SESIÓ 3_ PCT MATEMÁTICAS - SECUNDARIA_4_febrero_26

Soy profesor de matemáticas de secundaria desde hace 37 años 00:00:01

y nada, vengo aquí hoy a contaros un poco dentro de este curso 00:00:09

hablaros un poco sobre el sentido algebraico 00:00:19

y un poco encaminado, alumnado del primer ciclo de secundaria 00:00:25

Bueno, primer y segundo de la ESO. Entonces, eso es un poco pensando en alumnos y alumnas que tienen su primera experiencia en el estudio del álgebra. 00:00:30

Bueno, yo no soy ningún experto en didáctica, pero sí que es cierto que a lo largo de mi trayectoria profesional 00:00:41

pues he tenido la fortuna de poder conocer a gente que sabía mucho del tema, leer mucho y poner en práctica muchas cosas. 00:00:53

Es decir, yo lo que os voy a contar aquí son actividades que no son mías, porque aquí en matemáticas y en educación matemática inventan tres y los demás lo que hacemos con suerte es encontrar cosas que han inventado, que nos encajan y se adaptan a lo nuestro. 00:01:03

y entonces son algunas actividades que yo encuentro, os puedo decir también sitios donde yo buscaría más actividades en caso de necesitarlas 00:01:22

y lo que me interesa sobre todo, ahora que voy a hablar del álgebra, es un poco reflexionar 00:01:32

sobre qué álgebra tienen que aprender nuestros alumnos, cómo se enseña el álgebra 00:01:42

y qué sentido tiene que el alumnado tenga que aprender álgebra. 00:01:47

Porque yo recuerdo que cuando yo empecé a trabajar era lo que menos me gustaba enseñar. 00:01:53

Cuando daba clase y tenía que dar clase de álgebra, para mí era, bueno, no voy a decir una tortura, 00:02:01

porque a mí me gusta enseñar, pero no me gustaba, porque me parecía una serie de reglas mecánicas 00:02:06

una detrás de otra, sin mucho sentido. 00:02:11

y a lo largo de mi carrera fui aprendiendo que el álgebra se puede enseñar de otra manera. 00:02:14

De hecho, yo voy a compartir una presentación en PowerPoint, la voy a compartir. 00:02:25

Yo no sé si al compartir la presentación dejaré de veros, pero si alguien quiere hacer alguna consulta, 00:02:30

alguna duda, tiene alguna pregunta, en cualquier momento, o sea, a mí se me puede interrumpir 00:02:36

siempre que se quiera, las veces 00:02:41

que se quiera, ¿vale? De hecho, creo 00:02:43

que muchas veces ya hay cursos de formación en los que 00:02:45

las preguntas enriquecen mucho 00:02:47

el curso. Más allá de lo que yo pueda 00:02:49

contar, pues a lo mejor os interesa 00:02:51

una cosa muy concreta 00:02:54

sobre una actividad que yo planteo, oye, 00:02:55

mire esto cómo lo haces en clase, y que te preguntan 00:02:57

y que les preguntas, y bueno, 00:02:59

no sé, si lo hacen en grupo, si lo hacen 00:03:02

solos, todas esas cosas, 00:03:03

pues me paráis, me preguntáis. Yo no sé 00:03:05

si al compartir la presentación dejaré de veros, 00:03:07

pero si alguien levanta la mano y eso 00:03:09

me avisáis 00:03:12

oye Julio, yo ya paro 00:03:13

y a ver quién, vale 00:03:16

entonces voy a compartir 00:03:17

la presentación 00:03:20

y cuando se 00:03:21

empiece a ver la presentación 00:03:24

ahora en breve se debería ver 00:03:25

y ahora voy a poner 00:03:28

en modo presentación 00:03:32

ahora la veis, ¿no? 00:03:33

todos en la presentación 00:03:35

vale, bien, perfecto 00:03:36

a mí sí que me parece 00:03:38

importante porque a veces 00:03:40

cuando uno lleva muchas leyes educativas 00:03:42

pues parece que lo único que hacen es 00:03:45

cambiarle de nombre a las cosas 00:03:46

pero en realidad yo 00:03:48

soy de los que creen que las palabras 00:03:50

tienen importancia 00:03:52

y que la palabra 00:03:53

sentido, que es una palabra que aparece mucho 00:03:56

en la normativa actual 00:03:58

creo que 00:04:00

a mi me parece fundamental porque creo que 00:04:02

muchas veces 00:04:04

enseñábamos álgebra un poco 00:04:05

sin sentido 00:04:08

Es decir, nuestros alumnos sabían hacer un montón de cosas con letras y números, los que sabían, claro, pero bueno, poniendo ya los que sabían, los que sabían, sabían hacer un montón de cosas con unos rollos enormes de letras y números que se multiplicaban entre sí, como si fuese eso una guerra, una batalla, hasta que solo quedase uno. 00:04:10

y al final eso a dónde nos llevaba. 00:04:32

Es decir, esas letras y esos números muchas veces no significaban absolutamente nada. 00:04:38

Yo creo que, y lo que yo busco siempre que doy alguna formación 00:04:44

es intentar que las personas que participan en ella 00:04:53

reflexionen un poco sobre el porqué de nuestro trabajo. 00:04:58

Es decir, qué es saber matemáticas, qué matemáticas tenemos que enseñar y qué es lo que queremos que nuestros alumnos y alumnas sepan cuando acaban su formación. 00:05:00

Yo voy a enseñar esto ¿para qué? Porque nosotros al final lo que estamos haciendo es formar personas y el objeto de nuestro trabajo no son las matemáticas, son las personas. 00:05:11

Entonces, la charla está un poco estructurada 00:05:21

Siguiendo el esquema que siguió José Luis en la primera 00:05:28

Al pobre José Luis, como le tocó la primera 00:05:37

Ahora él tuvo que crear y los demás ya no creamos nada 00:05:39

Y nos limitamos a seguir lo que hizo él 00:05:43

Entonces, primero es hablar un poco de qué es el sentido algebraico 00:05:45

después sabéis que el currículum de matemáticas 00:05:49

de la LOMLOE se estructura 00:05:52

también en torno a unas grandes ideas 00:05:53

cada uno 00:05:56

de los sentidos 00:05:58

se estructura alrededor de unas 00:05:59

ideas que a las personas 00:06:02

que hicieron el currículum les parecieron 00:06:04

fundamentales a la hora 00:06:06

de definir lo que quiere decir el sentido algebraico 00:06:08

y después actividades 00:06:10

y ejemplos de aula 00:06:12

yo voy a poner actividades y ejemplos 00:06:13

de aula 00:06:16

no os voy a poner a vosotros a hacer cuentas 00:06:16

ni nada de eso, pero sí vamos a lo mejor 00:06:19

a desgranar un poquito lo que hay detrás de cada actividad 00:06:22

no sólo de, ah, esto da 7 00:06:26

no da 7, sí, pero ¿por qué da 7? 00:06:28

¿y qué pasa si yo le cambio esto como afecta al resultado? 00:06:31

cosas así, ¿no? 00:06:35

yo no me voy a perder mucho la teoría 00:06:36

porque creo que la teoría 00:06:38

pero a veces sí que es importante saber de qué estamos hablando 00:06:40

Cuando el alumnado se encuentra con el álgebra en primero y segundo de la ESO, 00:06:44

el alumnado viene acostumbrado a un tipo de matemáticas, 00:06:49

a una relación de las matemáticas muy basada en lo concreto. 00:06:54

La geometría son figuras que tocas y ves, 00:07:00

la aritmética son cuentas, los números, incluso fracciones, decimales, 00:07:04

siempre los puedes relacionar con elementos de tu vida cotidiana, 00:07:08

porque un 1,73 puede ser el precio de algo, 00:07:14

un 2 tercios puede ser un trozo de una tarta, 00:07:18

los números negativos siempre son elementos matemáticos fáciles de contextualizar. 00:07:21

Sin embargo, todos los que sabemos matemáticas, hemos estudiado matemáticas, 00:07:29

sabemos que eso no llega, 00:07:33

que llega un momento en que hay que generalizar, 00:07:35

que hay que dar el paso a la abstracción. 00:07:36

Entonces, el paso a la abstracción grande que se da en matemáticas desde mi punto de vista 00:07:38

es cuando metemos el álgebra. 00:07:43

Cuando el álgebra se introduce en las aulas, de repente entran las letras 00:07:46

y ya las cuentas no se hacen con números, sino que se hacen con letras, 00:07:53

aunque nosotros que somos profesores vemos que las reglas que hay que seguir son las mismas. 00:07:59

Para un alumno no es nada obvio. 00:08:04

y a veces creo que nos centramos demasiado en la mecánica 00:08:06

que corremos demasiado en ese salto 00:08:14

yo creo que en matemáticas hay conceptos que son difíciles 00:08:17

y hay saltos que son complicados y que requieren tiempo 00:08:21

y a veces nos come la prisa 00:08:24

y lo único que conseguimos es que nuestros alumnos aprendan un montón de recetas 00:08:26

completamente desconectadas y sin mucho sentido 00:08:32

Entonces, creo que es fundamental para el desarrollo del sentido algebraico. 00:08:36

El primero es ver lo general en lo particular. 00:08:42

O sea, esta frase que no es mía, es una frase del documento de bases que elaboró el CEMAD, 00:08:47

creo que es fundamental. 00:08:52

Es decir, tú para dar el salto de la aritmética al álgebra, de lo concreto al astrato, 00:08:53

tienes que ser capaz de ver lo general en lo particular. 00:08:58

Y si no lo ves, y no todo el mundo lo ve, 00:09:01

Y si no lo ves, hay que esperar. Hay que esperar porque si no todo para ti, lo único que haces es un montón de símbolos sin sentido. Y después ser capaces de modelizar situaciones del mundo real con expresiones simbólicas que no tienen por qué ser muy complejas. 00:09:04

No tienen por qué ser muy complejas. 00:09:20

Pero sí es necesario ser capaz de asociar esos símbolos, esas letras, esas variables, 00:09:23

y que esas variables al principio signifiquen algo para el alumno. 00:09:30

Que no sean X e Y. 00:09:34

¿Vale? 00:09:37

Yo, las tres principales características que creo que son fundamentales para desarrollar el sentido algebraico, 00:09:37

o los pilares sobre los que yo diría que se sostiene. 00:09:43

Esto es comprender. 00:09:49

Lo que son los patrones, yo ya sé que lo de patrones creo que como tal 00:09:52

ese epígrafe no sale en el currículum de Madrid, 00:09:59

pero sí sale como un apartado dentro del estudio de álgebra. 00:10:03

Y creo que las matemáticas, en matemáticas, ser capaces de identificar patrones es una habilidad fundamental. 00:10:08

No sólo en todo, o sea, cuando uno estudia funciones, cuando uno estudia geometría, cuando estudia medida, 00:10:17

cuando estudias incluso análisis probabilidad, hay un montón de patrones, de normas, de regularidades 00:10:24

que hay detrás de los problemas que te vas encontrando, que te ayudan si eres capaz de verlo. 00:10:31

te ayudan muchísimo a tener un aprendizaje significativo. 00:10:38

Entender la relación entre variables. 00:10:43

Bueno, creo que el concepto de variable es fundamental. 00:10:44

No sólo manejarlo, porque sí, los alumnos aprenden. 00:10:51

¿Variable dependiente, variable independiente? Bueno, esas cosas. 00:10:54

No. ¿Qué quiere decir una variable? 00:10:57

¿Qué diferencia hay entre una variable y una incógnita? 00:10:59

¿Qué diferencia hay entre una expresión algebraica y una ecuación? 00:11:02

qué es una variable, qué es un parámetro, qué es una constante. 00:11:05

Hay un montón de elementos en una expresión algebraica 00:11:10

que son determinantes a la hora de comprenderla 00:11:13

y elementos en los que no nos paramos demasiado. 00:11:16

Y después, el lenguaje algebraico. 00:11:19

Yo creo que en el lenguaje algebraico es posiblemente la manipulación de símbolos 00:11:22

en lo que más se ha trabajado siempre en la enseñanza tradicional de las matemáticas. 00:11:26

Tenemos X, Y, monomios, polinomios 00:11:32

Y fracciones algebraicas 00:11:36

Y ecuaciones 00:11:39

Y sistemas de ecuaciones 00:11:40

Y vamos a hacer cosas con ellos 00:11:41

Resolverlos 00:11:43

Pero nunca nos paramos demasiado 00:11:44

A pensar 00:11:46

A pensar el por qué hacemos esas cosas 00:11:47

Por qué el álgebra es fundamental 00:11:50

Y después otra cosa 00:11:52

En la que yo voy a incidir 00:11:54

Mucho a lo largo de toda la charla 00:11:55

Es que habitualmente o tradicionalmente 00:11:57

En el momento en que el álgebra 00:12:00

a entrar en clases de matemáticas, todo lo demás desaparece. 00:12:01

O sea, aquí llegó el álgebra y ya no se hacen cuentas, ya no se hacen dibujos, 00:12:05

ya no se hacen esquemas, porque ya todo tiene que ser una ecuación, 00:12:10

todo tiene que ser una fórmula. 00:12:13

Y eso es un error. 00:12:15

Aprovechar lo que el alumno sabe, ser capaz de relacionar y conectar 00:12:18

los nuevos conocimientos y el álgebra con elementos que son próximos, 00:12:22

cercanos y familiares al alumnado, es como anclar, de alguna manera, el conocimiento 00:12:27

nuevo en el antiguo. Y eso es muy importante. Eso es muy importante. Que un alumno sea capaz 00:12:32

de relacionar una expresión algebraica con una forma geométrica, con un dibujo, con 00:12:38

una gráfica, le ayuda a entender características de esa expresión algebraica. Bueno, esto 00:12:45

es algo sacado 00:12:52

de internet, que no ya 00:12:54

tuve la decencia 00:12:56

de borrar el origen 00:12:58

y yo 00:13:00

puse en internet, en Google, de verdad 00:13:02

o sea, problemas álgebra 00:13:04

segundo de la ESO, boletín 00:13:06

álgebra segundo de la ESO, y entre las cosas 00:13:08

que me salieron una, fue esto, no es lo 00:13:10

peor de lo que 00:13:12

y entonces, yo 00:13:13

puedo verlo y decir, vale, bien 00:13:16

¿qué se 00:13:18

busca con esto? o sea, ¿por qué 00:13:20

es interesante que un alumno de segundo 00:13:22

de la ESO sepa hacer 00:13:24

estas cosas, pregunto yo 00:13:26

porque yo entiendo 00:13:30

que un alumno de la ESO tiene que tener 00:13:32

una cierta soltura 00:13:34

con 00:13:35

a la hora de 00:13:37

manejar expresiones algebraicas 00:13:40

pero 00:13:42

creo que a veces pues no 00:13:43

es necesario tanto 00:13:46

estamos hablando en segundo de la ESO que es la primera 00:13:48

vez que nuestros alumnos se encuentran con estas cosas 00:13:50

y ya digo, no es lo peor 00:13:52

Porque había algunos que eran 3, 4 y 5 variables, que no sé, porque nosotros sabemos todos que nunca vamos a trabajar hasta segundo de bachillerato con más de dos variables. 00:13:54

¿Por qué nos empeñamos en ponerle al alumnado de segundo de la ESO 00:14:08

un monomio que tenga X, Y, Z, o A elevado a 3, B elevado a 4, C elevado a 6, 00:14:11

si no vamos a trabajar nunca con nada de grado 10, 00:14:17

con ninguna situación que se modelice con algo de eso. 00:14:21

Entonces, yo lo que quiero expresar un poco es la idea de que 00:14:25

esto es álgebra, no lo voy a negar, 00:14:31

pero esto no deja de ser 00:14:34

algo puramente mecánico 00:14:36

es decir, esto, todo lo que está 00:14:38

ahí escrito, más o menos complejo 00:14:40

lo hace el fotomat 00:14:42

que es una aplicación de móvil 00:14:44

que lo enchufas y te dice 00:14:46

lo que sale de la cuenta 00:14:48

y las personas 00:14:49

deberíamos aspirar 00:14:52

a entender y saber 00:14:54

hacer cosas que el fotomat 00:14:56

no es capaz de hacer 00:14:57

yo creo que el estudio del álgebra 00:14:59

debía ir más 00:15:02

por actividades como esta. 00:15:04

Es decir, esta es una actividad de un diseño de patrones 00:15:07

en el que se van haciendo patios de diferentes dimensiones 00:15:12

y hay que buscar una fórmula o una expresión que me permita saber 00:15:16

cuántos necesitaré de cada color para el patio de tamaño 20 00:15:20

o de tamaño, o el número 15. 00:15:24

Es decir, en este trabajo o en esta actividad, 00:15:27

para resolver esta actividad, hay que reconocer un patrón, 00:15:31

Hay que estudiar un diseño, hay que trabajar con una variable, definir la variable, hay que crear una fórmula y todo lo que estás haciendo tiene sentido. 00:15:34

Claro, me diréis, ya Julio, pero es que esto lo único que hay que hacer, el álgebra que trabajas aquí, las fórmulas son muy sencillitas y lo que había antes era muy complejo. 00:15:45

Es que a veces hay que trabajar mucho a lo sencillo antes de llegar a lo complejo. 00:15:54

Y aunque los profesores de matemáticas sigamos creyendo, o algunas personas siguen creyendo, 00:16:01

que saber muchas matemáticas es saber resolver cadenas de operaciones, ecuaciones, expresiones más complejas, 00:16:08

la realidad no es esto. 00:16:16

La realidad no es esto. 00:16:18

Un alumno de segundo de bachillerato, bueno en matemáticas, lo único que tiene que saber de álgebra, lo único que tiene que saber de álgebra y que tiene que manejar con soltura es expresiones cuadráticas, sacar factor común, reconocer identidades notables y poquito más. 00:16:19

poquito más 00:16:40

no es necesario 00:16:42

mucho más que eso 00:16:45

entonces todo lo que vaya a mayores 00:16:47

al final es 00:16:49

a lo mejor una carga de trabajo innecesaria 00:16:50

para el objetivo que 00:16:53

nosotros buscamos 00:16:55

bueno, en el 00:16:56

documento este que os comentaba yo 00:16:59

del CEMAT 00:17:01

decía, entre las cosas que 00:17:02

decía, era 00:17:05

que había que trabajar 00:17:06

más en esto, de identificar y usar 00:17:09

relaciones funcionales, es decir, el álgebra 00:17:11

no son sólo las ecuaciones, 00:17:13

el álgebra son las funciones, 00:17:14

son las relaciones, son identidades. 00:17:16

Desarrollar y usar tablas 00:17:20

gráficas y reglas para describir situaciones. 00:17:21

Relacionar e interpretar 00:17:25

las diferentes representaciones matemáticas. 00:17:27

Todos sabemos que una función se puede representar 00:17:29

de muchas maneras, en una tabla, 00:17:31

en una gráfica, en una 00:17:33

expresión algebraica, pero no todas ellas 00:17:35

nos dan la misma información sobre la función. 00:17:37

No todas ellas son igual de útiles dependiendo de lo que yo quiera. Porque si yo quiero saber cuál fue el paro que hubo en mi comunidad en un momento concreto, una gráfica no me ayuda. Me ayuda mucho más una tabla. 00:17:39

pero si quiero saber cómo 00:17:54

varió el paro en los últimos 10 años 00:17:56

me da mucha más información 00:17:58

una gráfica que una tabla 00:18:00

entonces eso es importante 00:18:02

y después 00:18:05

me parece muy importante 00:18:06

esto de aquí abajo 00:18:08

desarrollar estructuras conceptuales para variables 00:18:09

incógnitas, expresiones y ecuaciones 00:18:13

es decir, para nuestro alumnado 00:18:15

llega un momento en que todo es lo mismo 00:18:16

y no es lo mismo una ecuación 00:18:19

que una expresión algebraica 00:18:21

Cada vez que ven una X ya la quieren calcular. Le pones una operación y ya hay que saber lo que vale X. No, es que X es como un tiro al plato. En cuanto ven una X ya van de cabeza a calcular la X. Y eso no es el álgebra. Eso es trabajar álgebra sin sentido. 00:18:22

¿Vale? Sin sentido. 00:18:40

Entonces, yo creo que hay que trabajar menos lo que pone aquí. 00:18:42

Es decir, manipular expresiones algebraicas, sobre todo esto, 00:18:47

de complejidad mayor de la que aparece naturalmente 00:18:50

en las situaciones problemáticas que se plantean en esta etapa. 00:18:53

Es decir, si nosotros estamos en I y II de la ESO y en la I y II de la ESO, 00:18:57

rara vez, rara vez, va a encontrarse con situaciones 00:19:02

que requieran trabajar más allá de una expresión cuadrática. 00:19:07

A lo mejor lo que nos importa es que manejen con soltura 00:19:13

y comprendan y se empapen de todos los detalles de las expresiones cuadráticas. 00:19:17

Y no tenemos por qué irnos a buscar polinomios de grado 6, de grado 5, 00:19:24

porque son 00:19:28

ni con dos o tres variables 00:19:30

ni 00:19:32

porque son 00:19:32

fuegos artificiales 00:19:36

al final son 00:19:38

herramientas que ellos no van a usar 00:19:39

nunca, que no les van a servir de utilidad 00:19:42

para nada, lo único que van a hacer 00:19:44

porque claro 00:19:46

todo lo que yo le añada 00:19:48

se lo estoy quitando al trabajo 00:19:50

con sentido en lo básico 00:19:52

y el trabajo en lo básico es fundamental 00:19:54

el trabajo en lo básico 00:19:56

es fundamental 00:19:58

y bueno, lo de los 00:19:59

procedimientos y recetas 00:20:03

bueno, de las ecuaciones ya hablaremos 00:20:04

de las ecuaciones ya hablaremos posiblemente en la segunda sesión 00:20:06

porque ya tal y como planteé 00:20:09

yo esto, de las ecuaciones no vamos a hablar 00:20:11

pero todo esto de lo que está sumando 00:20:12

pasa restando 00:20:15

y esas cosas, esas recetas 00:20:16

había que intentar 00:20:18

huir de recetas 00:20:21

mágicas porque el alumnado no puede 00:20:23

creer que las matemáticas son 00:20:25

pues como los hechizos de Hogwarts 00:20:26

tú dices una palabra y la puerta se abre 00:20:29

no, eso no funciona así 00:20:31

aquí tiene que haber algo detrás 00:20:32

y hay una razón 00:20:34

y lo que está sumando no pasa restando 00:20:36

eso no es verdad 00:20:38

los números no tienen piernas 00:20:38

y no van de un sitio a otro 00:20:40

y decirle eso a un alumno 00:20:41

es engañar 00:20:42

entonces bueno 00:20:44

ya llegaremos a eso más adelante 00:20:46

voy a hablar de las grandes ideas 00:20:48

del sentido algebraico 00:20:50

porque yo es que se me va 00:20:52

y después vamos a intentar 00:20:55

hablar de trabajo de clase 00:20:58

bueno, las grandes ideas son seis 00:21:00

los patrones, que desde mi perspectiva 00:21:02

son la base 00:21:04

para introducir la necesidad del álgebra 00:21:05

yo creo que esto es fundamental 00:21:08

es decir, esto del álgebra 00:21:09

¿por qué lo tenemos que estudiar? 00:21:12

porque un señor un día se dio un golpe en la cabeza y soñó por la noche con el álgebra 00:21:13

esto hay que usarlo porque llega un momento 00:21:16

en que hace falta, es necesario 00:21:18

la aritmética no nos llega 00:21:20

y nuestro alumnado tiene que ver 00:21:22

que la aritmética no nos llega. 00:21:24

Y tiene que verse en una situación 00:21:26

que necesite usar de alguna manera, 00:21:28

necesite ese salto a usar una variable, 00:21:34

ese salto a introducir el álgebra. 00:21:38

Yo, desde mi perspectiva, 00:21:41

lo mejor para iniciar el estudio del álgebra 00:21:43

es el trabajo con patrones. 00:21:46

Modelo matemático. 00:21:50

Bueno, estamos muy cansados de decir 00:21:51

y de escuchar que todo en el mundo se explica con las matemáticas. 00:21:53

Y es un poco como el catecismo que estudiaba yo de pequeño. 00:21:59

Dios está en todas partes. 00:22:02

¿Dónde está Dios? En todas partes, decías. 00:22:04

Y ya estaba, aprobado, te ponía un punto, pero no. 00:22:06

Pero aquí es un poco, las matemáticas están en todas partes. 00:22:08

¿Dónde están las matemáticas? En todas partes. 00:22:11

Ya, pero ¿dónde? 00:22:13

Porque las matemáticas explican la realidad, 00:22:14

pero ¿cuántas veces nuestro alumnado tiene posibilidades 00:22:15

de explicar algo de su realidad usando matemáticas? 00:22:19

Pues, modelizar la realidad es una capacidad que tienen las matemáticas 00:22:23

y que nuestro unado debía tener, evidentemente, dentro de sus posibilidades. 00:22:31

Nosotros no le vamos a pedir a nuestros alumnos que modelicen la órbita de un satélite artificial, 00:22:34

pero a lo mejor lo que pueden modelizar es alguna situación de proporcionalidad, 00:22:38

lineales, cuadráticas, alguna de proporcionalidad inversa, 00:22:45

¿Alguna que no sea ni siquiera, a lo mejor, tan fácil de expresar como una ecuación algebraica tradicional? 00:22:48

Bueno, la idea de variable, ¿no? La idea de variable frente a lo que no varía, la idea de cuando nosotros definimos una función, 00:23:00

Tenemos que tener muy claro qué elementos intervienen en esa función, qué varía, qué depende de qué, representarlas, cómo se representan las variables. 00:23:12

Bueno, una vez escuché a una entrevista a una profesora, Carmen Burgues, que es profesora y formadora de profesores de Cataluña, 00:23:23

yo de las personas que más sabe de educación matemática, de las que he conocido nunca, 00:23:31

y decía, cuando le preguntaban qué aspectos consideraba fundamentales para comprender bien las matemáticas, 00:23:35

ella decía que uno de los elementos matemáticos que ella veía que no se conocían y en los que había que trabajar mejor 00:23:44

era el concepto de igualdad. 00:23:50

Yo creo que el concepto de igualdad nos parece tan sencillo que le dedicamos muy poquito tiempo a él. 00:23:52

Y entonces, porque los alumnos empiezan creyendo que un igual es algo que separa una cuenta del resultado, como si fuese una flecha. Me ponen esta cuenta y esta cuenta da aquello. 00:23:59

Pero la igualdad implica muchas más cosas 00:24:12

Implica cambios de variable 00:24:18

Implica poder trabajar con ecuaciones 00:24:21

Sumo en un lado, sumo en el otro 00:24:25

Resto en un lado, resto en el otro 00:24:27

Un equilibrio que hay que mantener 00:24:29

Esa comprensión de la igualdad 00:24:31

Del signo igual y lo que representa 00:24:33

No del signo en sí 00:24:36

Porque el signo igual son dos rayitas 00:24:37

sino lo que representa la relación de igualdad, es fundamental para entender el álgebra, para entender las ecuaciones, saber resolver los sistemas, todo lo que hay detrás de las expresiones algebraicas. 00:24:40

Relaciones y funciones, empezar con modelos sencillos. 00:24:56

Yo ya sé que a veces empezamos dando temas de funciones y nos ponen, pues, representa funciones, 00:25:02

y igual a 2x menos 3, y igual a menos 3x más 1, y igual, y en lugar de representar todo eso, 00:25:15

¿por qué no buscamos una situación en la que tenga sentido hacer una representación? 00:25:21

En la que los puntos signifiquen cosas. 00:25:25

que los puntos no sean puntos que yo pongo aquí 00:25:27

en una cuadrícula y los uno con una línea 00:25:30

cuando realmente hoy en día esa es una habilidad 00:25:34

que suple en muchos casos la tecnología 00:25:37

sino ir un poco más a la interpretación 00:25:42

al razonar, a conectar las matemáticas con contextos 00:25:46

con las situaciones del alumnado 00:25:51

Porque, aunque yo a veces analizo la vida académica de nuestros alumnos, 00:25:54

y vosotros y yo, yo soy consciente de que la primera vez que un alumno ve y hace una gráfica, 00:26:03

no es en matemáticas, es en geografía, cuando hace un climograma. 00:26:12

Entonces, en ese sentido creo que a veces esperamos demasiado 00:26:21

¿Y por qué esperamos tanto? 00:26:27

Pues esperamos tanto porque nosotros no les explicamos las gráficas 00:26:28

Hasta que no saben lo que es y igual a 3x menos 2 00:26:30

Y claro, para saber lo que es y igual a 3x menos 2 00:26:35

Hay que haber estudiado bastante antes 00:26:37

Y a lo mejor podemos hacer gráficas en situaciones incluso aritméticas de proporcionalidad 00:26:40

No solo representarlas con números 00:26:46

Ir dibujando para que ellos vean una representación diferente y que después sean capaces de asociarlo a gráficas que ven en otras áreas. 00:26:48

Porque para mí un error, por no decir la vergüenza que tengo a veces como profesor de matemáticas, es cuando el profesor de física llega y me dice 00:27:00

Jolín, es que tienen que despejar una T y me dicen si le pueden llamar X. 00:27:15

Eso, eso no puede ser. 00:27:19

O sea, que un alumno sepa hacer una ecuación de grande como su folio, como su libreta, 00:27:21

y después se tenga que aprender de memoria el triángulo de la ley de Ohm, 00:27:28

que es V igual a Y por R, y se aprenden de memoria a lo que es igual V, 00:27:35

a lo que es igual Y y a lo que es igual R, pues álgebra no aprendieron ninguna. 00:27:39

Saben hacer muchísimas ecuaciones, pero álgebra no aprendieron ninguna. 00:27:44

Y eso es algo que a veces tendríamos que mirárnoslo un poquito. 00:27:50

Y después, una novedad de esta ley es el pensamiento computacional que tiene que ver con un análisis de los procesos y los algoritmos. 00:27:57

Los algoritmos no como algoritmo de una operación, sino como un proceso que se sigue para llegar a un final. 00:28:06

que tiene unos pasos bastante definidos y cómo nosotros podemos estudiar de alguna manera y trabajar esos procesos viendo la importancia de cada uno de los pasos, el orden en el que tienen que ir, cómo cambiar el orden de alguno, pues me hace más eficiente o menos eficiente ese algoritmo o ese proceso. 00:28:13

Yo voy a hablar un poquito de cada una de las grandes ideas y empezamos con actividades de aula. 00:28:40

Aunque, otra cosa que voy a decir, la presentación está estructurada, va a ser algo sobre patrones, 00:28:47

algo sobre variable y expresiones y lenguaje algebraico, algo sobre modelo matemático, 00:28:54

pero esto no se aprende así, quiero decir, cuando uno trabaja patrones también trabaja lenguaje algebraico, 00:28:59

también trabaja variable, también trabaja igualdad y desigualdad, aunque yo voy a poner algunas actividades y las clasifique así, 00:29:07

un poco buscando que algunas como que se centran muy claramente a lo mejor en patrones o en la variable, 00:29:18

pero no quiere decir que no se trabaje todo a la vez, lo ideal es trabajar todo a la vez, 00:29:27

Cuando uno hace un modelo matemático de algo, pues tiene que usar variables, tiene que trabajar expresiones algebraicas, 00:29:32

trabaja relaciones funcionales, etcétera, etcétera, etcétera. 00:29:39

Es decir, eso es un todo, no son compartimentos estancos. 00:29:42

Bueno, patrones. 00:29:48

Los patrones son, desde mi punto de vista, la puerta de entrada para trabajar el álgebra. 00:29:50

Yo en primero, una vez que un compañero en la regla de departamentos, bueno, ¿cómo empezamos a buscar en primero? Y dice, definición de monomio. Hombre, ¿definición de monomio o no? Eso es como si vamos a estudiar la divisibilidad y lo primero que le damos es la definición de grupo. No, vamos a ver. 00:29:59

el álgebra 00:30:21

tiene que nacer 00:30:24

nosotros no podemos 00:30:25

presentar a algún lado 00:30:26

cosas sin sentido 00:30:30

un monomio es un conjunto 00:30:31

de números y letras ahí pegados 00:30:33

con exponentes 00:30:35

y un polinomio, muchos de estos 00:30:36

con máses y con menos por el medio 00:30:38

¿y esto para qué vale? 00:30:39

bueno, para tenerte entretenido una tarde entera 00:30:40

sumando, restando y multiplicando 00:30:43

yo creo que no, yo creo que la matemática 00:30:45

es muchísimo más rica que eso 00:30:46

y la matemática permite explicar 00:30:48

Y aquí pueden aparecer polinomios, pueden aparecer monomios, pueden aparecer operaciones, necesidad de sumar, de restar, sin inventarnos artificialmente este tipo de expresiones complejas de la nada, que no tienen ninguna relación con la realidad de la luna. 00:30:50

Entonces, yo creo que lo fundamental, por ejemplo, este es un patrón, este es uno de los primeros patrones que yo pongo cuando trabajo en clase. 00:31:11

Se ve bastante bien la idea, el objetivo, la pregunta es ¿cuántos círculos? 00:31:19

¿Cómo varía el número de círculos? 00:31:24

En cada patrón hay varía el número de círculos y el de cuadrados. 00:31:26

La pregunta aquí es ¿cómo varía el número de círculos? 00:31:29

Ya nos pararemos en este un poquito más adelante. 00:31:31

Bueno, modelo matemático. 00:31:34

Tenemos situaciones de la vida real. 00:31:37

Aquí los ejemplos que pongo son ejemplos sobre los que volveré más adelante. 00:31:40

Entonces, después hablaremos de las actividades. 00:31:45

Son camisetas para un equipo y entonces hay diferentes, en uno te cobran por camiseta y en otro te cobran un coste fijo y algo menos. 00:31:47

¿Cómo se modela eso? ¿Cómo se resuelve? ¿Cuál sería mejor? ¿Cuál sería peor? ¿De qué depende? 00:32:02

Disculpa, Julio, ¿se me oye? 00:32:09

¿Sí? 00:32:11

Sí, pues es que yo no veo, solo veo una página anterior de la presentación, pero no veo lo que estás enseñando ahora y creo que hay alguna persona más que tampoco la ve. 00:32:11

A ver. 00:32:24

Yo lo que estoy viendo es grandes ideas del sentido algebraico. 00:32:24

No me digas eso. 00:32:28

Sí. 00:32:29

No sé si los demás lo ven. He tenido que salir y volver a entrar, pero aún así... 00:32:31

¿Y ahora? 00:32:35

yo no la veo 00:32:36

esta actividad que estás enseñando no la veo 00:32:39

a ver, ¿qué ves? 00:32:41

es que yo veo aquí abajo como si fuese 00:32:43

mi pantalla y veo patrones 00:32:45

pero veo la que tengo 00:32:47

vale, es un problema mío 00:32:49

porque está diciendo otras personas que sí la ven 00:32:51

ahora mismo tendría que haber 00:32:53

una que pone patrones 00:32:55

y se ven ahí unos círculos y unos cuadrados 00:32:58

abajo, ¿todo el mundo ve eso? 00:32:59

a ver, os digo a los que no lo veáis 00:33:02

porque a lo mejor iros a la parte de arriba 00:33:03

donde pone vista, ¿vale? 00:33:05

Los cuatro cuadraditos en las herramientas de arriba 00:33:07

y ponerlo en orador, ¿vale? 00:33:10

En lugar de galería. 00:33:12

Y de esta forma probablemente podéis seleccionar 00:33:14

la pantalla que veis bien en julio cuando habla 00:33:16

o su presentación, ¿vale? 00:33:19

Vale, yo todavía no lo veo. 00:33:24

Voy a iniciar una nueva sesión. 00:33:26

Bueno, yo si quieres espero. 00:33:28

Si no, dejo de compartir y vuelvo a compartir otra vez. 00:33:30

No sé cómo... 00:33:32

No, pero yo creo que la mayor parte de la gente sí que lo ve. 00:33:33

Ya no he interrumpido más, disculpad. 00:33:35

No, no, no, vamos. Disculpad, nada, para eso estamos. 00:33:37

Bueno, gracias. 00:33:41

Vale. Bueno, ¿veis ahora esta tira que digo, que pone modelo matemático? ¿Se ve? 00:33:42

Sí. 00:33:49

¿Pone modelo matemático? Sí. 00:33:49

Sí. 00:33:50

Bueno, ahí, bueno, lo que el alumnado tiene que trabajar es con modelos matemáticos sencillos. 00:33:51

Es decir, primero y segundo de la ESO, a lo más que llegaremos es a llegar a utilizar algún tipo de expresión cuadrática, 00:34:02

pero la mayor parte de las cosas que van a modelizar ellos van a ser situaciones lineales, de proporcionalidad. 00:34:09

Puede ser que alguna de proporcionalidad inversa. 00:34:17

Y después es fundamental la interpretación de la solución. 00:34:20

No se trata de poner una fórmula, sino interpretar de alguna fórmula qué significa cada número de estos. 00:34:23

de dónde vienen, por qué aquí hay un 3 00:34:29

y no hay un 3 00:34:32

eso es, bueno ya digo 00:34:32

en las actividades nos iremos parando después 00:34:35

bueno, la idea de variable 00:34:37

las conexiones 00:34:39

porque 00:34:42

la idea de variable y de relación 00:34:43

funcional 00:34:46

nuestros alumnos trabajan en un montón 00:34:46

de materias con variables 00:34:52

variables que tienen letras, que significan cosas 00:34:53

magnitudes en química, en economía 00:34:56

en geografía, en física 00:34:58

y 00:35:00

de alguna 00:35:01

manera nosotros teníamos que ser capaces 00:35:04

de 00:35:06

que ellos relacionen 00:35:06

y conecten eso con su realidad matemática 00:35:10

bueno, el ejemplo que pongo aquí 00:35:12

esto no es una actividad para 00:35:14

primer o segundo edad, es una actividad para tercero 00:35:15

pero yo creo que fue el momento 00:35:18

de 00:35:20

mi trabajo 00:35:22

como docente fue la actividad con la que al alumnado 00:35:24

Quedó más clara la idea de lo que era variable 00:35:26

Y lo que no era variable 00:35:28

Y el problema era la frase que estaba aquí abajo 00:35:29

Yo llego un día a clase y puse este problema 00:35:32

Y el problema era este 00:35:34

No tenía ni un solo dato más 00:35:35

Bueno, se escribía esto en la pizarra 00:35:37

Y nada más 00:35:39

Y claro, yo quedo de clase en Galicia 00:35:40

La contestación fue depende 00:35:43

Que es lo que decimos los gallegos siempre 00:35:45

Depende 00:35:47

Yo ya, depende sí, pero de qué 00:35:48

Y entonces nos dimos cuenta 00:35:50

Que cosas que yo no sabía 00:35:53

que hay muchas 00:35:54

cosas de las que depende 00:35:56

depende de la graduación del vino 00:35:59

pero resulta que también depende de la sangre que tengas en el cuerpo 00:36:00

y la sangre que tienes en el cuerpo 00:36:03

depende de tu peso 00:36:05

y después depende de si eres 00:36:06

hombre o mujer 00:36:09

porque los hombres y las mujeres no absorben 00:36:09

igual el alcohol 00:36:13

a la sangre 00:36:15

bueno, de esto nos enteramos allí 00:36:16

estudiando esto, porque yo la solución tampoco la sabía 00:36:18

e hicimos un trabajo 00:36:21

en el que ellos entendieron lo que era una variable 00:36:22

lo que era un parámetro 00:36:25

y llegamos a definir una 00:36:27

fórmula 00:36:29

y aquí en el trabajo con variables ven 00:36:30

la importancia del lenguaje algebraico 00:36:33

porque la importancia del lenguaje algebraico 00:36:34

no es para resolver ecuaciones 00:36:36

es para expresar 00:36:38

conexiones y relaciones 00:36:40

entre cantidades, entre magnitudes 00:36:42

para expresar propiedades matemáticas 00:36:45

lo importante de que ellos sepan 00:36:47

álgebra no es que sepan hacer 00:36:49

la ecuación y que se van a multiplicar 00:36:51

polinomios, es que cuando 00:36:52

en física escuchen 00:36:55

que la masa y el 00:36:58

volumen son directamente 00:37:01

proporcionales 00:37:03

ellos asocien 00:37:04

que uno es un número por el otro 00:37:06

¿vale? 00:37:08

eso sabe el álgebra 00:37:10

no es saber 00:37:11

el chorizo de ecuaciones enorme 00:37:14

¿vale? 00:37:16

saber álgebra es ser capaz de hacer eso 00:37:18

Igualdad y desigualdad 00:37:20

Igualdad y desigualdad 00:37:24

Es la idea 00:37:26

Cosas que son iguales 00:37:28

Si hay cosas que son iguales 00:37:30

Yo puedo sustituir siempre una por la otra 00:37:31

¿Vale? 00:37:34

Entonces, ¿cómo resuelvo yo esta situación? 00:37:35

Hay unos bueyes 00:37:39

Unos caballos y un elefante 00:37:40

¿Quién gana? 00:37:42

Sin tirar para un lado y para el otro 00:37:44

Pues lo que estamos haciendo básicamente es 00:37:45

Sustituir 00:37:48

¿Vale? 00:37:49

Nosotros trabajaríamos o sustituyendo, o trabajaríamos, claro, porque trabajaríamos haciendo reducción. 00:37:50

Si resto uno menos el otro me da esto. 00:38:01

Al final, lo que hacemos es resolver sistemas de ecuaciones, 00:38:03

es trabajar con propiedades de las igualdades y de la relación de igualdad todo el rato. 00:38:07

Pero no somos conscientes, porque muchas veces no lo explicitamos. 00:38:13

esta idea de reversibilidad 00:38:16

de los procesos para mí es 00:38:19

fundamental 00:38:21

es decir 00:38:22

si hay algo que es completamente 00:38:24

recíproco es la igualdad 00:38:26

eso de igualdad se da en un sentido y en otro sentido 00:38:29

y eso 00:38:31

muchas veces nuestro alumnado 00:38:33

no lo tiene muy claro 00:38:35

muchos problemas de matemáticas 00:38:36

se pueden hacer en los dos sentidos 00:38:39

y hacerlos en los dos sentidos 00:38:41

ayuda a que 00:38:42

la comprensión sea mucho más 00:38:44

profunda, es decir 00:38:47

al igual que yo te digo 00:38:48

encuentra aquí un patrón 00:38:51

si yo después te digo 00:38:53

ahora, dibuja tú 00:38:55

una serie que el patrón salga 00:38:57

este 00:38:59

ese cambio 00:39:00

de que yo puedo pasar de uno a otro y de otro 00:39:03

a uno 00:39:05

igual que le decimos, representa 00:39:06

la recta, no, no, ahora 00:39:09

dime una ecuación 00:39:11

de una recta que al representarla 00:39:13

me salga así 00:39:15

¿vale? 00:39:16

esa reversibilidad de los procesos 00:39:18

esa igualdad y ese equilibrio 00:39:21

de la construcción de expresiones equivalentes 00:39:22

que es lo que hacemos cuando resolvemos ecuaciones 00:39:25

pero que también lo hacemos 00:39:27

si construimos ecuaciones 00:39:29

no solo si la resolvemos 00:39:31

es una actividad que ya veremos cuando hablemos de ecuaciones 00:39:33

que a mi me gusta mucho 00:39:35

me parece muy interesante 00:39:37

porque 00:39:38

porque nos 00:39:39

le da al alumno una idea diferente de qué es lo que hace cuando resuelve una ecuación. 00:39:42

Bueno, relaciones y funciones, todos sabemos lo que es. 00:39:49

Relacionar, tenemos grados Fahrenheit, grados centígrados, 00:39:53

qué pasa con uno, con otro, 00:39:58

qué relaciona los números de un lado con los números del otro, 00:40:01

cómo se pasa de uno a otro. 00:40:04

Pero existe una fórmula, ¿qué quieren decir los números que aparecen en esa fórmula cuando yo llego a ella? 00:40:07

No se trata de encontrar la fórmula, sino de conectar lo que me sale a mí en la fórmula con la situación de partida, de dónde viene esa fórmula. 00:40:19

Y bueno, el pensamiento computacional, esta es una actividad que haremos cuando haremos el pensamiento computacional que me parece buenísima. 00:40:29

El pensamiento computacional tiene que ver con diseñar procesos o algoritmos para resolver situaciones problemáticas. 00:40:35

Bueno, el problema es que veis cuatro casillas con un signo de mayor. 00:40:42

¿Sí? 00:40:47

¿La veis? 00:40:48

Estas dos líneas son un signo de mayor. 00:40:50

Lo veis en la pantalla. 00:40:52

El problema es el siguiente. 00:40:54

Yo tiro un dado. 00:40:56

Y tú tienes que colocar el dado, lo que salga, en una de esas cuatro casillas. 00:40:58

¿Vale? 00:41:03

Yo tiro el dado cuatro veces. 00:41:04

Pues qué fácil, pongo aquí, ya, ya. 00:41:07

Pero tú tienes que poner lo que salió en la primera casilla antes de que yo tire la segunda vez. 00:41:09

Es decir, yo tiro el dado y me sale un cuatro, ¿y dónde lo pones? 00:41:15

Tienes que conseguir que este número sea más grande que este. 00:41:20

¿Y cómo serías capaz de crear un algoritmo? 00:41:25

un algoritmo 00:41:29

para 00:41:31

conseguir ganar 00:41:32

o sea 00:41:35

¿qué estrategia seguirías? 00:41:37

porque claro, todo el mundo tiene muy claro 00:41:40

dónde pondríamos un 6 y dónde pondríamos 00:41:41

un 1, pero ¿y un 3? 00:41:44

si yo tiro la primera tirada y me sale 00:41:48

un 3, ¿dónde lo ponemos? 00:41:49

pues eso, el ser capaz 00:41:54

de crear una estrategia y un procedimiento 00:41:56

de yo haría esto 00:41:58

si la primera fue este número y el segundo sale así 00:42:00

lo pondría allí 00:42:02

eso es pensamiento 00:42:03

computacional, son cadenas de razonamiento 00:42:06

cadenas en las que tú vas creando 00:42:08

un propio algoritmo para resolver una situación 00:42:10

concreta, no se trata 00:42:12

de trabajar con 00:42:14

¿y qué pasa si los puntos que me llevo 00:42:15

es el número grande 00:42:18

menos el número pequeño? 00:42:20

eso cambiaría nuestra perspectiva a la hora de jugar 00:42:23

¿y si los puntos que me llevo es 00:42:25

lo que valga el número pequeño? 00:42:27

si cuanto mayor sea el número pequeño 00:42:30

más puntos me llevo 00:42:32

Pues estas son situaciones en las que se trabaja el pensamiento computacional, también trabajaremos en otros con ecuaciones cuando lleguemos. 00:42:33

Vale, bueno, esto es un poco, esto es sacado del currículum de Madrid, un poco lo que yo destaqué, de lo que se pretende que sepan los alumnos de cada cosa. 00:42:44

no entre al detalle 00:42:57

de identidades notables 00:43:01

no sé qué 00:43:02

polinomio de primer grado 00:43:03

segundo grado 00:43:04

un poco más o menos 00:43:04

de lo que se supone 00:43:05

que el alumnado 00:43:07

tiene que saber 00:43:08

cuando acabe 00:43:08

primero de la ESO 00:43:10

y segundo de la ESO 00:43:11

¿vale? 00:43:13

entonces a mí me parece 00:43:13

que hay cosas 00:43:14

que son fundamentales 00:43:16

es decir 00:43:18

que a lo mejor 00:43:18

no es tan importante 00:43:22

hacer 100 ecuaciones 00:43:23

como entender 00:43:25

qué hago cuando resuelvo una ecuación. 00:43:26

¿Vale? 00:43:30

O sea, porque si yo hago 100 ecuaciones 00:43:30

y no entendí 00:43:33

lo que hago cuando resuelvo una ecuación, 00:43:35

lo único que hice fue brazo. 00:43:41

Pero matemáticas aprendí poquitas. 00:43:42

¿Vale? 00:43:46

Entonces yo creo que aquí 00:43:47

todo esto tiene mucho que ver 00:43:48

y aparecen ahí con 00:43:51

resolución de problemas, 00:43:52

razonamiento, representación 00:43:55

conectar con la vida real 00:43:58

todo está muy relacionado 00:44:00

con competencias que el alumnado 00:44:03

tiene que adquirir cuando termina la educación 00:44:04

obligatoria 00:44:06

y bueno, vamos al lío 00:44:07

que es actividades de clase 00:44:09

yo ya digo, voy a ir 00:44:12

una a una 00:44:13

y aquí ya me paráis 00:44:16

donde consideréis cualquier pregunta 00:44:18

que queráis hacer 00:44:20

lo primero que hago en clase cuando 00:44:21

cuando 00:44:23

empiezo a trabajar en algebra 00:44:25

es trabajar con patrones 00:44:27

yo pongo patrones, como este 00:44:29

este de hecho 00:44:31

la foto la saqué de un boletín mío 00:44:32

de una actividad 00:44:35

pero bueno, no es mío 00:44:36

yo esto lo saqué de una web 00:44:39

después yo pongo ahí los recursos donde vienta 00:44:40

yo no soy el inventario 00:44:42

y aquí todos más o menos 00:44:44

veis como va creciendo esto 00:44:47

todos lo veis 00:44:49

El tuyo, bien 00:44:52

Pues no todos los alumnos lo ven 00:44:54

O sea, una cosa curiosa de los patrones 00:44:57

Es que a veces hasta los que son sencillos 00:45:00

Y nosotros creemos que ven 00:45:02

Hay alumnos que no lo ven 00:45:04

¿Vale? 00:45:06

Y si tú no lo ves 00:45:09

No puedes seguir 00:45:10

Entonces, los primeros patrones que yo puse 00:45:12

Que pongo son estos 00:45:17

Bueno, el anterior y estos dos 00:45:18

Porque son patrones que siempre van con la misma cantidad 00:45:20

Este es un poco más complicado, lo puse aquí porque quería contaros una cosa. 00:45:22

Entonces, yo cuando pongo este vamos a trabajar con el de arriba, ¿vale? 00:45:27

La idea es cuántos círculos hay ahí, ¿vale? 00:45:33

Entonces, lo que pregunto es, ¿cuántos habrá en el siguiente? 00:45:38

Después, ¿cuántos habrá en el décimo? 00:45:45

Después, ¿cuántos habrá en el término cincuenta? 00:45:50

¿Vale? 00:45:54

Y después, la primera vez, no les pregunto la fórmula 00:45:56

Sino que les ayudo 00:46:01

Escribimos la fórmula 00:46:02

Y a partir del segundo ya tienen que escribir la fórmula 00:46:05

¿Vale? 00:46:07

Todos veis el primero 00:46:09

El de arriba 00:46:10

Bueno, todos sabéis cuántos círculos habrá en el décimo 00:46:11

¿Sí? 00:46:17

Ahí hay cuatro términos 00:46:23

Un término, dos, tres, cuatro 00:46:24

cuántos círculos habrá en el décimo 00:46:27

vamos, somos todos profesores de matemáticas 00:46:29

damos por hecho que todos sabemos 00:46:31

cuántos habrá en el décimo 00:46:33

pero lo importante no es 00:46:34

saberlo 00:46:39

es cómo llegas a ese resultado 00:46:42

entonces yo os voy a poner aquí un ejemplo 00:46:45

de tres alumnos 00:46:49

cuatro alumnos míos 00:46:53

que en clase esta semana 00:46:54

esta misma semana 00:46:56

porque estamos empezando con Arzo 00:46:57

me contestaron esto 00:46:58

Oliver dijo que eran 00:47:01

4 más 3 por 9 00:47:03

Oliver es un alumno 00:47:05

fantástico en matemáticas 00:47:07

y él dijo que había aquí 4 00:47:08

y después cada vez le iban 00:47:10

adhiendo 3 00:47:12

entonces era 4 más 3 00:47:13

9 veces 00:47:16

yo lo entendí 00:47:17

porque el hecho de que 00:47:20

ellos escriban esto así y lo cuenten 00:47:22

Si tú no eres consciente de cómo llegaste a ello, no vas a ser capaz de generalizar más. 00:47:27

¿Vale? Porque claro, bueno, a lo mejor hay alguno que hasta el décimo lo dibuja. 00:47:35

Pero ya cuando le digo el cincuenta, ya no como mucho y digo, ah, pues si en el décimo hay tantos, en el cincuenta y esos por cinco. 00:47:39

Te hacen una proporcionalidad directa y pa'lante. 00:47:46

Pero no funciona. 00:47:49

Entonces, Iris dijo que ella había hecho esto 00:47:51

4 por 10 menos 9 00:47:58

Porque ella ve que alrededor de cada cuadrado hay 4 00:48:02

Pero, ¿eh? 00:48:05

Resulta que hay algunos que aparecen dos veces 00:48:09

Entonces hay que restarle el número de cuadrados que hay 00:48:14

¿Vale? O sea, los... 00:48:16

Bueno, pues será así 00:48:22

O sea, cuando ponga 10 cuadrados, pues hay 9 círculos de estos que se van a repetir. 00:48:22

Por ejemplo, aquí este, este se repite porque está en este cuadrado el gasto. 00:48:29

Aquí se repiten estos dos, es decir, los que están en el medio se van a repetir. 00:48:34

Entonces, su cuenta fue 4 por 10 menos 9. 00:48:38

Nora dijo que era 1 más 3 por 10. 00:48:44

¿Vale? 00:48:50

porque ella dijo 00:48:50

hay este y todos los demás son 00:48:53

treces 00:48:55

y lo vio fantástico, Nora 00:48:56

que de mayor quiere ser profesora de matemáticas 00:48:58

de aquí a allá la veremos 00:49:00

pero, y lo vio así 00:49:03

y 00:49:05

Lía 00:49:07

dijo, yo lo vi de otra manera 00:49:08

y dije, ¿cómo de otra manera? 00:49:11

y lo que hizo fue, Lía fue 00:49:12

esto, es decir 00:49:14

si aquí tengo trece 00:49:19

si aquí tengo trece 00:49:21

hasta el día le voy a añadir 00:49:24

tres, seis veces 00:49:26

porque ya estoy en el paso cuarto 00:49:28

es decir, si estoy en el paso cuarto 00:49:29

¿por qué tengo que volver aquí atrás? 00:49:31

pues ella partió del paso cuarto 00:49:33

y calculó 00:49:35

lo que había que añadirle 00:49:36

¿vale? 00:49:39

bien 00:49:42

todas estas expresiones dan el mismo resultado 00:49:42

pero no dan 00:49:45

el mismo término general 00:49:47

para nosotros sí 00:49:48

Pero cuando uno empieza en álgebra, Oliver, su término general sería 4 más 3 por el número menos 1. 00:49:52

Para él sería 4 por el número menos el número menos 1. 00:50:02

Para Nora sería 1 más 3 por el número. 00:50:07

Y para Lía sería 13 más 3 por el número menos 4. 00:50:11

¿Por qué 4? Pues porque 4 ya los tengo aquí, ya los conté. 00:50:16

entonces 00:50:18

esas cuatro expresiones 00:50:22

basebraicas 00:50:24

cuando tú estás en primero de la ESO 00:50:25

para nosotros es evidente 00:50:29

que 00:50:31

4 más 3 por n menos 1 00:50:32

es lo mismo que 4n menos n menos 1 00:50:34

pero para un alumno 00:50:37

de primero de la ESO no 00:50:39

y entonces después hablamos 00:50:39

de por qué son iguales y por qué no son iguales 00:50:43

porque ellos prueban 00:50:45

Y claro, con el número que prueben siempre les da lo mismo. 00:50:46

Hacen con el 50, hacen con el 100, hacen con cualquiera y siempre da lo mismo. 00:50:49

Y entonces vemos como expresiones algebraicas que no son la misma a la vista, 00:50:53

a la vista no son la misma, sí que pueden significar la misma cosa. 00:50:59

Es decir, no todos vemos el mismo patrón. 00:51:04

Si nunca trabajasteis con patrones, mi consejo, la primera vez, 00:51:07

el siguiente hay que dibujarlo. 00:51:10

No llega con decir cuántos hay. 00:51:14

El siguiente término 00:51:16

Siempre hay que dibujarlo 00:51:19

Porque hay muchos alumnos que no lo ven 00:51:20

Este es muy obvio 00:51:23

Pero hay muchos que no lo ven 00:51:26

Entonces tú no puedes trabajar 00:51:28

Nada sobre la generalización 00:51:29

Si ellos no 00:51:33

Han superado la fase 00:51:34

De ver como sigue 00:51:37

¿Vale? 00:51:39

Bueno 00:51:42

Esta es la segunda figura 00:51:42

¿vale? la segunda figura 00:51:44

bueno, esta no fue la segunda figura 00:51:45

en el trabajo esta figura vino 00:51:47

bastante más adelante, ¿no? porque esta 00:51:50

es más complicada 00:51:51

¿vale? es más complicada 00:51:53

bien, entonces 00:51:55

eh 00:51:56

decidme alguien cuál es 00:51:58

la fórmula 00:52:01

ahí 00:52:03

tengo un voluntario, como no os conozco, no os voy a poner 00:52:04

negativos en la lista ni nada 00:52:13

no hay problema 00:52:14

nadie se atreve 00:52:16

O sea, ¿veis cómo va? 00:52:18

¿Sabíais dibujar el siguiente? 00:52:30

¿Cómo sería el siguiente? 00:52:31

¿Nadie? 00:52:45

Bueno, no me puedo creer 00:52:46

Que sois tímidos 00:52:47

Un rectángulo 00:52:52

Un rectángulo, dime, por favor 00:52:55

Así que ya me siento solo 00:52:57

Un rectángulo de 4 por 6 00:52:58

Y dos cuadritos arriba, ¿no? 00:53:01

Vale, bien 00:53:04

Perfectamente 00:53:05

Vale, bien 00:53:07

¿Y cuál sería siola? 00:53:08

Ah, vale, que estábamos buscando el término general. 00:53:12

Sí. 00:53:16

Sería 2 más n más 2 por n más 1. 00:53:18

No, por n. 00:53:29

A ver. 00:53:30

Por n, por n. La altura es n. 00:53:31

¿2? La altura es n, es verdad, es verdad. 00:53:34

Sí, el n más 2 es la base y la altura es n. 00:53:35

Vale, entonces, esto fue lo que dijo Oliver, y Adrián dijo esto, y nos llevó un ratito a discutir, y decís, ¿y cómo puede Adrián ver esto ahí? 00:53:39

porque yo no lo veo 00:54:08

esto lo vi 00:54:12

igual que lo viste tú ahí 00:54:13

lo veríais todos, que son rectángulos 00:54:15

en los que la altura es el número y la base es el número más 00:54:17

y estos dos quedan quietos 00:54:20

o sea quedan quietos, son constantes 00:54:22

son firmes 00:54:24

y entonces yo le pregunté a Adrián 00:54:24

cómo había hecho 00:54:29

y Adrián 00:54:30

lo que hizo fue 00:54:33

olvidarse de la figura 00:54:35

y sólo miró los números 00:54:37

¿vale? 00:54:39

Puso 5, 10, 17, creo que es aquí 00:54:42

Y dijo, claro, esto es el siguiente número al cuadrado más 1 00:54:47

Sabió que eran los siguientes dos cuadrados 00:54:51

Y se olvidó de la figura 00:54:54

Entonces él lo hizo solo con los números 00:54:56

Y la pregunta en clase es 00:54:59

Bueno, ¿y esto es lo mismo que esto? 00:55:01

Claro, mis alumnos, cuando estás empezando 00:55:04

No saben hacer esto 00:55:07

Mis alumnos no saben hacer esto 00:55:09

Y nos llevó un ratito verlo gráficamente, o sea, cómo convierto esto en un cuadrado más uno, y básicamente si tú coges la última columna y los de la última columna los pones aquí abajo, te queda exactamente un cuadrado más el de arriba. 00:55:15

lo veis 00:55:37

lo veis, espero que lo veáis 00:55:41

lo mismo pasa aquí, si cogemos estos dos 00:55:43

los ponemos aquí abajo, me queda un cuadrado 00:55:46

de 3 por 3, más el de arriba 00:55:47

entonces, bueno 00:55:49

a veces 00:55:52

el trabajo 00:55:52

con representaciones diferentes 00:55:56

de las expresiones algebraicas 00:55:57

nos puede ayudar a saber si hay 00:55:59

si hay 00:56:01

expresiones algebraicas 00:56:04

que sean equivalentes o que no sean equivalentes 00:56:06

que sean iguales, porque son iguales 00:56:08

pero bueno 00:56:10

este patrón 00:56:12

me gustó, no es el fácil 00:56:14

pero me gustó porque 00:56:15

lo vi rico y lo que os decía 00:56:17

de dibujarlo 00:56:20

tuve varios alumnos que no fueron capaces 00:56:21

de dibujar el siguiente 00:56:24

por eso que es complicado 00:56:25

es complicado 00:56:28

pretender que los alumnos 00:56:30

sigan si no son capaces 00:56:32

de ver cuál es la regla de formación 00:56:34

ya no desde el punto de vista algebraico 00:56:36

sino desde el punto de vista gráfico 00:56:39

¿vale? y ya digo 00:56:40

otra cosa que hago 00:56:42

es lo contrario 00:56:43

yo te doy un patrón, por ejemplo 00:56:46

el término general es 00:56:48

2n menos 1 00:56:49

y tú tienes que hacerlo 00:56:52

¿vale? 00:56:54

y ellos tienen que construirlo, lo construyen 00:56:56

con cuadritos, con palillos, con puntitos 00:56:58

con pingüinos, hay una mano levantada 00:57:00

ahí me parece, sí 00:57:02

¿Qué proporción de alumnos te sacan el patrón? 00:57:03

Ah, este 00:57:13

Este o el anterior 00:57:13

El anterior 00:57:15

No sé qué proporción 00:57:16

Yo tengo una clase 00:57:19

En esta clase son 23 00:57:20

El anterior de los 23 00:57:23

Lo pudieron sacar 00:57:26

Sin ayuda 00:57:27

16 bien 00:57:29

O 17 00:57:31

¿Trabajando solos? 00:57:32

Sí, solos 00:57:38

Si quiero decir que no es, o sea, mi objetivo, yo primero voy poco a poco. 00:57:38

¿Cuál es el siguiente? Después, ¿cuál es el décimo? 00:57:52

Cuando todo el mundo vio cuál es el siguiente, preguntamos cuál es el décimo. 00:57:54

Es decir, el objetivo no es, te pongo esto y dame el término general, ¿no? 00:57:57

Es decir, sino que es que ellos vayan poco a poco viendo esa regularidad de cómo va creciendo. 00:58:03

Pero sí que consigo, o sea, yo en mi clase los problemas de patrones son de los que todo el mundo hace, ¿vale? 00:58:09

O sea, no todo el mundo hace, por ejemplo, este. 00:58:19

Este sí pueden llegar al siguiente, pero lo del n por n más 2 ya implica ver ahí la relación, el área, ¿sabes? 00:58:23

Multiplicar, no... 00:58:32

Los que no son lineales son más complicados, salvo que veas el cuadrado hecho. 00:58:34

Hay algunos que son el cuadrado y cuatro más aquí en las esquinas. 00:58:41

Y como ven la figura del cuadrado ya la identifican rápidamente con el número al cuadrado. 00:58:44

Pero otros son más complicados, evidentemente hay niveles de dificultad, ¿no? 00:58:50

Pero sí es una actividad que, vamos, que la mayoría hace, o sea, la gran mayoría. 00:58:57

entonces digo 00:59:04

el paso contrario 00:59:09

a mí también me gusta 00:59:12

es decir, pues 00:59:13

si este es el término general, dibújame un patrón 00:59:14

el término general es sencillo 00:59:18

tampoco vayamos a buscar 00:59:19

cosas extrañas, pero no sé 00:59:21

n cuadrado menos uno 00:59:23

que es hacer cuadrados 00:59:25

y quitarle uno 00:59:27

un cuadradito 00:59:28

o 3n menos uno 00:59:30

pues haces rectángulos de lado tres 00:59:33

y pum pum pum, y le vas quitando una esquinita 00:59:35

Ellos van pensando y la verdad es que consiguen hacer, incluso pueden, si trabajan por parejas, ponerle un patrón al compañero, pensarlo él y ver si el otro lo sabe. 00:59:37

Lo que pasa es que todo este material yo lo saco de una web, que está ahí, no es mío, y ahí tenéis, estos son los primeros que aparecen, que son, aquí son 50 y otros 50 tienen hasta 500, ¿vale? 00:59:52

O sea, 500 patrones diferentes, en los que vosotros ahí tenéis un enlace, 01:00:13

bueno, ya no digo para no dedicarle mucho más a este DETA, 01:00:18

pero que tenéis, lo podéis complicar hasta el infinito y más allá. 01:00:23

Sí que os digo que el hecho de que vayan del 1 al 50, del 51 al 100, 01:00:30

no quiere decir que vayan en orden creciente de dificultad. 01:00:34

a lo mejor entre el 1 al 50 01:00:38

podéis encontrar alguno 01:00:42

complicado, como este de los palillos 01:00:43

de cuantos palillos hay 01:00:46

este no es nada fácil 01:00:48

este que estoy señalando aquí de los triángulos 01:00:49

no es nada sencillo 01:00:52

entonces bueno 01:00:53

digo que aquí tenéis muchos 01:00:54

y que es una actividad que les gusta 01:00:58

o sea que 01:01:00

se ponen a hacerlo, lo intentan 01:01:01

y les gusta y discuten 01:01:04

porque uno contó mal, porque el principio cuenta 01:01:06

no me dio 32, no, que son 31, y después lo vuelven a hacer, y van, claro, pero es fundamental que les hagas pensar en cómo llegaron al resultado, tú qué cuenta hiciste, y que te digan la cuenta que hicieron, porque ya lo digo, en mis clases se habla mucho, y ya digo, a todos les da 31, ya, pero 31 cómo, 01:01:08

Ah, pues mira, mi 3 por 10 más 1 01:01:33

Ah, yo hice 3 por 9 más 4 01:01:36

Yo hice, y a todos los dio 31 01:01:38

Pero ven que llegaron de formas diferentes 01:01:39

Eso creo que también enriquece mucho 01:01:41

¿Vale? 01:01:44

Este es otro de patrones también 01:01:45

En el que aparecen puntos blancos 01:01:47

Puntos negros 01:01:50

¿Vale? Puntos blancos, puntos negros 01:01:51

Y tienes que dibujar el siguiente 01:01:53

Y aquí ya 01:01:55

Hay una expresión algebraica 01:01:57

¿Cuántos blancos hay? 01:02:00

¿Cuántos negros hay y cuántos hay en total? 01:02:01

Porque los negros son n más 1, ¿vale? 01:02:05

Los blancos no sabemos cuántos son, ¿vale? 01:02:10

Serían 2n menos 1 y la suma da 3n. 01:02:15

Es decir, el trabajo ya implica hacer cuentas y hacer algún trabajo con expresiones salacebraicas. 01:02:19

O sea, yo estoy poniendo ejemplos, hay algún ejemplo más complicado, pero para que veáis que los patrones no siempre serán al principio de todo. 01:02:28

Tú puedes hacer, por ejemplo, este otro. Este otro no es nada trivial. 01:02:36

Este otro no es nada trivial. Es muy fácil. Muy fácil ver los blancos y los negros. 01:02:42

Pero la suma no es nada trivial. Porque los negros, si os fijáis, los negros son 4N. 01:02:47

4, 8, 12, 16 01:02:59

los negros son 4n 01:03:05

y los blancos son n-1 al cuadrado 01:03:07

y la suma da n-1 al cuadrado 01:03:11

es decir, comprobar que esas expresiones algebraicas coinciden 01:03:17

ya requiere una manipulación 01:03:23

por eso este no se pone al principio 01:03:25

porque ellos ya tienen que saber hacer la cuenta 01:03:27

Pero ahí sale que n-1 al cuadrado más 4n es igual a n más 1 al cuadrado. 01:03:31

Entonces, ya es una expresión algebraica, una operación o una igualdad, nada trivial para ellos. 01:03:38

Ya les implica a ellos hacer cuentas, desarrollarlas. 01:03:47

Pero el tener este soporte visual ayuda mucho a darle sentido a lo que es ese n-1 al cuadrado y ese n más 1 al cuadrado. 01:03:51

No son letras sin más. Yo ya digo, siempre que se pueda esta posibilidad de darle sentido, hay que aprovecharla. Bueno, esto es, aquí está el recurso, tenéis el enlace, está en inglés, pero bueno, no tiene ningún problema porque... 01:04:00

y son, podéis trabajar con fichas, esto lo recortáis, tenéis fichas en las que aparecen las series con puntitos 01:04:18

y aquí las expresiones algebérticas, y hay que asociar a cada serie la suya, o si no la hay tenemos que inventarla, 01:04:30

o puede haber dos que sean iguales, puede haber dos que no sean iguales, es decir, es una actividad, ya digo, muy muy rica. 01:04:37

Tenéis aquí el enlace. La presentación no la subí, la subiré en cuanto acabe, porque como esto son cuatro horas en dos sesiones, no sé dónde voy a acabar hoy. 01:04:44

entonces el próximo día 01:05:00

empezaré donde acabe hoy 01:05:03

así que hoy subiré 01:05:04

la presentación con lo que hice 01:05:07

con lo que 01:05:09

hasta donde lleguemos hoy 01:05:10

y el próximo día subo el resto 01:05:12

¿vale? 01:05:14

pero bueno, es un poco para que veáis que 01:05:16

hay materiales 01:05:18

este es otro que hago con patrones 01:05:20

segundo de la ESO 01:05:23

segundo de la ESO, es esta clase 01:05:24

Tenemos un cubo hecho de cubitos 01:05:26

Lo pintamos por fuera 01:05:32

Y lo desmontamos 01:05:34

Lo pintamos de verde 01:05:35

Y después lo deshacemos 01:05:39

Al deshacerlo 01:05:41

Ahí va a haber cubitos pequeños 01:05:43

Que tengan 01:05:48

Las tres caras pintadas 01:05:49

Este de la esquina 01:05:51

Este de aquí tendrá dos caras pintadas 01:05:53

Este de aquí solo tendrá una cara pintada 01:05:55

Yo solo pinto por fuera 01:05:58

y probablemente habrá algo por ahí por el medio que no se pinte 01:05:59

porque el cubo es un cubo macizo 01:06:05

y la pregunta es ¿cuántos hay de cada? 01:06:07

¿cuántos hay de cada? 01:06:14

quiero decir, esto ya no es contar 01:06:17

es contar, visualizar, hay cubos por detrás que yo no veo 01:06:19

hay cosas dentro que yo no veo 01:06:22

¿qué pasa si en vez de ser de lado 4 es de lado 5? 01:06:24

O sea, está bien ponerle un par de ellos para que los vean, los puedan ver 01:06:31

¿Y si fuese del lado 10? 01:06:38

¿Y si fuese del lado N? 01:06:42

Vale, fijaos, fijaos que cuando desarrolléis esta expresión, que no es sencilla 01:06:47

Es decir, este problema no es un problema de inicio, ¿vale? 01:06:53

pero a ti al final 01:06:58

te va a dar una expresión 01:07:01

para los que tienen 01:07:03

las tres caras pintadas 01:07:05

es una expresión 01:07:06

que son siempre ocho 01:07:08

porque siempre hay ocho esquinas 01:07:10

¿vale? 01:07:12

después va a haber otra expresión 01:07:13

para los que tienen dos caras pintadas 01:07:15

que es una expresión en n 01:07:16

otra para los que tienen 01:07:19

dos caras pintadas 01:07:22

que es una expresión en n cuadrado 01:07:24

¿vale? 01:07:26

Y después va a haber otra para los que quedan dentro sin pintar, que es una expresión en el cubo. 01:07:28

Uy, os dejé de ver, no sé qué pasó. 01:07:34

Ah, ¿me veis? 01:07:36

¿Me veis? 01:07:40

¿No veis la presentación ahora? 01:07:41

No, ahora no se ve la presentación. 01:07:43

Es que no sé qué pasó. 01:07:48

Ah, vale, bien. 01:07:53

¿Y ahora? 01:07:55

Ahora sí. 01:07:56

Ahora sí, vale, bien. 01:07:58

bueno, lo que quiero decir 01:07:59

es que va a dar un conjunto 01:08:01

de expresiones algebraicas 01:08:04

una 01:08:05

de grado 0, que son los 8 de aquí 01:08:06

otra de grado 1, que son los que tienen las 2 01:08:10

las 2 01:08:12

bueno, dice 5 por 5 por 5 01:08:14

y este tiene 6, bueno, la idea es que 01:08:18

fuese 5 por 5 por 5, vale 01:08:20

esto es la culpa de la inteligencia artificial 01:08:21

que es muy artificial y poco inteligente 01:08:23

pero al final va a dar un conjunto de expresiones algebraicas 01:08:25

en n, n cuadrado, n cubo 01:08:33

y el resultado final de todas sumadas tiene que dar n al cubo 01:08:35

y esa manipulación de expresiones algebraicas 01:08:39

en lugar de poner un rollo de cuadrados sin sentido 01:08:42

aquí a la hora de hacer esto hay una identidad notable 01:08:47

hay polinomios de diferentes grados que hay que agrupar 01:08:51

hay que resolver cuentas con polinomios. 01:08:54

¿Qué pasaría si en vez, porque hay alumnos que lo hacen muy rápido, 01:08:59

si en vez de ser un cubo es un prisma que tiene un prisma cuadrangular y la altura es el doble? 01:09:04

Aquí ya el total ya no es n cubo, que es 2n cubo. 01:09:10

¿Qué pasaría si le hago un túnel de arriba abajo? 01:09:13

Un agujero, es decir, si esto lo hago hueco, un túnel de arriba abajo. 01:09:17

Y lo hago más grande. 01:09:21

Uno siempre puede ir complicando las preguntas, porque lo que buscamos es que ellos razonen, que visualicen, 01:09:23

que sean capaces de manejar expresiones algebraicas sin estar contando cubitos. 01:09:36

Pero es importante que las expresiones algebraicas signifiquen algo, por lo menos al principio. 01:09:44

Que no sea un monomio es un número y no sé cuántas letras pegadas elevadas a algo. 01:09:49

Y eso, ¿qué me dices con eso? 01:09:59

Bueno, la parte de patrones, ya digo, hay muchos más, pero no quiero tampoco pasarme aquí una hora entera hablando de problemas de patrones. 01:10:06

Lo que quiero decir es que para mí es fundamental, fundamental, que se llegue al álgebra partiendo de una necesidad. 01:10:20

De una necesidad que viene de que quiero generalizar algo que estoy viendo. 01:10:27

Para verlo tiene que ser algo obvio. 01:10:34

Es decir, los primeros patrones tienen que ser patrones fáciles de ver. 01:10:37

Fáciles de ver. 01:10:42

porque si yo lo que quiero es que ellos 01:10:43

lleguen a la necesidad de generalizar 01:10:45

tengo que ponerles una regularidad 01:10:48

que sea clara 01:10:50

después poco a poco ya le iré poniendo regularidades 01:10:52

menos claras 01:10:54

pero al principio hay que poner una regularidad 01:10:55

que sea clara 01:10:57

que la veamos todos 01:10:58

porque si no, disculpad que voy a beber un poquito 01:11:01

entonces ahora vamos a 01:11:04

hablar de variable y de expresiones algebraicas 01:11:09

¿vale? 01:11:12

bueno 01:11:13

cuando 01:11:14

cuando trabajo con patrones 01:11:16

cuando escriben el término general 01:11:18

cuando 01:11:21

decía la compañera 01:11:23

de 2 más n por n más 2 01:11:25

este término, esto que había aquí 01:11:26

ese 2 01:11:29

todo el mundo que estaba viendo 01:11:30

esto asoció a que eran este y este 01:11:33

este y este 01:11:35

¿vale? ¿por qué? 01:11:38

porque todos 01:11:41

vemos que en esta serie 01:11:42

hay algo que cambia 01:11:45

y algo que no cambia 01:11:47

¿vale? 01:11:49

hay cosas que cambian 01:11:51

y cosas que no cambian 01:11:53

¿qué no cambia? 01:11:54

que tienen idéntico todos estos 01:11:56

un cuadrado arriba 01:11:59

y un cuadrado abajo 01:12:01

ese 2 que aparecía en la expresión 01:12:02

ese 2 01:12:05

es constante 01:12:06

¿qué cambia? 01:12:08

cambia lo que miden los lados del rectángulo 01:12:10

eso es variable 01:12:13

es decir, tenemos que 01:12:15

yo creo que es importante 01:12:17

cuando hablamos de un concepto matemático 01:12:19

sobre todo un concepto matemático nuevo 01:12:22

ponerlo siempre en contraste 01:12:24

con algo que no lo es 01:12:26

esto es variable 01:12:27

vale, esto es variable 01:12:29

y esto no es variable 01:12:31

entonces, lo que varía 01:12:33

puede tomar muchos valores 01:12:36

Y como puede tomar muchos valores, no le podemos llamar siete ni nueve, le tenemos que llamar de otra manera. 01:12:37

Claro, le podemos llamar base y altura, o le podemos llamar altura y altura más dos, 01:12:52

pero para no escribir todas las letras, abreviamos a una letra sola, 01:12:59

que en realidad es lo que se hizo siempre en matemáticas. 01:13:03

Porque nosotros ya trabajamos con la notación, con las X desde que empezamos, 01:13:09

pero las primeras personas que resolvían ecuaciones la resolvían escribiendo 01:13:14

y la palabra era la palabra, o sea, la incógnita era la cosa y la cosa, 01:13:18

y se ponía la cosa con todas las letras. 01:13:22

No se representaba con una letra sola. 01:13:26

eso fue un proceso que llevó tiempo 01:13:30

hasta que llegó un momento en que 01:13:33

la complejidad de las ecuaciones era tal 01:13:35

que era imposible escribir todo 01:13:37

y entonces había que esquematizar 01:13:38

fue una necesidad 01:13:40

entonces nosotros tenemos que de alguna manera 01:13:41

aunque sea de forma artificial 01:13:43

o de forma guiada 01:13:45

tenemos que hacer que nuestro alunado 01:13:47

llegue a esa necesidad 01:13:50

que sea, por ejemplo, aquí todos vemos 01:13:51

también cuál es el 01:13:54

cómo van los puntos negros 01:13:56

y los puntos blancos 01:13:59

Los puntos negros y los puntos blancos van de una manera diferente y hay una cosa que es constante siempre y es que los blancos valen 1 y los negros dependen de n, los negros dependen de n, dependen y es complicado de ver cómo dependen. 01:14:00

Entonces, lo mismo que lo que os ponía antes del cubo, hay cosas que son constantes y hay cosas que son variables. 01:14:18

¿Qué es constante? Las ocho esquinas del cubo. Eso no varía nunca. 01:14:29

Hay otros elementos que también aparecen, porque cuando desarrolláis la fórmula y queréis calcular la fórmula, 01:14:37

pues cuando quiero calcular los que tienen pintadas las dos caras 01:14:47

como aparecen en las aristas 01:14:49

siempre va a aparecer multiplicado por 12 01:14:51

va a hacer algo multiplicado por 12 01:14:53

ese 12 son las aristas, no varía 01:14:57

cuando quiero hacer esto de aquí 01:14:59

va a aparecer algo multiplicado por 6 01:15:02

porque los que tienen una sola pintada 01:15:04

son los que están en las caras que no están en las aristas 01:15:08

entonces multiplico por el número de caras 01:15:11

digo en 1 y multiplico por el número de caras 01:15:13

Entonces, en una expresión algebraica hay cantidades que varían, cantidades que no varían. 01:15:15

Es importante que ellos entiendan que hay cosas que son variables y cosas que no son variables. 01:15:22

Es decir, si yo voy a comprar al supermercado y las mandarinas cuestan a 2.30 el kilo, 01:15:28

lo que varía es los kilos que yo compro y el dinero que yo pago, pero el 2.30 no varía. 01:15:35

puedo comprar más mandarinas o menos mandarinas 01:15:42

pero el 230 siempre 01:15:45

está ahí, no varía 01:15:47

es constante, entonces 01:15:49

es importante 01:15:51

confrontar 01:15:52

siempre algo constante 01:15:54

con algo variable para que ellos entiendan 01:15:57

esa idea 01:15:59

cuando uno habla de variable 01:16:00

habla del lenguaje algebraico 01:16:02

yo, el tema 01:16:05

de variable, cuando hablemos de 01:16:07

relaciones y de modelos y eso lo voy a 01:16:09

Pero el lenguaje algebraico me parece que es importante, porque si algo es fundamental en matemáticas es ser capaz de traducir situaciones que me encuentro a situaciones, a expresiones algebraicas concretas, ¿vale? 01:16:11

Bueno, cuando yo estudiaba álgebra, hace ya muchos años, lo acababan de inventar, pues cuando yo estudiaba álgebra a mí me ponían unas ecuaciones grandes como en un mundo de grandes, 01:16:36

pero yo trabajaba muy poquito 01:16:57

esto, muy poquito 01:17:03

el entender por qué 01:17:04

yo trabajaba muchísimo 01:17:06

la mecánica 01:17:09

a mí se me daba muy bien 01:17:13

pero claro, esas ecuaciones para las que no se le daba tan bien 01:17:16

eran un infierno absoluto 01:17:19

porque es muy difícil 01:17:21

es muy fácil equivocarse 01:17:23

Y si te equivocas, cuando ponemos nosotros estas cosas maravillosas que le gustan a los profes de matemáticas, que son grandes como toda la pizarra, no, no, pero eso, si lo hacen bien y lo desarrollan, se simplifica todo, sí. 01:17:26

Pero si en un momento, en vez de 3x3, 9, te confundes y pones 3x3, 6, ya no se simplifica nada y aquello es una catástrofe. Entonces, a lo mejor hay que intentar que haya algún mundo entre se simplifica todo y la debacle. 01:17:40

yo 01:17:59

una actividad que hago 01:18:02

que trabajo es la traducción 01:18:04

la traducción de texto 01:18:06

yo la trabajáis todos 01:18:09

al lenguaje 01:18:11

al lenguaje al quebranco 01:18:12

y este es un ejemplo 01:18:13

pensáis un número 01:18:15

le sumas cuatro, multiplicas por dos 01:18:17

le restas seis, bueno, los típicos trucos 01:18:20

de magia matemática 01:18:22

de magia matemática que ellos tienen 01:18:23

que ellos tienen que hacer 01:18:26

Y al principio se asombran, porque en primero de la ESO son encantadores, 01:18:29

y se asombran con todo, y dicen, ¿pero cómo puede ser? 01:18:35

Entonces, después les explicas cómo es. 01:18:40

Bueno, les explicas cómo es. 01:18:44

Son estos trucos que tú los traduces a lenguaje algebraico y ves al final qué es lo que te va a salir. 01:18:47

este es una 01:18:52

una actividad de Enrich 01:18:54

en la que 01:18:56

el dibujo está representado 01:18:58

¿vale? 01:19:01

está representado aquí 01:19:02

este es el número que yo pienso 01:19:04

bueno, tiene un enlace 01:19:06

tiene un enlace porque si le dais en la 01:19:08

presentación al enlace iréis a 01:19:10

la web donde está este 01:19:12

y tiene una máquina 01:19:14

una máquina en la que tú piensas el número 01:19:16

te va diciendo las cosas que hace y al final te sale 01:19:18

te sale el resultado 01:19:20

y dices, ¿cómo puede ser esto? 01:19:22

Entonces, aquí tiene la representación. 01:19:24

¿Veis que la representación no es algebraica? 01:19:27

No hay X. 01:19:29

Pero no deja de ser lenguaje simbólico. 01:19:31

El lenguaje simbólico en el que yo, 01:19:34

el número que yo pensé lo represento en un cuadrado 01:19:36

y las unidades las represento con... 01:19:38

Entonces, este paso me ayuda a comprender 01:19:42

qué es lo que está pasando. 01:19:44

Antes del X, X más 3, pues esto. 01:19:46

Y a lo mejor este es un lenguaje igual pictórico 01:19:49

y al lado tendría que poner el simbólico 01:19:52

con el as x 01:19:53

es un número, suma, duplica el resultado 01:19:54

suma 4, haya la mitad 01:19:58

y resta el número inicial, y al final me quedan 5 01:19:59

y pienses el que pienses 01:20:02

siempre te queda 5 01:20:04

y los 30 de la clase 01:20:05

piensa cada uno un número diferente 01:20:07

y a todas las veces quedan 5 01:20:09

¿vale? 01:20:10

y 01:20:14

¿qué pasa si es decimal? 01:20:14

una fracción y negativo, y da igual 01:20:17

y da igual, siempre da 5 01:20:19

porque el álgebra es lo que tiene 01:20:21

que es universal, da igual 01:20:24

y me gusta 01:20:26

mucho la última 01:20:28

la última pregunta, después de 01:20:29

haber hecho esto 01:20:32

bueno, nosotros cuando hacemos esto 01:20:33

evidentemente hacemos la traducción 01:20:35

yo no os voy a dar aquí la clase 01:20:38

de cómo hacemos la traducción 01:20:40

lo escribimos aquí al lado, pues después 01:20:42

X, yo 01:20:43

soy un poco, no soy anti X 01:20:44

pero quiero decir que creo 01:20:48

que si pensamos un número 01:20:49

llamarle el número n está bien 01:20:53

porque lo natural 01:20:55

es llamarle n y no llamarle x 01:20:57

por eso 01:20:59

yo digo 01:21:01

para que después cuando tienen que 01:21:03

despejar algo, ya sea en 01:21:05

contexto matemático o no matemático 01:21:07

porque en contexto matemático también pasa 01:21:09

cuando se está trabajando 01:21:10

con formas geométricas y tienen que 01:21:11

resolver una ecuación en la que hay una base 01:21:15

o una altura, le puedo llamar a la base 01:21:16

en vez de B le puedo llamar X, porque si no no las sé 01:21:18

despejar, hombre, no sé 01:21:20

yo creo que tendríamos que aspirar a que eso 01:21:22

no pase, entonces habría que trabajar 01:21:24

con letras 01:21:27

con letras que tengan que ver con lo que estamos calculando 01:21:28

que me den información sobre lo que estoy haciendo 01:21:31

y esta última es 01:21:33

¿podrías diseñar instrucciones 01:21:34

para otra máquina de pienso 01:21:36

un número como esta? 01:21:39

ellos podrían 01:21:40

esta está bien, ya sabemos que funciona 01:21:41

pero ¿serías capaz de encontrar una 01:21:45

de crear tú una 01:21:47

y seguir unos pasos 01:21:49

y conseguir que al final 01:21:52

vaya a dar a todo el mundo el mismo resultado 01:21:54

eso tiene un trabajo detrás importante 01:21:58

porque hay que razonar 01:22:02

hay que deducir 01:22:04

tiene que ver con el pensamiento computacional 01:22:05

de analizar cómo va el proceso 01:22:08

y qué es lo que sumé 01:22:10

y qué es lo que le tengo que quitar 01:22:12

o qué es lo que le resto 01:22:14

y después qué es lo que le tengo que sumar. 01:22:15

Pero yo al final lo que tengo es que deshacer lo que hice. 01:22:18

Para que aquí me queden cinco, yo el número, ¿el número cómo lo quito? 01:22:22

Pues el número lo quito porque el número llega un momento en que lo duplico, 01:22:26

después le hago la mitad y después lo resto. 01:22:30

Por eso me quedo sin número. 01:22:32

Entonces, ellos tienen que de alguna manera entender, 01:22:34

entender lo que significan los procesos que hay en la manipulación algebraica, 01:22:39

de las expresiones algebraicas. 01:22:44

Para que ellos sean capaces de construir, porque casi siempre nos limitamos a que el trabajo algebraico del alumnado sea resolver. 01:22:45

Ya veremos después, cuando hablemos de ecuaciones, que hay un trabajo muy rico que es construir ecuaciones. 01:22:56

Crear ellos una ecuación, pero no el tum-tum. Ya veremos eso, ya llegaremos a ello. 01:23:03

¿vale? y ahora 01:23:08

piensa dos 01:23:10

ahora piensa dos, ya son 01:23:11

dos letras, ya hay que escribir 01:23:14

ya es más complejo, ¿vale? 01:23:16

¿qué resultado te da? 01:23:18

¿vale? 01:23:21

¿cómo sé yo? 01:23:22

¿cómo puedo saber yo a partir 01:23:23

de tu resultado qué dos números 01:23:26

pensaste? ¿vale? 01:23:28

y todo eso se sabe con 01:23:32

álgebra 01:23:34

todo eso se sabe con álgebra 01:23:35

entonces 01:23:39

Entonces yo creo que el primer, el trabajo básico del álgebra antes del trabajo operacional y el trabajo mecánico debía ser centrarnos en el significado, centrarnos en el sentido. 01:23:40

¿Qué quiere decir que yo multiplique algo por 5? ¿Qué quiere decir que sume, que duplique, que le reste? 01:23:57

¿Cómo varía la expresión algebraica que va aquí al lado? 01:24:04

Porque yo sumo 1, después multiplico por 5, 01:24:07

y ese 5 ya no multiplica el número, multiplica todo el conglomerado. 01:24:10

¿Cómo lo pongo? Necesito un paréntesis. 01:24:14

¿Cómo lo escribo? 01:24:16

¿Qué pasa si ahora multiplico por 2? 01:24:18

¿Qué es lo que tengo que multiplicar por 2? 01:24:19

Porque todo esto, cuando uno implica una manipulación de expresiones algebraicas, 01:24:22

es que no es trivial. 01:24:28

y saber cuando llegas al final 01:24:29

cuando llegas al final 01:24:33

cómo sé yo 01:24:34

cómo sé yo 01:24:36

el número que tú pensaste 01:24:38

qué relación hay entre lo que hay al final 01:24:40

y el número que tú pensaste 01:24:44

eso bueno, lo hacéis vosotros 01:24:46

que no 01:24:47

no nos vamos a poner a hacer 01:24:48

este es otro 01:24:51

ya ni lo traduje pero me gustó mucho 01:24:54

este me gusta mucho y este sí que os lo dejo 01:24:56

para que 01:24:58

Para que penséis 01:24:59

Un número de dos cifras es especial 01:25:03

Especial, se llama 01:25:06

Si sumo la suma de las cifras con el producto de sus cifras 01:25:09

Y me da el número original 01:25:13

¿Vale? 01:25:15

Por ejemplo, 24 no es especial 01:25:20

Porque la suma es 6 y el producto es 8 01:25:22

Y si sumo 6 y 8 no me da 24 01:25:25

¿Vale? 01:25:27

Pues habrá números especiales 01:25:29

ellos prueban y hay números especiales 01:25:31

claro que los hay, entonces ¿cómo hacen? 01:25:33

se ponen a probar, yo pruebo del 1 al 20 01:25:35

yo del 20 al 40 01:25:37

¿y cómo podemos saber 01:25:39

si habrá más números especiales o no los hay? 01:25:41

el álgebra nos puede ayudar 01:25:45

entonces son actividades 01:25:46

ya digo, muy ricas 01:25:49

y de comprensión 01:25:50

porque antes de empezar con cosas 01:25:52

hay que trabajar muchísimo 01:25:55

la comprensión 01:25:57

esta es otra actividad 01:25:58

que tiene que ver con una 01:26:02

es parecida a la que 01:26:04

os puso José en su primer día 01:26:06

de una tabla 01:26:09

de que relación sería 01:26:10

entre los números de una tabla 01:26:12

y este tiene que ver con cruces 01:26:13

yo hago una parrilla 01:26:15

estas cuadrículas pueden ser 01:26:17

de las dimensiones que os dé la gana 01:26:20

estas son de 7 por 01:26:22

15 01:26:25

me parece 01:26:27

no, 7 por 12 01:26:27

no, 13, 7 por 13 01:26:30

y este es de 8 01:26:31

por 13 también, bueno 01:26:33

pero da igual, como lo sabéis 01:26:35

y hacéis una cruz, la cruz, cualquier cruz 01:26:37

bueno, ¿qué pasa 01:26:40

si yo sumo 01:26:41

norte, sur y sumo este y oeste? 01:26:43

pues 01:26:47

siempre va a dar lo mismo 01:26:47

y eso porque pasa 01:26:49

eso porque pasa 01:26:51

¿por qué no depende 01:26:56

de cómo sea la cuadrícula 01:26:57

¿por qué no depende 01:27:00

ni de cómo haga la cruz? 01:27:02

es decir, porque si hago la cruz 01:27:05

un brazo más largo que el otro 01:27:06

o este más largo y este más largo 01:27:08

también me sale 01:27:09

pues 01:27:10

hay algo 01:27:13

fundamental en los procesos matemáticos 01:27:16

que es el 01:27:18

razonamiento y la prueba 01:27:20

es decir, yo puedo 01:27:22

probar, yo formulo 01:27:23

una conjetura, da lo mismo 01:27:26

bueno, da lo mismo 01:27:28

siempre va a dar lo mismo 01:27:29

¿por qué va a dar lo mismo? 01:27:32

y otra cosa es 01:27:34

demostrar, para demostrar 01:27:35

yo necesito el ángel 01:27:38

para que yo 01:27:39

para explicar 01:27:41

por qué eso es así, yo necesito el ángel 01:27:43

y el ángel 01:27:47

ahora me dice, pues que si este número es 01:27:48

algo, pues este va a ser 01:27:50

eso más, no sé cuántos 01:27:52

múltiplos de 8, y esto va a ser 01:27:54

bueno, pues ya lo 01:27:56

y esto va a estar 01:27:58

exactamente en el medio de estos dos 01:28:00

bueno, hay 01:28:02

formas de que ellos vean 01:28:04

con 01:28:06

es fundamental 01:28:07

que tengan bien 01:28:10

trabajada la aritmética 01:28:12

porque 01:28:13

el ácido viene siendo como la extensión 01:28:15

de la aritmética, y si yo 01:28:18

no tengo bien 01:28:20

trabajado a la aritmética, y bien trabajado 01:28:22

a la aritmética no hablo de que sean 01:28:24

de que hagan cuentas con soltura 01:28:26

sino de que entiendan 01:28:28

las operaciones, lo que hablaba 01:28:30

José Luis de el sentido de las 01:28:32

operaciones, o sea, no se trata 01:28:34

tanto de ser capaz 01:28:37

de 01:28:38

hacer cuentas muy rápido 01:28:40

con mucha soltura, como de 01:28:43

entender que cada vez que yo 01:28:44

paso de una fila a la siguiente 01:28:47

estoy sumando 8, entonces si no 01:28:48

Si me muevo en la misma columna, voy a sumar múltiplos de 8 siempre. 01:28:50

Entonces, bueno, esa es la pirámide numérica. 01:28:58

Esta es una actividad que se basa en un problema de Enrich, que es este. 01:29:02

Y el problema es una pirámide numérica en la que se parte de un número, 01:29:13

los cuatro de abajo siempre van de uno en uno, 01:29:16

y a partir de ahí cada uno se construye sumando los dos que tiene debajo. 01:29:19

Entonces, en un trabajo que hicimos, en un recurso que hicimos para la Ciudad de Galicia 01:29:27

con unos compañeros del primero de la ESU, me tocó trabajar en la parte de álgebra 01:29:31

y se nos ocurrió, bueno, el contexto era una fiesta de un pueblo 01:29:36

y en la tómbola había unas tarjetas y se nos ocurrió, eran tarjetas en las que 01:29:41

siguiendo esta propiedad, a ti te enseñaban 01:29:47

un número y tenías que adivinar cuál era el que había 01:29:50

arriba, ¿vale? 01:29:52

tú eras un rasca y ganas, tú solo podías rascar uno 01:29:56

rascabas uno y tal, y no podías 01:29:58

entonces era, pues 01:30:00

tendrías que 01:30:01

¿cómo sé yo todos los números que hay aquí 01:30:03

si sé este? 01:30:06

ya digo, la propiedad 01:30:10

es que los cuatro de abajo van de uno en uno 01:30:12

es decir, este más uno, este más uno 01:30:14

este más uno, ¿vale? 01:30:16

si me dan el de arriba puedo saber todos los que hay abajo 01:30:18

¿Qué relación hay entre este y aquel de allí? 01:30:21

Y después, pues lo más complicado es, ¿cuánto valdrá X en esta tarjeta? 01:30:24

Es decir, son contextos en los que uno puede manipular muchas expresiones algebraicas aquí. 01:30:32

Porque yo puedo decir, bueno, si esto es 2X menos 1, me tienes que escribir todas las que hay aquí. 01:30:37

Y eso implica sumar, ¿vale? 01:30:44

Sumar, porque aquí, si van de 1 en 1, aquí sería 2X menos 2, aquí 2X, aquí 2X más 1, 01:30:47

entonces aquí hay 4X no sé qué, esto va subiendo y al final llegas a una expresión algebraica que tiene que dar 44 01:30:52

y da una ecuación que tienes que resolver y cuánto tiene que valer la X para que eso sea 44, etcétera, etcétera, etcétera. 01:31:02

Es decir, son actividades con problemas que son situaciones diferentes, contextos en los que el alumnado tiene que razonar, 01:31:08

tiene que relacionar, tiene que seguir procesos 01:31:19

un sistema, es decir 01:31:21

yo te doy este y ¿qué es lo primero que piensas? 01:31:23

o sea, yo estoy aquí, a mí me dan el menos 7 01:31:25

¿y en qué dos 01:31:27

son los primeros que querría 01:31:29

calcular? 01:31:31

pues a lo mejor estos dos 01:31:33

habrá dos números consecutivos que los humanos 01:31:34

me den menos 7, porque si ya se encuentran 01:31:38

estos dos, ya a partir de ahí 01:31:41

ya es muy fácil seguir para arriba 01:31:43

¿vale? 01:31:44

entonces, pues 01:31:47

un poco 01:31:49

trabajo, ya digo, trabajo 01:31:50

estas pirámides son fantásticas también para trabajar 01:31:53

números, o sea, si no 01:31:55

la tradición algebra va a trabajar números, números enteros 01:31:57

y se pueden hacer 01:32:00

actividades muy chulas 01:32:01

con pirámides 01:32:03

y bueno 01:32:04

un material que 01:32:06

que me parece 01:32:09

fantástico para trabajar 01:32:11

para empezar a trabajar las expresiones algebraicas 01:32:13

son las baldosas algebraicas 01:32:15

las baldosas algebraicas 01:32:18

El otro día os enseñó José Luis las fichas para trabajar con enteros. 01:32:19

Las baldosas algebraicas vienen a ser algo muy similar. 01:32:24

Yo no las tengo en físico, pero bueno, se pueden hacer en físico. 01:32:27

Entonces os voy a enseñar la versión digital, que la hay en Polipad. 01:32:32

¿Se ve? Sí. 01:32:39

Bueno, aquí aparecen baldosas algebraicas 01:32:40

Las baldosas algebraicas tenemos algo que representa el 1 01:32:49

Algo que representa la X 01:32:52

Y algo que representa el X cuadrado 01:32:55

Por ejemplo, lo que tengo aquí ahora sería X cuadrado más X más 1 01:32:59

Entonces, si yo quiero, por ejemplo, sumar polinomios 01:33:04

Pues si tengo 3x cuadrado más 2x más 1 01:33:10

Y lo quiero sumar con menos 2x cuadrado más x 01:33:19

Estas baldosas, claro, lo digital es lo que tiene 01:33:26

Pero si trabajasteis antes con las fichas, con los números enteros 01:33:34

veréis que 01:33:38

pasa esto 01:33:39

y el 0 se me va 01:33:41

¿vale? 01:33:43

es decir, eso se me va 01:33:46

y esto también se me va 01:33:48

y entonces me queda 01:33:50

x cuadrado 01:33:55

más 3x más 1 01:33:57

es una forma de visualizar 01:33:58

es una herramienta 01:34:01

fantástica, que también sirve para las ecuaciones 01:34:03

para resolver ecuaciones de primer grado 01:34:06

es muy muy 01:34:08

efectiva, para empezar 01:34:09

ya digo, yo creo que 01:34:11

nuestro problema 01:34:13

muchas veces es que 01:34:15

conceptos que son complejos 01:34:17

el álgebra es compleja 01:34:19

conceptualmente compleja, no digo que sea fácil 01:34:21

que no sea fácil 01:34:23

en la parte procedimental, pero la parte conceptual 01:34:24

es compleja, porque tú trabajas con 01:34:27

elementos abstractos y no es 01:34:29

sencillo 01:34:31

a veces nos paramos poco en la parte conceptual 01:34:32

y nos vamos como locos a la 01:34:35

parte procedimental. 01:34:37

Entonces, al 01:34:40

principio, para que alguien lo entienda, 01:34:41

tiene que hacerlo 01:34:44

con cantidades sencillas, 01:34:44

con un 01:34:48

soporte visual o 01:34:49

manipulativo o gráfico 01:34:51

pictórico que me ayude 01:34:53

a conectar 01:34:55

todo esto nuevo y abstracto 01:34:57

con cosas concretas, como 01:34:59

en este caso pueden ser los 01:35:01

bueno, no, aquí 01:35:04

le digo que no hay 01:35:06

bueno, ya ves que puedes dividir 01:35:08

puedes, si quiero medio x cuadrado 01:35:11

le doy aquí, tengo x cuadrado 01:35:13

partido por dos 01:35:15

lo puedo unir 01:35:15

quiero decir, hay muchas 01:35:17

el trabajo es muy rico 01:35:21

y lo que permite, que a mí me gusta 01:35:24

especialmente 01:35:27

es el trabajo en la multiplicación 01:35:28

o sea, yo si hay algo 01:35:31

que creo que tradicionalmente 01:35:34

trabajamos mal 01:35:36

es el tema 01:35:37

de las expresiones cuadráticas 01:35:40

¿vale? 01:35:42

y la multiplicación de binomios 01:35:44

ya no entro en más cosas 01:35:46

porque esto tiene una limitación 01:35:48

que limita 01:35:50

hasta trabajar con x cuadrado 01:35:51

¿vale? hasta grado 2 01:35:54

entonces si yo quiero multiplicar 01:35:56

2x más 3 01:35:58

y Julio perro yo este 01:36:00

tendría que hacerlo uno a uno 01:36:09

por menos x cuadrado menos uno 01:36:10

digo menos x menos uno 01:36:13

si yo multiplico 01:36:18

al multiplicar estos dos me da esto 01:36:19

al multiplicar menos x 01:36:22

estos dos me da esto 01:36:26

me lo voy a separar así un poquito 01:36:27

para que me cuente el daño 01:36:29

bueno, lo ves 01:36:30

al multiplicar por uno 01:36:32

se me repite lo mismo 01:36:36

y con el 1, con el menos 1 01:36:37

aquí me daría menos x 01:36:47

y el menos 1 01:36:48

sería también 01:37:04

copiarlo 01:37:06

y al final del resultado 01:37:06

diréis ya Julio, pero es que esto es un lío 01:37:09

porque te lleva mucho tiempo, ya 01:37:15

me lleva tiempo, pero 01:37:16

eso de multiplicamos todos por todos 01:37:18

y la propiedad distributiva 01:37:21

¿vale? y la propiedad distributiva 01:37:23

se ve muy claramente 01:37:25

¿vale? que yo multiplico x por 2x 01:37:27

me salen 2x cuadrado, bueno menos en este caso con el signo, cuando multiplico menos x por 3 me 01:37:30

salen menos 3x, cuando multiplico 2x por menos 1 me salen menos 2x y después puedo ver, puedo ver 01:37:36

cuando yo tengo el polinomio final de menos 2x cuadrado menos 5x menos 3, de dónde sale el menos 01:37:45

5? ¿De dónde sale el menos 2 01:37:54

x cuadrado? ¿Y de dónde sale 01:37:55

el menos 3? 01:37:57

Y eso, nuestro 01:38:00

hermano no lo ve muchas veces. 01:38:01

Para explicar una identidad notable esto es 01:38:03

fundamental. 01:38:05

Pones x más 2 y te va a salir 01:38:07

x cuadrado, 01:38:10

y te sale dos veces x por 2. 01:38:11

O sea, es, si tú quieres 01:38:14

hacer pues 01:38:16

x menos 2 al cuadrado, 01:38:17

lo que tienes 01:38:19

que hacer es multiplicar x menos 01:38:21

2 por x menos 2. Bueno, yo soy poco hábil con esto. Ellos son más hábiles. Y entonces, 01:38:23

¿el resultado cuál es? Pues x por x es x cuadrado. Ahora vendrían, bueno, negativo, 01:38:36

vendrían aquí dos veces la x, sí, y en el horizontal vendrían otras dos veces la x. 01:38:44

Por eso es el doble del primero por el segundo. 01:38:57

Y después, el cuadrado del otro. 01:39:00

Esta representación gráfica de las expresiones algebraicas 01:39:12

es muy útil para que ellos entiendan el porqué de propiedades 01:39:16

–esto lo voy a separar un poco para que se vea que son bruscos– 01:39:21

el porqué de propiedades que se memorizan sin ningún motivo. 01:39:24

Es decir, cuadrado, el cuadrado del otro, y aquí sale el doble. 01:39:31

Este es un menos 2, menos 2, el doble de menos 2 es menos 4. 01:39:38

Estas bandosas algebraicas que os las puse aquí, pues es para que, bueno, un poco para que conozcáis el... 01:39:45

Voy a volver a la presentación. 01:39:54

y esta es otra actividad en la que se trabaja diferentes formas de representación. 01:39:56

Yo, para mí, uno de los problemas que tiene el alumnado con el álgebra 01:40:07

es la falta de conexión con todo lo que sabe de antes. 01:40:11

Entonces, porque parece que cuando algo se puede representar 01:40:16

con una expresión algebraica, todo lo demás sobra. 01:40:19

No los dibujos, no los gráficos, no. 01:40:24

Vamos a la expresión algebraica, que es lo que da juego. 01:40:28

Y a lo mejor es lo más riguroso y lo más formal y lo más limpio matemáticamente hablando, 01:40:33

o es como el producto final, una función, cuando sé la expresión algebraica ya lo sé todo. 01:40:41

Pero nosotros estamos formando personas, no estamos luchando por la pureza de la matemática. 01:40:48

Entonces, cuando nosotros tenemos unas tarjetas como estas, con frases, y tenemos otras tarjetas como estas, con expresiones algebraicas, esto se puede hacer un relaciona, se puede hacer que a partir de una tenga las otras, se puede hacer un juego de que uno tiene una y tienen que hacer parejas. 01:40:55

Bueno, no podemos olvidar nunca que aparte del álgebra siempre está esto, que esto viene a ser las baldosas que os acabo de enseñar, es escribir expresiones hasta cuadráticas con áreas y las tablas, ¿vale? 01:41:16

Si nosotros queremos que ellos comprendan bien el significado de las expresiones algebraicas, tenemos que darle nosotros significado, tenemos que darle sentido y tenemos que, de algún modo, trabajar siempre con más de una representación, no sólo con el álgebra. 01:41:35

Ya llegará el momento de pasar solo a la álgebra, pero yo creo que a veces no somos conscientes del salto conceptual que supone, casi siempre en segundo de la ESO, pasar de la nada al todo en la álgebra, y la álgebra es algo durillo y difícil, y muy abstracto. 01:41:54

Bueno, yo no sé si, porque los siguientes modelos matemáticos, no sé si hay que dejar turno para preguntas. 01:42:13

pues si tienen preguntas 01:42:21

si alguien quiere 01:42:25

hacer algún tipo de pregunta 01:42:25

os sigo, si no os sigo hasta las 7 01:42:28

me preguntarán a las 7, yo no tengo prisa 01:42:31

no hay preguntas 01:42:33

vale, pues entonces 01:42:37

sigo 01:42:39

bueno, si hay preguntas me paráis 01:42:40

bueno, la siguiente 01:42:43

gran idea era lo del modelo matemático 01:42:45

los modelos matemáticos está claro 01:42:47

que todos sabemos, lo estamos viendo 01:42:48

yo lo veo todos los días aquí 01:42:51

los modelos matemáticos que estudié 01:42:53

de la climatología 01:42:54

de las borrascas 01:42:56

entrando desactivado de mi casa 01:42:58

una tras otra 01:43:00

pero 01:43:01

un alumno del primero y segundo de la ESO 01:43:04

no 01:43:06

tiene 01:43:07

herramienta matemática 01:43:08

ni conocimiento matemático para 01:43:11

crear modelos matemáticos complejos 01:43:13

pero si tiene capacidad para crear 01:43:16

modelos matemáticos simples 01:43:18

simples como la proporcional 01:43:19

proporcionales 01:43:22

directa inversión de proporciones lineales 01:43:23

algún cuadrático 01:43:26

alguno que a lo mejor no es tan obvio 01:43:27

como esos 01:43:29

por ejemplo, este es un 01:43:31

una actividad 01:43:33

de unos libros del Instituto Freud 01:43:36

en tal tenéis aquí el 01:43:37

el enlace 01:43:39

y si vais al enlace, aunque veáis que está 01:43:41

en inglés, cuando entráis hay una 01:43:43

versión en español 01:43:45

cuando pincháis hay la versión en español 01:43:46

y entonces hacemos 01:43:49

hacemos actividades con 01:43:51

con patrones de ladrillos 01:43:53

pues queremos, en un jardín tenemos un 01:43:55

podemos poner filas de ladrillos 01:43:57

en el fondo del jardín, ¿vale? 01:43:59

separando las plantas del camino 01:44:01

entonces hay modelos diferentes 01:44:02

este es modelo que está de pie y este es el que está 01:44:04

acostado, ¿vale? 01:44:07

entonces, ¿cómo codificarías esto? 01:44:09

pues este es P-A, P-A, P-A, P-A 01:44:11

este sin embargo ya sería 01:44:13

P-A-P 01:44:15

o A-P-P, A-P 01:44:16

bueno, hay que mirar 01:44:19

cómo es el que se repite, ¿no? 01:44:20

Donde empieza y donde acaba, ¿vale? 01:44:23

Entonces, posiblemente sería de aquí a aquí, ¿no? 01:44:27

De aquí a aquí el mínimo. 01:44:30

Desde aquí hasta aquí, desde aquí hasta aquí otro, 01:44:32

desde aquí hasta aquí otro. 01:44:34

Entonces, ¿y cómo modelizamos esto? 01:44:35

Pues si cada ladrillo tiene esta dimensión, 01:44:38

¿cuántos necesito para 10 metros de fila? 01:44:41

¿Cuánto mide esto? ¿Cuánto mide cada uno? 01:44:43

y da igual 01:44:46

necesito los mismos si son 01:44:48

de esto que de esto 01:44:50

y si de repente 01:44:51

en esta fila tengo 01:44:54

este, decido 01:44:56

cambiar 01:44:58

decido cambiar los que están de pie 01:44:58

acostarnos y los que están acostados ponernos de pie 01:45:01

porque soy así un caprichoso 01:45:04

y me da por ahí 01:45:06

¿cómo va a ir la longitud? 01:45:07

¿cómo crece? ¿cómo decrece? 01:45:10

eso es modelizar 01:45:11

una situación 01:45:13

eso es hacer un modelo 01:45:14

matemático que explica 01:45:16

una situación concreta 01:45:18

hay muchos 01:45:21

ejemplos que nuestro 01:45:24

alumnado 01:45:27

puede modelar 01:45:27

perfectamente con las matemáticas que sabe 01:45:31

no es necesario 01:45:33

saber derivar 01:45:35

ni calcular los máximos 01:45:38

y los puntos de inflexión para hacer un modelo 01:45:41

matemático simple de algo 01:45:43

este del que os ponía 01:45:44

al principio 01:45:47

de grados 01:45:48

Celsius 01:45:51

grados Fahrenheit, como se pasa de uno a otro 01:45:52

si tenéis 01:45:55

familia que vive 01:45:57

fuera del sistema 01:45:58

internacional de medidas 01:46:01

veréis que 01:46:03

allí las unidades son distintas 01:46:05

entonces, ¿qué pasa? 01:46:07

cuando sube aquí 10 grados la temperatura 01:46:09

En su termómetro, ¿cuánto sube? Hay una fórmula que permite pasar de uno a otro. Porque ellos después van a ver en algunas materias muchas fórmulas, pero nunca han creado una fórmula ellos. 01:46:11

y ellos pueden ser 01:46:27

capaces de construir una fórmula 01:46:29

solos, hombre, solos 01:46:31

con alguna ayuda, los profesores estamos 01:46:32

parados, ¿no? pero 01:46:35

una fórmula que permita 01:46:36

saber si yo tengo tantos 01:46:38

grados 01:46:41

Fahrenheit, ¿cuántos grados 01:46:41

centígrados son? 01:46:45

eso 01:46:48

hay un factor de conversión, pero el factor de conversión 01:46:48

¿qué implica hacer una cuentita? 01:46:51

porque no es proporcional, que hay ahí un 01:46:52

ellos cero, no coinciden 01:46:54

los ceros. Entonces, bueno, pues hay 01:46:57

una pequeña... 01:46:59

Entonces tienen que mirar, ¿vale? 01:47:01

Tienen que mirar, que ahí hay una 01:47:02

constante que hay que sumar. 01:47:05

Y eso es un 01:47:07

trabajo 01:47:08

muy reconfortante, 01:47:09

porque cuando ellos llegan a la fórmula 01:47:13

tienen un objetivo. 01:47:14

No es 01:47:17

me pongo aquí a hacer cuentas a lo loco. 01:47:18

Ni dibujame la gráfica 01:47:21

de... No, no. Es 01:47:23

tenemos una situación y tenemos un objetivo 01:47:24

nuestro objetivo es encontrar esa fórmula 01:47:27

esto 01:47:29

es una actividad que yo puse este año 01:47:30

en segundo de la ESO 01:47:32

y tiene que ver con el consumo 01:47:34

de un coche 01:47:37

era una actividad 01:47:37

de proporcionalidad 01:47:41

no era de álgebra 01:47:42

lo trabajamos antes de la álgebra 01:47:44

pero resulta 01:47:46

que 01:47:49

yo tengo una hija que vive 01:47:49

en Estados Unidos y cuando 01:47:53

doy allí, alquilo un coche, el consumo 01:47:54

el consumo del coche en Estados Unidos 01:47:56

es en galón 01:47:58

en millas por galón 01:48:00

no es en 01:48:01

litros por, no es 01:48:04

volumen por distancia 01:48:06

¿vale? sino que es 01:48:08

distancia por volumen 01:48:10

¿vale? 01:48:12

entonces, ¿cómo podemos 01:48:16

pasar de uno a 01:48:18

otro? pues con mis alumnos 01:48:20

cogimos un coche, un modelo de coche 01:48:22

concreto 01:48:24

un modelo de coche concreto 01:48:24

y entramos en un concesionario 01:48:27

de España y ponía en su ficha técnica 01:48:29

cuál era el consumo 01:48:31

y en uno de Estados Unidos 01:48:32

vimos su ficha técnica 01:48:34

y vimos 01:48:37

el consumo 01:48:38

y no coincidía 01:48:40

o sea, nuestra sorpresa fue 01:48:42

cuando 01:48:46

ambos consumos 01:48:48

no eran iguales 01:48:52

O sea, nos decimos la traducción de uno a otro y, sin embargo, pues el resultado nos salía distinto. 01:48:53

Una cosa que nos llamó bastante la atención. 01:49:01

Pero bueno, digo que hay situaciones en las que nosotros podemos enfrentar a los alumnos 01:49:05

a que modelen matemáticamente una realidad. 01:49:09

El de las camisetas. El de las camisetas me gusta mucho. 01:49:15

y es 01:49:17

tenemos dos 01:49:20

dos impresoras 01:49:22

dos imprentas que imprimen camisetas 01:49:25

para mi equipo 01:49:27

unas son 21 euros por camiseta 01:49:27

y otra tengo que pagar 01:49:30

45 euros por el 01:49:32

que me hagan el diseño y después me cobran a 18 euros 01:49:34

cada camiseta 01:49:37

¿cuál me sale mejor? 01:49:38

¿cuál me sale mejor? 01:49:41

la respuesta del gallego, ya lo sé 01:49:47

depende, pero ellos tienen que ver 01:49:49

de qué depende 01:49:51

siempre hay una que es más barata que la otra 01:49:52

puede haber algún momento en la que alguna 01:49:56

en que da igual a cuál vayamos 01:50:00

que vamos a tener que pagar el mismo precio 01:50:03

esto cuando en el boletín de la comunidad 01:50:06

donde pone los objetivos y los contenidos 01:50:16

nos habla de pendiente de una recta 01:50:18

la pendiente de una recta es esto 01:50:20

Es dibujar esto. 01:50:24

O sea, ser capaz de hacer una modelización de esta situación. 01:50:27

¿De qué depende que una siempre sea, o llegue un momento en que sea más cara que la otra? 01:50:31

Porque tienen pendiente diferente. 01:50:36

Porque yo los dibujo. 01:50:39

Y aquí la representación es fundamental. 01:50:41

Y yo los dibujo y veo que una línea va más inclinada que la otra. 01:50:44

Entonces, tarde o temprano la va a pillar. 01:50:50

y cuando hablamos de pendiente y ordenada en el origen 01:50:54

la ordenada en el origen son los 45 euros que yo tengo aquí 01:51:00

es decir, en lugar de que esos conceptos sean elementos abstractos 01:51:04

de una ecuación que yo me invento 01:51:10

que no tiene ningún tipo de sentido 01:51:12

pueden ser números y valores que tienen un significado concreto 01:51:15

porque la ordenada en el origen es de dónde partimos 01:51:19

¿de dónde partimos? 01:51:23

y yo a esta gente tengo que darle 01:51:25

45 euros sí o sí 01:51:27

y aquí no le tengo que dar nada 01:51:29

pero después las camisetas son más caras 01:51:31

¿vale? 01:51:33

y de esta actividad me gusta mucho 01:51:35

la última pregunta que es una 01:51:37

ampliación 01:51:39

queremos montar otra imprenta 01:51:40

de forma que nunca 01:51:43

sea la más barata ni la más cara 01:51:45

¿cómo podemos hacer? 01:51:47

¿qué tenemos que hacer para que 01:51:54

esa camiseta, para que esta imprenta 01:51:56

nunca sea la más barata 01:51:58

ni la más cara 01:52:00

pues esos conceptos 01:52:01

que muchas veces se trabajan de manera 01:52:06

completamente desconectada 01:52:08

y abstracta 01:52:10

dependiente de una recta, ordenada 01:52:11

en el origen, punto de corte 01:52:14

etcétera, etcétera 01:52:16

tienen 01:52:18

son muy fáciles 01:52:19

de contextualizar 01:52:21

y evidentemente son muchísimo más 01:52:23

fáciles de entender 01:52:26

si uno los trabaja 01:52:27

en contexto, que si los trabaja 01:52:30

en 01:52:32

un 01:52:33

como algo completamente abstracto 01:52:35

¿vale? porque 01:52:38

evidentemente la matemática 01:52:40

es una ciencia abstracta, pero nunca 01:52:42

hay que partir de que nosotros 01:52:44

estamos 01:52:46

educando a personas 01:52:47

que no son matemáticos, no van a trabajar 01:52:49

a lo mejor algún día llegan a trabajar 01:52:52

en dimensión n y en 01:52:54

el cuerpo de los cuaternios 01:52:56

pero no, pero a día de hoy 01:52:58

están en una realidad muy próxima 01:53:00

y tenemos que conectar lo que 01:53:02

nosotros enseñamos 01:53:04

con situaciones, elementos 01:53:05

objetos 01:53:08

son cercanos a ellos 01:53:09

hay apilando 01:53:12

cosas, vasos, tazas 01:53:16

macetas 01:53:18

medimos eso 01:53:19

¿cómo sabemos lo que medirá una torre 01:53:21

de 20 01:53:24

tazas de estas? 01:53:25

¿Cómo sabemos a dónde llegarán 10 sillas de estas? 01:53:28

Pues es una expresión algebraica, es una modelización matemática sencilla. 01:53:33

¿Qué es constante? ¿Qué es variable? 01:53:38

Hay algo que nunca cambia. 01:53:42

En esta torre hay una altura que no cambia nunca, y es la de la primera taza. 01:53:45

Y todo lo demás depende de las tazas que ponga. 01:53:50

Entonces, eso es variable. 01:53:55

Y yo creo que hay que intentar que el alumnado siempre encuentre sentido en las actividades que hace, que le vea sentido a los conceptos matemáticos, que los relacione, que pasaran a que no sea un salto de fe. 01:53:56

bueno, yo voy a hacer esto así porque me dijeron 01:54:17

que 01:54:21

se hace así pero no sé por qué 01:54:21

vale, a mí no, me dijeron 01:54:25

que era esto por X 01:54:26

más lo que, bueno, y ya, Y 01:54:29

y X 01:54:30

más 2X es 3X 01:54:32

y X que no sé 01:54:34

es una letra, ¿qué pone el profesor? 01:54:36

pues yo 01:54:39

creo que tendríamos que 01:54:40

que ir 01:54:42

o sea, que pensar sobre todo y reflexionar 01:54:44

Ya digo, yo sé que aquí hay una serie de actividades, muchas, alguna os servirá, otra no os servirá, alguna la aprovecharéis, otra la modificaréis, pero yo no vengo a vender nada. 01:54:46

Estas actividades, ya os digo, no son mías, son actividades que yo encuentro, que yo colecciono, que guardo, que uso en mi clase, que modifico, que a veces amplío, a veces recorto, 01:54:56

corto, pero que creo que hacen que el aprendizaje de mi alumnado sea más significativo 01:55:09

y que desarrollen lo que yo creo que es lo que tienen que desarrollar, 01:55:17

que es la competencia matemática, el razonamiento, que resuelvan problemas, 01:55:21

que usen representaciones diferentes, que conecten, que comuniquen, etcétera, etcétera. 01:55:25

Y bueno, creo que ya voy a dejar de compartir. 01:55:31

Si me queréis hacer algunas preguntas, pues a vuestra disposición quedo. Espero que no haya sido mucho tostón y que, porque ya digo, lo ideal aquí es que esto sirva, aunque sea para saber que hay otras cosas, para ver que se puede hacer. 01:55:34

Pero Manuel tiene una mano levantada, me parece. 01:55:58

Manuel, te quería preguntar otra cosa, que bueno, es un poco... 01:56:03

Yo creo que también se la podía haber hecho a José Luis. 01:56:07

¿Cuál es tu línea de trabajo en la programación de Aula? 01:56:10

O sea, ¿gestionas todo a base de actividades de estas que nos has presentado? 01:56:14

¿O te apoyas en estas actividades para consolidar cosas o primero...? 01:56:18

Yo aquí hay, mira, yo tengo muy claro que cuando yo explico algo nuevo, siempre, siempre, siempre lo primero que pongo es un problema. 01:56:28

O sea, yo voy a explicar un concepto, una propiedad o algo en matemáticas nuevo, lo primero que hago es poner un problema. 01:56:40

Un problema en el que aparece eso. 01:56:46

¿Vale? 01:56:49

O sea, no llego y definición, esto es así. 01:56:49

No, eso no lo hago nunca. 01:56:51

Nunca. 01:56:54

¿Vale? 01:56:55

por ejemplo, yo pondría el problema ese de las camisetas 01:56:55

de béisbol y a partir de ahí diría 01:56:58

mira, y ellos si lo dibujan 01:57:00

ven que llega un momento en que se van a 01:57:02

porque llega un momento 01:57:04

una tiene más inclinación 01:57:06

y parte más abajo y la otra parte más arriba 01:57:08

que tiene menos inclinación, tarde o temprano 01:57:10

se tocan 01:57:12

y yo después les digo lo que es la pendiente de la recta 01:57:13

en matemáticas esta inclinación 01:57:17

lo que sube 01:57:19

lo rápido que sube 01:57:23

le llamamos pendiente 01:57:25

y se calcula así 01:57:26

evidentemente en algún momento 01:57:27

también hacemos actividades 01:57:31

de 01:57:33

de trabajo 01:57:34

de procedimiento 01:57:36

pero yo intento que sean siempre 01:57:39

que siempre tengan que trabajar 01:57:41

por ejemplo, si tú pones una pirámide 01:57:43

de esas, en las que pones un par de expresiones algebraicas 01:57:45

y tienen que llegar arriba 01:57:47

y después ya veremos el próximo día 01:57:49

cuando se hable de ecuaciones 01:57:51

como otras actividades para trabajar 01:57:52

con el producto 01:57:55

de binomios y de trinomios 01:57:57

creo que son actividades más 01:57:59

que la práctica y el procedimiento 01:58:01

está dentro en un contexto 01:58:06

de resolución de problemas, de razonar 01:58:07

de buscar algo, de buscar un objetivo 01:58:09

yo esta 01:58:11

la ficha que puse al principio 01:58:12

yo en mi clase no la pongo 01:58:15

en mi clase no le digo a un alumno 01:58:19

definición de monomio, yo no le digo eso 01:58:21

pero al final 01:58:24

no defines lo que es un monomio 01:58:28

al final les cuento lo que es 01:58:29

pero es que a mi no me importa 01:58:31

cuando una expresión algebraica 01:58:33

es solo un 01:58:36

tiene una pieza, se llama monomio 01:58:37

tiene dos binomios, tiene tres trinomios 01:58:39

tiene muchos polinomios, pero básicamente 01:58:41

a mi no me 01:58:44

mi objetivo 01:58:46

no es ese 01:58:48

mi objetivo es la comprensión 01:58:48

ellos lo manejen 01:58:52

Y ellos saben hacer, si ellos son capaces de modelar esas situaciones, me da igual que sepan que al resultado que les haría una expresión algebraica, 01:58:53

al final se le llama binomio o no se le llama binomio. 01:59:03

Entiendo que al final ellos tienen que saber, lo cual que saben es que al numerador se le llama numerador y al denominador se le llama denominador. 01:59:08

Pero los nombres son importantes, pero lo realmente importante es que ellos adquieran el concepto y comprendan el concepto. 01:59:15

¿sabes? 01:59:22

yo no llego y digo 01:59:24

hola José Luis, grado de un 01:59:25

monomio es no sé qué 01:59:28

y empiezo a poner monomios al tuntún 01:59:30

¿para qué? para que hagan 01:59:32

y digan, no, el grado es 01:59:33

X7Y3Z8 01:59:35

grado 18 01:59:37

no sé 01:59:39

yo soy profesor de matemáticas, no creo haber 01:59:41

trabajado con nada de grado 18 01:59:44

en mi vida, hice la licenciatura 01:59:46

de matemáticas de 5 años 01:59:47

en mi vida, a lo mejor 01:59:49

a lo mejor cuando me enseñaron eso 01:59:51

entonces 01:59:53

entiendo un poco lo que dices 01:59:53

no quiero monopolizar 01:59:57

esto y ya 01:59:59

no, no, pero bueno 02:00:00

digo que no veo más manos levantadas 02:00:01

pero al final le tienes que hablar 02:00:07

del grado de un monomio 02:00:11

de un polinomio 02:00:13

y quiero decir 02:00:14

entiendo 02:00:16

que para presentar 02:00:19

para presentar cualquier contenido nuevo 02:00:21

puedes utilizar 02:00:24

alguna de estas actividades 02:00:25

incluso para consolidar conocimientos 02:00:27

pero al final tienes que hablar 02:00:28

del vocabulario matemático 02:00:31

del lenguaje matemático 02:00:32

¿qué importancia tiene? 02:00:33

yo que veo de esto 02:00:37

que esto está muy bien 02:00:38

para la gente 02:00:41

buena 02:00:44

espabilada 02:00:45

en absoluto 02:00:46

eso 02:00:47

eso es un discurso 02:00:48

que a lo mejor 02:00:52

a alguien le cuela. 02:00:54

Pero yo llevo 37 años 02:00:55

dando clases. 02:00:56

Yo acabo de llegar a esto. 02:00:58

Claro. 02:00:59

Yo soy nuevo en esto. 02:00:59

Entonces, 02:01:01

yo, 02:01:02

mi experiencia, 02:01:02

y yo doy 02:01:04

20 horas de clase 02:01:05

a la semana. 02:01:06

Sí. 02:01:07

¿Vale? 02:01:07

O sea, 02:01:08

yo no soy una persona 02:01:08

que está en un altar 02:01:10

ni en un despacho 02:01:11

diciéndole a los demás 02:01:12

lo que hacen. 02:01:13

No, no. 02:01:14

Yo tengo 20 horas 02:01:14

de clase a la semana. 02:01:16

Y una tutoría, 02:01:17

además. 02:01:18

que son los 20 horas de clase de semana. 02:01:18

Y esto funciona, y funciona en clase. 02:01:21

Y es más, te digo, a un alumno que no es bueno en matemáticas, 02:01:25

tú le presentas la ficha que puso al principio y huye. 02:01:29

Se bloquea. 02:01:33

Porque ni lo intenta, de verdad. 02:01:35

O sea, ni lo intenta un alumno que no es bueno en matemáticas. 02:01:37

Empieza a ver X, Y, Z, exponentes de todos los colores, 02:01:42

y lo único que hace es bloquear, porque está viendo un montón de cosas, 02:01:46

Sin sentido. 02:01:48

Las actividades que yo puse, lo que ve es cosas que puede contar. 02:01:51

Las letras tienen un significado, tienen un sentido. 02:01:55

No son X, Y a lo loco. 02:01:59

¿Entiendes? 02:02:04

O sea, yo claro que resuelvo ecuaciones de segundo grado. 02:02:05

Claro que resuelven... 02:02:07

Bueno, yo digo, grado de un polinomio, sí. 02:02:09

Pero, ¿hasta dónde llegan los monomios y poliomios con los que trabaja nuestro alumnado en primer y segundo de la ESO? 02:02:13

¿Hasta dónde? 02:02:22

¿Con cuántas variables? 02:02:23

Vosotros que sois profesores de secundaria y bachillerato, decidme, ¿con cuántas variables trabajáis? 02:02:25

Porque la Z aparece en bachillerato. 02:02:30

Pero en bachillerato no hay dos variables. 02:02:34

bueno, es que no sé 02:02:37

yo me gustaría 02:02:40

no sé, a ver si tengo oportunidad 02:02:41

de hablar contigo, porque esto lleva 02:02:44

más tiempo 02:02:46

yo entenderlo, porque no lo termino de entender 02:02:47

ya te digo que soy nuevo, llevo poco tiempo 02:02:50

y entonces no lo termino 02:02:52

de entender 02:02:54

porque la inercia 02:02:55

es una cosa muy difícil de vencer 02:02:58

¿sabes? 02:03:00

y entonces la inercia es una cosa muy difícil 02:03:02

de vencer, yo cuando empecé a dar clase, empecé a dar clase 02:03:04

como me la dieron a mí 02:03:06

yo tenía en mi cabeza 02:03:07

la idea de un buen profesor 02:03:10

de matemáticas y dije, ah, fulanito 02:03:13

que a mí me gustó 02:03:14

claro, pero a mí me gustó, pero es que yo era un alumno 02:03:16

de 10 02:03:18

en el instituto yo llevaba 10 en matemáticas 02:03:19

siempre 02:03:22

pero en mi clase, con ese profesor 02:03:23

que a mí me gustaba tanto 02:03:26

llevábamos 10, 3 y suspendían 26 02:03:28

¿sabes? 02:03:30

y entonces nosotros, yo eso 02:03:33

sí que lo tengo muy claro 02:03:35

que mi objetivo es 02:03:37

que lleguen todos 02:03:39

y durante muchos años que se dio la clase así 02:03:41

y esto es estadística y son hechos 02:03:43

la asignatura que más suspendía la gente 02:03:45

en los institutos 02:03:48

eran las matemáticas, eso son hechos 02:03:49

no son opiniones 02:03:51

y cualquier encuesta de qué asignatura 02:03:53

te gusta menos 02:03:55

la campeona siempre era las matemáticas 02:03:57

pues igual no era un sistema tan bueno 02:04:00

porque esos son hechos 02:04:01

no es mi opinión 02:04:05

es que yo soy profesor de matemáticas, algo me gustará 02:04:07

quiero decir 02:04:09

pero claro, el problema no es que yo llegue 02:04:11

a profesor con ese sistema 02:04:13

pero quedó mucha gente por el camino 02:04:15

y yo, mi objetivo 02:04:17

es que no se quede 02:04:19

pero un día, si podemos 02:04:20

hablamos con más calma, Manuel, de verdad 02:04:25

y yo te lo agradezco 02:04:28

sí, sí 02:04:30

yo te digo, cuando quieras 02:04:31

porque yo, eso 02:04:34

pero también te digo una cosa 02:04:35

Nosotros 02:04:37

No todos tenemos que trabajar igual 02:04:39

Y yo hay cosas que aprendí 02:04:42

Porque hubo gente 02:04:44

Que me lo contó 02:04:45

¿Sabes? 02:04:47

Y hay cosas que a lo mejor me contaron 02:04:49

Y a mí no me funcionan 02:04:50

Que tampoco funciona todo 02:04:52

Yo no vengo aquí, ya digo, no vengo a vender nada 02:04:54

Ni vengo a decir que soy mejor que nadie 02:04:56

Ni nada de eso 02:04:59

Yo vengo a intentar que la gente piense 02:05:00

Sobre todo reflexionemos 02:05:03

Sobre qué estamos enseñando 02:05:05

¿Y para qué enseñamos esto? 02:05:06

¿Para qué enseñamos esto? 02:05:09

Yo en la carrera de matemáticas 02:05:10

No vi ninguna fracción algebraica 02:05:13

Más complicada que las que vi 02:05:15

En book cuando estudiaba 02:05:17

Ninguna 02:05:19

Lo que te quiero decir es que esa es la idea 02:05:19

Que por eso quiero encajar esto 02:05:22

Porque es que viendo estas cosas así 02:05:24

Yo no lo termino de encajar 02:05:27

Viendo el día a día 02:05:30

Que tengo en el instituto 02:05:31

Y entonces pues bueno 02:05:32

Es un poco eso 02:05:34

Pero mira, los cambios son lentos y requieren paciencia. Yo creo que hay algo fundamental en educación que a veces nos falta mucho y es la paciencia, pero hay que ser pacientes, pero tener que ser ambiciosos. 02:05:35

Es decir, yo creo que son dos cosas que hay que saber conjugar bien. Y bueno, a veces hay cosas que funcionan y otras no funcionan. A veces llevas una cosa a clase pensando que te va a salir maravilloso de la muerte y llegas y te preguntan y te salen por donde menos te esperas. Bueno, y yo qué sé. Pero nosotros trabajamos con personas. 02:05:52

No creo, de verdad, que no quiero monopolizar esto. 02:06:11

Yo creo que hay otro ingrediente fundamental que es mucho trabajo. 02:06:15

Y hay un tema importante con el que yo estoy muy enfadado, 02:06:18

que es que hay que reinventar la rueda siete veces. 02:06:25

Bueno, la rueda está inventada y la reinventamos cada dos por tres. 02:06:30

Entonces, es aprovechar las experiencias y por eso quería hablar. 02:06:35

Claro, pero es que yo lo que te estoy enseñando manual no son actividades que yo haya creado. 02:06:38

Claro, no tengo tiempo para desarrollar todas estas cosas que nos estás contando. 02:06:45

Bueno, pero tú sí puedes, vamos a ver, nosotros sí podemos decidir la actividad que llevamos a la aula. 02:06:50

Lo que yo no puedo pedir a la gente y lo que nadie nos puede pedir a nosotros es que seamos creadores de actividades 02:06:55

y que todo este tipo de actividades seamos capaces de crearla, de crearlas nosotros. 02:07:02

Porque eso es inhumano, es imposible. Pero hay muchos sitios donde hay actividades muy buenas. Y hay sitios incluso donde hay actividades diseñadas para la clase. O sea, para la clase de pregunta uno, pregunta dos, pregunta tres, pregunta cuatro. Es decir, como te lo digo, o sea, así, pum, pum, pum, que lo fotocopias y lo plantas ahí. 02:07:07

¿qué pasa? que lleva tiempo 02:07:27

porque yo también te lo voy a decir 02:07:29

yo este año 02:07:31

es mi último curso completo como profesor 02:07:32

o sea yo 02:07:36

el próximo curso 02:07:37

ya no lo acabo 02:07:41

y no porque esté quemado ni por nada de eso 02:07:43

y no quiero discursos apocalípticos 02:07:44

a mí me encanta ser profesor 02:07:46

pero bueno, la circunstancia personal 02:07:48

que me obliga a eso 02:07:49

y este año 02:07:52

yo he aprendido cosas 02:07:54

y he llevado cosas nuevas que me hablan. 02:07:56

O sea, yo llevo 37 años 02:08:00

y en el año 37, 02:08:01

que es este, 02:08:05

yo busco en Internet nuevas actividades 02:08:06

y os he enseñado que actividades 02:08:08

que no había puesto nunca y puse este año. 02:08:10

La de los polinomios con los puntos blancos y negros. 02:08:12

La encontré este año y es nueva. 02:08:15

Y es de un sitio donde encontré recursos 02:08:17

que no conocía. 02:08:19

Y yo sigo intentando aprender 02:08:22

y sigo intentando mejorar y sigo intentando incorporar 02:08:25

cosas nuevas, pero no puedes incorporar 02:08:27

todo a la vez, porque eso tampoco 02:08:29

mira que 02:08:31

ya llevo un rato escuchándolo 02:08:33

pero una de las cosas que yo 02:08:35

a mí me ayudó 02:08:37

a mejorar 02:08:40

yo no había dado clase nunca 02:08:41

en la vida y mi primera clase 02:08:43

de segundo de la ESO que lo he contado un millón de veces 02:08:45

pero lo voy a contar un millón uno 02:08:47

yo llegué en segundo de la ESO y tuve que explicar 02:08:48

múltiples divisores y con un par de narices 02:08:51

dije 02:08:54

definición, se dice 02:08:54

sean A y B pertenecientes a N 02:08:57

se dice que A es múltiplo de B 02:08:59

si existe un N tal que A igual a B por N 02:09:01

así que 02:09:03

tal cual lo estoy diciendo, la respuesta de un niño 02:09:05

profe, ¿qué hace ahí el signo del euro? 02:09:07

y a partir de ahí dije, ¿y ahora qué hago? 02:09:12

si yo tengo toda la clase pensada 02:09:14

así 02:09:16

entonces automáticamente llegué a mi casa 02:09:16

y me puse a buscar cómo enseñar 02:09:19

y apareció 02:09:21

aparecieron las sociedades de profesores 02:09:22

profesores, donde todo ese trabajo que tú dices que no te da la vida, ya está hecho. 02:09:25

Sí, hay mucho hecho, sí. 02:09:33

Entonces te rodeas con gente como Julio que te cuenta esta actividad, la oyes y te vas 02:09:35

y la llevas a clase, pues ya tienes una más. Vas otro día a otra reunión, a otro compañero 02:09:40

y te enseña otra, la prueba y dices, está funcionando, y te vas haciendo tu repertorio. 02:09:46

es así 02:09:50

y no hay que inventar la rueda 02:09:53

no, porque yo estoy pensado 02:09:54

es un trabajo que no merece la pena 02:09:56

porque está ya hecho 02:09:59

por cierto 02:10:00

aquí en Madrid que sepáis que está la SMPM 02:10:03

es que sé 02:10:05

que son amigos míos 02:10:08

sí, sí, sí 02:10:11

son gente de fía 02:10:14

gente de bien 02:10:15

yo os quería decir 02:10:16

a veces tenemos la sensación 02:10:19

de que tenemos que dar nuestra programación 02:10:22

y luego estas que son como pilaritas 02:10:24

que podemos ir metiendo, no, no 02:10:26

la idea es realmente cambiar 02:10:27

o sea, eso que hacemos en clase 02:10:30

con esto llenamos la programación 02:10:31

no se trata de 02:10:34

además de lo que hago, meto esto 02:10:35

entonces no nos da la vida 02:10:38

es hacerlo de otra forma distinta 02:10:40

evidentemente lleva mucho trabajo, claro 02:10:42

detrás, pero como dice José Luis 02:10:44

y Julio, hay cosas hechas, hay que buscar 02:10:46

y estar todo el día buscando cosas nuevas 02:10:48

Hombre, nosotros ya digo 02:10:50

José Luis, yo también puse 02:10:53

enlaces a recursos 02:10:55

que yo creo que son útiles 02:10:56

son webs, porque a todos nos pasa 02:10:59

que un día llegamos y dicen 02:11:01

estamos agobiados hasta aquí de trabajo 02:11:02

y dices, y mañana 02:11:04

¿qué hago? y voy a buscar algo 02:11:06

ahí la diferencia es donde lo buscas 02:11:08

¿vale? 02:11:10

la diferencia es donde lo buscas, porque yo por ejemplo 02:11:12

si necesito buscar algo sobre 02:11:14

no sé, sobre 02:11:16

proporcionalidad para mañana 02:11:18

yo sé de dos o tres sitios 02:11:20

donde busco algo para proporcionalidad 02:11:22

y sé que casi con los ojos cerrados 02:11:24

lo que voy a encontrar es bueno 02:11:26

y perdona 02:11:27

esos 02:11:30

tres sitios de proporcionalidad 02:11:31

dos o tres sitios de 02:11:33

álgebra, dos o tres, porque yo hoy me he apuntado 02:11:35

un montón de enlaces 02:11:38

porque a mí me pasa un poco 02:11:40

con este compañero que ha hablado antes 02:11:42

en absoluto pienso como él en el sentido de que sí que 02:11:43

creo que se puede explicar todo así 02:11:46

pero sí que es verdad 02:11:47

que me pasa que, bueno, que yo tengo 02:11:50

dos hijos, soy madre soltera, me cuesta 02:11:52

un poco conciliar y 02:11:54

dedicarle tiempo a buscar cosas 02:11:55

pues sí, yo me pongo a hacer ejercicios 02:11:57

pero venga, con aprendizaje significativo 02:11:59

de verdad que no sé qué tal, me pongo a buscarlo 02:12:02

y la mayoría de lo que me sale es 02:12:04

lo que has puesto tú en un principio de álgebra 02:12:05

y eso es lo que yo al final 02:12:08

yo hoy por hoy estoy haciendo con mi segundo de la ESO 02:12:09

abochornada cuando te escucho hablar 02:12:12

porque digo, efectivamente es lo que estoy haciendo 02:12:13

y efectivamente ya me gustaría a mí tener 02:12:15

el valor y el tiempo 02:12:17

y bueno, las ganas las tengo, la verdad 02:12:20

pero me pasa 02:12:21

que al final me meto y digo, bueno, venga, pues ahora 02:12:24

me reconduzco porque de repente veo esta actividad 02:12:25

y venga, pues le pongo esta, pero a la vez estoy jugando con eso 02:12:27

otro por falta de tiempo y por meterme al final 02:12:29

en lo que estábamos diciendo, en hacer lo que has hecho 02:12:31

y lo que te han hecho contigo 02:12:33

entonces me gustaría si 02:12:35

pues eso 02:12:37

un par de sitios donde buscar 02:12:39

de cada 02:12:41

maravilloso 02:12:42

Sí, sí, sí. No, pero mira, en los enlaces que puse yo hoy, en esas webs, hay alguna web, la de Madshell, que tiene de gráficas, funciones, un libro fantástico y tiene de todo. La del Instituto Freud en tal, que tiene los libros. 02:12:44

Este que os dije yo, donde aparecía... ¿Cuál era? El de... Espera. Tengo que mirar la presentación un segundito, ¿vale? 02:13:03

Vale. 02:13:12

Donde aparecía lo de los ladrillos, ¿vale? Lo de los ladrillos. 02:13:13

Ah, sí. 02:13:18

Bien. 02:13:19

¿Polipaz? 02:13:19

No. Donde apareció lo de los ladrillos, que es un... del Instituto Freud. Bien. Bueno, ahí hay una serie de libros que se llaman 02:13:21

matemáticas en contexto 02:13:29

que aunque os 02:13:30

aparezcan en inglés 02:13:33

cuando entráis, tenéis el PDF en español 02:13:34

y son libros de aula 02:13:37

o sea, libros para el estudiante 02:13:39

o sea, con actividades 02:13:40

y viene álgebra 02:13:43

números de operaciones 02:13:45

geometría, y son 02:13:46

con actividades, ¿qué pasa? 02:13:48

hombre, pues que tú entras a un libro de esos y tiene 80 páginas 02:13:51

de actividades 02:13:53

y tú tienes que mirar 02:13:54

pero que lo tienes 02:13:56

ya he escrito en español, en PDF 02:13:57

todo 02:13:59

quiero decir, yo, de verdad 02:14:00

nosotros estamos aquí 02:14:06

tanto José Luis como Blanca como yo 02:14:08

para echaros una mano y ayudaros en todo lo que haga falta 02:14:10

pero claro 02:14:12

y sabemos que no es fácil 02:14:13

que para nosotros tampoco fue fácil 02:14:16

tú vas aprendiendo y vas por ahí 02:14:18

yo a lo largo de la 02:14:20

vida me he dado cuenta de que había 02:14:21

cosas que no hacía bien 02:14:24

o que no hacía como las haría hoy 02:14:25

yo si empezase de nuevo, no empezaría igual que empecé 02:14:27

Bueno, se supone que si treinta y pico años no valen para nada, apaga y vámonos, claro, se supone que algo aprendes, pero bueno, que no se trata tampoco de blanco o negro, se trata de ir adaptando, de ir, creo yo, centrándote en que el alumnado entienda, que comprenda, o sea, que tengas pensamiento matemático. 02:14:30

El pensamiento matemático no es ser capaz de hacer 100 ecuaciones de primer grado. 02:14:52

Porque yo vi boletines de ecuaciones de primer grado que llegaban al 100. 02:14:58

100 ecuaciones de primer grado. 02:15:03

O sea, ¿eso a qué obedece? 02:15:05

¿En qué momento de la vida académica de una persona tiene que hacer un boletín de 100 ecuaciones? 02:15:08

Porque de verdad, habrá alumnos que en la ecuación 7 ya la saben hacer y es una tortura absoluta. 02:15:16

Hacer 93 más y habrá otros alumnos que no entienden la tercera y tampoco van a entender 97 más. 02:15:24

Entonces a lo mejor hay que... 02:15:32

O sea, no creo yo que haya nada que requiera 97 o 100 repeticiones mecánicas de lo mismo. 02:15:34

No lo creo. 02:15:42

O sea, yo no creo que eso aporte nada a la formación de las personas, que es lo que nosotros tenemos que buscar. 02:15:44

ahora, que es cómodo 02:15:50

porque llega un momento en que ellos también 02:15:53

se acostumbran y es cómodo y tiran 02:15:55

de lo mecánico 02:15:57

pero nosotros tenemos que hacer 02:15:59

que piensen, porque eso hoy lo hace 02:16:01

el fotomar, le haces una foto al boletín 02:16:03

de 100 ecuaciones y te hace las 100 02:16:05

bueno, creo que vamos a cortar ya 02:16:06

vale, perfecto, bueno, muchísimas gracias 02:16:10

a todos, nos vemos en dos semanas 02:16:13

para seguir con más de... 02:16:14

sí 02:16:16

espera que me escriba algo, alguien en el chat 02:16:17

muchas gracias 02:16:21

podría indicar 02:16:24

vale, vale, sí, sí, sí 02:16:25

vale, vale, sí, sí 02:16:27

perfecto 02:16:29

gracias por todo, hasta luego 02:16:32

SESIÓ 3_ PCT MATEMÁTICAS - SECUNDARIA_4_febrero_26 - Contenido educativo

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