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MATEMÁTICAS 5º. REPASO SOBRE LA DIVISIBILIDAD
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Hoy vamos a hacer un repaso sobre el tema 3 de matemáticas que lo vimos en el primer trimestre
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y que trata sobre la divisibilidad. Vamos a ver qué era eso. En primer lugar vamos a ver algunos
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términos que vimos en ese tema 3 como que eran los múltiplos y los divisores. Bueno, los múltiplos
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de un número son los resultados de las tablas de multiplicar de dicho número y se obtienen
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multiplicando a ese número por 1, 2, 3, 4. Por ejemplo, tenemos aquí los múltiplos
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de 2 son 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12. ¿De dónde salen estos números? Pues son los resultados
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de la tabla de multiplicar del 2. 2 por 0, 0. 2 por 1, 2. 2 por 2, 4. 2 por 3, 6. 2 por
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4, 8. Y así sucesivamente. Aquí tenemos también los múltiplos de 3. 0, 3, 6, 9,
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12, 15, 18, 3 por 0 es 0, 3 por 1 es 3, 3 por 2 es 6, 3 por 3 es 9. Bueno, pues en definitiva los resultados de las tablas de multiplicar de cada número son sus múltiplos
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y los múltiplos de un número son infinitos, no se acaban nunca, porque las tablas de multiplicar de un número nunca se acaban. Normalmente nosotros no estudiamos las tablas de multiplicar
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hasta la del 10 o hasta la del 11, pero los múltiplos de un número o las sub-tablas de multiplicar son infinitas, nunca se terminan.
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En cuanto a los divisores de un número, se encuentran buscando todas las divisiones exactas en las que ese número es el dividendo.
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Entonces, ¿cómo consigo los divisores de un número?
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tendría que dividir a ese número por otro número y si el resto de esa división es 0, es decir, si esa división es exacta, ese número por el cual lo he dividido
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es divisor de dicho número. Vamos a ver ejemplos que se ve mejor. Vamos a ver cuáles son los divisores de 6. En definitiva, ver cuáles son los divisores de 6
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no es otra cosa que ver de cuántas formas podemos agrupar 6 cosas, lo que sea, en este caso vamos a ver un ejemplo con huevos,
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cómo agrupar 6 huevos en grupos, de tal forma que no nos sobre ningún huevo, bueno, pues eso es buscar los divisores de un número,
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entonces tenemos, vamos a ver los divisores de 6, entonces si voy a empezar a dividir el 6 entre diferentes números,
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6 entre 1 da 6 y el resto es 0, con lo cual, tanto 1 como 6, tanto 1 que es el divisor como 6, que es el resultado, el cociente, son divisores de 6.
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Bueno, todos los números tienen como divisores el 1 y su propio número. En este caso estamos hablando del 6, pues tendrían como divisores el 1 y el 6.
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6 entre 2 da 3, resto 0. La división también es exacta, con lo cual, como la división es exacta, como el resto es 0, tanto el 2 como el 3 son divisores de 6.
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Y aquí vemos el dibujo que los 6 huevos los podemos agrupar en 3 cajas diferentes. En cada una de las cajas habría 2 huevos.
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6 entre 3 da como resultado 2, el resto es 0, con lo cual, tanto el 3 como el 2, ya lo hemos dicho antes, son divisores de 6.
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Aquí tenemos otro ejemplo de cómo agrupar 6 huevos, que podrían ser en dos cajas, y en cada una de las cajas habría 3 huevos.
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Y bueno, 6 entre 6, 1, es decir, que podemos meter los 6 huevos en una misma caja.
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Así que aquí tenemos los divisores de 6, son 1, 2, 3 y 6, porque son las diferentes formas en las que podemos agrupar esos 6 huevos.
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Si yo hago 6 entre 4, el resto de la división no va a ser 0. 6 entre 4 tendría que poner 1 de cociente y el resto me sobrarían 2, con lo cual en este caso el 4 no sería divisor de 6.
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y si hago 6 entre 5, el cociente sería 1, el resto 1, con lo cual tampoco sería una división exacta, así que en ese caso 5 tampoco sería un divisor de 6.
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No puedo agrupar los 6 huevos en 5 cajas o en varias cajas de tal forma que haya 5 huevos en cada caja, no se puede.
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Así que aquí teníamos los divisores de 6.
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Una diferencia importante con respecto a los múltiplos.
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Hemos dicho que los múltiplos son infinitos, pero los divisores no. Todos los números tienen un determinado número exacto y concreto de divisores. En este caso el 6 tiene el 1, todos los números tienen como divisores el 1, su propio número, el 6.
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Todos los divisores tienen como divisor el propio número y en este caso también el 2 y el 3.
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Bueno, vamos a ver qué eran los números primos y compuestos.
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Los números primos son aquellos que solamente tienen como divisores el 1 y su propio número.
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Y los números compuestos son aquellos números que tienen como divisores el 1, su propio número,
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y además tienen otros divisores diferentes.
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Así que, si nos vamos al ejemplo de antes, los divisores de 6 eran 1, 2, 3 y 6.
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Entonces, 6, ¿se trataría de un número primo o compuesto?
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Bueno, pues en este caso es un número compuesto porque tiene como divisores el 1, es decir, el mismo divisor que tienen todos los números,
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su propio número que en este caso es el 6 y además tienen otros divisores aparte del 1 y el 6 que son el 2 y el 3 en este caso
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con lo cual el 6 es un número compuesto, compuesto porque tiene más de dos divisores
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sin embargo en el caso del 7 se trataría de un número primo porque en este caso si hacemos la división
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7 entre 1 da 7 resto 0 solamente tenemos la opción de dividir al 7 entre 1 o entre 7 o entre su propio número
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para que el resto de esa división sea 0. En otras palabras, los números primos son aquellos números que no existen en las tablas de multiplicar de los números
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más allá de multiplicar a ese mismo número por 1. Es decir, no hay dos números que multiplicados entre sí den 7, exceptuando 7 por 1 o 1 por 7.
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¿De acuerdo? Otro número primo, por ejemplo, es el 19. Pues el 19 no aparece en las tablas de multiplicar de ningún número, porque no hay dos números que multiplicados entre sí den 19, solamente 19 por 1.
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Es la única forma de que el 19 aparezca en la tabla de multiplicar de un número.
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Bueno, entonces, lo dicho, números compuestos tienen más de dos divisores, tienen el 1, su propio número, y aparte tienen más divisores, como es el caso del 6.
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Y números primos solamente tienen como divisores el 1 y su propio número.
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Y otra cosa que habíamos visto eran los criterios de divisibilidad.
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Si yo os pregunto cuáles son los divisores de 6, es muy fácil saberlo porque no sabemos las tablas de multiplicar.
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Si yo os pregunto si el 4 es divisor de 12, es fácil, sabemos que sí porque 4 por 3 es 12.
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¿Y por qué? Porque no sabemos las tablas de multiplicar, hasta el 12 nos las sabemos.
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Entonces, ¿qué sucede si yo tengo el número 81.944?
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Y os digo que tenéis que decirme si este número es múltiplo de 2, o es múltiplo de 3, o es múltiplo de 5.
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Bueno, pues es muy difícil saberlo porque no nos sabemos las tablas de multiplicar hasta ese nivel.
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No nos la sabemos hasta esos resultados.
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De tal forma que tendríamos dos opciones de saberlo.
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Si es divisor de 2, tendríamos que dividirlo entre 2 y ese número,
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y si el resto de la división es 0, pues entonces sí, y si no, pues no sería múltiplo de 2.
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Pero hay otra forma más sencilla de saberlo, que es sabiéndonos unas reglas básicas
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que se llaman los criterios de divisibilidad,
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y que nos permiten averiguar fácilmente si un número es múltiplo de 2, de 3, de 5, de 9 y de 10,
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que son básicamente los criterios de divisibilidad que hemos visto, entonces para saber si un número es múltiplo de 2 es muy fácil o si es divisible entre 2, divisible es que al dividir ese número entre 2 el resto es 0,
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bueno pues es muy fácil porque simplemente hay que ver en cuál es su última cifra y si esa última cifra es 0 o una cifra par, es decir 2, 4, 6 y 8, eso significa que ese número es múltiplo de 2,
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¿Esto por qué? Porque si os fijáis en la tabla del 2, todos sus resultados son números pares.
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2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, va de 2 en 2 y todos son cifras pares.
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Por ejemplo, el número 112 es divisible entre 2 porque termina en cifra par.
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La última cifra es un 2, con lo cual es divisible entre 2, está en la tabla del 2.
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En el caso del 5, un número es divisible entre 5 si termina en 0 o en 5.
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Por ejemplo, el número 225 es divisible entre 5 porque termina en 5.
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¿Vale? O sea que si un número termina en 0 o en 5 es divisible entre 5, es decir, es múltiplo de 5.
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Está en la tabla de multiplicar del 5. ¿Por qué tiene que terminar en 0 o en 5?
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Porque si nos fijamos en la tabla de multiplicar del 5, todos los números terminan en 0 o en 5, va de 5 en 5.
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Así que, si nos fijamos, sería 5 por 1 es 5, 5 por 2 es 10, 15, 20, 25, 30, 35, es decir, todos los números o terminan en 5 o terminan en 0.
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Múltiplos de 10, un número es múltiplo de 10 o es divisible entre 10, es decir, yo lo divido entre 10 y el resto va a ser 0, la división va a ser exacta, si ese número termina en 0.
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Por ejemplo, el número 400 es divisible entre 10, es decir, 400 es múltiplo de 10, aparece en la tabla de multiplicar del 10, porque su última cifra es un 0.
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Entonces, si nos fijamos en la tabla del 10, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 80, 90, todos los números de esa tabla de multiplicar terminan en 0.
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Así que, bien fácil, si sabemos que un número termina en 0, sabemos que ese número es múltiplo de 10, que aparece en la tabla de multiplicar del 10.
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Bueno, el 2, el 5 y el 10 son fáciles y vamos a recordar cómo eran con respecto al 3 y el 9.
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Un número es divisible entre 3 cuando la suma de sus cifras da como resultado un múltiplo de 3, es decir, da como resultado un número que aparezca en la tabla de multiplicar del 3.
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Vamos a ver este ejemplo. El número 213 es múltiplo de 3, aparece en la tabla de multiplicar del 3, sí o no.
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Bueno, pues ¿qué tendríamos que hacer para comprobarlo? Sumamos sus cifras. Las cifras que tiene son el 2, el 1 y el 3. Bueno, pues vamos a sumarlas. 2 más 1 y más 3. 2 más 1 y más 3 son 6.
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Vale, 6, ¿aparece en la tabla de multiplicar del 3? ¿Es un múltiplo de 3? Sí. Así que el 6, al ser un múltiplo de 3, nos da la pista de que el número 213 es múltiplo de 3 o es divisible entre 3.
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Bueno, pues en definitiva tenemos que sumar las cifras de ese número
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Y si la suma de esas cifras da como resultado un número que aparezca en la tabla de multiplicar del 3
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Entonces ese número es múltiplo de 3 o ese número es divisible entre 3
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En cuanto al 9 es exactamente el mismo proceso
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Para saber si un número es múltiplo de 9 lo que tenemos que hacer es sumar sus cifras
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Y si esa suma de sus cifras da como resultado un número que aparezca en la tabla de multiplicar del 9, entonces ese número sería múltiplo de 9.
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Vamos a ver este caso, el 684, vamos a ver si es divisible entre 9 o si es múltiplo de 9 sumando sus cifras 6 más 8 y más 4.
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Bueno, pues 6 más 8 que serían 14 más 4 da como resultado 18. ¿18 aparece en la tabla de multiplicar del 9? Sí, 9 por 2, 18. Así que el número 684 es divisible entre 9, quiere decir que 684 lo voy a dividir entre 9 y el resto de la división va a ser 0.
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así que en definitiva esto de la suma de sus cifras solamente es para comprobar si un número es múltiplo de 3 o si es múltiplo de 9
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en el caso del 2 tengo que comprobar si el número termina en cifra par, en el caso del 5 si termina en 0 o en 5
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y para saber si un número es múltiplo de 10 tengo que ver si ese número termina en 0
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- 19 de mayo de 2020 - 16:34
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