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CLASE CCFF 23 DE MARZO - Contenido educativo

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Subido el 24 de marzo de 2026 por M.jose S.

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Vale, el último día vimos la teoría de planos, que es muy cortita en realidad, 00:00:00
y es muy parecida a cómo se montan las ecuaciones de la recta. 00:00:06
Con las ecuaciones de la recta ya os dije que no podéis nunca olvidar 00:00:11
que para montar las ecuaciones de una recta en cualquiera de sus formas 00:00:16
necesitáis un punto y un vector director, o dos puntos, porque con dos puntos sacáis un vector director. 00:00:19
En el caso del plano necesitáis siempre un punto y dos vectores directores, en este caso esto podría estar sustituido por tres puntos, porque si yo tengo tres puntos, tengo un punto cualquiera de ellos y dos vectores directores, ¿no es así? 00:00:25
¿Me entendéis? Igual que para la recta con dos puntos me va a dejar sacar su vector director 00:00:48
Para el plano con tres puntos yo puedo sacar sus dos vectores directores 00:00:53
Si tengo un punto, el punto A1, A2, A3 00:00:57
Y tengo dos vectores directores V1, V2, V3 00:01:03
Y U1, U2, U3 00:01:09
la ecuación del plano se puede poner exactamente igual que la recta de varias maneras 00:01:13
la vectorial que es exactamente igual que la de la recta 00:01:20
que es x y z 00:01:24
igual a el punto a1, a2, a3 00:01:29
más lambda por el punto de los vectores, el que sea, me da igual 00:01:36
más t por el otro vector 00:01:41
Y de aquí salen las paramétricas, exactamente igual que con la recta, que es escogiendo la vectorial y dividiéndola en tres, con la primera, segunda y tercera componente. 00:01:45
Bueno, en el caso de la ecuación continua, el plano no tiene ecuación continua, las rectas sí, pero el plano no. 00:02:05
Luego pasaríamos a la ecuación general del plano, que es también la implícita, que se hace sacando, haciendo este determinante. 00:02:32
Hacéis esto de terminante y al final os va a quedar una ecuación del tipo 00:02:52
Un número por X más un número por Y más un número por Z más un número igual a 0 00:03:09
Que es la ecuación general del plano 00:03:18
¿De acuerdo? 00:03:20
¿Vale? 00:03:22
¿Cómo lo hacemos al revés? 00:03:24
Ya sabéis que cuando trabajamos con recta nos pasa siempre lo mismo 00:03:25
El asunto es, si me dan un punto y su vector es un vector 00:03:28
de alguna manera saco la ecuación de la recta 00:03:32
y si me da la ecuación de la recta 00:03:35
tengo que sacar un punto y un vector director 00:03:36
en el plano pasa lo mismo 00:03:38
esto es si me dan un punto 00:03:40
y dos vectores directores 00:03:42
o tres puntos y saco el punto y el vector director 00:03:44
¿qué pasa si me dan? 00:03:47
¿qué pasa si me dan esto? 00:03:48
bueno, pues si me dan esto o esto 00:03:50
no tengo ningún problema, el punto es este 00:03:52
uno de los vectores directores es este 00:03:54
y el otro es este 00:03:57
el asunto es si me dan esto 00:03:58
si me dan la ecuación general 00:04:00
me dará un plano como ecuación general, ¿cómo saco un punto y su vector director? 00:04:02
Pues esto lo suyo sería sacar tres puntos del plano dándole valores a la X y a la Y 00:04:08
y ya tengo tres puntos y ya saco el vector director, los dos vectores directores que necesite. 00:04:15
¿De acuerdo? En el caso del plano, en el caso de la ecuación del plano, 00:04:22
hay una, sucede una cosa y es que si yo tengo la ecuación general del plano, resulta que si cojo estos valores, este ABC, el vector formado por esos tres valores, ABC, resulta que es un vector que es perpendicular a este plano, eso pasa siempre. 00:04:26
Entonces, hay una tercera, hay otra manera de que os puedan dar un plano, que es si os dan un vector perpendicular y un punto. 00:04:52
Es decir, había, en la recta hay dos maneras de que os den en la recta, un punto y un vector y un vector o dos puntos. 00:05:07
En el caso del plano, os pueden dar un punto y dos vectores, tres puntos o un vector que es perpendicular al plano y un punto. 00:05:15
y entonces la ecuación de la recta vendría dada por, si el vector es ABC, si el vector perpendicular, bueno, es el vector ABC, 00:05:23
entonces la ecuación de la recta es A por X menos la primera componente del punto, 00:05:36
Suponiendo que el punto es el A1, A2, A3 00:05:44
Más B por I menos la segunda componente del punto 00:05:47
Y más C por Z menos la tercera componente del punto 00:05:53
Igual a 0 00:06:00
¿De acuerdo? 00:06:01
Vale, bueno, este es el repaso 00:06:04
O si el otro día vamos a hacer ejercicio 00:06:06
Hoy y mañana nos vamos a dedicar a hacer ejercicio de restas y planos 00:06:08
Porque ya os dije que con esto acabamos el tema de analítica del espacio y para empezar ya el último tema que tenemos que estudiar, que es el de probabilidad. 00:06:13
Os di el otro día unos ejercicios, todos los tenéis, que eran el 10, 11, 12, los tenéis, buscadlos. 00:06:26
Sí, pone rectas y planos de distancia, 10, 11, 12, para el otro, ¿lo suméis? 00:06:36
Sí, sí, sí. 00:06:45
¿Sí? ¿Os habéis entombrado? 00:06:51
Vale. 00:06:53
¿Hicimos alguno? 00:06:58
No me acuerdo. 00:07:00
El 11 y el 12. 00:07:00
¿Hicimos el 11 y el 12, los dos? 00:07:01
Sí. 00:07:03
Vale. 00:07:04
¿Y el 3 que nos dijimos? ¿No? ¿Seríais capaces de hacerlo? 00:07:06
A ver, a ver si os piden las ecuaciones de los planos cartesianos. 00:07:12
Es decir, el plano X, Y, el plano Z y el plano X, Z. 00:07:18
Os piden las ecuaciones de este plano X, Z, de este plano Y, Z y de este plano X, Y. 00:07:26
Efectivamente, por ahí van los tiros 00:07:36
A ver, centremos exactamente el proceso 00:07:41
A ver, lo primero, como os piden las ecuaciones de un plano 00:07:45
En este caso de tres planos distintos 00:07:49
Tenéis que encontrar la manera de encontrar 00:07:51
Un punto y dos vectores directores 00:07:56
Tres puntos o un punto 00:08:01
y un vector 00:08:06
perpendicular 00:08:09
una de estas tres cosas 00:08:12
tenéis que buscar una vida para 00:08:14
simplemente 00:08:16
con lo que os acaban de decir 00:08:18
encontrar la manera de 00:08:20
una de estas tres cosas 00:08:22
a ver, podemos empezar a descartar 00:08:23
yo puedo sacar, vamos a coger 00:08:27
uno de los planos, porque he hecho uno 00:08:28
he hecho todos, ¿vale? 00:08:30
¿cuál cogemos? ¿ZX? 00:08:32
¿o XY? 00:08:34
¿ZX? 00:08:35
este, este plano 00:08:36
El plano horizontal. 00:08:38
Yo de aquí tengo dos vectores directores. 00:08:40
1, 0, 0, ¿dónde? 00:08:44
Ya, pero hay que centrar eso. 00:08:45
Ese conocimiento hay que centrarlo para poder empezar a operar. 00:08:47
¿Yo puedo tener un punto y dos vectores directores de este plano? 00:08:51
Pues a ver, un punto. 00:08:56
Un punto de este plano, cualquiera. 00:08:58
No, uno no. 00:09:00
Un punto tiene tres componentes. 00:09:00
No, 1, 0, 0, fijaros. 00:09:03
El 1, 0, 0 está el 1, bueno, está aquí el 1, 0, 0, vale, venga, un punto, 1, 0, 0, 3, 0, 0, pero ¿cómo vamos a definirlo? ¿Cómo vamos a montarlo? 00:09:04
Claro, a ver, a ver si me explico yo lo que quiero, cómo quiero que razonéis. 00:09:21
Yo tengo que buscar una de estas tres cosas, ¿qué voy a hacer? 00:09:26
Tres puntos, un punto y dos vectores o un punto y un vector perpendicular. 00:09:29
¿O paralelo? No, paralelo no, tiene que ser perpendicular. Pero aquí ya tengo dos puntos. ¿Dónde está el vector perpendicular? 00:09:33
Restando 1, 1, 0. ¿Él? No, un punto es el 1, 1, 0. 1, 1, 0. Pero eso es un punto. 00:09:43
Pero, a ver, a ver, pensemos ordenadamente. ¿Cómo vamos a hacerlo? ¿Con un punto y dos vectores? ¿Con tres puntos? ¿O con un punto y un vector perpendicular? 00:09:51
Un punto y un vector perpendicular. 00:10:01
A ver, pues si es con un punto y un vector perpendicular, yo ya tengo un punto. Dame el vector perpendicular. 00:10:03
2, 0, 0 restando 3. 00:10:08
No, 2, 0, 0 no es un vector perpendicular a ese plano. 00:10:10
Claro, el vector 2, 0, 0 es este. Ese vector no es perpendicular al plano. El 0, 3, 0 tampoco. El 0, 3, 0 es este. 00:10:16
Pues un punto y dos... 00:10:26
Como queráis, yo os digo que el proceso de pensamiento es ese. 00:10:27
Tú puedes coger y decir, un punto y dos vectores. 00:10:31
Bueno, un punto y un vector perpendicular. 00:10:34
De momento, un punto y un vector perpendicular no habéis sabido sacarlo. 00:10:36
Ni vamos a saber. 00:10:39
Ni vais a saber. Vale, fenomenal. 00:10:40
Pues entonces, damos marcha atrás. 00:10:42
Damos marcha atrás. 00:10:44
Tres puntos. 00:10:45
¿Seréis capaces de darme tres puntos que están en este plano? 00:10:46
Venga, pues darme tres. 00:10:50
Uno, uno, cero. Estoy con tres puntos. 00:10:51
El punto uno, uno, cero. 00:10:54
Otro. 2, 2, 0 y 3, 3, 0, por ejemplo. Cualquier punto que tenga la componente zeta 0 está en este plano, ¿no? La componente zeta es la altura. Cualquier punto que no tenga altura está en ese plano. 00:10:57
luego ya tengo tres puntos 00:11:15
ya puedo montar el 00:11:17
¿cómo monto con tres puntos? 00:11:20
con tres puntos, teniendo tres puntos 00:11:23
yo lo que hago es que me voy aquí 00:11:25
saco con estos tres puntos 00:11:27
dos vectores y un punto 00:11:29
y lo monto 00:11:31
¿vale? sí, pero la diferencia es que tú tres puntos 00:11:32
me los puedes dar directamente 00:11:35
dos vectores de aquí, dame dos vectores de aquí 00:11:36
pero para eso ya tienes los tres puntos 00:11:39
estás haciendo eso, estás pasando 00:11:41
de tres puntos a un punto y dos vectores, restándolo, o me das dos vectores directamente 00:11:43
o me das tres puntos y de aquí ya me sacas los dos vectores haciendo eso, ¿entendéis 00:11:49
lo que digo?, me habéis seguido en el razonamiento, vosotros no podéis perder nunca de vista 00:11:56
y con analítica, si os piden una recta tenéis que buscaros la vida para encontrar un punto 00:12:01
o dos puntos 00:12:08
o un punto y un vector y un vector 00:12:10
y si os piden un plano 00:12:11
tenéis que buscaros la vida para encontrar tres puntos 00:12:13
o un punto y dos 00:12:16
vectores y vectores, o un punto 00:12:18
y un vector perpendicular 00:12:20
una de estas tres cosas, en este caso 00:12:21
un punto y dos vectores 00:12:23
hombre, yo sabría sacar dos vectores de aquí 00:12:25
porque es muy fácil, un vector es este 00:12:27
y otro vector es este 00:12:30
este es el vector 00:12:31
1, 0, 0 00:12:33
y este es el vector 00:12:35
0, 1, 0 00:12:38
¿vale? ya tendría 00:12:39
un punto cualquiera, el 1, 1, 0 00:12:41
y estos dos, ya me sirven 00:12:43
¿vale? y para sacar un punto 00:12:45
y un vector perpendicular, yo podría 00:12:47
coger cualquier punto de aquí, este mismo 00:12:49
y un vector perpendicular 00:12:52
es este, que es el 0, 0, 1 00:12:53
¿no? 00:12:56
fijaros que esto solo pasa cuando 00:13:00
os dan los planos coordenados, que es tan fácil 00:13:01
si son dos planos desconocidos 00:13:04
encontrar puntos de un plano 00:13:06
no, es más complicado, ¿vale? Bueno, lo hemos hecho con tres puntos, pues venga, entonces 00:13:07
vamos a seguir y hacedme el plano que pasa por estos tres puntos, venga. Ya sabéis que 00:13:13
si dan un plano que pasa tres puntos tenéis que sacar los dos vectores directores, coger 00:13:19
uno de los puntos y montar el, y montar las, las, las opuestas, ¿vale? 00:13:23
Sí, de momento vamos a sacar todas 00:13:29
Luego ya, a medida que vayamos avanzando 00:13:35
Sacamos la general y ya está 00:13:37
Pero en principio vamos a sacar todas 00:13:39
Por si acaso os piden una determinada 00:13:41
Claro, tomas cualquiera de los tres puntos 00:13:43
Y dos de los vectores 00:13:45
O sea, hay dos vectores restando los dos a dos 00:13:47
Yo trabajo con el cero 00:13:49
Y luego, para quitar el cero 00:13:57
siempre tiene que ser distinguido 00:14:00
entre una matriz e indeterminado 00:14:02
siempre igual 00:14:04
hacer los determinantes de 3x3 siempre es igual 00:14:05
¿vos dos me tenéis que dar el... 00:14:08
no puede ser todo, todo, todo 00:14:14
no puede ser 00:14:15
o sea, no todas las ecuaciones 00:14:16
sino la... 00:14:18
¿cuál te sale? 00:14:19
¿qué otra? 00:14:24
para hacerme bien ese determinante 00:14:26
No puede ser 00:14:28
¿Qué vectores habéis sacado? 00:14:33
¿Qué vectores habéis sacado? 00:14:37
1, 1, 0 00:14:39
No, no 1, 0 00:14:41
Ah, este, B, A 00:14:42
Habéis sacado la B, ¿no? 00:14:45
Que es 00:14:48
El 1, 1, 0 00:14:49
¿Y cuál más? El AC 00:14:51
Vale, ¿y qué punto habéis cogido? 00:14:52
Bueno, entonces, vectorial x y z igual a 1, 1, 0 más lambda por 1, 1, 0 más t por 2, 2, 0. 00:15:00
De aquí salen las paramétricas, 1 más lambda más 2t, y igual a 1 más lambda más 2t, y z igual a 0. 00:15:30
Y por último vamos con el determinante, x-1, y-1, z-0 y aquí 1, 1, 0, 2, 2, 0, ¿vale? 00:15:54
esto es cero 00:16:13
esto es cero y esto es cero 00:16:15
esto es 00:16:18
¿no? 00:16:21
esto es cero 00:16:24
y esto es cero 00:16:25
luego el plano es 00:16:26
2z igual a cero que es lo mismo que 00:16:29
z igual a cero 00:16:31
como 1 por 2 por 2z 00:16:33
1 por 2 por z 00:16:35
son 2z 00:16:36
¿qué diagonal diré? 00:16:39
tengo esta 00:16:42
y esta, que son, sí, sí llevo razón, esto es menos 2Z, sí, sale 0 igual a 0, no, pues 00:16:43
algo raro estamos haciendo, eh, tendría que salir, el plano ese es el plano Z igual a 00:16:51
0, a ver, 1, 1, 0, 2, 2, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 0, X menos 1 y menos 1, Z menos 0, vale, y aquí 00:16:56
esto es cero, esto es cero, esto es, no, ah sí, sí, sí, sí, estos son dos zetas, esto está mal, esto está mal, 00:17:07
¿por qué no sale esto? Esto es cero, esto es cero y esto es dos zetas, lleva razón, esto es menos dos zetas 00:17:16
y esto es cero y esto es cero, sí, sí, pues no sale, no sale, la implícita no sale, me sale que cero es igual a cero, 00:17:26
luego las que tenemos son esto 00:17:34
en todos los cuadros te va a salir cero 00:17:36
te va a salir eso 00:17:37
vale 00:17:40
pues ya está 00:17:41
¿de acuerdo? 00:17:44
y si hacemos este, el xz 00:17:46
que no tenemos ecuación general 00:17:48
de esta 00:17:51
no tenemos ecuación general 00:17:51
las ecuaciones de ese plano vienen dadas así 00:17:52
si cogemos esos puntos 00:17:55
me da eso 00:17:57
ahora miro por qué 00:17:58
venga, hacerme lo mismo pero para la xz 00:18:00
ya sé lo que ha pasado 00:18:04
ya sé lo que ha pasado, mirad lo que ha pasado 00:18:13
mirad lo que ha pasado 00:18:17
es que no podéis coger 00:18:18
estos dos 00:18:21
porque habéis cogido 00:18:22
habéis cogido 00:18:25
este es el punto A, este es el B 00:18:26
y este es el C, habéis cogido 00:18:29
este vector director y este vector 00:18:31
director, habéis cogido solo un vector director 00:18:33
habéis cogido el mismo 00:18:35
¿entendéis lo que digo? 00:18:36
¿entendéis lo que digo? 00:18:40
tenéis que coger otro punto distinto 00:18:41
tenéis que coger estos tres puntos 00:18:42
no os sirven porque habéis cogido 00:18:45
tres puntos alineados 00:18:46
¿entendéis lo que digo? 00:18:48
por eso no os sale la ecuación 00:18:50
¿entendéis lo que digo? 00:18:52
tenéis que coger tres puntos que no estén alineados 00:18:55
si cogéis tres puntos alineados no tenéis 00:18:57
dos vectores directores, podríamos coger 00:18:58
este y este y uno cualquiera 00:19:01
aquí, el 3 00:19:02
el 3, 1, 0 00:19:04
por ejemplo, vamos a hacerlo con estos 00:19:06
tres, ¿vale? vamos a hacerlo 00:19:09
con el punto A, que es el punto 1, 1, 0, el punto B, que es el punto 2, 2, 0, y el punto C, que es el punto 3, 1, 0, ahora sí, 00:19:11
Y me hacéis el AB y el AC. 00:19:29
AB, este vector, y este vector. 00:19:33
Que son dos vectores distintos, que si lo haces con los tres puntos alineados, 00:19:39
pues eso no te sale. 00:19:43
Vamos a hacerlo, tenéis que hacer los vectores AB y AC. 00:19:44
Y el punto que queráis. 00:19:53
Bueno, repetimos eso, ¿vale? 00:19:55
Recordad que siempre no cojáis tres puntos que estén alineados, coged tres puntos que no estén alineados. 00:19:56
Cogemos todos el mismo punto. ¿Qué punto estáis cogiendo? ¿La otra vez? 00:20:03
A ver, ahora sí. 00:20:13
Ahora, es que la ecuación de este plano es z igual a cero. 00:20:58
Si hacéis este, este es el ac. ¿Veis? Estos dos ya no están alineados. 00:21:07
Uno es este y el otro es este. Son dos vectores no alineados. 00:21:13
Entonces, esta me sale que un vector es el 1, 1, 0 y el otro el 2, 0, 0. 00:21:18
Entonces, si esto lo pongo así, ahora sí, esto es 0, esto es 0 y esto es 0. 00:21:24
Lo único que no es 0 es esto, que es 2Z. 00:21:29
2Z igual a 0, Z igual a 0. 00:21:32
Este plano es el plano Z igual a 0. 00:21:33
Este es el plano Z igual a 0. 00:21:40
¿De acuerdo? ¿Lo veis? 00:21:43
Venga, ahora vosotros, hacedme lo mismo para el plano XZ. 00:21:45
Hemos hecho el X, Y, el X, Z. 00:21:51
Si queréis, sacadme tres puntos que no estén alineados y me lo hacéis yo. 00:21:53
¿Qué puntos habéis cogido? 00:22:02
Alguien tiene tres puntos. 00:22:04
Tres, cero, uno. 00:22:05
Cinco, cero, cuatro. 00:22:09
Y siete, cero, dos. 00:22:11
Siete, cero, dos. 00:22:14
Vale. 00:22:16
Y hemos hecho AB, por ejemplo. 00:22:18
¿Y qué más? 00:22:22
Y A. 00:22:22
A, B y A, C. A, B es 2, 0, 3 y A, C es 4, 0, 1, ¿no es así? ¿Y qué punto? El A, el punto A que es el 3, 0, 1. 00:22:23
Entonces, x y z igual a 3, 0, 1 más lambda por 2, 0, 3 más t por 4, 0, 1, ¿vale? 00:22:41
x es igual a 3 más 2 lambda más 4t 00:23:03
y es igual a 0 y z es igual a 1 más 3 lambda más 3 00:23:11
¿de acuerdo? 00:23:21
y si hacéis esto x menos 3 y menos 0 z menos 1 00:23:23
y los vectores son el 2, 0, 3 y el otro es el 4, 0, 1. 00:23:32
Esto me da 0, esto me da 0 y esto me da 0, esto me da 0, esto me da 0 y esto me da 2i. 00:23:48
2i igual a 0, el plano es i igual a 0. 00:23:58
¿De acuerdo? 00:24:02
¿Sí o no? 00:24:05
Bueno, da igual 00:24:06
Menos 10y igual a 0 00:24:06
Y igual a 0 00:24:08
O sea, el plano es y igual a 0 00:24:09
Fijaros que los planos 00:24:12
Y entonces 00:24:14
Este es el plano 00:24:14
Y igual a 0 00:24:20
Y este plano, ¿cuál es? 00:24:21
x igual a 0 00:24:24
Es decir, todos los puntos de este plano 00:24:27
Lo que cumplen es que su coordenada z es 0 00:24:29
Todos los puntos que están en ese plano 00:24:31
lo que cumplen es que su coordenada ahí es 0 00:24:33
y todos los puntos que están en este plano 00:24:36
lo que cumplen es que su coordenada 00:24:38
bueno 00:24:39
siguiente, os dan 00:24:42
un punto de un plano 00:24:43
os piden las ecuaciones de un plano 00:24:45
las paramétricas 00:24:47
y os piden, os dan un punto 00:24:49
y os dicen que es paralelo a esas dos rectas 00:24:52
venga 00:24:55
tenéis que sacar 00:24:55
un punto del plano 00:24:58
y dos vectores directores 00:24:59
O un punto, o tres puntos, o un punto y un vector perpendicular. 00:25:01
A ver cómo lo sacáis. 00:25:09
El siguiente es el 14. 00:25:10
Un punto. 00:25:12
Exacto. 00:25:15
Y es paralelo a la recta. 00:25:16
X partido por menos 2 igual a Y menos 3 partido por menos 1 igual a Z más 1 partido por 2. 00:25:18
Esta es una recta y la otra recta, o sea, ¿en qué forma os han dado esta recta? 00:25:31
¿Qué forma es esta? 00:25:38
Continua. 00:25:40
Pues esta una recta os la dan en forma continua y la otra os la dan como... 00:25:41
Que la S, esta es la recta S y esta es la recta R. 00:25:49
¿Vale? 00:26:05
Esta la dan continua y esta, ¿cómo se las dan? 00:26:06
Paramétricas. 00:26:10
¿Vale? 00:26:11
Dicen que el plano es paralela a las dos. 00:26:15
Y os piden las paramétricas. 00:26:17
¿Qué necesitáis para montar y los vectores? 00:26:20
Y os dicen que el plano es paralelo a esas dos rectas. 00:26:23
Luego, entonces, ¿de dónde vais? 00:26:25
No, lo que tenéis que sacar es el vector director de una y de la otra. 00:26:27
¿Cómo se saca el vector director cuando lo tienes en forma continua? 00:26:32
Son directamente, acordaros que en forma continua, el vector director es esto de aquí abajo, menos 2, menos 1 y 2. 00:26:34
Y si se está en paramétricas, los números que tiene la lambda o la t o lo que sea, o sea que el otro vector es el vector menos 1, 3, menos 3. 00:26:46
Tenéis un punto... 00:26:57
Ah, que tenemos que usar este, ¿no? 00:27:00
Claro, este punto. 00:27:01
Sí, yo. 00:27:02
Os lo han dado, os dicen que allí hay la ecuación del plano que pasa por ese punto y es paralelo a estas dos. 00:27:03
Luego, claro, es para, no, no, tú para montar un plano necesitas un punto y dos vectores. 00:27:11
No, porque si sacas otro vector de la R te va a dar un vector paralelo, o sea, te va a dar el mismo vector, el vector de una recta siempre es el mismo. 00:27:18
¿Vale? Es de los dos, necesitas dos, por eso te dan dos rectas, por eso te dice que es paralelo a las dos rectas. 00:27:25
Entonces tienes esto y ya tienes un punto y un vector. 00:27:31
Pues venga, os pido las paramétricas, montad las paramétricas. 00:27:34
Lo que está pasando es esto, estas son las dos rectas, 00:27:41
estas son las dos rectas, las que sean, 00:27:44
y entonces el plano es paralelo a las dos. 00:27:46
¿Qué quiere decir? 00:27:48
Que los vectores directores de estas son los vectores directores del plano. 00:27:49
Venga, ¿las tenéis? 00:27:54
¿Las tenéis? 00:27:56
Primeras componentes. 00:28:12
x es 8 menos 2 lambda menos t, y es 9 menos lambda más 3t, y z es 1 más 2 lambda menos 3t, ¿no? 00:28:13
Las paramétricas salen fáciles, una vez que tienes los vectores y eso, salen fáciles, ¿de acuerdo? 00:28:25
¿Vale? ¿Está claro para todos? 00:28:31
siguiente 00:28:32
el 15 00:28:34
dice 00:28:37
ecuación del plano 00:28:39
que pasa por un punto 00:28:41
ya me dan un punto del plano 00:28:43
menos 2, 0, 1 00:28:44
y que contiene a la recta 00:28:48
x partido por 2 00:28:52
igual a y menos 1 00:28:54
igual a 2, z 00:28:56
ahora lo que tenemos es un plano 00:28:59
un plano 00:29:01
me dan un punto cualquiera 00:29:06
y una recta que está contenida 00:29:09
¿cómo consigo? 00:29:10
¿qué haríais para poder montar la ecuación de ese plano? 00:29:12
tenéis un punto 00:29:17
¿necesitáis? 00:29:17
¿qué necesitáis? 00:29:21
y otro punto, claro 00:29:21
entonces, fijaros 00:29:23
lo que dice vuestra compi 00:29:25
vuestra compi dice 00:29:26
El vector director de esta recta 00:29:31
Ya es un vector director de plano, ¿no? 00:29:34
Luego, este vector, esta recta 00:29:38
¿En qué modo os la han dado? 00:29:40
Continua, ¿no? 00:29:44
Porque esto es como partido por uno 00:29:44
Y esto partido por uno 00:29:46
Luego, ¿cuál es el vector director de esa recta? 00:29:47
Dos, uno, uno 00:29:52
Ya tengo un vector director 00:29:53
¿Cómo saco el otro? 00:29:54
Venga 00:29:56
Aquí, aquí 00:29:56
A lo de arriba. 00:30:02
Tengo A. 00:30:03
La recta de eso a lo de arriba. 00:30:04
Pero aquí. 00:30:06
A eso. 00:30:07
¿Cómo saco el otro vector y vector? 00:30:08
Es que eso es un vector y vector, eso no es un punto. 00:30:10
Sacas el punto de la recta y se lo resta. 00:30:12
¿Qué? 00:30:14
Saco un punto de la recta, el que sea, yo saco ahora un punto el que quiera, B, y saco este vector y vector. 00:30:14
Y ya tengo un punto de la recta y el vector. 00:30:24
Pero el que quiera. 00:30:25
Mira, yo puedo coger este, es un punto de la recta, puedo coger este. 00:30:26
¿Qué punto puedo coger? 00:30:30
¿Qué punto puede coger? 00:30:32
¿Qué punto hay aquí? 00:30:34
Uno, uno, uno menos dos 00:30:36
No, uno no, no 00:30:37
Y acordaros, no, no, además acordaros de una cosa 00:30:39
Hemos hecho una cosa mal, ¿eh? 00:30:42
Ah, que ahí no está ordenada, ¿no? 00:30:43
Ahí no está ordenada, esperad un momento, un momento, un momento 00:30:44
Un momento, un momento, un momento 00:30:46
Porque 00:30:48
Tener en cuenta que aquí tengo un dos 00:30:49
Tengo que dividir por dos 00:30:53
Esto lo tengo que dividir por dos 00:30:54
O sea que esto realmente es 00:30:56
Acordaros que os dije que a veces pasa esto 00:30:59
Eso se queda así 00:31:02
Hay que dividir por dos 00:31:11
Solo la que necesitáis 00:31:12
Porque arriba tiene que quedar cita 00:31:15
Es decir, que el vector no es el 2, 1, 1 00:31:16
Es el 2, 1, 1 medio 00:31:19
Ese es el vector 00:31:22
¿Y el punto cuál es? 00:31:23
¿Ese punto B cuál es? 00:31:26
Ahora sí 00:31:28
¿Qué punto es este? 00:31:29
¿El cuál? 00:31:32
El 0 00:31:34
No, cero, uno, cero 00:31:35
Acordaros que es y menos 00:31:40
O sea que si pone menos es el uno 00:31:42
¿De acuerdo? 00:31:44
Entonces ya lo tenéis todo 00:31:47
Tenéis un vector 00:31:48
Y dos puntos del plano 00:31:49
Sacáis otro vector 00:31:54
Y montáis el 00:31:55
Y montáis la 00:31:56
Montad la general 00:31:57
La general, ¿vale? 00:31:59
¿Me habéis seguido cómo se calcula? 00:32:03
O sea, fijaros que siempre, siempre es lo mismo. 00:32:07
Hay que encontrar la manera de, con los datos que te dan, conseguir sacar un vector, o sea, un punto y dos vectores de vectores. 00:32:10
Y con la recta es exactamente lo mismo. 00:32:18
Con lo que te den, que te lo dan de forma encubierta, tienes que conseguir sacar un punto y un vector de vector. 00:32:20
Y en el plano, un punto y dos vectores de vectores. 00:32:26
¿De acuerdo? 00:32:29
También podéis haber cogido dos puntos de la recta. 00:32:30
Cogéis dos puntos de la recta 00:32:33
Y con el punto ya tenéis tres puntos de plano 00:32:35
¿De acuerdo? 00:32:38
Esa sería otra posibilidad 00:32:38
¿Vale? 00:32:39
Venga 00:32:42
El vector es este 00:32:42
Y ojo con esto, ¿eh? 00:32:45
Ojo con esto 00:32:46
Porque esto sí que os puede pasar, ¿eh? 00:32:47
Que con los nervios del examen 00:32:50
Os dan la ecuación así 00:32:52
Y os pensáis que es la continua 00:32:53
La continua hay que dividir 00:32:55
Para que te quede X y Z 00:32:58
¿Vale? 00:32:59
Tenemos un vector 00:33:00
Y tenemos dos puntos 00:33:03
Hayo el otro vector 00:33:06
El otro vector va a ser el vector AB 00:33:07
Que es el 00:33:09
2, 1, menos 1 00:33:12
¿Vale? 00:33:16
Luego, ¿y qué punto? 00:33:18
Y cojo este punto 00:33:19
Entonces 00:33:20
Si monto la 00:33:22
Eso va a ser x más 2 00:33:24
Y z menos 1 00:33:27
Y aquí 2, 1, 1 medio, 2, 1, 1 medio. 00:33:30
Esto es menos X menos 2 más 2Z menos 2 más Y menos 2Z más 1 medio de X menos 1 más 2Y. 00:33:37
tengo 00:33:56
si no me he equivocado 00:34:00
x tengo 00:34:03
menos 3 medios de x 00:34:04
1 más 2 00:34:07
más 3y 00:34:09
y la z se me va 00:34:10
bueno, no sé si me he equivocado 00:34:14
pero vamos, ahí me da esto 00:34:16
¿os da eso? 00:34:18
¿no? ¿por qué? ¿por? ¿a alguien le da eso? 00:34:21
¿no lo habéis hecho? 00:34:22
aquí tengo menos 2 00:34:23
menos 4 00:34:26
menos 2, a ver, por aquí es menos x menos 2, vale, eso está bien 00:34:27
por aquí es 2z menos 2, vale, y por aquí es más y, vale 00:34:33
y por aquí es menos 2z más 2, por aquí es menos un medio 00:34:39
menos un medio de x menos 2, ah no, menos 1 00:34:46
y más 2 hijo 00:34:55
esto es 00:34:58
1 por menos 1 es menos 1 00:35:00
por x más 2 00:35:02
¿cuánto es esto? 00:35:04
esto es menos x menos 00:35:05
no hombre, porque esto no está multiplicando a la x 00:35:06
está sumándolo 00:35:09
por lo tanto tienes que multiplicar 00:35:09
multiplicas este por este menos 1 00:35:11
y para multiplicar por esto 00:35:13
tienes que multiplicar por los dos términos 00:35:14
pero lo hagas con lo que lo hagas 00:35:16
la operación tiene que ser esta 00:35:17
¿por qué? ¿con qué punto lo hiciste con este? 00:35:19
bueno, y entonces 00:35:23
¿Qué ecuación te quedó? 00:35:24
¿Y aquí te quedó menos 3 medios también? 00:35:25
¿Y aquí? 00:35:27
¿Más 3y? 00:35:28
Sí. 00:35:29
¿Y no te quedó menos 3? 00:35:30
Qué raro. 00:35:32
Qué raro. 00:35:34
Porque lo suyo es que te queda así. 00:35:34
¿Cuánto te quedó? 00:35:36
Y sin números. 00:35:36
Ah, claro, pero porque lo has multiplicado por los números. 00:35:37
Ah, claro, no. 00:35:40
Es que eso no lo puedes hacer así. 00:35:41
Tienes que hacerlo así. 00:35:42
Pero es x menos 0. 00:35:45
¿X menos 0? 00:35:47
No. 00:35:48
En x menos 0 no, pero en y sí. 00:35:48
Porque tú tienes y menos 1. 00:35:50
¿Entiendes? 00:35:51
¿Y no cuenta como menos y y yo? 00:35:52
No. 00:35:53
no, es y menos 1 00:35:54
tienes que hacerlo aquí, así 00:35:56
aquí la x no 00:35:58
porque la x la tienes sola 00:36:01
la z tampoco porque la z lo tienes sola 00:36:02
pero la y menos 1 la tienes en y menos 1 00:36:04
al multiplicar aquí menos 1 por un número 00:36:06
te resulta la y y el número 00:36:08
por lo tanto no te puede quedar aquí 00:36:10
nada, no sé si me estoy explicando 00:36:12
¿alguien le dio esto? 00:36:14
¿te dio eso? 00:36:17
vale, venga, el último 00:36:19
y os dejo en paz 00:36:21
El siguiente es exactamente igual. 00:36:22
Así que, vosotros solitos. 00:36:25
Dice, expresa de todas las formas posibles el plano que pasa por el origen de coordenadas. 00:36:27
El origen de coordenadas es qué punto? 00:36:34
El 0, 0, 0. 00:36:36
Y contiene a esa recta. 00:36:38
Esa recta, ¿en qué formas la están dando? 00:36:41
Continua. 00:36:44
Luego, entonces, el ejercicio es el mismo. 00:36:44
Así que, venga, por el... 00:36:47
¿Cómo vais? ¿La tenéis? 00:36:48
¿La tenéis, chicos, chicas? 00:37:07
¿Ya está? ¿Por ahí? ¿Por aquí? 00:37:10
¿Lo hago? 00:37:12
Es exactamente igual que el otro. 00:37:14
Es exactamente igual que el otro. 00:37:17
Os dan un punto, un punto A, 00:37:19
que es el origen de coordenadas, 0, 0, 0 00:37:21
y os dan una recta en forma continua 00:37:24
x menos 3 partido por 3 00:37:28
igual a y más 2 partido por menos 1, menos 2 00:37:30
igual a z más 1 partido por 2 00:37:36
bueno, de momento me dice 00:37:42
como la recta está contenida en el plano 00:37:44
el vector director de la recta es del plano también 00:37:47
Luego de aquí saco que uno de los vectores directores es directamente este, este sí que puedo hacerlo porque tengo z, i y x, no tengo que hacer ninguna variante, ¿vale? 00:37:50
Y un punto si puedo coger el que me da de la recta, un punto b, va a ser el punto 3, menos 2, menos 1, ¿vale? 00:38:04
¿Habéis cogido estos? ¿Habéis cogido estos? Vale, pues entonces el otro vector director será el vector AB, que es el vector 3, menos 2, menos 1, y el punto, el punto es el punto 0, 0, 0. 00:38:14
Bueno, pues ya lo tengo. Me piden todas, ¿no? Entonces, x y z igual al 0, 0, 0 más lambda por 3 menos 2, 1 más t por el 3 menos 2 menos 1. 00:38:31
las paramétricas a 3 lambda más 3t y igual a menos 2 lambda menos 2t y z igual a lambda menos t, ¿de acuerdo? 00:38:56
Y si hago x y z porque el punto es 0, 0, 0 y pongo aquí el 3 menos 2, 1 y el 3 menos 2, menos 1, tengo 2x menos 6z y más 3y por un lado. 00:39:13
Y por el otro, más 6z, más 2x y más 3y. 00:39:42
Luego entonces tengo 4x, 4y, tengo más 6y y las zetas se me van. 00:39:54
Luego tengo que es este plano. 00:40:05
4x más 6y igual a c. 00:40:08
¿Eso os daba? 00:40:10
Da igual, es el mismo. 00:40:11
O sea, si tú a la ecuación de un plano la multiplicas por un número, en este caso menos 1, 00:40:12
y lo cambias todo el signo, no cambia. 00:40:17
Como si yo ahí, digo, pues lo voy a dividir entre 2. 00:40:18
2x más 3y es el mismo plano. 00:40:22
¿De acuerdo? 00:40:24
Vale, mañana seguimos. 00:40:25
¿Lo vais cogiendo poco a poco? 00:40:29
Sí. 00:40:31
¿Eh? 00:40:32
Más o menos. 00:40:32
Tenéis que trabajar un poquito en casa. 00:40:33
Sí. 00:40:35
Pero es fácil, sí es fácil. 00:40:35
Sí, sí es fácil. 00:40:38
pero que luego al leer el enunciado 00:40:39
yo nunca sé que me estoy pidiendo 00:40:42
ya, pero siempre te van a pedir 00:40:43
o la ecuación de un plano o la ecuación de una recta 00:40:45
entonces, y ya sabéis 00:40:47
si es un plano, buscáis como sea 00:40:49
con lo que os dan dos vectores y un punto 00:40:51
o tres puntos 00:40:53
y con la recta un vector, un punto o dos puntos 00:40:54
y con eso 00:40:57
el problema está ahí 00:40:58
el problema es 00:41:00
con los datos que me dan, encontrar eso 00:41:01
vale 00:41:05
bueno 00:41:06
Pues mañana os digo. 00:41:08
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
M.jose S.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
13
Fecha:
24 de marzo de 2026 - 17:38
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB CANILLEJAS
Duración:
41′ 12″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
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