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Problema 3 Gravitación - Contenido educativo

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Subido el 6 de abril de 2026 por Mario T.

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Pues vamos con el tercer ejercicio de este tema de gravitación, ¿vale? 00:00:00
Que nos empieza a decir que un satélite de comunicaciones orbita alrededor de la Tierra en una trayectoria elíptica. 00:00:03
Bueno, pues ya sabemos que vamos a tener apogeo, perigeo o apoastro-periastro, etc. 00:00:11
Nos dice que el apogeo se encuentra a 39.700 km de altitud sobre la superficie, ¿vale? 00:00:18
Altitud sobre la superficie, vamos a tener que sumar esto de aquí, ¿vale? 00:00:26
El río de la Tierra, igual que en el ejercicio 2. 00:00:31
Y nos dice, si el satélite tarda en dar una vuelta completa, ¿no? 00:00:35
Si el satélite da una vuelta completa en 12 horas, o sea, cada 12 horas, 00:00:39
determinar las cosas que sean, ¿vale? 00:00:42
Nos están dando aquí el periodo, ¿vale? 00:00:45
Entonces, en el apartado A nos dicen la altura sobre la superficie terrestre 00:00:48
en la que está el perigeo y la relación de velocidades en el perigeo y en el apogeo, 00:00:52
vp entre va. 00:00:59
No quieren que calculemos cada velocidad por separado, sino la relación entre ambas. 00:01:01
Pues vamos a ver cómo vamos haciendo esto. 00:01:05
Entonces, estos son los datos que nos dan la altura en el apogeo, 00:01:09
que es aquí, el punto más lejano, que son 39.700 kilómetros, 00:01:13
3,97 por 10 a la 7 metros. El periodo, 12 horas, 4,32 por 10 a la 4 segundos y luego 00:01:20
la gravitación universal, la constante que nos la dan, la masa de la Tierra que nos la dan 00:01:29
y el radio de la Tierra que nos lo dan. Entonces, lo primero es el RA, el radio del apogeo, 00:01:32
pues lo vamos a escribir ya en total la suma de ambos. Sabemos que RA tiene que ser HA más RT 00:01:40
Y esto será, pues, 3,97 por 10 a la 7 más 6,37 por 10 elevado a 6. 00:01:50
O sea que RA nos va a quedar, pues, 3,97 por 10 a la 7 más 6,37 por 10 a la 6. 00:02:01
4,61 por 10 elevado a 7 metros. 00:02:09
Vale, pues este va a ser el RA. 00:02:21
Bueno, pues nos piden aquí calcular la altura en el perigeo. 00:02:25
Así que vamos a calcular el radio en el perigeo y luego le restaremos el radio de la Tierra. 00:02:29
Para calcular el radio en el perigeo, ¿cómo lo vamos a hacer? Pues con el semieje mayor. 00:02:34
Como es una órbita elíptica, entonces vamos a empezar. 00:02:40
Como es elipse, el semieje mayor A sería igual a RA más RP partido por 2, pero no tenemos A. 00:02:45
No tenemos el semieje mayor, pero sí tenemos el periodo. 00:02:59
Así que tercera ley de Kepler. 00:03:01
Lo ponemos, obtenemos A con tercera ley de Kepler y lo de siempre. Ley de gravedad universal, menos GMMR cuadrado QR, segunda ley de Newton con la aceleración centrípeta, menos MAC. 00:03:03
c. Usamos módulo. Esto ya no lo sabemos de 00:03:34
carrerilla. 00:03:41
Esto pasa por hablar y escribir. Usamos módulos 00:03:44
e igualamos. Y entonces nos queda g m m partido de r al cuadrado es igual a m por a 00:03:48
aceleración centrípeta. Esto se nos va. Aceleración centrípeta es v 00:04:03
partido r y v es 2 pi r partido del periodo. Entonces esto nos queda gm partido r cuadrado 00:04:09
igual 4 pi cuadrado r cuadrado t cuadrado y la r de la aceleración centrípeta. Esta r con este 00:04:24
cuadrado se nos va y lo que estamos acostumbrados pasamos este r cuadrado pasa para acá y nos queda 00:04:34
g m partido de 4 pi cuadrado por t cuadrado igual r cubo. Como es elipse usamos a y nos queda que 00:04:43
a cubo es igual g m 4 pi cuadrado t cuadrado a ser igual a la raíz cúbica de g m 4 pi cuadrado 00:05:07
y el periodo al cuadrado y sustituimos la raíz cúbica esto lo hacemos aquí en grande que entre 00:05:24
todo, 6,67 por 10 elevado a menos 11, 5,97 por 10 elevado a 24, la masa de la Tierra, 00:05:34
y el periodo que eran estas 12 horas, 4,32 por 10 a la 4, y al cuadrado, 4,32 por 10 00:05:46
elevado a 4, al cuadrado, y todo dividido de 4pi al cuadrado. 00:05:58
Y esto, pues lo calculamos, ya está, sin más misterio, 6,67 por 10 elevado a menos 11, 00:06:08
por 5,97 por esa la 24, por 4,32, por 10 elevado a 4 y al cuadrado, 00:06:15
por 4, divide de 4, de pi al cuadrado 00:06:24
y todo eso raíz cúbica, y nos sale que el semieje mayor 00:06:28
vale 2,66 00:06:33
por 10 elevado a 7 metros. 00:06:35
Vale, pues ya tenemos el semieje mayor, y con el semieje mayor 00:06:41
obtenemos rp, vale, 00:06:45
el perigeo estará 00:06:51
o mejor dicho, está en rp igual 2a menos ra. 00:06:57
Es decir, dos veces el semilla mayor menos ra, pues 2 por 2,66 que acabamos de calcular, 00:07:07
2,66 por 10 a la 7, menos el ra que lo hemos calculado aquí, que es la suma de todo, 00:07:13
4,61 por 10 a la 7 menos 4,61 por 10 elevado a 7. 00:07:21
Va a quedar, justito, porque 2 por 2 es 4, es 2, de ahí aportará algo, va a quedar un perigé bastante cercano a la Tierra. 00:07:30
2 por 2,66 por 10 elevado a la 7 menos 4,61 por 10 elevado a la 7. 00:07:39
Y nos queda 7,1, bueno, bastante pegado a la Tierra. 00:07:46
puede estar a 6 metros es alto hasta el tinto pero bueno comparado con el otro uso de magnitud 00:07:50
más pequeño vale pues esto es rp que no es lo que nos pedían lo que nos piden es la altura hp 00:07:57
si que la altura hay que restarle el radio de la tierra vale entonces la altura del perigeo 00:08:03
es, esta me he quedado a editar, es 00:08:11
HP igual RP menos 00:08:22
RT. ¿Vale? O sea, 7 con 00:08:26
1 por 10 a la 6 menos 00:08:30
6 con 37 por 10 elevado a 6. 00:08:33
¿Vale? Que el radio de la Tierra nos lo dan aquí. 6 con 37 por 10 00:08:38
elevado a 6. Y entonces esto nos sale. 7 con 00:08:42
1 por 10 a la 6, menos 6,37 por 10 a la 6, pues es 7,3 por 10 elevado a 5 metros, ¿vale? 00:08:46
La distancia o la altura del perigeo, que es lo primero que nos pedían. 00:09:00
Y luego se nos pide aquí la relación de estas velocidades, vp entre va. 00:09:06
Para eso vamos a utilizar la relación RA por VA igual a RP por VP, porque es la que conocemos entre velocidades y alturas. 00:09:12
Entonces, conocemos que RA por VA es igual a RP por VP. 00:09:24
Como nos piden Vp entre Va, pues Vp partido de Va será igual a Ra partido de Rp. 00:09:43
Como ya lo hemos calculado antes, el Rp lo tenemos aquí y el Ra también lo tenemos aquí. 00:09:56
O aquí, si es estos dos, pues calculamos y ya tenemos lo que queríamos. 00:10:04
Entonces, RP es 7,1 por 10 a la 6. Y el RA, pues, 4,61 por 10 a la 7. Y haciendo esto, pues, 4,61 por 10 a la 7, partida de 7,1 por 10 elevado a 6. 00:10:10
nos queda 6,49 00:10:32
y ya está 00:10:35
y esto no tiene unidades ni nada 00:10:38
¿vale? porque aquí esto tendría metros 00:10:40
esto tendría metros y se nos ha ido 00:10:42
¿vale? entonces 6,49 es la relación 00:10:44
básicamente en el periestro 00:10:46
o en el perigeo va 00:10:48
6,40 o 6,5 veces más rápido 00:10:50
que en el apogeo, ya está 00:10:52
¿vale? esto es lo que os pedía 00:10:54
el apartado a esta altura 00:10:55
¿vale? que es lo importante 00:10:57
si creemos, lo podemos 00:11:00
recuadrar un poquito más y esto de aquí vale estos son cálculos intermedios que 00:11:02
tenemos que hacer pues vamos a ver qué nos dice el apartado b 00:11:08
el apartado nos dice la velocidad del satélite 00:11:14
en el perigeo o sea que calculemos la velocidad en el perigeo vale 00:11:19
Y la velocidad hasta la que habría que reducir al satélite para que pase de la órbita elíptica a una órbita circular de radio igual a la distancia del perigeo. 00:11:26
Un poco enrevesado. Vamos a ver. 00:11:40
Es la velocidad en el perigeo. 00:11:44
Tenemos que calcular la velocidad del satélite en el perigeo. 00:11:45
Y la que necesitaría, ¿vale? Hasta la que habría que reducir para que la órbita fuese circular de un radio igual a la distancia del perigeo. 00:11:47
vale pues vamos a vamos a ello apartado b nos piden vp 00:11:59
vale y v 00:12:09
sí órbita 00:12:14
circular de radio rrp vale que es el que hemos calculado antes este de aquí de 00:12:18
7,1 por 10 a la 6, ¿vale? 00:12:34
Eso ha quedado un poco feucho, esa coma ahí, la raíz, 7,1 por 10 a la 6 metros, ¿vale? 00:12:40
Pues vamos a ir con ello, ¿vale? 00:12:47
Esto se nos va a hacer un poco, bueno, tampoco muy complicado, ¿vale? 00:12:50
Vamos a tener que utilizar energías porque esto de aquí, esta relación de distancias y velocidades 00:12:56
ya la hemos agotado para sacar esta relación de aquí, pero sabemos que la energía mecánica en una órbita se conserva, 00:13:02
en una órbita elíptica, entonces en el perigeo y en el apogeo, la energía mecánica es la misma. 00:13:09
Pues vamos a empezar con eso. La energía mecánica es constante. 00:13:14
Luego, la energía mecánica en el perigeo será igual a la energía mecánica en el apogeo. 00:13:21
¿Qué quiere decir esto? 00:13:40
Bueno, que energía cinética en el perigeo más energía potencial en el perigeo sería igual a energía cinética en el apogeo más energía cinética en el apogeo. 00:13:42
Bueno, digo apogeo, que es lo mismo que periestro o apoastro, pero para la Tierra. 00:14:03
Muy bien, pues vamos a sustituir todas estas cosas. 00:14:07
un medio de la masa 00:14:10
por la velocidad en el perigeo al cuadrado 00:14:14
menos, porque es energía potencial, gm 00:14:17
m por el radio del 00:14:22
perigeo. Tendrá que ser igual a un medio 00:14:26
de m v a al cuadrado 00:14:30
la velocidad en el apogeo al cuadrado menos gm 00:14:34
mm la distancia del apogeo vale lo primero que vemos es que la masa el satélite está en todos 00:14:38
los términos y se va estupendo entonces aquí podemos decir bueno tenemos quizá un problema 00:14:49
porque no tenemos vp ni tenemos v a ver si tenemos real tenemos rp pero vp no pero en 00:14:55
realidad vamos a tener que utilizar la relación que hemos obtenido antes vale 00:15:06
vamos a ver cómo lo hacemos primero voy a dejar todo lo que son velocidades a la 00:15:11
izquierda y las energías potenciales van a ir todas a la derecha vale entonces 00:15:19
Esto nos queda 1 medio VP cuadrado menos 1 medio VA al cuadrado. 00:15:25
Y esto es igual a menos GMRA y el otro que ha pasado sumando más GMRP. 00:15:36
voy a sacar aquí factor común 00:15:51
no, no voy a sacar ningún factor común 00:15:55
lo que voy a usar es esta relación 00:15:58
vp es igual a 00:16:00
perdón, vp entre va es igual a 6,49 00:16:02
a 6,49, sin más 00:16:06
pues va será vp entre 6,49 00:16:09
si pasamos esto multiplicando de otro lado 00:16:13
y el 6,49 al otro lado 00:16:16
pues vp entre va es 6,49, pues va será igual a vp entre 6,49. 00:16:18
Y esto, si lo elevamos al cuadrado y lo ponemos aquí, nos queda solo vp y la va desaparece. 00:16:32
Entonces vamos a usar esta relación de aquí. 00:16:39
Tenemos un medio vp al cuadrado menos un medio, y aquí tenemos vp al cuadrado partido de 6,49 al cuadrado, que será lo que tenga que ser, ya lo operaremos. 00:16:40
Y aquí se queda igual, voy a sacar factor común gm, voy a poner primero el positivo y luego el negativo, entonces tenemos gm, 1 partido de rp menos 1 partido de ra, ¿vale? 00:16:59
Y aquí ahora voy a sacar factor común, un medio vp al cuadrado. 00:17:15
Para eso puedo sacar factor común a todo esto. 00:17:20
Entonces nos queda un medio vp al cuadrado por, si aquí hemos sacado todo, 1 menos 1 partido de 6,49 al cuadrado. 00:17:25
Que ahora ya lo calcularemos cuando llegue el aumento. 00:17:40
Y esto, gm, 1 partido de rp, menos 1 partido de ra, ¿vale? 00:17:42
Muy bien, pues vamos a seguir. 00:17:55
Este 2 pasa multiplicando, y esto lo operamos, y nos va a quedar un numerajo, que ahora veremos cuál es. 00:17:59
Bueno, de hecho, lo opero ya. 00:18:06
1 menos 1 partido de 6,49 al cuadrado 00:18:08
queda 0,97 00:18:14
0,98, perdón, que lo voy a un 6 a continuación 00:18:17
entonces, eso es 0,98 por 00:18:20
vp al cuadrado 00:18:24
el 2 lo paso multiplicando, pues 2 g 00:18:27
m, 1 partido de rp 00:18:31
menos 1 partido de RA. 00:18:35
Ahí, apareció. 00:18:40
Pues ahora el 0,98 lo paso dividiendo 00:18:42
y hacemos raíz cuadrada. 00:18:45
VP va a ser igual a 00:18:47
la raíz cuadrada 00:18:49
de 2GM 00:18:51
entre 0,98 00:18:55
por 1 partido de RP 00:18:57
menos 1 partido de RA. 00:19:01
Vale, y ya lo tenemos. 00:19:05
Pues sustituimos números y obtenemos, pues, UEP 2 por 6,67 por S elevado a menos 11 por 5,97 por S elevado a 24 entre 0,98 y ahora 1 partido de RP, que lo habíamos calculado por aquí. 00:19:06
el RP, 7,1 por 10 a la 6 00:19:38
7,1 por 10 a la 6 00:19:41
menos 00:19:47
y el RA que lo habíamos calculado aquí al principio del todo 00:19:47
4,61 por 10 elevado a 7 00:19:52
1 partido de 00:19:54
4,61 00:19:58
4,61 00:19:59
por 10 a la 7 00:20:03
Pues operamos aquí todo esto, lo enchufamos en la calculadora y a ver qué nos sale. 00:20:06
2 por 6,67 por 10 elevado a menos 11, por 5,97 por 10 elevado a 24, 0,98 abajo, por 1 partido de 7,1 por 10 elevado a 6, menos 1 partido de 4,61 por 10 elevado a 7. 00:20:12
Y esto nos sale 9,84 por 10 elevado a 3 metros partido por segundo. 00:20:32
La velocidad en el perigeo que es lo que nos pedían. 00:20:45
Y ahora la que nos piden es la velocidad que debe llevar si la órbita circular es de este radio, de RP. 00:20:49
Bueno, nosotros sabemos que obtener la velocidad en una órbita circular es como la tercera ley de Kepler, pero paramos en este punto, no hacemos esta sustitución, ¿vale? 00:21:00
Entonces, vamos a por ello. La velocidad en una órbita circular se obtiene, bueno, aquí se me quedó un poco, se obtiene como, y empezamos. 00:21:13
f igual menos g, m, m, partido de r al cuadrado, ur, y f igual menos m a su c. 00:21:48
Usamos módulos e igualamos. 00:22:03
Entonces queda g, m, m, partido de r igual a m por ac, m y m se va, 00:22:16
AC es V cuadrado partido R, y entonces nos queda GM, este R va al cuadrado, que se me olvida, 00:22:24
partido de V cuadrado partido de R, este R con este R se va, y V será la raíz de GM partido R. 00:22:40
Vale, pues ya tenemos la velocidad en una órbita circular, esto de aquí, como nos dicen que el círculo tiene que ser este radio, 7,1 por 10 a la 6, pues sustituimos, ¿vale? 00:22:51
Si r igual 7,1 por 10 a la 6 metros, v será raíz de 6,67 por 10 a la menos 11 por 5,97 por 10 a la 24 00:23:04
y partido de 7,1 por 10 a la 6. 00:23:30
Y esto nos da el valor que tiene que ser 6,67 por 10 elevado a menos 11 por 5,97 por 10 elevado a 24, 7,1 por 10 a la 6. 00:23:38
Pues nos sale que la velocidad sería 7,49 por 10 a la 3 metros por segundo. 00:23:51
Ahí va, que se me ha rechazado eso. 00:24:02
Metros por segundo. 00:24:05
Y ya está. 00:24:07
Esto es lo que se nos pedía en el apartado B, esta velocidad en el perigeo, ¿qué tenemos que obtenerla? A través de las energías, no podemos usar esta expresión porque nos falta la velocidad en el apogeo o en el apoastro, así que tenemos que ir por energías. 00:24:07
Cuando la energía mecánica, como es constante, en todo punto va a ser igual, pues utilizamos los datos de perigeo y apogeo, ¿vale? 00:24:27
Y tenemos que tener en cuenta la relación obtenida en el apartado anterior, ¿vale? 00:24:36
Y este era el ejercicio, es verdad que esta parte de las energías, pues bueno, puede ser más que complicada, pues un poco más tediosa. 00:24:42
Tediosa hay que ir con mucho cuidado para que el despeje salga bien y no cometer ningún error de cálculo. 00:24:51
Pero por lo demás no es excesivamente difícil simplemente poner estas dos operaciones, 00:24:57
estas dos expresiones de la energía mecánica y poquito a poco ir haciendo el despeje. 00:25:04
Si os veis con más confianza y queréis saltaros algunos pasos, pues se puede, está permitido. 00:25:10
Pero bueno, yo recomiendo siempre el máximo cuidado que se pueda. 00:25:16
Y hasta aquí, pues bueno, muy sencillito 00:25:19
La velocidad en una órbita circular 00:25:22
Recordamos, siempre 00:25:24
Como la tercera ley de Kepler 00:25:26
Pero nos paramos 00:25:28
En la primera sustitución que hacemos 00:25:30
De la aceleración 00:25:32
¿Vale? 00:25:34
Pues nada, vamos ahora 00:25:36
A por el problema 4 00:25:38
Materias:
Física
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Mario Torralba
Subido por:
Mario T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
2
Fecha:
6 de abril de 2026 - 16:40
Visibilidad:
Público
Centro:
IES HUMANES
Duración:
25′ 40″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
47.40 MBytes

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