueno, si cambiamos el diámetro, 00:05:24

pues lógicamente el perímetro será el doble, ¿no? 00:05:32

Aquí no lo veréis bien probablemente, pero ya adivinaréis cuál es el valor de ese perímetro, ¿verdad? 00:05:36

Bien, esto sería una de las maneras de utilizarlo, la otra es, como ha dicho Francisco, 00:05:42

que yo estoy de acuerdo con él, muchas veces puede ser incluso más interesante partir de una construcción 00:05:50

o de una pizarra en blanco, que es lo que voy a hacer yo ahora. 00:05:55

Bueno, quizás este ejemplo, la mejor manera de introducirlo no es con ordenadores, ¿verdad? 00:06:03

Si queremos hablar de cuánto miden las cosas redondas, yo creo que lo más intuitivo y lo más natural 00:06:09

es llevar cosas redondas a clase y coger un metro o una cinta y que midan y se busquen las regularidades, ¿no? 00:06:14

A falta de esos objetos, pues GeoGebra nos podría permitir, con mucha comodidad y rapidez, construir circunferencias. 00:06:23

Esta circunferencia, por ejemplo, de radio 5, ¿verdad? 00:06:32

Ante la duda podemos pedirle al programa que nos lo mida él. 00:06:41

Tendrá de diámetro, lógicamente, pues vamos a dibujarlo ahí. 00:06:47

El diámetro va a ser, pues 10, ¿no? Este y cualquier otro. 00:07:00

Como ha dicho Francisco también, una vez que uno ha construido una figura, resulta muy sencillo hacer cualquier modificación, 00:07:07

muchas veces simplemente con arrastrar uno de los elementos iniciales, ¿verdad? 00:07:14

Bien, pues podríamos pedirle al programa que mida él el perímetro de estas circunferencias 00:07:19

y posteriormente se podrían traer aquí los resultados, ¿verdad? 00:07:26

El diámetro lo podríamos poner aquí, el perímetro aquí, 00:07:32

y bueno, pues para el diámetro 8 el perímetro sería 25,13. 00:07:41

Volviendo a hacer una modificación, como hemos dicho antes, pues con el diámetro 10 el número que sale nos va a sonar, ¿verdad? 00:07:52

81,42, etc. Y a partir de aquí se podría pedirles que busquen alguna relación, alguna conjetura 00:08:01

y también les podríamos pedir incluso que el programa les haga la división entre estas dos medidas 00:08:11

que enseguida van a ver que son proporcionales. 00:08:18

Bueno, no es más que un ejemplo de esto que os decía ahora, de esa doble posibilidad, ¿no? 00:08:22

Anteriormente hemos visto pues una figura ya preparada que puede ser nuestra o que podemos haber obtenido de internet 00:08:30

donde cada vez se encuentran más recursos, ¿verdad? O a partir de una pizarra en blanco que puede ser bien interesante también. 00:08:37

Bueno, ¿un ejemplo más? Pues aquí, por ejemplo, hay muchas figuras con las que se pretende en el tema de áreas de los polígonos 00:08:46

en lugar de lo habitual de aplicar la fórmula para calcular esas áreas, aquí hay construcciones donde se trata 00:08:59

de que los chavales intenten deducir de dónde salen esas fórmulas, ¿no? Por ejemplo, la del círculo, 00:09:07

el área del círculo sería aproximadamente esto, esa especie de peine, cuya área sería la mitad que este paralelogramo 00:09:15

en el límite sería un rectángulo, ¿verdad?, cuya altura y cuya anchura pues se puede deducir pensando un poco, ¿verdad? 00:09:26

Más ejemplos, del tema de movimientos en el plano, simetrías, traslaciones, giros, es un tema que la verdad en matemáticas 00:09:38

lo solemos tener bastante abandonado quizás porque no se presta muy bien a esa manera tradicional de dar las clases 00:09:51

o quizás no se presta muy bien para el tipo de preguntas que hacemos en los exámenes, ¿verdad? 00:09:59

En cambio, para un trabajo con GeoGebra o cualquier programa de geometría dinámica pues se presta muchísimo, ¿eh? 00:10:05

Vamos a comprobar como el programa trae también herramientas para trabajar los movimientos en el plano, 00:10:14

imaginar que tenemos que estudiar o que explicar el significado de la simetría axial, bueno, pues pedir la figura simétrica de este edificio, 00:10:23

bueno, edificio, ese polígono, ¿verdad?, respecto a esa recta sería algo tan simple como hacer dos clics, ¿verdad? 00:10:42

Si después modifico el eje por ver el efecto y, bueno, si planteo la posibilidad de que el polígono inicial y el reflejado se superpongan, 00:10:51

pues enseguida van a ver que es imposible porque se trata de una transformación inversa, ¿verdad?, no como las rotaciones, etc. 00:11:04

Bueno, vamos rápido porque la verdad es que quizás he preparado demasiadas cosas y tenemos poco tiempo. 00:11:14

Aquí había pensado enseñaros el mismo ejemplo que Francisco ha utilizado, que me parece de lo más adecuado y voy a aprovechar para que comprobéis, 00:11:24

perdón, no debería haber cerrado el programa, aparte de su utilidad, que es lo que ha hecho él, lo fácil que es construir una figura como esa, 00:11:37

es tan fácil como crear dos deslizadores que, bueno, vamos a llamar M y N, tal como los tenía Francisco, ¿verdad?, 00:11:49

y todo se reduce después a escribir la ecuación igual a M por X más N. 00:11:58

Ahí está esa recta en la que, si modificamos la ordenada en el origen, pues, bueno, ¿qué os voy a explicar, verdad? 00:12:06

Podemos interpretar mejor, pues, el sentido de la pendiente que mide la inclinación, que ahora es pequeña, ahora es nula, ahora es negativa, muy negativa, etc., ¿verdad? 00:12:17

Ya veis que, como decía él, no ha sido preciso hacer un trabajo extraordinario para conseguir una figura como esa. 00:12:29

Bueno, de geometría analítica también, si queréis, podemos ver la típica también construcción de la elipse por el método del jardinero, ¿verdad? 00:12:38

A los profesores y a ayudarles a encontrar material en internet o material, cosas que pudieran, sí, delar todas las áreas de conocimiento. 00:12:56

Bueno, pues, sería muy sencillo simplemente activar el rastro de este punto y comprobar cómo efectivamente cuando ese cordón tiene una longitud constante, ¿verdad? 00:13:05

Lo que traza tiene la forma de la elipse. 00:13:20

Algún ejemplo más de funciones, que hemos dicho que es un poco el segundo ámbito principal de utilidad de GeoGebra, pues, por ejemplo, 00:13:22

este es un ejemplo pensado para esa situación por la que muchos seguro que habéis pasado también a la hora de explicar el concepto de derivada en un punto, ¿verdad? 00:13:37

Aquello de partir de un punto y otro que se va acercando, la recta secante, y cuando se acerca mucho, mucho, ¿verdad? 00:13:55

Pues ahí es cuando les pedimos ese esfuerzo de abstracción para que imaginen qué ocurre. 00:14:05

Bueno, pues, si hacemos aquí un pequeño zoom, ese esfuerzo quizás no sea tan grande porque resulta bastante sencillo de visualizar qué ocurre cuando me acerco infinitamente a ese punto, ¿no? 00:14:11

Pues que la recta secante y la tangente vienen a coincidir incluso con la curva, ¿verdad? 00:14:29

Y tiene sentido ahí hablar de la pendiente de todas ellas que es la derivada en el punto. 00:14:36

Y siguiendo con el tema de la derivada, pues, por ejemplo, esta es otra función en la que lo que ocurre aquí, 00:14:45

si os fijáis en esos dos segmentos verdes, lo que miden es precisamente la derivada en ese punto, ¿verdad? 00:14:56

La pendiente o la inclinación de esta recta tangente. 00:15:04

Bueno, pues, si esa longitud la trasladamos aquí, cuando yo me mueva a lo largo de la gráfica, lo que estoy haciendo o lo que el programa hace abajo es trazar los puntos formados por las derivadas de todos los otros, ¿no? 00:15:08

Es decir, la función derivada. 00:15:25

Una manera de visualizar, pues, que cuando calculan derivadas están consiguiendo mediante un atajo algo que tiene su significado gráfico, ¿verdad? 00:15:28

Por cierto, esta misma figura, si os parece que puede ser significativa, permite, si esta función no os gusta, bueno, lo que acabo de hacer igual merece comentarlo. 00:15:41

No sé si os habéis dado cuenta, ahora mismo lo que yo estoy enseñando no es como Francisco que os enseñaba figuras con el propio GeoGebra, sino que estamos viendo páginas web. 00:15:54

Véis que aquí arriba aparece el icono del explorador de páginas porque otra de las cualidades del programa es que permite con mucha comodidad insertar o incrustar en páginas web construcciones hechas con el programa. 00:16:06

En muchos de los casos, si lo que estáis haciendo es ver en internet ese tipo de páginas, un doble clic, que es lo que acabo de hacer yo ahora sobre la figura, permite abrirla con el programa y modificarla a vuestro gusto, guardarla, tunearla o hacerlo con ella lo que queráis, ¿no? 00:16:21

Os iba a decir que si esta función no os gusta, pero la idea sí, sería muy sencillo modificarla y, por ejemplo, voy a meter la función seno, con lo cual todo ha cambiado la función pero toda la construcción sigue siendo válida. 00:16:41

La idea que comentábamos antes de la derivada de este punto sigue siendo ese palito y la función derivada del seno, pues no era mentira cuando nos lo contaron, sale el coseno, ¿verdad? 00:17:00

Es un ejemplo también para que veáis como muchas veces cuando alguien construye algo como GeoGebra, más que una figura, lo que está consiguiendo es una gran familia de figuras, ¿no? 00:17:17

Cuando alguien, como Francisco hace poco, construye un triángulo y su circuncentro, pues en realidad con esa construcción consigue tantos triángulos diferentes como le apetezca ir modificando o encontrando, ¿verdad? 00:17:30

Bueno, seguimos. Un ejemplo más de funciones, también bastante típico. Esta construcción parece, quizás, que está muy elaborada y os asombraríais de lo rápidamente que se consigue también porque entre los muchos comandos que GeoGebra trae hay algunos relacionados con las integrales y hay uno que te da lo que veis aquí. 00:17:47

La suma inferior, los rectángulos, tantos como queramos, por debajo de una gráfica, ¿verdad? Esto es lo que solemos hacer con mucho esfuerzo en la pizarra cuando nos toca explicar la integral de barro como límite de esa suma de muchísimas áreas, ¿verdad? 00:18:17

Bueno, pues os voy a enseñaros más, pero vamos a seguir. Si tenéis curiosidad por ejemplos de estadística, de álgebra, también cada una de estas tarjetas son otros ejemplos que, como os digo, los tenéis accesibles en internet en la página del CRIF. 00:18:36

Bueno, pues más cosas. Hasta ahora eran ejemplos de utilidades de GeoGebra en una clase en la que tenemos el cañón como apoyo a cosas que queremos explicar, ¿verdad? 00:19:07

Hay más posibilidades, por ejemplo, para visualizar y corregir ejercicios como, por ejemplo, en geometría analítica especialmente, donde, bueno, este es un enunciado sacado de un libro de texto, dados dos puntos, escribir la condición que debe cumplir un tercer punto para que el triángulo que determinan sea isósceles, por ejemplo, ¿no? 00:19:20

Bueno, esto lo suelen resolver los chavales tal como les enseñamos haciendo un ejercicio más de álgebra que de geometría en realidad, ¿verdad? 00:19:44

Con el programa pues sería bastante sencillo comprobar si todos esos cálculos son correctos y más que comprobarlo darle un sentido también geométrico, ¿verdad? 00:19:52

A ver si rápidamente lo hago, es el (-1, 1), y 5, 3. Pues sería el (-1, 1), el 5, 3. Y bueno, ahora el problema de lo que tiene para pensar, si quiero un triángulo isósceles con un lado desigual determinado por estos dos puntos, la solución está en dibujar la mediatriz, ¿verdad? 00:20:07

Que me la puede dar directamente el programa, y a partir de ahí, pues podemos comprobar que este es un triángulo isósceles, bueno, aparentemente lo es, ¿verdad? 00:20:37

Siempre, si no nos fiamos de la vista o si el monitor está configurado como suele ocurrir en algunos casos de manera rara, pues siempre podemos recurrir a la vista algebraica donde veis a la izquierda cuando varían los resultados, estos que aparecen en rojo son las medidas de los tres lados, ¿eh? 00:20:50

Siempre coinciden estos dos, y lo que aparece aquí, pues sería, esta sería la ecuación de la recta mediatriz que los chavales habrán resuelto algebraicamente, y la solución vendría a ser, pues precisamente eso, ¿no? La ecuación de esa recta mediatriz. 00:21:12

Bueno, más ejemplos o más posibilidades de uso, pues como apoyo para otro tipo de clases en las que más que explicar se trate de resolver problemas o de conducir actividades. 00:21:31

Aquí estoy viendo a una compañera que ya me escuchó esto la otra vez y me está dando un poco, igual cambiamos de ejemplo, bueno, aquí tenéis más, bien pues, de todas maneras la imagen te gustará porque tú eres de cerca de ahí, ¿verdad? 00:21:46

Bueno, pues esta es una imagen no para que os relajéis, todavía no hemos llegado al descanso, sino para que os planteéis esta pregunta, ¿eh? ¿A qué distancia, cuando miramos al mar de determinados puntos, os habéis preguntado alguna vez que cuánto de lejos alcanza el horizonte o nos alcanza la vista? 00:22:07

Pues ese es un programa para que las matemáticas tienen una respuesta no demasiado complicada, que con geogebra yo creo que se puede entender bastante bien, ¿eh? La idea sería, pues, si os imagináis esto es el hemisferio norte, ¿verdad? 00:22:28

Iluminado entero, por cierto, es bastante complicado de conseguir una foto así, ¿verdad? Bueno, pues si nosotros estuviésemos por aquí sobrevolando a la altura del ecuador, esto sería el Pacífico, ¿verdad? Mirando desde muy arriba estamos ahí, la vista nos alcanzaría hasta ahí, ¿verdad? ¿Y cuál es esa distancia? 00:22:48

Pues bueno, se trataría simplemente de saber que todas las tangentes son perpendiculares al radio, ¿verdad? Con lo cual ahí se puede conseguir un triángulo rectángulo donde aplicar el teorema de Pitágoras, para lo cual nos hace falta un dato que es el del radio de la Tierra, ¿eh? 00:23:09

Que, bueno, que es, si os digo que este mismo ejemplo no hace mucho, se lo enseña en esto de los másteres de secundaria que se han iniciado este año, pues a cinco recién licenciados de matemáticas y ellos no sabían, espero que vosotros sí, el perímetro de la Tierra es algo que, bueno, es imperdonable que no haya los universitarios que del Instituto Sánchez. 00:23:28

Eso se sepa sin saber cómo se calculó, ¿verdad? Bueno, en realidad se hizo al revés, el metro se inventó, se definió como la, nosotros nos lo aprendíamos de memoria, como era la diezmillonesima parte del cuadrante terrestre, ¿verdad? 00:23:58

O que viene a ser, pues, este es el cuadrante, son diez mil kilómetros, es decir, cuarenta mil kilómetros es el perímetro terrestre, bueno, es lo que estimaron los franceses en la época de la revolución, después se ha demostrado que tuvieron menos esa actitud que la que ahora hay, ¿verdad? 00:24:13

Pero bueno, si damos ese resultado por bueno, dividiendo por dos pi, se calcula el radio que son unos seis mil kilómetros, seis mil trescientos bastante, ¿eh? Bueno, pues con esos datos ya es suficiente, se puede resolver la ecuación y aquí podemos comprobar que, bueno, que si somos astronautas que están a esta altura, ¿verdad?, porque seiscientos kilómetros es mucha altura, divisaríamos mucho, entonces lo que vamos a hacer es bajar un poco más abajo 00:24:32

Los aviones creo que sobrevuelan a unos diez mil metros, ¿verdad? Más o menos, ¿o no? Bueno, pues si nos ponemos a diez kilómetros, más o menos ahí, desde un avión sobrevolando el Pacífico, pues la vista nos puede alcanzar hasta más de trescientos kilómetros, ¿eh? 00:25:02

Y si queremos, bueno, ponernos a pie de tierra como en la foto, pues habría que bajar más y lo podríamos comprobar, o si queréis aprovechar el mismo ejemplo para hacer una función, ¿eh? Aquí tenéis la gráfica que nos da a cada altitud del lugar que observamos la distancia que se alcanza, ¿eh? 00:25:22

De manera que si miramos, por ejemplo, desde cincuenta metros, desde un pequeño cerro, por ejemplo, pues alcanzaremos hasta veinticinco kilómetros de horizonte. Aquí podríamos hacer al revés que antes, alejarnos y comprobar la validez de la función a donde queramos, ¿eh? 00:25:48

Bueno, pues un ejemplo de eso, de uso de GeoGebra para, como os decía, apoyar la resolución de problemas o darles una visualización a cuestiones de las que igual os enseño otro. 00:26:08

Os voy a enseñar uno más. Este es un problema extraído de Divulgamat, que seguramente conoceréis, por cierto, de la sección que dirige Santiago Fernández, que alguno conocéis también, ¿verdad? 00:26:27

Se trata de un triángulo en el que sabemos un lado que mide veinte y, bueno, se dividen ocho partes iguales y la cuestión es cuántos suman estos siete segmentos verdes, ¿eh? Este sería un problema que se podría intentar resolver, bueno, un poco... 00:26:45

Aquí lo que estamos viendo ahora es una especie de otra posibilidad que tiene el programa en la que a la izquierda se describe al estilo de los manuales de Lego, ¿verdad? El paso a paso para hacer la construcción y el alumno o la alumna podría venir aquí y repetir el proceso. 00:27:09

En este caso, como son ocho partes iguales, ocho es el doble de cuatro, que es el doble de dos, podríamos aprovechar el punto medio, ¿verdad? Bueno, ya lo habéis visto aquí a la izquierda, para construir esos segmentos y, bueno, pedirle al programa que los sume y ya está, ¿verdad? 00:27:29

Esta sería una manera, pues, bastante poco original de hacerlo y que no serviría si en vez de ocho partes, si en vez de siete segmentos fuesen, por ejemplo, trece, ¿verdad? 00:27:48

Entonces, para ese caso diferente, ¿se os ocurre algún método alternativo? ¿Eh? Por simetrías, por ejemplo, que es una de las estrategias en resolución de problemas que mejor nos puede venir, ¿se os ocurre que se pueda hacer con esos siete segmentos? 00:28:01

¿Cómo lo haría Gauss? ¿Eh? Cuando tuvo que unir cincuenta, bueno, no eran segmentos, ¿eh? El primero más el último podría ser algo así, ¿eh? O sea, esos siete segmentos vienen a sumar la mitad que todos esos, que miden todos veinte, entonces la operación se reduce a siete por veinte dividido por dos, ¿verdad? 00:28:26

Y esto sí que ya valdría para no sólo siete, sino cualquier, bueno, aquí tenéis una generalización donde ya no es un triángulo, es, lo que tenemos serían, pues, quince miembros de una progresión aritmética cuya suma sería equivalente a la suma de esos segmentos que es la mitad que la de estos, ¿no? 00:28:49

Entonces, lo que aparece aquí no es ni más ni menos que la fórmula de la suma de las progresiones aritméticas y ésta podía ser una manera de introducir el asunto, pues, diferente a lo que solemos, ¿verdad? 00:29:14

En lugar de empezar con definición, propiedades, fórmula de la suma, etc., pues, una posibilidad es esto otro. 00:29:27

Empiezo con un problema más o menos curioso a que trabajamos, que luego generalizamos, intentamos hacer una fórmula de esa generalización y llegamos casualmente a lo que después cuando repasemos la teoría comprobamos que coincide con lo que dice el libro, ¿verdad? 00:29:37

Esto sería otro ejemplo de problema apoyado con geogebra y ya con esto me parece que terminamos la primera parte y a modo de resumen, ¿eh? 00:29:56

O sea, ¿qué se puede o para qué nos puede servir el cañón en el aula de matemáticas en particular con geogebra? 00:30:11

Pues, lo que hemos hecho yo creo que con estos ejemplos ha sido fundamentalmente visualizar figuras que por un lado pueden servir de estímulo a los chavales y sobre todo pueden facilitar la comprensión de las ideas y los conceptos matemáticos que nos propongamos, ¿verdad? 00:30:17

Y especialmente si esas figuras no son estáticas como las que ya se pueden encontrar en los libros de texto que también tienen figuras bien interesantes, aquí si se puede manipular, modificar o introducir alguna variación significativa en la construcción pues yo creo que es doblemente interesante y puede hacer más rico el asunto. 00:30:36

Bueno, ya pasamos entonces al otro ámbito, ¿eh? Al de el aula de ordenadores o un aula con ordenadores donde ¿qué se puede hacer? Pues, por ejemplo, una de las posibilidades quizás de las más utilizadas, casualmente, el ejemplo que yo he elegido aquí es también el que ha hecho Francisco, ¿verdad? 00:30:59

Esto vendría a ser un ejemplo de lo que nos ha contado, ¿eh? Una actividad pautada donde en una fotocopia se le describe al alumno lo que tiene que ir haciendo paso a paso prácticamente y lo que tiene que ir haciendo es construir, esta vez no son las mediatrices, son las medianas de un triángulo. 00:31:22

Entonces, pues aquí tiene ayudas de las herramientas que hay que utilizar para dibujar, comprobar qué ocurre con la tercera mediana, medirlas, modificar la construcción y observar y bueno ya empiezan los problemas, ¿verdad? 00:31:41

Porque los chavales, la verdad es que no es difícil conseguir que construyan y que hagan cosas con los ordenadores, es más difícil conseguir que trabajen en un aula convencional, pero también en los ordenadores es muy difícil cuando se les pide que ya observen o comenten lo que ven o describan una propiedad, la verdad es que eso es como un salto cualitativo que cuesta mucho conseguir. 00:31:56

Quizás porque no los tenemos habituados y deberían estar más habituados a ello, pero la idea se entiende, ¿verdad?, de lo que se trata. 00:32:24

La continuación, aquí no sé si se llega a ver, en este ejemplo uno, en otros había la posibilidad de investigar, por ejemplo, en el caso del circuncentro que nos ha hecho hace poco Francisco, una posible propuesta sería investigar de qué depende que el circuncentro del triángulo caiga dentro o caiga fuera del mismo, ¿verdad? 00:32:36

Esa es una posibilidad que con el lápiz y el papel es mucho más difícil de plantear. 00:33:06

Bueno, actividades de reproducción les llamo a algo como lo que acabamos de ver con el triángulo a la izquierda, esa especie de instrucciones paso a paso y a la derecha la posibilidad de reproducirla, ¿verdad? 00:33:13

No vamos a entrar en este ejemplo, vamos a hablar esto sí de otras posibilidades en las que, ay, perdón, se trata ya no tanto de partir de una hoja en blanco, como en el caso del triángulo de hace poco, como de tener preparada ya una figura, por ejemplo, bueno, luego os lo leo ya antes de dejarlo. 00:33:28

Se trata de poder manipular, observar, describir, sacar conjeturas, investigar lo que ocurre a partir de una figura que se les ha podido dar ya preparada. 00:33:50

Por ejemplo, en este caso, esto es también una captura de otra de esas actividades fotocopiables en las que en lugar de partir de una hoja en blanco se les dice abre de tu carpeta de trabajo este archivo. 00:34:03

Ese archivo, a ver si no tardo en buscarlo, se me había olvidado y no lo he copiado, a ver si no me cuesta encontrarlo. 00:34:19

Se les facilitaba esta figura en la que aparentemente lo que se ven son seis cuadrados, pero cuando ellos empiezan a manipular pues se dan cuenta de que lo que parecía un primer cuadrado en realidad es una familia de cuadrilateros que siempre son rectángulos, ¿verdad? 00:34:49

Estos en cambio siempre van a ser rombos, claro, lo que hay detrás ya no lo han hecho ellos, ya lo ha hecho el profesor, ¿verdad? 00:35:08

Y lo que tienen que hacer los chavales es manipular, construir las diagonales, medir los lados, medir los ángulos y describir como son en cada caso, ¿verdad? 00:35:17

Entonces lo que os estaba enseñando aquí sería un poco, o si queréis os enseño la solución, ya que estamos aquí, la solución de esa actividad, ahora igual no la encuentro, sería algo así. 00:35:33

Los rectángulos pues tienen los lados opuestos, iguales y paralelos, los ángulos son todos rectos, las diagonales, etc., ¿verdad? 00:35:55

Otro tipo de actividad en la que se parte de una construcción hecha y lo que se pretende no es tanto construir como ya veis lo que es, ¿verdad? 00:36:03

Seguimos, ya falta poco. 00:36:13

Bueno, siguiendo la misma idea, por un poco por contraste con unidades didácticas, se les llama ítens didácticos a propuestas en las que, por ejemplo, como aquí, pues se hace algo parecido al ejemplo anterior. 00:36:19

Vamos a ver si no le cuesta mucho cargar. 00:36:38

Lo que vamos a ver ahora son un catálogo de materiales que acompañan a unos cursos a distancia que aprovecho para comentar y, vaya, a ver si no nos falla internet. 00:36:41

Materiales, estaba diciendo, de un curso del ITE, un curso a distancia de geogebra donde, bueno, este año ha habido una oferta de tres cursos de geogebra diferentes de iniciación, profundización, experimentación en el aula, el año que viene van a haber los mismos y alguno más. 00:36:57

Y aquí se trataba de, no voy a poder enseñar la versión que a mí me gustaba más, pero bueno, pues algo parecido en lo de antes, hay un enunciado de una situación en la que se trata de trabajar con fracciones, entonces pues se describe el significado de estos quesitos, ¿verdad? 00:37:20

Hay otra parte donde se describe lo que tienen que hacer los chavales, quizás es demasiado extensa porque uno de los problemas cuando se trabaja con los ordenadores con nuestros alumnos es que no leen, bueno, no sé si no leen o no leemos, ¿verdad? 00:37:40

Como tenemos taller y alguno seguramente le tendré que comentar que lo que pregunta está escrito, porque casi nadie leemos y cuesta muchísimo y ahora está costando que se cargue esto, vamos a ver si consigo enseñaros el ejemplo. 00:37:58

Bueno, esta es otra de las cosas que tenía que pasar, también sabéis cuando se dan clases con ordenadores que no siempre funciona todo como uno quiere y una de las primeras lecciones que uno aprende es que conviene tener un plan B siempre, ¿verdad? 00:38:16

Porque antes lo comentábamos que a Murphy, el de la ley famosa, le encantaba la informática antes de inventarla. 00:38:38

Bueno, pues yo tengo plan B, pero no estoy seguro de si voy a acordarme dónde, a ver dónde está el catálogo. 00:38:47

Pues no la tengo aquí, no lo tengo aquí, ah, sí lo tengo aquí. 00:38:59

Vamos a ver si es cierto que tenía yo plan B. 00:39:19

Bueno, lo que ha fallado es internet, lo que estamos viendo ahora es en el pendrive, ¿verdad? 00:39:34

Bueno, pues lo que os decía, hay un enunciado quizás excesivamente largo en este caso y lo siguiente es el applet de GeoGebra, en este caso se trataba de trabajar con fracciones y como hemos perdido un poco de tiempo va a pasar directamente al caso del producto. 00:39:40

Bueno, ¿os habéis planteado alguna vez cómo se visualiza el producto de fracciones? 00:39:57

Sí, ¿verdad? Este cuadrado de la izquierda viene a representar cuatro séptimos, o si queréis vamos a volver al ejemplo anterior que me gustaba más. 00:40:05

Dos quintos multiplicado por tres cuartos, bueno, los chavales rápidamente dicen que son esos seis veinteavos, ¿verdad? 00:40:14

Que se pueden visualizar, ¿cómo? Pues lo de que esto es tres cuartos yo creo que se entiende bastante rápidamente, ¿verdad? 00:40:26

Y los dos quintos también, bueno, pues el producto sería los seis y los veinte serían pues los seis rectangulitos verdes, ¿se ven ahí, verdad? Del total de los veinte, ¿verdad? 00:40:33

Bueno, pues esto es un ejemplo en el que se trata no solo de manipular sino que luego viene acompañado con una serie de preguntas donde se pretende que los chavales tengan que hacer cosas para poder contestarlas y respondan en su cuaderno después de haber manipulado y si se ha conseguido hacer bien pues esa manipulación les habrá conducido a que aprendan algo significativo, ¿verdad? 00:40:46

En este caso, ¿cómo se operan las fracciones? Si queréis un ejemplo más por ver algo de probabilidad que no hemos visto nada, bueno, este es un caso de cosas que se puede hacer de GeoGebra de las que os he dicho al principio que nos iba a enseñar, ya es un uso como avanzado del programa y casi ni se reconoce, ¿verdad? 00:41:11

Esto está hecho con GeoGebra y la idea es, me imagino que también os he comentado antes lo del máster de los seis alumnos licenciados en matemáticas, cuando yo les saque este ejemplo en el que se trata, os lo imagináis, ¿verdad? 00:41:36

Se tiran dos dados y si sale 8, el caballito del 8, adelante, si sale 6, el 6, si sale el 8, bueno, se trata de una excusa para comprobar cómo funciona el azar con dos dados, ¿verdad? ¿A qué caballo apostaríais? 00:41:56

¿Es algo que se sabe o es un…? Bueno, los seis licenciados de matemáticas no lo sabían y yo me quedé muy sorprendido, no sé si es que ya uno cuando está muy familiarizado con algunas cosas pierde la noción de… 00:42:14

Yo ya no sé si calibro y distingo lo fácil de lo difícil, pero es el 7, claro que sí. Bueno, pues aquí podríamos estar jugando y me he ido del tema. Es un ejemplo para que veáis de nuevo que la estrategia no es, construye esto paso a paso, la estrategia es, toma, aquí tienes una situación donde vas a poder experimentar y manipular. 00:42:39

Aquí tienes unas preguntas para que leas, intentas interpretar, observes lo que ocurre y respondas. Es un planteamiento diferente, yo creo que didácticamente es más rico que el otro, pero también mucho más complejo, más complejo porque, pues ya hemos comentado, nos cuesta conseguir que lean, cuando lean, pues, por lo de la comprensión lectora, es un campo de mejora bastante fuerte, ¿verdad? 00:43:09

Y cuando ya se tienen que expresar, pues, bueno, estamos planteando ya tareas de cierto nivel. Bien, volvemos. Volvemos y ya, ahora sí que me parece que estoy terminando. 00:43:39

Antes os he hablado de la resolución de problemas en el aula normal, en el aula de ordenadores también se pueden plantear problemas y, en particular, yo aquí he elegido algún ejemplo de problemas abiertos que, inicialmente, pueden parecer una sosada, pero que muchas veces, cuanto más corto es un enunciado, más juego puede dar. 00:43:53

Una pregunta como esta de ¿qué pasa si se unen los puntos medios de un polígono? Pues puede dar mucho juego. Yo no sé si habéis probado, bueno, no voy a hacerlo porque me parece que ya ando por lo justo, ¿verdad? 00:44:13

Imaginar que ocurre primero con los triángulos. Si construís un triángulo y luego los puntos medios, pues, salen triángulos semejantes, cuyos lados son siempre la mitad, cuya área es la cuarta parte. Con los cuadriláteros sale siempre, no sé si muchos lo sabréis, sale siempre un paralelogramo, el famoso paralelogramo de Bariñón. 00:44:29

Y si se miden las áreas, pues, sale siempre la mitad del polígono original. Bueno, con otros polígonos pueden pasar más cosas, ¿no? O esto es otro ejemplo de problema abierto que se consigue con darle la vuelta a una de las preguntas que siempre hacen polígonos también, ¿no? 00:44:51

¿Calcula el área de este polígono? Pues, no. El área es 6. ¿Cómo es el polígono? Pues, puede ser de muchas maneras, ¿no? Si es un triángulo, pues, puede tener muchísimas formas y sus dimensiones han de cumplir qué, si es un rectángulo qué, si es otro... 00:45:12

Y, como resumen de lo que se puede hacer en el aula de ordenadores, básicamente, yo creo que se trataría de esto, ¿eh? De preparar actividades para que, fundamentalmente, sean nuestros alumnos y nuestras alumnas quienes hacen y aprenden más a partir de eso que hacen que de lo que nosotros les explicamos o de lo que ellos escuchan. 00:45:31

Bueno, por esto sería el grueso de la presentación. No voy a entrar a enseñaros... En internet podéis encontrar multitud de materiales. Os he puesto tres páginas nada más. Entre ellas la mía porque, bueno, os la voy a enseñar, no la página, sino... 00:45:56

Quería comentaros que al final de ella tenéis enlaces a otra buena lista de páginas con más materiales, ¿eh? O sea, que ya tenéis ahí, si os ha interesado el programa y los recursos, tenéis más que suficiente para pasar mucho tiempo porque hay muchísimo material, ¿eh? 00:46:16

Y, si tenéis curiosidad, pues también aquí encontraréis más información y materiales incluidos los de algún curso que os he citado. Por aquí hay más cosas, pero ya creo que terminamos y no sé si ahora... Charo, ¿es el momento de las preguntas o...? 00:46:33

¿Tenéis preguntas, supongo, o no? Bueno, yo soy Charo Marcos, la directora y, bueno, aparte de ser profesora de matemáticas hace dos años, encontré GeoGebra y desde que estoy aquí, pues, uno de mis objetivos ha sido hacer algo con el programa GeoGebra, intentar, bueno, pues, introducirlo y no has mostrado la página GeoGebra. 00:46:55

Sí, está aquí. 00:47:19

¿Dónde se puede descargar el programa? 00:47:20

Aquí mismo. 00:47:22

Bueno, yo trabajé con la página de Manosada y estoy encantada de poder tener Manosada aquí y que nos haya hecho esta presentación. 00:47:24

Si queréis descargaros GeoGebra, GeoGebra es un programa de software libre que creó Marcos Jorge Water, es un profesor ahora de la Universidad de Florida, pero era profesor de la Universidad de Salzburgo y lo hizo como su doctorado. 00:47:33

Un programa directamente para la aplicación de las matemáticas en la educación secundaria. 00:47:54

Entonces, lo bueno que tiene este programa es que es muy fácil de usar y de integrar en todas las matemáticas que se dan en la etapa de secundaria, aunque por parte de algunos profesores y del IG de Cantabria también se está introduciendo para primaria, como habéis visto aquí con el tema de las fracciones. 00:47:58

Bueno, GeoGebra, pues como ha sido, si dijéramos de forma virtual, porque ya que tenemos la web, pues está en la página web en geogebra.org, pero se han creado además una serie de institutos locales, aquí lo pone Instituto GeoGebra Internacional, 00:48:18

pero se ha ido difundiendo y la gente que lo ha ido conociendo se ha puesto en contacto con el autor y han ido haciendo puntos para difundir y puntos de referencia que se llaman los institutos locales de GeoGebra con intención de en la zona donde está ese instituto difundir GeoGebra y mostrar por medio de la web de esos institutos las experiencias de los profesores. 00:48:38

Aquí lo que queríamos ver es que GeoGebra está a nivel internacional en muchos sitios y en España ya aparece el Instituto GeoGebra de Madrid. 00:49:08

Pues esto no lo hemos visto nosotros, el Instituto GeoGebra de Madrid, participamos nosotros, participa la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense, participa el CRIF y las dos sociedades de profesores de matemáticas, Emma Castelnuovo y la Puchada. 00:49:20

Nuestra intención desde el CRIF es intentar ser un punto de encuentro para aquellos profesores que realizan actividades con GeoGebra. 00:49:40

También vamos a sacar el año que viene un curso en línea de iniciación que va a ir dirigido no solamente al profesorado de matemáticas sino al profesorado que pensamos que puede utilizar GeoGebra como es el de dibujo y de física y química porque aquí ahora va a intervenir nuestro asesor José Luis Hernández Neira que ha aportado algunas herramientas para que GeoGebra sea más sencillo en la aplicación de ciertas 00:49:53

problemas de resolución dentro de la física y de la química. Ha hecho dos aportaciones a la wiki de GeoGebra para esas dos asignaturas. También en dibujo en toda la parte de geometría se puede utilizar y está trabajando un profesor con nosotros en hacer un bloque temático especializado para el área de dibujo. 00:50:22

Os animo a utilizar GeoGebra. Cuando utilicéis GeoGebra que os pongáis en contacto con nosotros porque la idea que quisiéramos es crear un espacio web donde poder ir acumulando todos aquellos materiales que tengan utilidad para la práctica. 00:50:45

Es decir, muchas veces nos encontramos que buscamos cosas pero nos gustaría tener un sitio donde ir referenciado para encontrarlo todo. Evidentemente tenemos la página de Manuel Sara que es una maravilla, tenemos un montón de páginas ahí pero bueno pues si somos profesores de la Comunidad de Madrid y tenemos dentro de nuestro portal de EducaMadrid algún sitio donde ir y de ahí partir pues seguro que nos viene muy bien. 00:51:04

Os animo porque como habéis visto es muy sencillo tanto entrar en el programa como profesor a utilizarlo como animar a los alumnos a hacerlo y además la ventaja de los que hemos trabajado anteriormente con otros programas que no eran libres pues que tenías que cambiarte de instituto y ver como encontrabas la licencia de ese programa que utilizabas. 00:51:26

Con GeoGebra no pasa eso, con GeoGebra es un software libre que directamente te lo descargas en el instituto que estés, en todas las salas de ordenadores y los chicos les dices como hacer la descarga y en cualquier momento en su casa lo pueden hacer y pueden seguir trabajando con el problema tanto de ampliación para aquellos alumnos que muchas veces no puedes atender y quisieras darle más trabajo como de refuerzo para aquellos alumnos que quieres que hagan ese problema y con GeoGebra lo pueden hacer y autocorregirse. 00:51:45

Entonces pues os animo a trabajar con GeoGebra y aquí tenéis vuestra casa para que os ayudemos a difundir vuestras experiencias y a formaros, intentaremos hacer jornadas, talleres, imitar a otros profesores que están trabajando fuera de Madrid pero que tienen trabajos muy interesantes como puedan ser Rafael Lozada o José Antonio Mora o José Manuel Arran que tienen una página que es interesante, la de geometría contigo, la de geometría dinámica donde hay muchísimos. 00:52:15

Material, supongo que todas las tendrás en tu página web ¿no? 00:52:45

En la mía está enlazada ya con todas. 00:52:53

¿Y dónde vas? 00:52:55

Porque esa de geometría está muy bien. 00:52:57

Esta también tiene muchísimo material donde podéis, bueno no solo geometría, funciones y está toda con GeoGebra ¿no? 00:52:59

¿Y Cabri también? 00:53:14

Cabri también, porque casi todos los que estamos en GeoGebra hemos trabajado antes con Cabri. 00:53:16

Pues nada más. 00:53:21

Subtítulos realizados por la comunidad de Amara.org 00:53:29

Valoración:

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Idioma/s:

Autor/es:

D.Manuel Sada Allo

Subido por:

EducaMadrid

Licencia:

Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada

Visualizaciones:

1895

Fecha:

5 de agosto de 2010 - 13:44

Visibilidad:

Público

Enlace Relacionado:

Consejería de Educación de la Comunidad de Madrid

Centro:

ISMIE

Descripción ampliada:

Ponencia D.Manuel Sada Allo: "Experiencias con Geogebra en la enseñanza de las matemáticas" realizada en las II Jornadas de Integración de las TIC en las Enseñanza, el 1 de junio de 2010.

Acceso al programa.

Duración:

53′ 36″

Relación de aspecto:

4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.

Resolución: