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Ejercicio 3 - Examen 3 (Matrices) - Contenido educativo

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Subido el 7 de enero de 2025 por Francisca Beatriz P.

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Vamos a hacer el ejercicio 3, el apartado A. Me dicen, dada la matriz A, 1, 0, 2, 1 y B, A, B, 2, 0, determinar todos los valores de los parámetros A y B pertenecientes a los números reales para los que se verifica que A por B es igual a B por A. 00:00:00
Ya sabemos que las matrices no son, o sea, el producto de matrices no es conmutativo. Por lo tanto, lo que queremos ver es calcular qué valores de los parámetros A y B hacen que estas dos matrices sí que sean conmutativas. 00:00:15
Entonces lo primero que hacemos es empezamos calculando cuánto es A por B, las dos son matrices 2 por 2, por lo tanto se pueden multiplicar y el resultado va a ser otra matriz 2 por 2, pues vamos multiplicando el primer elemento, 00:00:27
Primera fila por primera columna 00:00:46
1 por A, A 00:00:50
Más 0 por 2, 0 00:00:53
Por lo tanto, ahí había puesto un más, no lo pongo 00:00:59
Primera fila, segunda columna 00:01:02
1 por B, B 00:01:04
Más 0 por 0, 0 00:01:07
Ahora nos vamos a la segunda fila por la primera columna 00:01:12
2 por A, 2A, más 1 por 2, 2, es decir, más 2. 00:01:15
Y segunda fila, segunda columna, 2 por B, 2B, más 1 por 0, 0. 00:01:23
Luego se nos queda simplemente así. 00:01:32
Ahora calculamos el otro producto, B por A. 00:01:34
Ponemos la matriz B, que es la AB, 2, 0 00:01:37
Por la matriz 1, 0, 2, 1 00:01:43
Y multiplicamos 00:01:49
Primera fila por primera columna 00:01:52
A por 1, A 00:01:55
Más B por 2, 2B 00:01:56
Segundo elemento de la segunda fila 00:02:00
A por 0, 0 00:02:05
Más B por 1 00:02:06
b. Nos vamos a la segunda fila, 2 por 1, 2, más 0 por 2, 0. Y el último elemento, 2 00:02:08
por 0, 0, más 0 por 1, 0. Vale, pues ya tenemos calculados los dos productos. ¿Nosotros qué 00:02:20
queremos? Lo que nosotros queremos es que estas dos matrices sean iguales, es decir, 00:02:28
lo voy a volver a escribir para que quede más claro, que la matriz A, 2A más 2, B, 2B, sea exactamente igual a la matriz A más 2B, B, 2, 0, ¿vale? 00:02:33
Para que dos matrices sean iguales, aparte de tener la misma forma, que estos lo verifican, tienen que ser iguales elemento a elemento, 00:02:56
Es decir, de aquí sacamos un sistema de ecuaciones. Necesitamos que este primer elemento, el a1,1, coincida con el primer elemento de la otra matriz. 00:03:02
Es decir, que a sea igual a a más 2b. Esa sería mi primera ecuación. 00:03:11
El elemento 1,2 tiene que ser igual al elemento 1,2 de la otra matriz. Es decir, que b es igual a b. 00:03:19
Esta no nos da ningún tipo de información, esa ecuación. El elemento 2, 1 tiene que coincidir con el elemento 2, 1, es decir, que 2a más 2 tiene que ser igual a 2. 00:03:25
Y por último, el elemento 2, 2 tiene que ser igual al elemento 2, 2, es decir, 2b tiene que ser igual a 0. 00:03:37
Solo tengo dos incógnitas, aunque tengo cuatro ecuaciones. Como he dicho, esta ecuación, la ecuación segunda, no me da ninguna información 00:03:46
porque efectivamente b es igual a b, o sea que me puedo olvidar de ella. 00:03:55
De la última ecuación que tengo, calculo el valor de b directamente, b será igual a cuánto? 00:03:59
A cero partido de dos, por lo tanto, cero, ¿vale? 00:04:05
Ya tengo el primer valor. De la segunda, o sea, de la penúltima ecuación, que solamente tiene aes, 00:04:10
también puedo calcular el valor de a, y me queda que 2a es igual a 2 menos 2, 00:04:16
o lo que es lo mismo que 2a es igual a 0, por lo tanto igual que teníamos antes, a sería 0 partido por 2, es decir, 0. 00:04:22
Y como en la primera ecuación también tengo, vamos a verificar si los valores que tenemos, ya que tenemos las dos incógnitas, coinciden. 00:04:33
Si yo sustituyera, por ejemplo, aquí el valor de b igual 0, ¿qué obtendría? Que a es igual a a, ¿vale? Obtendríamos que a es igual a a, cosa que es cierta, si b es igual a 0. 00:04:41
O si no, simplemente lo que también podríamos ver es si al sustituir los dos valores que hemos obtenido, es decir, 0 es igual a 0 más 2 por 0, pues sí, ¿vale? 00:04:56
Es decir, tenemos que verificar que efectivamente con los valores que hemos obtenido se verifican todas las ecuaciones. 00:05:08
Por lo tanto, ya estaría el apartado. 00:05:14
Es decir, los valores que estamos buscando para que las matrices sean conmutativas es a igual a 0 y b igual a 0. 00:05:17
El apartado b era resolver un sistema matricial. 00:05:27
Entonces, a ver, aquí podemos decidir eliminar la x o eliminar la y. 00:05:30
Yo voy a eliminar la i porque tienen diferentes signos, pero en el fondo daría un poco lo mismo eliminar una que otra, ¿vale? 00:05:36
Entonces lo único que tenemos que hacer es, para eliminar la i, a la primera ecuación la tengo que multiplicar por 3. 00:05:47
Si queréis, esto siempre os digo que lo hagamos de cabeza, pero como he visto que muchos no lo habéis hecho bien, lo voy a hacer. 00:05:56
Es decir, multiplico la primera por 3 y ¿qué me quedaría? 00:06:02
Recordar que en una ecuación se multiplican los dos miembros. 00:06:09
Me quedaría 6x más 3y y en el segundo miembro también se multiplica todo por 3. 00:06:12
Y multiplicar por 3 una matriz es multiplicar a todos los elementos por 3. 00:06:22
Luego me quedaría menos 3, 3 por 8, 24, 3 por 7, 21, menos 3 por 3, menos 9, 3 por 6, 18 y 3 por 12, 36. 00:06:25
¿Vale? Hemos multiplicado a toda la matriz. 00:06:40
La segunda ecuación la dejamos tal cual, 4x menos 3y igual a, y escribimos la matriz que teníamos, 13 menos 4 menos 21 menos 11, 12 y 14, ¿vale? 00:06:42
Este es mi sistema de ecuaciones y ahora lo que voy a hacer, fijaros que estoy haciendo una reducción normal y corriente, es sumarlas, 6x más 4x, 10x, las y son 3y menos 3y, se me van, y las matrices se suman, sumamos elemento a elemento, 00:07:03
Menos 3 más 13, 10, 24 menos 4, 20, 21 menos 21, 0, menos 9 menos 11, menos 20, 18 más 12, 30 y el último 36 más 14, 50. 00:07:24
¿Vale? Pero lo que hemos calculado es el valor de 10x, nosotros lo que queremos calcular es el valor de la x. 00:07:54
Por lo tanto, lo que tenemos que hacer es, x va a ser la décima parte, es decir, multiplicar por un décimo. 00:08:00
¿Vale? Si multiplicamos por un décimo a cada uno de los elementos, al multiplicar por un décimo es como multiplicar por 10, 00:08:08
O sea, perdón, dividir por 10 cada uno de ellos 00:08:18
¿Qué me queda? 00:08:20
1, 2, 0 00:08:22
Fijaos que justamente todos los números son múltiplos de 10 00:08:23
Menos 2, 3, 5 00:08:26
¿Vale? 00:08:29
Lo he hecho directamente 00:08:32
Pero entendéis, ¿verdad? 00:08:34
Lo que estoy diciendo 00:08:35
Lo voy a poner aquí 00:08:36
Lo que he hecho ha sido que x es 00:08:38
Un décimo 00:08:40
Por la matriz 00:08:42
10, 20, 0 00:08:44
menos 20 00:08:47
30, 50 00:08:50
¿vale? 00:08:51
es lo que he hecho, simplemente lo que pasa es que lo he hecho 00:08:54
de cabeza, me he comido ese paso 00:08:57
y ahora para calcular el valor de i 00:08:58
¿qué hago? bueno pues yo voy a coger la primera 00:09:00
ecuación, ¿por qué? pues simplemente 00:09:03
porque ya está despejada 00:09:04
la i, o sea no tiene coeficiente si está 00:09:07
en positivo, ¿vale? cojo 00:09:08
la primera ecuación, la inicial 00:09:10
esta que me daban 00:09:12
si yo de aquí despejo la i 00:09:14
Me queda que la Y es la matriz menos 1, 8, 7, menos 3, 6, 12, y despejamos como cualquier ecuación normal y corriente. 00:09:16
¿Qué tengo aquí? Un 2X. ¿Cómo pasa al otro miembro para quitarlo de ahí? Pues restándolo. 00:09:31
2 por X, y ahora pongo la matriz X que acabamos de calcular. 1, 2, 0, menos 2, 3, 5. 00:09:36
lo podemos hacer todo de cabeza, ¿vale? 00:09:46
¿Qué me cuesta? Pues hago lo mismo que hemos hecho antes, 00:09:50
pero nos debería costar, que estamos en segundo bachillerato, 00:09:54
menos 1, 8, 7, menos 3, 6, 12, y a ver, otro truco, bueno, truco, 00:09:57
aquí tenemos un menos 2, si yo multiplico todo por menos 2, 00:10:06
lo que hago es sumarlas, porque siempre cuando restáis os hacéis más lío, 00:10:11
Entonces, si yo multiplico a todo por menos 2, aquí me queda menos 2, menos 4, 0, 8, menos 6 y menos 10. 00:10:16
Y ahora os va a resultar mucho más fácil sumarlo. 00:10:27
Pero a ver, que estos tendríamos que ser capaces de sumarlo, o sea, de hacer la operación directamente esta de aquí, 00:10:29
sin tener que hacer este cambio, ¿vale? 00:10:36
Pero bueno, es preferible hacer un paso más para asegurarnos y hacerlo bien. 00:10:39
Y ahora vamos sumando, menos 1, más menos 2, menos 3, 8, más menos 4, 4, 7, más 0, 7, ¿vale? 00:10:45
Seguimos la segunda fila, menos 3 más 8, 5, 6 menos 6, 0, y el último elemento, 12 más menos 10, 2, ¿vale? 00:10:59
Y creo que algo he hecho raro, ah, sí, no sé si os habéis dado cuenta, pero he multiplicado por menos 2, ¿no es lo que os digo? 00:11:17
si es que al final, he ido multiplicando aquí, he dicho menos 1, o sea, menos 1 por 2, menos 2 menos 4, 00:11:27
y al llegar aquí, directamente he multiplicado menos 2 por menos 2, y que he puesto 8. 00:11:34
¿Cuánto es menos 2 por menos 2? No es 8, ¿verdad? 00:11:39
Pero bueno, fijaos que siempre, yo cuando hago las cosas así, luego hay algo que me va chirriando. 00:11:44
menos 2 por menos 2 es más 4 00:11:50
y por lo tanto aquí es que no me sonaba que fuera 00:11:54
un 5 aquí en este resultado 00:11:57
¿cuánto nos va a dar ahora? 00:12:00
a ver que lo mire bien 00:12:04
menos 3 más 4 00:12:05
ahora sí, menos 3 más 4 es 1 00:12:06
y esto ya sí que me suena más 00:12:09
¿vale? 00:12:12
pues nada, veis que, o sea 00:12:14
igual que me pasa a mí, si os lo digo muchas veces 00:12:15
nos podemos equivocar y podemos fallar muchas veces 00:12:17
de lo que se trata es que veamos los errores y que los sepamos rectificar. 00:12:21
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Ejercicios resueltos
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Subido por:
Francisca Beatriz P.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
19
Fecha:
7 de enero de 2025 - 1:03
Visibilidad:
Público
Centro:
IES IGNACIO ALDECOA
Duración:
12′ 29″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
29.84 MBytes

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