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T6 - Ej 34 - Contenido educativo

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Subido el 7 de enero de 2026 por Francisca Beatriz P.

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Hola, vamos a ver el ejercicio 34, de aplicación de la integral definida. 00:00:00
A ver, nos dicen que la velocidad de un móvil que parte del origen, importante, partimos del origen, 00:00:05
viene dada en metros por segundo por la gráfica siguiente. 00:00:10
Y ahí vemos la gráfica, que tiene tres partes, ¿verdad? 00:00:13
La primera parte que va desde el 0 hasta el 1, la voy a llamar v1. 00:00:17
La que va del 1, 2, 3 hasta el 4, la voy a llamar v2. 00:00:23
y la que va desde el 4 hasta el 6 la voy a llamar v3, ¿vale? 00:00:30
La estoy llamando v porque me han dicho que es la velocidad. 00:00:36
Entonces es una función, la función velocidad va a ser una función definida en tres trozos, ¿vale? 00:00:40
Lo primero que me están pidiendo es calcular la función espacio recorrido. 00:00:46
Vale, a ver, recordemos, la velocidad es la derivada del espacio, 00:00:50
por lo tanto el espacio es la integral de la velocidad. 00:00:54
Para calcular el espacio lo primero que necesito es saber cómo es mi función v para poder integrarla 00:00:57
Entonces como os he dicho mi función v, la velocidad que depende del tiempo 00:01:04
va a ser una función definida en tres trozos 00:01:08
El primer trozo v1 que es cuando la t está comprendida entre 0 y 1 00:01:11
El segundo tramo, v2, que es cuando la t está comprendida entre 1 y 4 00:01:26
Y el tercer tramo, v3, cuando la t está comprendida entre 4 y 6 00:01:34
No he puesto los iguales, los voy a poner ahora 00:01:41
¿Dónde los vamos a poner? Pues a ver, fijaos que la función es continua 00:01:44
Entonces en un principio me da igual ponerlo en un sitio que en otro 00:01:48
Como empieza desde el origen, tiene que haber un igual en el 0 00:01:51
y como acaba en el 6, también está aquí el igual, y ahora el igual entre el 1 y el 4 me da igual ponerlo arriba o abajo, 00:01:54
voy a poner las dos en la del medio, en principio nos va a dar lo mismo, ¿vale? 00:02:02
Bien, ¿qué tenemos que sacar ahora? La función v1, v2 y v3. 00:02:08
La función v1, lo voy a ir haciendo aquí abajo, para calcular la función v1, ¿vale? 00:02:12
La función v1, ¿qué es? Es una recta, es una función afín, perdón, lineal, luego tiene la forma igual a mx. 00:02:18
¿Quién es? Y además la m va a ser positiva porque la recta es creciente. 00:02:26
¿Quién va a ser la m? Pues a ver, la m, la pendiente, es el valor de la y partido por x, 00:02:30
es decir, si cogemos un triangulito, que en este caso tenemos este triangulito aquí, ¿vale? 00:02:38
Tenemos este triangulito, la altura la y vale 2 y la base vale 1, por lo tanto la pendiente es y partido de x, es decir 2 partido de 1, es decir 2, por lo tanto mi función v1, he puesto, bueno la costumbre de poner siempre la x, ¿vale? 00:02:44
pero fijaos que estamos hablando de t, v1 será 2t, ¿vale? 00:03:03
Esta es la ecuación, lo que he dibujado aquí, lo que he puesto aquí es como la ecuación genérica, 00:03:10
pero tener en cuenta que mi incógnita en este caso es el t del tiempo. 00:03:15
Vale, la v2 es una función constante, por lo tanto es muy sencilla, 00:03:19
¿cómo es la ecuación de una recta constante y de una recta horizontal? 00:03:24
Pues es de la forma I igual a K, ¿verdad? I igual a algo. En nuestro caso, ¿cuánto va a ser? La K es justamente la altura, la altura es 2, ¿vale? Pues I igual a 2. Por lo tanto, mi función V2 será exactamente 2, ¿vale? 00:03:28
y mi función v3, el tercer trocito que me falta, es una función, en este caso es afín, es de la forma igual mx más n. 00:03:48
Si recordamos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, lo puedo utilizar ya que tenemos efectivamente dos puntos. 00:04:01
Tenemos este punto, que es el punto 4, 2, y este punto, que es el punto 6, 0, que es el que yo luego voy a utilizar. 00:04:08
¿Cómo vamos a calcular la m? Pues igual que lo hemos calculado antes, ¿vale? 00:04:16
m, en este caso la función, la recta es decreciente, por tanto va a ser negativa, menos, 00:04:19
y que va a ser y partido por x, ¿vale? Es decir, si cojo también este triangulito, 00:04:25
siempre cogíamos el triángulo de dos puntos, la altura va a ser 2 y la base va a ser también 2. 00:04:30
Por lo tanto la pendiente es menos 2 partido de 2, es decir, menos 1, ¿vale? 00:04:37
¿Y cómo vamos a calcular el valor de la n? Pues he dicho que conocemos dos puntos, pues voy a coger el punto más sencillo que es el 6,0, yo sé que el punto 6,0, ¿vale? Este punto de aquí, que le estoy marcando, pertenece a mi recta, por lo tanto tiene que verificar la ecuación, por lo tanto, ¿qué me quedaría? 00:04:43
si sustituyo la y por 0, la m ya sabemos que es menos 1, la x por el 6 me tiene que dar, 00:05:03
con esta ocasión calculo el valor de la n y de aquí que me queda que la n es igual 00:05:12
a menos 6 00:05:20
a 6, perdón, en positivo 00:05:22
¿vale? 00:05:24
por lo tanto 00:05:27
mi función v3 00:05:28
será menos x 00:05:30
perdón 00:05:32
¿qué variable hemos dicho que teníamos? 00:05:33
t, ¿verdad? 00:05:36
menos t más 6 00:05:37
¿vale? 00:05:40
por lo tanto podemos poner aquí 00:05:41
la función v de t 00:05:44
va a ser 00:05:46
la verdad es que lo podía poner mejor más abajo 00:05:50
pero bueno, v1 que hemos dicho que es 2t 00:05:53
es decir, va a ser 2t 00:05:56
si la t está comprendido entre 0 y 1 00:05:57
va a ser 2 00:06:03
si la t está comprendido entre 1 y 4 00:06:05
y va a ser menos t más 6 00:06:11
cuando la t está comprendida entre 4 y 6 00:06:14
Fijaos, podemos mirar que efectivamente es continua, es correcta 00:06:19
En el 1, si sustituimos arriba, sería 2 por 1, 2 00:06:24
Y en la segunda función es 2 00:06:28
En el 4, ¿vale? 00:06:29
He sustituido para comprobar el 1 en estos dos 00:06:31
Y sustituyo aquí el 4 00:06:34
En la segunda función, en el 4 vale 2 00:06:36
Y en la tercera función, menos 4 más 6 es 2, ¿vale? 00:06:39
Por lo tanto es continua y todo funciona bien 00:06:42
¿Vale? Esta sería mi función velocidad 00:06:45
Pero, ¿qué me estaban pidiendo? La función espacio, el espacio, ¿vale? Bueno, pues ya hemos dicho que el espacio es mi función e de t es la integral de v de t diferencial de t, ¿vale? 00:06:47
Luego, ¿qué tenemos que hacer? La integral de cada uno de esos trocitos, es decir, la función espacio también está definida a trozos y va a ser la integral de 2t, lo voy a escribir todo, ¿vale? 2t diferencial de t, la integral de 2 diferencial de t y la integral de menos t más 6 diferencial de t. 00:07:07
lo podíamos hacer de cabeza pero lo he escrito para que lo veamos mejor 00:07:33
y esto cuánto va a ser la integral de 2t es t cuadrado 00:07:37
y le tenemos que sumar una constante 00:07:42
la voy a llamar k1 00:07:44
y esto va a ser cuando la t está comprendida entre 0 y 1 00:07:46
la integral de 2 es 2t 00:07:54
otra constante le voy a llamar k2 00:07:57
y en este caso es cuando la t está comprendida entre 1 y 4 00:08:00
y la tercera función, la integral es menos t cuadrado partido por 2 00:08:06
más 6t más otra constante k3 00:08:13
las estoy llamando k1, k2 y k3 para no poner la misma letra 00:08:20
porque no tiene por qué ser la misma constante 00:08:24
y en este caso es cuando el 4 es menor o igual 00:08:27
c menor o igual que 6, ¿vale? 00:08:30
Pero claro, ahora tenemos que calcular el valor de k1, k2 y k3. 00:08:34
¿Cómo lo vamos a calcular? 00:08:39
Bueno, pues en primer lugar os he dicho que tuviéramos en cuenta que la función parte del reposo. 00:08:40
¿Eso qué quiere decir? 00:08:45
Que, o sea, del reposo, perdón, del origen de coordenadas, luego no había recorrido nada. 00:08:46
Por lo tanto, de aquí lo que yo puedo sacar es que el espacio en 0 va a ser exactamente 0, 00:08:52
porque parte del origen de coordenadas, ¿cuánto es el espacio en 0? 00:08:59
Lo sustituimos en esta función y me quedaría 0 más k1, ¿vale? 00:09:03
Me quedaría 0 más k1, esto tiene que ser 0, por lo tanto k1 tiene que ser 0, ¿vale? 00:09:10
Eso ya lo tenemos por un lado, el k1 vale 0. 00:09:20
Y ahora, ¿cómo calculamos el k2 y el k3? 00:09:23
Pues a ver, hay una cosa que tenemos que tener clara, la velocidad que teníamos era la derivada del espacio, para poder derivar la función tiene que ser continua, por lo tanto el espacio tiene que ser una función continua, eso que quiere decir que el valor en el 1 en ambos lados, es decir, los límites por izquierda y por derecha en el 1 tienen que ser iguales y lo mismo tiene que ocurrir en el 4, ¿vale? 00:09:26
subo un poquito, dejo solamente la función 00:09:52
¿vale? o sea, lo que estoy diciendo es que tiene que ser continua 00:09:57
¿vale? en el fondo es lo que estoy diciendo, que tiene que ser continua en t igual 1 00:10:00
por lo tanto, ¿esto qué significa? 00:10:05
que el límite por la izquierda, el límite cuando t tiende a 1 00:10:08
por la izquierda, mi función en este caso es t cuadrado 00:10:13
porque la k1 ya sabemos que es 0, tiene que ser igual al límite 00:10:16
cuando t tiende a 1 por la derecha 00:10:21
de la otra función que es 2t más k2 00:10:24
bueno, en lugar del límite he hecho el garabato, perdón 00:10:27
luego lo escribo, luego en el siguiente lo escribo bien 00:10:30
sustituimos y que me queda aquí 00:10:34
1 tiene que ser igual a 2 más k2 00:10:36
de aquí despejamos el k2 y que me queda aquí k2 00:10:41
es 1 menos 2 menos 1 00:10:45
Bien, pues ya tenemos calculada la otra, una de las constantes 00:10:47
Y nos falta la última, pues la última hacemos lo mismo 00:10:53
Es simplemente la continuidad en t igual 4 00:10:56
Porque sabemos que es continua 00:10:59
¿Qué no he hecho? 00:11:01
Aquí os no me tendréis que haber pegado el grito si estuviera en clase 00:11:04
He puesto los límites laterales 00:11:07
Está claro que f de 1 coincide con el límite por la derecha 00:11:09
Esto también es igual a la e de 1 00:11:12
se me olvida el valor de la función 00:11:17
aquí lo tendríamos también igual 00:11:20
e de 4 para que sea continua 00:11:22
es igual al límite 00:11:24
cuando t tiende a 4 por la izquierda 00:11:26
hemos dicho que es 2t 00:11:29
más k2 pero k2 sabemos que es menos 1 00:11:32
luego 2t menos 1 00:11:36
queremos que sea igual al límite 00:11:38
cuando t tiende a 4 por la derecha 00:11:40
y en este caso la función es 00:11:43
menos t cuadrado 00:11:45
Cuadrado partido por 2 más 6t más k3 00:11:46
Y ahora sustituyendo los valores y que me queda 2 por 4 es 8 menos 1 es 7 00:11:52
7 tiene que ser igual a 4 al cuadrado es 16 menos 16 00:11:58
Recordar que el menos no está en el cuadrado 00:12:05
Menos 16 entre 2 es menos 8 00:12:07
Más 6 por 4 es 24 más k3 00:12:09
y de aquí despejo k3, a ver, me quedarían 7 y 8, 15, 15 menos 24, menos 9, ¿vale? 00:12:15
Y por lo tanto, ya podemos contestar a lo que me estaban pidiendo, la función espacio, e de t, 00:12:29
ya la podemos escribir bien, es t cuadrado, cuando la t está entre 0 y 1, 00:12:38
2t menos 1 cuando 1 menor o igual que t menor o igual que 4 y la última función es menos t cuadrado partido por 2 más 6t menos 9 cuando 4 menor o estrictamente menor que t menor que 6. 00:12:49
Ahí me estoy dando cuenta que aquí os he puesto iguales 00:13:14
Que son el igual solamente está en el 0 00:13:21
En el 0, en el 1 y en el 4 del medio 00:13:23
Los he puesto ahí 00:13:28
Vale, pues de esta manera calcularíamos la función espacio 00:13:29
Ya sé que parece que tenemos que hacer muchas cosas 00:13:32
Pero en el fondo son cálculos que tendríamos que estar acostumbrados a hacerlos 00:13:35
Venga, pausa un momentito el vídeo para dejar espacio 00:13:41
Venga, el apartado B, lo que me están pidiendo simplemente es que dibuje esta función, que dibuje la función espacio 00:13:44
Bueno, pues más o menos lo que tenemos que tener en cuenta es que el t cuadrado es una parábola 00:13:51
Además una parábola concava, es la parábola típica 00:13:56
2t-1, la función del medio, es una recta, una recta creciente porque la pendiente es positiva 00:14:02
y la tercera función es una parábola también pero es una parábola convexa ya que el coeficiente del t cuadrado es negativo 00:14:08
entonces lo vamos a dibujar un poco simplemente dando algunos de los valores 00:14:17
A ver, vamos a ponernos por aquí, hacemos aquí nuestros ejes y estamos en los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y 6. 00:14:21
y bueno, no he calculado valores 00:14:42
espero que no se nos vayan 00:14:48
se nos vayan mucho 00:14:50
y ahora simplemente pues vamos a hacer 00:14:51
a coger los comunes 00:14:53
si fuera una tabla de valores, vale 00:14:55
para la t cuadrado 00:14:56
hacemos 00:14:57
la voy a llamar 00:14:59
vale 00:15:02
bien 00:15:04
¿qué fallo estoy cometiendo ahora mismo? 00:15:05
¿os habéis dado cuenta? 00:15:08
estoy llamando x e y 00:15:10
La costumbre de los ejes, no, es un problema con enunciado, ¿vale? Por lo tanto, el eje horizontal es mi t y el eje vertical, bueno, le puedo llamar y es como, sería el espacio, que es lo que me está dando, ¿vale? 00:15:11
Por lo tanto, yo lo que tengo aquí es E de t igual a t cuadrado 00:15:27
¿Qué puntos tengo? 00:15:33
Pues cuando la t es 0, sabemos que E de 0 es 0 00:15:35
Es decir, pasa por el punto 0,0 00:15:43
Y en el t1, cuando la t es 1, E de 1, ¿cuánto va a ser? 00:15:45
1 al cuadrado, es decir, 1 00:15:53
Por lo tanto, pasa por el punto 1,1 00:15:54
¿Vale? 00:15:57
Voy a cambiar de coro 00:15:58
Por lo tanto pasa por el punto 0, 0 00:16:01
Vamos a hacer particiones también 00:16:04
Pero no necesitar muchas más 00:16:06
Y por el punto 1, 1 00:16:10
¿Vale? 00:16:12
¿Cómo es? 00:16:13
Es la parábola 00:16:14
Es como una U 00:16:15
Bueno, pues hago una especie 00:16:17
Como si fuera haciendo la U 00:16:18
¿Vale? 00:16:21
Como una curvita 00:16:22
Con esto así nos serviría 00:16:23
¿Vale? 00:16:25
Esta sería, le voy a llamar como si fuera el espacio 1. 00:16:27
El espacio 2, el espacio 2 de t, es la función 2t menos 1. 00:16:31
También os digo que si lo veis más fácil lo podéis transformar todo en x y en y para hacer la representación, ¿vale? 00:16:39
Entonces, aquí si lo puedo hacer como antes o hacer una tabla de valores, me da con poner la x. 00:16:46
donde aquí sea t 00:16:52
y aquí ponemos el espacio 00:16:54
y entonces, ¿qué valores vamos a poner? 00:16:57
los extremos cuando la t es 1 00:17:00
y cuando es 4 00:17:02
¿cuánto vale en el 1? 00:17:04
2 por 1, 2 menos 1, 1 00:17:05
que tiene que ser el mismo porque es continua 00:17:07
y en el 4 es 4 por 2, 8 menos 1, 7 00:17:09
vale, pues aquí es donde me doy cuenta 00:17:12
que he hecho poquito 00:17:15
así que voy a pausar y voy a bajar un poquito la gráfica 00:17:16
vale, he hecho un poquito más grande la gráfica 00:17:19
gráfica porque necesitamos los valores entonces la siguiente es la recta que va 00:17:21
desde el punto 1 1 que es esta que teníamos aquí hasta el punto 4 7 1 2 3 00:17:25
4 5 6 este es mi 7 intersección este punto y aquí tiene que ser 00:17:31
una recta aunque no lo parezca que ya sé yo que 00:17:48
nunca aparece en mis rectas, esto es una recta. La primera parte era una parábola, la segunda 00:17:53
parte es una recta. Vosotros si lo hacéis en el cuaderno, como tendréis reglas o bolígrafos 00:18:02
para poderlo hacer, pues no habría problema. Y ahora me falta representar la tercera parte. 00:18:07
Ya sé que esto parece que es muy largo, pero es muy largo porque haciéndolo así con la 00:18:13
tablet estoy tardando mucho. Vosotros sobre papel no tardáis nada en hacerlo. La tercera 00:18:16
función es otra parábola menos t cuadrado partido por 2 más 6t menos 9. Entonces lo 00:18:22
mismo de antes, que necesitamos calcular los extremos. Sabemos que es una parábola que 00:18:31
es convexa, por lo tanto, vamos a, hacemos un poquito, escogemos esos valores y vemos 00:18:35
y los dibujamos, los dos valores. Vale, a ver, es en el 4, bueno en el 4 ya sabemos 00:18:42
cuánto es, pero vamos a comprobar que efectivamente 00:18:51
e3 en el 00:18:53
punto 4 nos tiene que dar 7 00:18:55
no vaya a ser que nos hayamos equivocado 00:18:57
sería 4 al cuadrado es 16 00:18:59
16 entre 2 es 8, luego por tanto 00:19:01
esto sería menos 8 00:19:03
más 24, menos 9 00:19:04
y esto es efectivamente 7 00:19:07
¿vale? y luego 00:19:11
en el punto 6 00:19:13
de 6 00:19:16
sería 6 al cuadrado es 36 00:19:18
menos 36 entre 2 es menos 18, 6 más 6 es 36, menos 9. 00:19:21
Luego esto sería menos 18 más 36 es 18, 18 menos 9, 18 menos 9 es 9. 00:19:31
Pues al final, por si acaso lo he hecho bastante larga, pero no hacía falta poner tantos valores. 00:19:38
¿Vale? Entonces en el 6 tenemos aquí el valor 9, que como es como una U, sí que también podríamos calcular cuál sería el máximo para ver exactamente cómo va, pero bueno, podemos entenderlo que como es convexa va a ser así. 00:19:44
No sé si se ve un poco lo que es el dibujo 00:20:11
El dibujo empieza una función recurvita, ¿vale? 00:20:14
Una cosita así 00:20:18
Luego tiene una recta y luego la otra curvita, ¿vale? 00:20:19
Es un poco esto el dibujo, aunque no me haya quedado muy bien 00:20:25
Pero bueno, ese sería el apartado B, que sería simplemente el dibujo, ¿vale? 00:20:32
Y el apartado C, vamos arriba, vamos a ver el enunciado, nos decían que probemos que el área bajo la curva que da la velocidad, ¿vale? Es decir, bajo esta curva de aquí, esta función, coincide con el espacio total recorrido, ¿vale? 00:20:37
Entonces voy a copiar abajo otra vez la función para que lo tengamos, mientras pauso. 00:20:54
Venga, he dejado solamente la función espacio y ahí se ha vuelto a poner la gráfica inicial. 00:21:00
Lo que me piden en el último apartado es comprobar que el espacio recorrido, 00:21:05
es decir, desde el tiempo 0 hasta el tiempo 6, coincide con el área que está por debajo, 00:21:10
de la función velocidad 00:21:24
entonces ¿qué espacio hemos recorrido? 00:21:26
pues lo que hemos recorrido es e 00:21:28
porque el tiempo en el que hemos estado, ésta es la que nos da el espacio 00:21:30
estamos, han sido seis segundos 00:21:34
por tanto esto será sustituir 00:21:36
en el 6 00:21:38
que lo hemos calculado antes 00:21:40
lo teníamos por aquí 00:21:43
e sabíamos que era 9 00:21:44
para no volverlo a poner 00:21:49
9 metros 00:21:51
¿y qué es lo que me están 00:21:52
¿Qué es lo que me están pidiendo que veamos? 00:21:54
Que estos 9 metros es justamente el área comprendida aquí debajo. 00:21:57
¿Habría que estar haciendo integrales? ¿Habría que hacer más cosas? 00:22:04
Pues no hace falta. ¿Por qué? 00:22:07
Porque si nos damos cuenta, lo que tenemos aquí es un triángulo, ¿vale? 00:22:09
Aquí tenemos un triángulo de altura 2 y base 1. 00:22:17
Aquí tenemos otro triángulo de altura 2 y base 2 00:22:22
Y lo otro que tengo es un rectángulo de base 3 y altura 2 00:22:28
¿Vale? Es decir, ¿cuánto va a ser ese área? 00:22:32
Pues este área va a ser, se podría ver un poquito a ojo más o menos con los cuadraditos 00:22:35
Pero para tenerlo mejor 00:22:40
El área del primer cuadrado, del primer triángulo, perdón 00:22:41
Base por altura partido de 2 00:22:44
Más el área del rectángulo base, que es 3, por altura, que es 2 00:22:48
Más el área del segundo triángulo, que es base, por altura, entre 2 00:22:54
¿Y esto cuánto va a ser? 2 entre 2 es 1 00:22:59
3 por 2 es 6, 2 por 2 es 4, entre 2 es 2 00:23:02
6 más 2 más 1 es 9 00:23:06
Pues efectivamente, el área comprendida por debajo de la función que nos da la velocidad 00:23:09
coincide con el espacio recorrido 00:23:16
sé que ha sido un ejercicio que es un poco largo 00:23:19
que parece complicado 00:23:21
pero en el fondo los cálculos que hemos hecho 00:23:23
han sido bastante triviales 00:23:26
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
7 de enero de 2026 - 14:14
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
23′ 30″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
59.68 MBytes

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